Kurs obsługi programu PASW Statistics
Testowanie hipotez
Autor: dr Joanna Karłowska-Pik, dr Dorota Juszczak
Jednym z głównych zadań statystyki matematycznej jest weryfikacja hipotez
statystycznych. Zasadniczo problem jest następujący: stawiamy pewną hipotezę
nazywaną hipotezą zerową i pytamy, czy jest ona prawdziwa dla całej populacji.
Ponieważ przebadanie całej populacji jest z reguły niewykonalne bądź trudne,
losujemy próbę. Na podstawie tej próby wyliczamy wartości pewnych statystyk.
Test statystyczny daje odpowiedź na pytanie, czy przy założeniu możliwości
popełnienia pewnego błędu (nazywanego poziomem istotności) uzyskane wartości
tych statystyk pozwalają stwierdzić, że hipoteza zerowa może być prawdziwa, czy
też jej przeczą.
Test statystyczny ma postać implikacji: jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa,
to statystyki wyliczone z próby powinny mieć pewne określone wartości (nie mogą
wpadać do tzw. obszaru krytycznego). Jeśli więc statystyki tych własności nie
mają, to hipoteza zerowa nie jest prawdziwa. Jeśli jednak statystyki te
własności mają, to hipoteza zerowa może być równie dobrze prawdziwa, jak i
fałszywa. Mówimy, że nie mamy wówczas podstaw do jej odrzucenia, co nie jest
równoznaczne z jej przyjęciem.
Program PASW Statistics, wykonując test statystyczny, oblicza statystyki testu
(można sprawdzić, czy wpadają one do obszaru krytycznego, ale trzeba wiedzieć
jaką ma on postać przy danym teście), ale oprócz nich podaje również istotność.
Jest to graniczna wartość poziomu istotności, przy której odrzucamy hipotezę
zerową. Postępowanie jest następujące:
jeśli istotność obliczona przez program jest mniejsza bądź równa niż zakładany
przez nas poziom istotności, to odrzucamy hipotezę zerową,
jeśli istotność obliczona przez program jest większa niż zakładany przez nas
poziom istotności, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
W tym drugim przypadku możemy z grubsza myśleć, że otrzymana w wyniku losowania
próba nie jest aż tak zła, żeby móc odrzucić hipotezę zerową.
Uwaga: Niezależnie od naszej hipotezy badawczej, hipoteza zerowa testu
statystycznego jest zawsze ,,na tak'', tj. zakłada, że zachodzi np. równość
średnich, czy równość rozkładów. Np. badamy działanie pewnego leku obniżającego
ciśnienie. Nasza hipoteza badawcza brzmi ,,ciśnienie przed podaniem leku jest
wyższe niż po podaniu leku, czyli ciśnienia mierzone przed i po podaniu leku
bedą różne''. Wykonujemy test, np. test średnich, ale jego hipotezą jest zawsze
równość, czyli hipoteza zerowa brzmi ,,średnie ciśnienie przed podaniem leku i
po są równe''. Jeśli test odrzuci nam hipotezę zerową, to tym samym potwierdzi
hipotezę badawczą.
Wykonując test statystyczny należy zawsze podać hipotezę zerową, hipotezę
konkurencyjną (którą przyjmujemy, odrzucając hipotezę zerową), poziom
istotności, istotność obliczoną przez program oraz decyzję, którą podejmujemy.
Testy normalności rozkładu
Hipoteza zerowa: Badana zmienna ma rozkład normalny.
Hipoteza alternatywna: Badana zmienna ma rozkład inny niż normalny.
Wymagania: Zmienna powinna mieć poziom ilościowy.
Dostęp w programie:
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Testy tradycyjne -> K-S dla jednej próby
Jest to test zgodności Kołmogorowa-Smirnowa (w literaturze często tylko
Kołmogorowa), sprawdza zgodność rozkładu danej zmiennej z rozkładem normalnym z
parametrami będącymi średnią i odchyleniem standardowym z próby.
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Jedna próba... W wyniku wyboru pojawia się
okno dialogowe z trzema zakładkami. Jeśli w zakładce Cele ustawimy Automatyczne
porównywanie danych empirycznych z hipotetycznymi, program sam dobierze do
każdej z analizowanych zmiennych odpowiedni test. Jeśli chcemy sami dokonać
wyboru, zaznaczamy Analiza niestandardowa. W zakładce Zmienne wybieramy zmienne
do analizy. W zakładce Ustawienia wybieramy odpowiedni test, w przypadku
badania normalności rozkładu jest to Testowanie rozkładu empirycznego względem
hipotetycznego (Kołmogorow-Smirnow). W opcjach mamy możliwość wyboru, czy
testujemy rozkład normalny z parametrami wyliczonymi na podstawie próby, czy
też podajemy sami parametry. Ważne jest, że na liście Wybierz element możemy
wybrać Opcje testów i podać poziom istotności. Wówczas program podpowie nam,
jaką decyzję należy podjąć po wykonaniu testu! Tabelę wynikową testu można
uaktywnić, będzie wówczas dostępny Przegląd modelu.
Analiza -> Opis statystyczny -> Eksploracja... -> Wykresy... -> Wykresy
normalności z testami Wykonywane są najbardziej polecane testy, tj.
Kołmogorowa-Smirnowa z poprawką istotności Lillieforsa (obliczana, gdy nie
znamy średniej i odchylenia standardowego całej populacji) oraz Shapiro-Wilka
(najlepszy, ale może dawać złe wyniki dla próbek większych niż 2000).
Ćwiczenie 1. Na podstawie danych zawartych w pliku pacjenci.sav ustal, czy przy
poziomie istotności 0,05 waga pacjenta oraz jego poziom cukru we krwi mają
rozkład normalny. Wykonaj testy wszystkimi podanymi sposobami. Sprawdź, czy
przy podanym poziomie istotności mamy podstawy do odrzucenia hipotezy, że
poziom cukru we krwi ma rozkład normalny ze średnią 6 i odchyleniem
standardowym 0,5.
Ćwiczenie 2. Na podstawie danych zawartych w pliku testmarket.sav sprawdź,
zakładając poziom istotności 0,01, czy liczba sprzedawanych towarów (w tys.) ma
rozkład normalny. Wykonaj powtórnie analizę normalności rozkładu liczby
sprzedawanych towarów w grupach wyróżnionych na podstawie wielkości marketu.
Test średniej (test t-Studenta)
Hipoteza zerowa: Badana zmienna ma w całej populacji średnią równą danej
wartości a.
Hipoteza konkurencyjna: Badana zmienna ma w populacji średnią inną niż a.
Wymagania: Zmienna ma rozkład normalny lub zmienna ma rozkład niekoniecznie
normalny, ale próba jest dość liczna (powyżej 30 obserwacji).
Dostęp w programie: Analiza -> Porównywanie średnich -> Test t dla jednej
próby...
Uwagi:
Dla prób o dużej liczebności (powyżej 30 obserwacji) i zmiennej dychotomicznej
o wartościach 0 i 1 można używać tego testu do testowania hipotezy ,,odsetek
jedynek w całej populacji jest równy ustalonej liczbie p'', 0< p < 1 .
W przypadku hipotezy konkurencyjnej postaci ,,Badana zmienna ma w populacji
średnią większą (odpowiednio mniejszą) niż a'' należy sprawdzić, czy średnia z
próbki ma wartość większą (odpowiednio mniejszą) niż a, a istotność wyliczoną
przez program porównywać z zakładanym poziomem istotności przemnożonym przez
2.
Ćwiczenie 3. Sprawdź, korzystając z danych zawartych w pliku pacjenci.sav, czy
średni poziom cukru pacjentów, spośród których wylosowano respondentów, jest
równy 6,0.
Ćwiczenie 4. O pewnej chorobie mówiono, że dotyka ona pacjentów średnio
55-letnich, przy czym 2 razy częściej kobiet niż mężczyzn. W celu weryfikacji
tych stwierdzeń wylosowano 738 pacjentów, których dane znajdują się w pliku
terapia.sav. Na poziomie istotności 0,05 oceń prawdziwość tych opinii.
Ćwiczenie 5. W pliku bilety.sav znajdują się dane dotyczące liczby sprzedanych
biletów MZK w Toruniu w kolejnych niedzielach maja i czerwca. Na podstawie tych
danych na poziomie istotności 0,1 przetsetuj hipotezę, że liczba biletów
sprzedawanych w niedziele jest równa 3,2 tys. przeciwko hipotezie, że średnia
liczba sprzedawanych biletów jest
różna od 3,2 tys.,
mniejsza niż 3,2 tys.
Przyjmij, że liczba sprzedawanych biletów ma rozkład normalny.
Test dla dwóch średnich i prób niezależnych
Hipoteza zerowa: Badana zmienna ma dla całej populacji równe średnie w dwóch
wyróżninych grupach.
Hipoteza konkurencyjna: Badana zmienna ma w populacji różne średnie w
wyróżnionych grupach.
Wymagania: Dysponujemy zmienną ilościową, której średnie badamy, oraz zmienną
wyróżniającą grupy (może to być zmienna dyskretna lub zmienna ciągła z
wyróżnionym punktem podziału). Zmienna ma rozkład normalny w obu wyróżnionych
grupach lub zmienna ma rozkład niekoniecznie normalny, ale próba jest dość
liczna (powyżej 100 obserwacji w każdej z grup).
Dostęp w programie: Analiza -> Porównywanie średnich -> Test t dla prób
niezależnych... Grupy definiujemy podając dwie wartości zmiennej grupującej lub
punkt podziału w przypadku, gdy zmienna grupująca ma poziom ilościowy.
Uwagi:
Jako wynik testu otrzymujemy tabelę, w której znajduje się również istotność
dla testu Levene'a jednorodności wariancji. Test ten sprawdza równość wariancji
badanej zmiennej w wyznaczonych grupach. W zależności od tego, czy wariancje są
równe, czy nie, innym wzorem liczona jest statystyka testu dla dwóch średnich
oraz jego istotność. Bardzo często w obu przypadkach (przy założonej równości
wariancji i bez tego założenia) test dla dwóch średnich daje takie same
decyzje. Dopiero w sytuacji, gdy decyzje te są sprzeczne, należy uwzględnić
wynik testu Levene'a.
W przypadku hipotezy konkurencyjnej postaci ,,Badana zmienna ma w populacji
większą (odpowiednio mniejszą) średnią w pierwszej grupie niż w drugiej''
należy sprawdzić, czy średnia z próbki ma wartość większą (odpowiednio
mniejszą) w pierwszej grupie niż w drugiej, a istotność wyliczoną przez program
porównywać z zakładanym poziomem istotności przemnożonym przez 2.
W idealnych warunkach obiekty powinny być losowo przypisane do dwóch grup (np.
pacjentów losowo dzielimy na tych, którzy dostaną lek i tych, którzy dostaną
placebo), tak aby każda różnica ich reakcji była wynikiem oddziaływania (lub
braku oddziaływania) tylko jednego czynnika. Nie jest tak w przypadku
porównywania średniego dochodu mężczyzn i kobiet. Płeć badanych nie jest
przypisywana losowo. W takich przypadkach należy zadbać o to, żeby różnice
innych czynników nie pomniejszały, ani nie powiększały, znacząco różnicy
średnich. Na różnice średniego dochodu mogą mieć także wpływ takie czynniki jak
wykształcenie (a nie tylko płeć). (Źródło: pomoc programu).
Ćwiczenie 6. Producent płatków mydlanych wysunął hipotezę, że stopień wyprania
tkaniny wełnianej płatkami mydlanymi jest wyższy od stopnia wyprania płynem do
prania. W celu sprawdzenia tej hipootezy wykonano pomiary stopnia wyprania 17
wycinków tkaniny, a wyniki znajdują się w pliku pranie.sav. Przyjmując poziom
istotności 0,05, zweryfikuj hipotezę wysuniętą przez producenta.
Test dla dwóch średnich i prób zależnych
Hipoteza zerowa: Badane zmienne mają w całej populacji równe średnie.
Hipoteza konkurencyjna: Badane zmienne mają w populacji różne średnie.
Wymagania: Dysponujemy dwoma zmiennymi ilościowymi, najczęściej obserwacje
pochodzą od tych samych respondentów. Różnica zmiennych powinna mieć rozkład
normalny lub próba powinna być duża (>30).
Dostęp w programie: Analiza -> Porównywanie średnich -> Test t dla prób
zależnych...
Uwaga: W przypadku hipotezy konkurencyjnej postaci ,,Średnia wartość pierwszej
zmiennej jest w całej populacji większa (odpowiednio mniejsza) od średniej
wartości drugiej zmiennej'' należy sprawdzić, czy średnia z próbki ma wartość
większą (odpowiednio mniejszą) dla pierwszej zmiennej niż dla drugiej, a
istotność wyliczoną przez program porównywać z zakładanym poziomem istotności
przemnożonym przez 2.
Ćwiczenie 7. zmierzono ciśnienie tętnicze wśród losowo wybranej grupy chorych
na pewną chorobę przed i po podaniu takiego samego leku każdemu z badanych
pacjentów. Wyniki znajdują się w pliku cisnienie.sav. Na poziomie istotności
0,05 zweryfikuj hipotezę, że stosowany lek nie powoduje spadku ciśnienia u
pacjentów wobec hipotezy, że wartość przeciętna ciśnienia przed podaniem leku
jest wyższa niż po jego podaniu.
Test dwumianowy
Hipoteza zerowa: Kategoria traktowana jako sukses występuje z zadanym
prawdopodobieństwem p.
Hipoteza alternatywna: Kategoria traktowana jako sukces występuje z innym niż
zadane prawdopodobieństwem.
Wymagania: zmienna dychotomiczna lub zmienna ciągła i ustalony punkt podziału
(wartość zmiennej nie większa niż punkt podziału jest traktowana jako sukces).
Dostęp w programie:
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Testy tradycyjne -> Dwumianowy... Przy
zmiennej dychotomicznej za sukces uważana jest kategoria, którą posiada
pierwszy respondent w pliku. Przy zmiennej ciągłej należy podać punkt podziału.
Może się zdarzyć, że hipotezą alternatywną będzie, że prawdopodobieństwo jest
mniejsze od zakładanego - trzeba uważać na uwagi w raporcie.
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Jedna próba... Patrz uwagi dotyczące tej
opcji opisane przy testach normalności. W zakładce Ustawienia wybieramy
Porównywanie prawdopodobieństw dla obserwowanych dychotomicznych z
hipotetycznymi (dwumianowy). W opcjach można ustawić, co jest sukcesem i jakie
jest testowane prawdopodobieństwo sukcesu.
Ćwiczenie 8. Na podstawie danych z pliku terapia.sav, na poziomie istotności
0,01 przetestuj hipotezy:
na chorobę, której dotyczą dane zebrane w pliku, 2 razy częściej zapadają
kobiety niż mężczyźni,
25% pacjentów to osoby poniżej 40 roku życia.
Test chi-kwadrat
Hipoteza zerowa: Kategorie zmiennej występują z określonymi proporcjami.
Hipoteza konkurencyjna: Proporcje poszczególnych kategorii są inne niż podane.
Wymagania testu: Zmienna numeryczna o kilku kategoriach. W przypadku wartości
tekstowych należy je najpierw przekodować na numeryczne. Kategorie o małych
liczebnościach teoretycznych (liczebności nie mniejsze niż 10 uznajemy za
dobre, nie mniejsze niż 5 za wystarczające) powinny zostać połączone z
sąsiednimi.
Dostęp w programie:
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Testy tradycyjne -> Chi-kwadrat... W
przypadku, gdy wartości oczekiwane kategorii zmiennej nie mają być równe,
należy podać testowaną proporcję. Proporcja zadawana jest przez liczby
całkowite podawane w kolejności odpowiadającej kolejności kategorii
uporządkowanych od tej określonej najmniejszą liczbą do tej określonej
największą liczbą.
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Jedna próba... Patrz uwagi dotyczące tej
opcji opisane przy testach normalności. W zakładce Ustawienia wybieramy
Porównywanie prawdopodobieństw empirycznych z hipotetycznymi (test
chi-kwadrat).. W opcjach można ustawić proporcje dla kategorii, podając
oczekiwane częstości względne, czyli prawdopodobieństwa (sumujące się do 1).
Ćwiczenie 9. Na podstawie danych zawartych w pliku terapia.sav zweryfikuj przy
poziomie istotności 0,05 hipotezę, że najczęściej wybieraną przez lekarzy
terapią jest terapia A - pojawia się ona 2 razy częściej niż B i 6 razy
częściej niż C.
Ćwiczenie 10. Na podstawie danych zawartych w pliku voter.sav sprawdź, czy na
poziomie istotności 0,05 można powiedzieć, że zwolenników Busha było 2 razy
więcej, a zwolenników Clintona 3 razy więcej niż osób głosujących na Perota.
Ćwiczenie 11. W czasie sondażu przeprowadzonego przez pracownię badania opinii
społecznej, spośród 1100 ankietowanych dorosłych Polaków 1090 odpowiedziało, że
w ubiegłym miesiącu nie przeczytało żadnej książki, a pozostali potwierdzili,
że przeczytali przynajmniej jedna książkę. Utwórz odpowiedni zbiór danych, a
następnie na poziomie istotności 0, 01, przetestować hipotezę, ze odsetek
dorosłych Polaków, którzy nie przeczytali w ubiegłym miesiącu żadnej książki
wynosi 99%, przeciw hipotezie, że odsetek ten jest inny, używając najpierw
testu t dla jednej średniej, a następnie testów dwumianowego i chi-kwadrat.
Test Kołmogorowa (w programie: Kołmogorowa-Smirnowa)
Hipoteza zerowa: Badana zmienna ma zadany rozkład.
Hipoteza alternatywna: Badana zmienna ma rozkład inny niż zadany.
Wymagania: Zmienna powinna mieć poziom ilościowy.
Dostęp w programie:
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Testy tradycyjne -> K-S dla jednej próby
Test ten sprawdza zgodność rozkładu danej zmiennej z jednym z wybranych
rozkładów, przy czym do dyspozycji mamy rozkład normalny, wykładniczy,
jednostajny i Poissona. Parametry rozkładu są wyznaczane z próby (w zależności
od rozkładu są to średnia, odchylenie standardowe, minimum lub maksimum).
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Jedna próba... W wyniku wyboru pojawia się
okno dialogowe z trzema zakładkami. Jeśli w zakładce Cele ustawimy Automatyczne
porównywanie danych empirycznych z hipotetycznymi, program sam dobierze do
każdej z analizowanych zmiennych odpowiedni test. Jeśli chcemy sami dokonać
wyboru, zaznaczamy Analiza niestandardowa. W zakładce Zmienne wybieramy zmienne
do analizy. W zakładce Ustawienia wybieramy odpowiedni test, w naszym przypadku
jest to Testowanie rozkładu empirycznego względem hipotetycznego
(Kołmogorow-Smirnow). W opcjach mamy możliwość wyboru, który rozkład testujemy
(normalny, wykładniczy, jednostajny lub Poissona), oraz czy parametry rozkładu
mają być wyliczone na podstawie próby, czy z góry przez nas określone. Ważne
jest, że na liście Wybierz element możemy wybrać Opcje testów i podać poziom
istotności. Wówczas program podpowie nam, jaką decyzję należy podjąć po
wykonaniu testu!
Ćwiczenie 12. Generator liczb losowych wygenerował 20 liczb z rozkładu
wykładniczego z parametrem 2 (średnia równa 0,5). Dane znajdują się w pliku
wykladniczy.sav. Na poziomie 0,05 przetestuj zgodność tych danych z podanym
rozkładem, wykorzystując obie opisane powyżej metody dostępu do testu w
programie.
Uwaga: Wykonując test Kołmogorowa drugą metodą, zapisz polecenie w języku
poleceń (klikając Wklej zamiast Uruchom) i upewnij się, czy program dobrze
sczytał podaną wartość parametru.
Test chi-kwadrat niezależności
Hipoteza zerowa: Badane zmienne są niezależne.
Hipoteza alternatywna: Badane zmienne są zalezne.
Wymagania: Zmienna powinna mieć poziom porządkowy lub nominalny. Wynik testu
uznaje się za niewiarygodny, jeśli w tabeli krzyżowej wartość oczekiwana
jakiejś komórki jest mniejsza niż 1 lub ponad 20% komórek ma liczebności
oczekiwane mniejsze od 5.
Dostęp w programie:
Analiza -> Opis statystyczny -> Tabele krzyżowe... Badane zmienne umieszczamy
jedną w wierszach, drugą w kolumnach. Klikamy Statystyki... i zaznaczamy
Chi-kwadrat. Klikając Komórki..., w polu Liczebności możemy zaznaczyć
Oczekiwane.
Analiza -> Tabele specjalne -> Tabele użytkownika... Badane zmienne przenosimy
myszką do wierszy i kolumn tableli. W zakładce Testy zaznaczamy Testy
niezależności (Chi-kwadrat) i podajemy poziom istotności. W wyniku otrzymamy
tabelę oraz wynik testu, przy czym w przypisach pojawi się informacja, czy
statystyka chi-kwadrat jest istotna na podanym przez nas poziomie istotności
(hipotezę o niezależności zmiennych odrzucamy), czy nie (nie mamy podstaw do
odrzucenia hipotezy o niezależności).
Ćwiczenie 13. Na podstawie danych z pliku GSS93 subset.sav sprawdź, czy od
przynależności respondenta do danej kategorii wiekowej zależą jego poglądy na
temat
konieczności porządnego lania dziecka od czasu do czasu,
mieszkania na starość razem z dziećmi.
Test Wilcoxona znakowanych rang (ang. Wilcoxon signed-rank test, w programie:
test Wilcoxona znaków rangowanych)
Hipoteza zerowa: Mediana różnicy dwóch zmiennych jest równa 0.
Hipoteza alternatywna: Mediana różnicy dwóch zmiennych jest różna od 0.
Wymagania: Różnica badanych zmiennych jest zmienną ciągłą o rozkładzie
symetrycznym względem mediany.
Dostęp w programie:
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Testy tradycyjne -> Dwie próby zależne...
Zaznaczamy typ testu Wilcoxon oraz definiujemy pary testowanych zmiennych.
Analiza -> Testy nieparametryczne -> Próby zależne... W zakładce Zmienne
wskazujemy zmienne do prównania. W zakładce Ustawienia wybieramy na liście z
lewej strony Wybór testów, zaznaczamy Pozwól użytkownikowi wybrać testy i
wybieramy Test Wilcoxona znaków rangowanych dla par dopasowanych (2 próby).
Wybieramy na liście z lewej strony Opcje testów i podajemy poziom istotności. W
wyniku otrzymamy tabelę z opisem testu. Tabelę możemy aktywować, by zobaczyć
przegląd modelu.
Ćwiczenie 14. Pacjentów pewnego ośrodka poddano diecie. Dane dotyczące wagi
pacjentów w czasie trwania kuracji znajdują się w pliku dietstudy.sav.
Wykonując test średnich dla zmiennych zależnych oraz test Wilcoxona przy
poziomie istotności 0,05 sprawdź, czy dieta miała wpływ na wagę pacjentów,
porónując wagę pacjentów sprzed kuracji i po kuracji.
Ćwczenie 15. Dziewięciu pacjentów ze zdiagnozowaną depresją poddano terapii
lekiem uspokajającym T. Dane w pliku depresja.sav dotyczą wartości tzw.
czynnika Hamiltona u pacjentów i zostały zmierzone po pierwszej oraz po drugiej
wizycie u lekarza. Polepszeniu stanu pacjenta odpowiada obniżenie wartości
czynnika Hamiltona. Stosując test znakowanych rang Wilcoxona, na poziomie
istotności 0,049 przetestuj hipotezę, że efekt terapii jest zerowy, przeciwko
hipotezie, że lek T przynosi pozytywne efekty. Wyznacz p-wartość zbudowanego
testu.
Ćwiczenie 16. W celu zbadania, czy płace w sektorze publicznym są współmierne
do płac w sektorze prywatnym, wybrani pracownicy z obu grup zostali połączeni w
pary (na podstawie typu pracy, wykształcenia, lat doswiadczenia itp.). W pliku
sektory.sav podane zostały wysokości zarobków rocznych (w dolarach) dla 12
utworzonych w ten sposób par. Za pomocą testu znakowanych rang Wilcoxona
przetestuj hipotezę, że nie ma różnic między zarobkami w obu sektorach,
przeciwko hipotezie, że pracownicy sektora prywatnego zarabiają więcej niż
odpowiadający im pracownicy w sektorze publicznym. Wyznacz p-wartość
zbudowanego testu.