Teoria VI
Inżynieria Biomedyczna I rok, semestr letni 2009/2010
28/29 kwietnia 2010 r.
W biologii i medycynie wszystkie mierzone zjawiska są niepewne, tzn. każdy poje-
dynczy pomiar czy obserwacja, jest zależny zarówno od kontrolowanych czynników, jak
również wielu innych, na które nie mamy wpływu i których nie możemy zmierzyć. Dlatego
też żadna pojedyncza obserwacja zjawisk biologicznych nie jest miarodajna, zaś wszelkie
eksperymenty i pomiary muszą się odnosić do całej zbiorowości. Aby móc mówić o prak-
tycznym zastosowaniu wyników badań naukowych i obserwacji klinicznych, konieczne
jest statystyczne opracowanie otrzymanych wyników. Statystyka daje bowiem możliwość
precyzyjnego wnioskowania w oparciu o niepewne i obarczone błędami dane.
Statystyka - zmienna losowa będąca funkcją wyników próby.
1 Estymacja punktowa
Estymacja punktowa polega na szacowaniu nieznanego parametru zbiorowości poprzez
pewną wielkość, obliczoną na podstawie wyników z próby (tzw. estymator). Estymatory
muszą spełniać szereg wymagań, z których najważniejsze to:
1. Estymator efektywny, czyli o możliwie małym rozrzucie. Estymator będzie efek-
tywny, gdy różne próby dadzą możliwie zbliżone do siebie wartości oszacowania
nieznanego parametru zbiorowości.
2. Estymator nieobciążony - wartość oczekiwana estymatora jest równa wartości
nieznanego parametru populacji. Czyli estymator nieobciążony będzie szacował
nieznany parametr zbiorowości bez błędu systematycznego.
3. Estymator zgodny - ma tą własność, że większe liczebnie próby poprawiają do-
kładność szacunku.
Przykładowo wszystkie te wymagania spełnia nieobciążony estymator wariancji, dany
poniższym wzorem:
n
(xi - x)2
i=1
Ã2 = (1)
n - 1
Natomiast estymator odchylenia standardowego dany wzorem (2) będzie już estyma-
torem obciążonym:
n
(xi - x)2
i=1
à = (2)
n - 1
1
Przy obliczaniu wariancji użytecznym może się okazać stosowanie poniższego prze-
kształcenia matematycznego:
n
( xi)2
Ã2 = (xi - x)2 = x2 - = x2 - nx2 (3)
i i
n
i=1
2 Estymacja przedziałowa parametrów
2.1 Ogólny problem estymacji przedziałowej
Estymacja przedziałowa polega na szacowaniu nieznanego parametru populacji poprzez
budowanie przedziału, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem, pokrywałby nie-
znaną wartość parametru.
Przykładowo, gdybyśmy chcieli oszacować średnie ciśnienie skurczowe krwi u mężczyzn
w wieku 30-40 lat zatrudnionych w przemyśle na stanowiskach robotniczych, mo-
żemy wybrać losowo grupę 31 mężczyzn, spełniających podane warunki i prze-
prowadzić na nich badanie. Aby wyciągnąć więcej dodatkowych wniosków poza
te uzyskane z estymacji punktowej, możemy np. dokładność szacunku określić
w ten sposób: z dość dużym, bo wynoszącym 95% prawdopodobieństwem, prze-
dział 135 ą 6 mmHg pokrywa nieznaną wartość ciśnienia skurczowego w naszej
grupie pracowników przemysłu.
Poszukiwany w zadaniu przedział estymacji jest nazywany przedziałem ufności,
zaś prawdopodobieństwo, z którym ten przedział ma pokrywać nieznaną wartość para-
metru określany jest jako współczynnik (poziomu) ufności. Współczynnik ufności
podawany jest zwykle jako 1 - ą i przyjmuje najczęściej wartości 0.90, 0.95 i 0.99.
2.2 Estymacja przedziałowa średniej
Średnia x obliczona z próby jest zmienną losową - w każdej z prób wylosowanych z popu-
lacji x może przyjmować trochę inne wartości. Wartość oczekiwana tej zmiennej losowej
to nieznana Å›rednia µ populacji generalnej:
E(x) = µ (4)
Oznacza to, że wszystkie średnie z prób grupują się wokół rzeczywistej wartości śred-
niej z populacji. Ponieważ wariancja średniej z próby n - elementowej wyraża się wzorem:
Ã2
Ã2(x) = (5)
n
to wiadomo, że im większa liczebność próby, tym wartości średnich z prób będą się gru-
pować bliżej wartości średniej z populacji generalnej.
Jeżeli znamy rzeczywistÄ… wartość wariancji Ã2 w populacji generalnej, możemy wyko-
rzystać własności zmiennej losowej  średnia z próby n-elementowej do celów estymacji
przedziałowej. Możemy bowiem skorzystać z faktu, że zmienna losowa x ma rozkład
Ã2
normalny ze Å›redniÄ… µ i wariancjÄ… . A zatem zmienna u dana wzorem (6) ma standa-
n
ryzowany rozkład normalny.
x - µ
u = (6)
Ã
"
n
2
Niestety zazwyczaj Ã2 nie jest znane, dlatego też stosuje siÄ™ zmiennÄ… t okreÅ›lonÄ…
wzorem (7):
x - µ
t = (7)
s
"
n
gdzie s jest oszacowaniem odchylenia standardowego, obliczonym na podstawie próby.
Statystyka t, wyznaczona na podstawie n-elementowej próby, ma rozkład t-Studenta
o n - 1 stopniach swobody. Realizacje zmiennej losowej o rozkładzie t z n - 1 stopniami
swobody, będą, z prawdopodobieństwem 1-ą pojawiać się w przedziale (-ąt(n-1), t(n-1)).
Ä…
Wartości t(n-1) można odczytać z tablic statystycznych dla rozkładów t-Studenta.
Ä…
Rysunek 1: Rozkład t-Studenta o n - 1 stopniach swobody
Po krótkim przekształceniu matematycznym możemy wyznaczyć przedział ufności (8)
dla nieznanej średniej populacji (z założonym prawdopodobieństwem 1 - ą):
t(n-1) · s t(n-1) · s
Ä… Ä…
x - " < µ < x + " (8)
n n
Powyższy wzór jest słuszny dla populacji o rozkładzie normalnym i próby o niewiel-
kiej nawet liczebności. Jeżeli próba jest duża (n > 100), to przedział ufności możemy
wyznaczyć przy pomocy statystyki u (danej wzorem (6), ale z tÄ… różnicÄ…, że wartość Ã
musimy zastąpić oszacowaniem odchylenia standardowego s z próby). Wówczas przedział
ufności wyraża się następująco:
3
u · s u · s
Ä… Ä…
x - " < µ < x + " (9)
n n
Wartość u dla danego współczynnika ufności 1 - ą wyznacza się z tablic standary-
Ä…
zowanego rozkładu normalnego tak, aby spełniona była relacja:
P {-Ä…u < u <Ä… u} = 1 - Ä… (10)
Poniżej zestawione są w tabeli najczęściej używane wartości u.
Ä…
Tablica 1: Wartości krytyczne u rozkładu normalnego standaryzowanego
Ä…
1 - Ä… Ä… u
Ä…
0,9 0,1 1,646
0,95 0,05 1,960
0,975 0,025 2,241
0,99 0,01 2,576
0,999 0,001 3,291
2.3 Przedział ufności dla wariancji
Aby móc oszacować metodą przedziałową wariancję populacji, należy sprawdzić, czy są
podstawy do tego, aby uważać, że populacja ma rozkład normalny. Zgodnie z teorią,
estymatorem nieznanej wariancji Ã2 z populacji powinien być nieobciążony estymator
s2. Wartość oczekiwana takiego estymatora jest równa wartości nieznanego parametru
zbiorowości:
E(s2) = Ã2 (11)
natomiast wariancja s2 dla n-elementowych prób pobranych z populacji o rozkładzie
normalnym wynosi:
Ã2
Ã2(s2) = (12)
n - 1
Podczas badań statystyki s2 stwierdzono, że może być ona przedstawiona jako:
Ã2
s2 = · Ç2 (13)
(n-1)
n - 1
gdzie Ç2 jest zmiennÄ… losowÄ… o rozkÅ‚adzie Ç2 (chi-kwadrat), który również (jak to
(n-1)
miało miejsce w przypadku rozkładu t-Studenta) charakteryzuje się liczbą stopni swo-
body. Inaczej mówiÄ…c, rozkÅ‚ad Ç2 jest rozkÅ‚adem sumy kwadratów n - 1 standaryzowa-
nych niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.
Gdy dysponujemy małą, n-elementową próbą wylosowaną z populacji o rozkładzie
normalnym, możemy przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla wariancji Ã2 populacji generalnej okreÅ›lić jako:
(n - 1)s2 (n - 1)s2
P < Ã2 < = 1 - Ä… (14)
c2 c1
4
gdzie c1 i c2 sÄ… wartoÅ›ciami zmiennej Ç2 wyznaczonymi z tablic statystycznych
(n-1)
tak, aby spełnione były zależności:
Ä…
P (Ç2 < c1) =
(n-1)
2
Ä…
P (Ç2 e" c2) = (15)
(n-1)
2
Ponieważ tablice podajÄ… wartoÅ›ci krytyczne Ç2 speÅ‚niajÄ…ce zależność (por. rys. 2):
Ä…
(k)
P (Ç2 d" Ç2 ) = Ä…
Ä… (k)
to wartości c1 i c2 odczytujemy z tablic jako:
Ä…
c1 = Ç2
1- (n-1)
2
Ä…
c2 = Ç2
(n-1)
2
Rysunek 2: RozkÅ‚ad Ç2
Natomiast przy odpowiednio dużej próbie (n > 100) pobranej z populacji o rozkładzie
normalnym lub zbliżonym do normalnego, odchylenie standardowe z populacji możemy
w przybliżeniu oszacować na podstawie wzoru (16):
s s
P < Ã < 1 - Ä… (16)
Ä… Ä…
"u "u
1 + 1 -
n n
gdzie u jest wartością krytyczną normalnego rozkładu standaryzowanego.
Ä…
5