Złożony stan obciążenia  hipotezy wytrzymałościowe
s�2
s�3 s�y
t�xy
t�zy
t�xy
s�1
t�zy
s�1
s�3
s�x
s�z
t�xz
t�xz
s�2
Pytanie  co decyduje o zniszczeniu konstrukcji?
Co jest  miarą wytężenia materiału?
Pojęcie naprężenia zredukowanego - s�red
s�red
s�y
t�xy
t�zy
t�xy
t�zy
=
s�x
s�z
t�xz
t�xz
s�red
s�red =� F(s� ,s� ,s� ,t� ,t� ,t� )
x y z xy yz xz
F=?
Warunek wytrzymałościowy dla złożonego
s� Ł� kr
red
stanu naprężenia (obciążenia)
HIPOTEZY  materiał izotropowy
Hipoteza maksymalnych naprężeń normalnych
max(s�1,s�2,s�3) =� s�max =� s�red Ł� kr
Hipoteza maksymalnych naprężeń tnących  hipoteza t�max
s�2
s�3 s�red
s�1
s�1
s�3
s�red
s�2
1 1
t�max =� s�red / 2
t�max =� (s�max -�s�min ) =� (s�1 -�s�3)
2 2
s�red =� s�max -�s�min Ł� kr
Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky ego
s�2
s�3
Jednostkowa energia odkształcenia
s�1
s�1
1
V =� (s�1 ��e�1 +�s�2 ��e�2 +�s�3 ��e�3)
s�3
2
s�2
V=Vobjętość +Vpostaciowa
Energia odkształcenia postaciowego
Energia odkształcenia objętościowego
s�2 - s�m
s�m
s�3- s�m
s�m
s�1- s�m
s�m
+
s�m
s�1- s�m
s�m
s�3- s�m
s�m
s�2 - s�m
1
s�m =� s�sr =� (s�1 +�s�2 +�s�3)
Vpost =�V -�Vobj =� ?
3
3
Vobj =� s�m ��e�m
2
1 1-� 2
e�m =� (s�m -� 2 ��s�m) =� s�m;
E E
3(1-� 2 ) (1-� 2 )
2
Vobj =� s�m =� (s�1 +�s�2 +�s�3)2.
2E 6E
1
V =� (s�1 ��e�1 +�s�2 ��e�2 +�s�3 ��e�3)
2
Z prawa Hooke a
1
e�1 =� (�s�1 -�s�2 -� -�s�3)�
E
1
e�2 =� (�s�2 -�s�3 -� -�s�1)�
E
1
e�3 =� (�s�3 -�s�1 -� -�s�2)�
E
1
2 2
V =� (s�12 +�s�2 +�s�3 -� 2s�1s�2 -� 2s�2s�3 -� 2s�3s�1)
2E
1
2 2
V =� (s�12 +�s�2 +�s�3 -� 2s�1s�2 -� 2s�2s�3 -� 2s�3s�1)
2E
3(1-� 2 ) (1-� 2 )
2
Vobj =� s�m =� (s�1 +�s�2 +�s�3)2.
2E 6E
Energia odkształcenia postaciowego dla przestrzennego stanu naprężenia
1+�
2 2 2
Vpost =�V -�Vobj =� [�(�s�1 -�s�2)� +�(�s�2 -�s�3)� +�(�s�3 -�s�1)� ]�
6E
Energia odkształcenia postaciowego dla naprężenia s�red
1+�
2
Vpost =� ��2s�red
6E
1
2 2 2
s�red =� [�(�s�1 -�s�2)� +�(�s�2 -�s�3)� +�(�s�3 -�s�1)� ]�Ł� kr
2
Dla płaskiego stanu naprężenia (naprężenia główne)
2 2
s� =� s�1 -�s�1s� +�s� Ł� kr
red 2 2
Obliczanie konstrukcji obciążonych siłą normalną, momentem gnącym
i skręcającym
t�
s� =� s� ą�s� ;
N g s�
s�
t� =� t�T +�t� @� t�
s s
t�
s� s�
s� s�
2 2
s�1(max) =� +� ( )2 +�t� ; s�2(min) =� -� ( )2 +�t�
2 2 2 2
2 2 2 2
s� =� s� +� 4t� Ł� kr; s� =� s� +� 3t� Ł� kr
red red
Hipoteza t�max
Hipoteza Hubera-Misesa