Estymacja przedziałowa
Średnia arytmetyczna i wariancja z próby są tzw. estymatorami
punktowymi, bowiem oceniają nieznany parametr poprzez konkretną wartość
liczbową. Obok estymatorów punktowych w statystyce wprowadza się tak\
e
tzw. estymatory przedziałowe.
Przedziałem ufności nazywamy losowy, uzyskany na podstawie próby
przedział, w którym z przyjętym prawdopodobieństwem (ufnością) le\
y
nieznany parametr, czyli zachodzi następująca relacja
P(a < ¸ < b) = 1-Ä… .
Przedział ufności dla wartości oczekiwanej
Rozwa\
my przypadek populacji, w której badana cecha ma rozkład
normalny z wartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… µ i wariancjÄ… Ã2. Z populacji tej pobieramy n
-elementową próbę i na jej podstawie wyznaczamy oszacowania nieznanych
parametrów.
Przedział ufności, dla wartości oczekiwanej przy ustalonym
współczynniku ufności przyjmuje postać
ëÅ‚ s s öÅ‚
P x - tÄ… ,n-1 < µ < x + tÄ… ,n-1 = 1-Ä…,
ìÅ‚ ÷Å‚
n n
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie tą ,n-1 jest wartością z tablic t-Studenta dla n-1 stopni swobody, spełniającą
warunek P(t < tą ,n-1)= 1-ą , wielkość 1-a nazywamy współczynnikiem
ufności.
Uwaga 1 : jeśli próba jest próba du\
ą (n>30), to w miejsce wartości tą ,n-1
podstawiamy wartość ua z tablic rozkładu normalnego.
Uwaga 2: jeśli wariancja populacji jest znana, to w miejscu wartości krytycznej
dla rozkładu t podstawiamy ua a oszacowanie wariancji czyli s zastępujemy
przez Ã.
Przykład 1
Obserwowano średnią temperaturę kwietnia w latach 1988  2000. Uzyskano
dane:
15,3 15,7 13,3 18,5 16,6 14,9 15,1 14,3 15,0 13,8 13,7 13,9 17,6.
Zbudować 95% przedział ufności dla wartości oczekiwanej.
n = 13, 1-a = 0.95
(14.26; 16.15)
Przedział ufności dla wariancji
Przypadek I
Jeśli próba jest mała (n<30), to przedział ufności dla wariancji wyznacza się ze
wzoru
ëÅ‚
(n -1)s2 2 (n -1)s2 öÅ‚
÷Å‚
PìÅ‚ < à < = 1-Ä…,
ìÅ‚
c2 c1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
gdzie c1 i c2 sÄ… wartoÅ›ciami z rozkÅ‚adu Çn-1 speÅ‚niajÄ…cymi nastÄ™pujÄ…ce
zale\
ności
1 1
2 2
P(Ç < c1)= Ä… oraz P(Ç e" c2)= Ä… .
2 2
Przykład 2
Zbudować 90% przedział ufności dla danych z przykładu 1.
( 0.89; 3.59 )
Przypadek II
Jeśli próba pobrana z populacji jest du\
a (ne"30), to w miejsce przedziału
ufności dla wariancji konstruuje się przedział ufności dla odchylenia
standardowego zgodnie ze wzorem
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
s s
ìÅ‚ ÷Å‚
P < Ã < = 1-Ä….
ìÅ‚1+ uÄ… uÄ… ÷Å‚
1-
ìÅ‚ ÷Å‚
2n 2n
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie uą jest wartością z tablic rozkładu normalnego spełniającą warunek
P(u < uÄ… )= 1-Ä… .
Przykład 3
Obserwowano średnią temperaturę kwietnia w latach 1961  2000. Okazało się,
\
e odchylenie standardowe badanej cechy obliczone na podstawie tych danych
jest równe 1.25. Zbudować 95% przedział ufności dla odchylenia
standardowego średniej temperatury kwietnia.
Przedział ufności dla wskaz
nika struktury
Wskaz
nik struktury określa częstość występowania badanego stanu w
populacji. Do oszacowania wskaz
nika struktury pobieramy próbę z populacji i
oznaczamy w niej liczbę elementów (osobników) posiadających daną cechę.
Jeśli w n-elementowej próbie takich osobników jest m, to oszacowaniem
wskaz
nika struktury jest
Ć
p = m / n.
Na tej podstawie szacuje siÄ™ wskaz
nik struktury według następującego wzoru
ëÅ‚ öÅ‚
m m m m
ëÅ‚1- öÅ‚ ëÅ‚1- öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
m m
PìÅ‚ - uÄ… n íÅ‚ n Å‚Å‚ < p < + uÄ… n íÅ‚ n Å‚Å‚ ÷Å‚ = 1-Ä… .
ìÅ‚ ÷Å‚
n n n n
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 4
W pewnej populacji badano liczbę osób palących. Wśród 400 zbadanych osób
80 było palących. Z dokładnością 99% chcemy oszacować metodą
przedziałową wskaz
nik osób palących w tej populacji.
W rozwa\
anym przykładzie mamy m = 80, n = 400 oraz u0.01 = 2.576 . Stąd
granice przedziału są równe:
0.2(1 - 0.2)
0.2 - 2.576* = 0.2 - 2.576* 0.02 = 0.2 - 0.052 = 0.148 ,
400
czyli nieznany procent osób palących z prawdopodobieństwem 0.99 mieści się
w przedziale ( 14.8; 25.2 ).