Testowanie hipotez
Marcin Zajenkowski
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25
Testowanie hipotez
Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy
istotności.
Mówią one o tym czy uzyskane wyniki są rzeczywiste czy wynikają z
błędu pomiaru.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 2 / 25
Przykłady zastosowań
Porównanie średniej ocen pewnego ucznia ze średnią w całej klasie.
Porównanie skuteczności dwóch metod psychoterapii.
Sprawdzenie różnic między rozwiązywaniem zadania w warunkach
stresujÄ…cych i relaksujÄ…cych.
Badanie różnicy między kobietami a męz
czyznami w nasileniu
depresyjności.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 3 / 25
Hipoteza zerowa
To twierdzenie o braku różnic.
Np. uzyskujemy średnie z dwóch grup osób badanych. Hipoteza
zerowa:
H0 : µ1 - µ2 = 0
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 4 / 25
Test istotności
Jest testem hipotezy zerowej. Pokazuje jakie jest prawdopodobieństwo, że
otrzymane różnice są wynikiem błędu.
Kolejne kroki wnioskowania statystycznego:
Zakładamy hipotezę zerową
Badamy dane empiryczne
Szacujemy jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania różnicy równej
lub większej niż otrzymana przy losowym pobieraniu prób z populacji
przy założeniu prawdziwości H0.
Przy małym  odrzucamy H0. Mówimy że wynik jest istotny.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 5 / 25
Hipoteza alternatywna
Po odrzuceniu H0, możemy przyjąć hipotezę alternatywną:
H1 : µ1 - µ2 = 0

Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 6 / 25
Dwa rodzaje błędu
Błąd I rodzaju (ą)  przyjęcie H1 gdy H0 jest prawdziwa.
BÅ‚Ä…d II rodzaju (²)  przyjÄ™cie H0 gdy H1 jest prawdziwe.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 7 / 25
Poziomy istotności
Najczęściej przyjmowane: 0,05 i 0,01.
Np. poziom 0,05 oznacza to że istnieje 5% szans na to że przyjęcie
hipotezy alternatywnej jest wynikiem błędu.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 8 / 25
Testy bezkierunkowe
Aby przyjąć/odrzucić hipotezę zerową na poziomie istotności 0,05, musimy
sprawdzić  czy dany wynik nie leży, jeśli jest to rozkład normalny  w
przedziale +/- 1,96 odchylenia standardowego.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 9 / 25
Testy istotności dla jednej średniej
W celu określenia czy średnia z próby różni się od średniej z populacji.
Jest to porównanie jakiegoś wyniku (np. średniej ocen ze statystyki w
pewnej grupie) ze średnią z populacji (np. ze średnią ocen ze
statystyki wszystkich studentów I roku).
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 10 / 25
Testy istotności dla jednej średniej
1 Jeżeli znamy średnią i odchylenie standardowe w populacji, możemy
odnieść się do rozkładu normalnego i zastosować wzór:.
X -µ
z =
ÃX
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 11 / 25
Przykład 1
W klasie 25 osobowej średni IQ=110 a s=14. Czy różni się od IQ w
populacji (średnia 100, s = 15)?
z = 110  100/3 = 3,33
Wartość z leży poza granicami 1,96 i 2,58. Zatem różnica jest istotna
statystycznie.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 12 / 25
Testy istotności dla jednej średniej
2 Gdy znamy tylko średnią w populacji, a nie znamy odchylenia, to
wówczas odnosimy się do rozkładu t
X -µ
t =
sX
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 13 / 25
Przykład 2
W klasie 25 osobowej średni IQ=110 a s=14. Czy różni się od IQ w
populacji (średnia = 100)?
Szacujemy błąd standardowy = 2,80
t = (110  100)/2,80 = 3,57
Wartość t przy df =24, wynosi 2,064 (dla 0,05) i 2,797 (dla 0,01).
Różnica jest istotna.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 14 / 25
Test kierunkowy
Wykorzystujemy tylko połowę rozkładu.
Np. w rozkładzie normalnym 5 % obszaru znajduje się powyżej z =
1,64.
1% obszaru znajduje się powyżej z = 2,33
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 15 / 25
Przykład 3
Przypuszczamy że w badanej klasie (zob. przykład 1) dzieci są
inteligentniejsze niże inne dzieci.
Porównujemy uzyskany wynik z z odpowiednimi wartościami dla 5%
obszaru po prawej stronie rozkładu.
Test jest również istotny.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 16 / 25
Zadanie
W próbie 16 studentów, średni wynik na egzaminie wynosił 15, a s = 3.
Czy wynik ten różni się od średniej wśród wszystkich studentów równej
18? Zastosuj test kierunkowy dla 5% poziomu istotności.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 17 / 25
Dwie próby niezależne
Porównujemy dwie grupy różnych osób, np.:
Kobiety i męz
czyzn pod względem IQ
Osoby chore na Alzheimera i zdrowe pod względem pamięci.
Studentów psychologii i matematyki pod względem nasilenia empatii.
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 18 / 25
Założenia
Jednorodności (homogeniczności) wariancji
Normalności rozkładów w grupach
Niezależności prób
Równoliczności grup
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 19 / 25
Dwie próby niezależne
Jeżeli założenie o równości jest uzasadnione to stosuje się wzór na
wspólną wariancję:
N1 N2

i=1(X - X )2+i=1(X - X )2
1 2
s2 =
N1 + N2 - 2
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 20 / 25
Dwie próby niezależne
Następnie oblicza się wspólny błąd standardowy:

s2 s2
sX -X = +
1 2 N1 N2
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 21 / 25
Dwie próby niezależne
Następnie oblicza się wartość testu t:
X -X
1 2
t =
sX 1-X 2
Liczba stopni swobody: N1 + N2 - 2
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 22 / 25
Zadanie 1
Sprawdz
czy dwie grupy kurczaków A i B różnią się między sobą żółtością
piór (ocenianą na skali 30 punktowej przez ekspertów):
A: 16, 9, 4, 23, 19, 10, 5, 2
B: 20, 5, 1, 16, 2, 4
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 23 / 25
Zadanie 2
Czy dwie grupy szczurów różnią się w liczbie popełnianych błędów w
labiryncie:
A: 2, 5, 7, 9, 6, 7
B: 4, 16, 11, 9, 8
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 24 / 25
Zadanie 3
Zastosuj test kierunkowy dla dwóch grup wyników:
A: 1, 6, 9, 6, 8
B: 7, 9, 12, 15, 8, 10, 9
Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 25 / 25