HIPOTEZY

1 Oznaczenia
MECHANIKA BUDOWLI: HIPOTEZY WYTRZYMAAOŚCIOWE
�H - naprężenie zredukowane wg hipotezy tezy maksymalnych naprężeń stycznych
Spis treści HMH (Hubera) ( Treski)
�� max - naprężenie zredukowane wg hipo-
1 Oznaczenia 1
2 Teoria 1
2 Teoria
2.1 2D: Hipotezy wytrzymałościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.1 2D: Hipoteza HMH (Hubera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 2D: Hipotezy wytrzymałościowe
2.1.2 2D: Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych (Treski) . . . . . . . 1 �ł łł
�11 �12 0
�ł�12
�ij = �22 0�ł �zred " (1)
3 Zadanie 1 1
0 0 0
3.1 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
UWAGA: naprężenie zredukowane �zred jest skalarem określającym wytężenie materiału.
4 Zadanie 2 2
4.1 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 2D: Hipoteza HMH (Hubera)
5 Zadanie 3 2
1
5.1 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 �H = ((�11 - �22)2 + (�11)2 + (�22)2) + 3(�12)2 (2)
2
5.2 Naprężenia zredukowane w układzie osi głównych . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2.1 Naprężenia główne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 2D: Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych (Treski)
5.2.2 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
�� max = (�11 - �22)2 + 4(�12)2 (3)
6 Zadanie 3A 3
6.1 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2 Naprężenia zredukowane w układzie osi głównych . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Zadanie 1
6.2.1 Naprężenia główne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2.2 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dla zadanego stanu naprężeń określić naprężenia zredukowane:
7 Zadanie 4 3
1.76 [MPa] 25.08 [MPa]
�ij = (4)
7.1 Siły wewnętrzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
25.08 [MPa] -0.23 [MPa]
7.2 Geometria przekroju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.3 Naprężenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.3.1 Naprężenia normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1 Naprężenia zredukowane
7.3.2 Naprężenia styczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.4 Składowe stanu naprężeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.5 Naprężenia zredukowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
2
2 2 2
�H = � (�11 - �22)2 + �11 + �22 + 3��12 =
2
1
2
= � (1.76 - (-0.23))2 + 1.762 + (-0.23)2 + 3�25.082 =
2
= 43.48 [MPa] (5)
strona : 1 Materiał pomocniczy do ćwiczeń z Mechaniki Budowli: Hipotezy wytrzymałościowe. Przygotował dr inż. J. Pilśniak. Data: utw. 01 pazdziernik 2004- komp. 12 pazdziernika 2005
5.1 Naprężenia zredukowane
2
2
�� max = (�11 - �22)2 + 4��12 =
2
1
= (1.76 - (-0.23))2 + 4�25.082 = 50.2 [MPa] (6)
2
2 2 2
�H = � (�11 - �22)2 + �11 + �22 + 3��12 =
2
�� max 50.2
ą
ą = = = 1.155 (7)
ą
1
2
�H 43.48
= � (10.16 - (-10.83))2 + 10.162 + (-10.83)2 + 3�0.082 =
2
= 18.18 [MPa] (13)
4 Zadanie 2
Dla zadanego stanu naprężeń określić naprężenia zredukowane:
2
2
�� max = (�11 - �22)2 + 4��12 =
20.76 [MPa] 2.08 [MPa]
�ij = (8)
2.08 [MPa] -5.23 [MPa]
2
= (10.16 - (-10.83))2 + 4�0.082 = 20.99 [MPa] (14)
�� max 20.99
4.1 Naprężenia zredukowane ą = = = 1.155 (15)
ą
ą
�H 18.18
5.2 Naprężenia zredukowane w układzie osi głównych
1
2
2 2 2
�H = � (�11 - �22)2 + �11 + �22 + 3��12 =
2
5.2.1 Naprężenia główne
1
2
1
2
= � (20.76 - (-5.23))2 + 20.762 + (-5.23)2 + 3�2.082 = 2
�1 = � �11 + �22 + (�11 - �22)2 + 4��12 = 10.16 [MPa] (16)
2
2
= 24.08 [MPa] (9)
1
2
2
�2 = � (�11 + �22) - (�11 - �22)2 + 4��12 = -10.83 [MPa] (17)
2
2
2
10.16 [MPa] 0
�� max = (�11 - �22)2 + 4��12 = [g]
�ij = (18)
0 -10.83 [MPa]
2
= (20.76 - (-5.23))2 + 4�2.082 = 26.32 [MPa] (10)
5.2.2 Naprężenia zredukowane
�� max 26.32
ą
ą = = = 1.093 (11)
ą
�H 24.08
1
2
�H = � (�1 - �2)2 + �12 + �22 =
2
5 Zadanie 3
1
2
= � (10.16 - (-10.83))2 + 10.162 + (-10.83)2 = 18.18 [MPa] (19)
Dla zadanego stanu naprężeń określić naprężenia zredukowane: 2
10.16 [MPa] 0.08 [MPa]
2 2
�ij = (12)
�� max = (�1 - �2)2 = (10.16 - (-10.83))2 = 20.99 [MPa] (20)
0.08 [MPa] -10.83 [MPa]
Jak można zauważyć, zachodzą równości: �H = �H oraz �� max = �� max .
strona : 2 Materiał pomocniczy do ćwiczeń z Mechaniki Budowli: Hipotezy wytrzymałościowe. Przygotował dr inż. J. Pilśniak. Data: utw. 01 pazdziernik 2004- komp. 12 pazdziernika 2005
6 Zadanie 3A 6.2.2 Naprężenia zredukowane
Dla zadanego stanu naprężeń określić naprężenia zredukowane:
1
2
�H = � (�1 - �2)2 + �12 + �22 =
2
10.16 [MPa] 5.21 [MPa]
�ij = (21)
5.21 [MPa] -0.89 [MPa]
1
2
= � (12.23 - (-2.959))2 + 12.232 + (-2.959)2 = 13.95 [MPa] (28)
2
2 2
6.1 Naprężenia zredukowane
�� max = (�1 - �2)2 = (12.23 - (-2.959))2 = 15.19 [MPa] (29)
Jak można zauważyć, zachodzą równości: �H = �H oraz �� max = �� max .
1
2
2 2 2
�H = � (�11 - �22)2 + �11 + �22 + 3��12 =
2 7 Zadanie 4
1
Dla zadanego układu statycznego pokazanego na rysunku 1 określić stan naprężeń
2
= � (10.16 - (-0.89))2 + 10.162 + (-0.89)2 + 3�5.212 =
2 oraz obliczyć naprężenia zredukowane w punkcie D przekroju ą - ą:
P = 145 [kN] , � = 45 [o] , L = 0.8 [m] , t = 0.1 [m] .
= 13.95 [MPa] (22)
2
2
�� max = (�11 - �22)2 + 4��12 =
2
= (10.16 - (-0.89))2 + 4�5.212 = 15.19 [MPa] (23)
�� max 15.19
ą
ą = = = 1.089 (24)
ą
�H 13.95
6.2 Naprężenia zredukowane w układzie osi głównych
6.2.1 Naprężenia główne
1
2
2
�1 = � �11 + �22 + (�11 - �22)2 + 4��12 = 12.23 [MPa] (25)
2
Rysunek 1: Schemat statyczny do zadania 4.
1
2
2
�2 = � (�11 + �22) - (�11 - �22)2 + 4��12 = -2.959 [MPa] (26)
2
7.1 Siły wewnętrzne
12.23 [MPa] 0
[g]
�ij = (27)
0 -2.959 [MPa]
Ną = (-P )�sin(�) = (-145)�sin(45) = -102.5 [kN] (30)
strona : 3 Materiał pomocniczy do ćwiczeń z Mechaniki Budowli: Hipotezy wytrzymałościowe. Przygotował dr inż. J. Pilśniak. Data: utw. 01 pazdziernik 2004- komp. 12 pazdziernika 2005
Tą = (-P )�cos(�) = (-145)�cos(45) = -102.5 [kN] (31)
3
Mą = P �cos(�)� �L - P �sin(�)�L =
2
3
= 145�cos(45)� �0.8 - 145�sin(45)�0.8 = 41.01 [kNm] (32)
2
7.2 Geometria przekroju
1 1
F = �4�t�3�t = �4�0.1�3�0.1 = 0.06 [m2] (33)
2 2
(3�t)3�4�t (3�0.1)3�4�0.1
Jy = = = 0.0003 [m4] (34)
36 36
t 0.1
bD = �4�t = �4�0.1 = 0.1333 [m] (35)
x
3�t 3�0.1
1 2 1 2
D
Sx = �t�bD � t + t - �t = �0.1�0.1333� 0.1 + 0.1 - �0.1 =
x
2 3 2 3 Rysunek 2: Znakowanie sił wewnętrznych oraz składowych stanu naprężeń w przekroju ą - ą.
= 0.0008889 [m3] (36)
7.4 Składowe stanu naprężeń
7.3 Naprężenia
D
�11 = 0 [MPa] (44)
7.3.1 Naprężenia normalne
D
�D
�22 = �D = 11.96 [MPa] (45)
�D
Mą�t 41.01�0.1
D
�M = = = 1.367�10+004 [kPa] (37)
Jy 0.0003 D
�D
�12 = �D = -2.278 [MPa] (46)
�D
D
D
�M
�M = 13.67 [MPa] (38)
�D
M
0 [MPa] -2.278 [MPa]
D
�ij = (47)
-2.278 [MPa] 11.96 [MPa]
Ną (-102.5)
D
�N = = = -1709 [kPa] (39)
F 0.06
D
D
7.5 Naprężenia zredukowane
�N
�N = -1.709 [MPa] (40)
�D
N
D D
D D
�D �M �N
�D = �M + �N = 13.67 + (-1.709) = 11.96 [MPa] (41)
�D �D �D
M N
1
2
2
D D D D D
�H = � �11 - �22 + �112 + �222 + 3��122 =
7.3.2 Naprężenia styczne
2
D
Tą�Sx (-102.5)�0.0008889
1
2
2
D D
�D = = = -2278 [kPa] (42)
= � �11 - 11.96 + �112 + 11.962 + 3�(-2.278)2 =
Jy �bD 0.0003�0.1333
x 2
= 12.6 [MPa] (48)
�D
�D = -2.278 [MPa] (43)
�D
strona : 4 Materiał pomocniczy do ćwiczeń z Mechaniki Budowli: Hipotezy wytrzymałościowe. Przygotował dr inż. J. Pilśniak. Data: utw. 01 pazdziernik 2004- komp. 12 pazdziernika 2005
2
2
D D D
�� max = �11 - �22 + 4��122 =
2
2
D
= �11 - 11.96 + 4�(-2.278)2 = 12.8 [MPa] (49)
�� max 12.8
ą
ą = = = 1.016 (50)
ą
�H 12.6
strona : 5 Materiał pomocniczy do ćwiczeń z Mechaniki Budowli: Hipotezy wytrzymałościowe. Przygotował dr inż. J. Pilśniak. Data: utw. 01 pazdziernik 2004- komp. 12 pazdziernika 2005

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
hipotezy
06 hipotezy wytrzymałościowe
d Obraz 4 klasyfikcacja hipotez
Teoria 7 Testowanie hipotez
9 Testowanie hipotez
7 hipotezy nieparametryczne
Zmienne, wskaźniki, problemy i hipotezy
cwiczenie 4a Energia sprężysta i hipotezy wytężeniowe
Zasady rehabilitacji medycznej i psychopedagogicznej w hipoterapii
U 0682 O księgach wieczystych i hipotece (tekst ujednolicony) DzU 2001nr124,poz 1361 z późn zm (2)
hipotezy
m hipotezy stat

więcej podobnych podstron