Estymatory.
Estymacja punktowa i przedziałowa.
" Zadaniem statystyki matematycznej jest uzyskanie informacji
o całej populacji na podstawie próby pochodzącej z tej populacji.
" Załó\
my, \
e wzrost dorosłych mę\
czyzn w populacji opisywany jest
przez rozkład normalny N( m =?,s2 = 52).
" m jest w tym przypadku nieznanym parametrem rozkładu normalnego.
" Inaczej mówiąc, m jest nieznanym parametrem populacji, w której
rozkład cechy jest opisywany przez powy\
szy rozkład.
" Zamierzamy oszacować ten nieznany parametr w oparciu
o informacje z próby losowej pobranej z populacji.
" Poniewa\
parametr m jest wartością średnią rozkładu normalnego, to
wydaje siÄ™ naturalne, \
e mo\
na oszacować (inaczej: estymować) ten
parametr za pomocą średniej z próby.
" Problem:
w ró\
nych próbach pobranych z populacji te średnie mogą być ró\
ne,
np.
próba nr 1: 178 178 178 174 176 179 175 174 176
próba nr 2: 172 175 176 172 172 175 177 183 171
próba nr 3: 177 180 170 172 177 179 174 180 175
.....................................................................................
średnia z próby nr 1: 176,4
średnia z próby nr 2: 174,8
średnia z próby nr 3: 176,0
" Takie wielkości, które mo\
na obliczyć na podstawie danych z próby,
nazywa siÄ™ statystykami.
" Średnia z próby jest przykładem statystyki.
" Inny przykład statystyki: wariancja z próby
n
2
"(x - x)
i
2
i=1
S =
n -1
próba nr 1: 178 178 178 174 176 179 175 174 176
próba nr 2: 172 175 176 172 172 175 177 183 171
próba nr 3: 177 180 170 172 177 179 174 180 175
.....................................................................................
wariancja z próby nr 1: 3,53
wariancja z próby nr 2: 13,94
wariancja z próby nr 3: 12,50
" Wartość danej statystyki zale\
y od danych w próbie i dla ró\
nych
prób przyjmuje ró\
ne wartości.
" Statystyka jest zatem zmienną losową i ma swój rozkład
prawdopodobieństwa.
" Przykładowo, znany jest rozkład prawdopodobieństwa średniej
z próby:
Jeśli próby rozmiaru n pochodzą z rozkładu normalnego
N(m, s2),
to średnie z prób mają rozkład normalny z wartością średnią m
oraz wariancjÄ… s2/n.
" Średnią z próby oznaczamy przez
X
" Nale\
y wyraz
nie rozró\
nić średnią z próby, która jest zmienną losową
od wartości tej zmiennej losowej w konkretnej próbie (ta wartość jest
konkretnÄ… liczbÄ…).
" Dla rozró\
nienia, zmienne losowe sÄ… oznaczane du\
ymi literami, zaÅ›
ich wartości (liczby) małymi literami.
" Taką statystykę, która słu\
y do oszacowania danego parametru,
nazywa siÄ™ estymatorem tego parametru.
" Średnia z próby jest estymatorem parametru m (wartości średniej
rozkładu normalnego)
" Proces szacowania nieznanej wartości parametru populacji na
podstawie próby nazywa się estymacją.
" Rozró\
nia siÄ™ dwa rodzaje estymacji:
estymację punktową i przedziałową.
" Wynikiem estymacji punktowej danego parametru jest konkretna
liczba, która stanowi oszacowanie tego parametru.
" Przykładowo, gdyby była wylosowana
próba nr 1: 178 178 178 174 176 179 175 174 176
to jako punktowe oszacowanie parametru m przyjęto by średnią
z próby, w tym przypadku wynosi 176,4 cm.
" Średnia z próby jest estymatorem punktowym parametru m.
" Oznacza to, \
e na podstawie wartości w konkretnej próbie
wyznaczamy wartość tego estymatora i wartość ta jest pojedynczą
liczbÄ….
" Wynikiem estymacji przedziałowej jest przedział liczbowy
nazywany przedziałem ufności.
" Istnieją wzory, które pozwalają wyznaczyć przedział ufności dla
danego parametru.
" Przykładowo, gdyby była wylosowana
próba nr 1: 178 178 178 174 176 179 175 174 176
to jako przedziałowe oszacowanie parametru m na poziomie ufności
95% przyjęto by przedział [173,1 cm; 179,7 cm]
próba nr 2: 172 175 176 172 172 175 177 183 171
to jako przedziałowe oszacowanie parametru m na poziomie ufności
95% przyjęto by przedział [171,5 cm; 178,1 cm]
Problem związany z estymacją punktową i przedziałową:
" oszacowanie nieznanego parametru ustala siÄ™ w oparciu o dane
z konkretnej próby
" w innej próbie to oszacowanie przyjęłoby zapewne inną wartość
" występuje zatem rozrzut oszacowań, które mo\
na by uzyskać
w oparciu o ró\
ne próby.
Jakie mo\
na mieć wobec tego zaufanie do oszacowania, które
uzyskaliśmy w oparciu o konkretną wylosowaną próbę?
" W przypadku estymacji punktowej problem ten częściowo rozwiązuje
się podając tzw. błąd standardowy estymatora (lub oszacowanie tego
błędu uzyskane na podstawie próby).
" BÅ‚Ä…d standardowy estymatora to odchylenie standardowe tego
estymatora.
" W analizowanym przykładzie estymatorem parametru mi była średnia
z próby. Wiadomo, jaki jest rozkład prawdopodobieństwa tego
estymatora:
Jeśli próby rozmiaru n pochodzą z rozkładu normalnego N(m, s2),
to średnie z prób mają rozkład normalny z wartością średnią m
oraz wariancjÄ… s2/n.
Ã
" Odchylenie standardowe średniej z próby jest wobec tego równe
n
Ã
" Błąd standardowy średniej z próby jest równy
n
" W analizowanym przykładzie mamy zało\
enie, \
e próba pochodzi
z rozkładu N( m =?,s2 = 52)
" Wobec tego błąd standardowy jest równy około 1,67 cm.
" W przypadku estymacji przedziałowej, precyzję estymacji określa
długość przedziału ufności.
" Jako maksymalny błąd szacunku przy estymacji przedziałowej
przyjmuje się połowę długości przedziału ufności.
" Niech a będzie pewną liczbą z przedziału (0, 1).
(1 a)·100% przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla nieznanego parametru populacji to
przedział liczbowy [a, b], który spełnia następujące warunki
1. Końce a, b tego przedziału przyjmują wartości zale\
ne od tego, co
obserwowano w próbie.
2. Z prawdopodobieństwem równym (1 a) przedział ten pokrywa prawdziwą
wartość poszukiwanego parametru populacji.
" Współczynnik (1 a) nazywa się poziomem ufności.
" Na ogół przyjmuje się, \
e 1 a = 0,95 (co odpowiada 95% przedziałowi
ufności) lub 1 a = 0,99 (co odpowiada 99% przedziałowi ufności).
" Mówiąc inaczej, przedział ufności dla danego parametru populacji
to przedział o końcach zale\
nych od próby i taki, który z zadanym
z góry du\
ym prawdopodobieństwem pokrywa prawdziwą nieznaną
wartość parametru populacji.
| |
| |
| |
| |
| |
Przedziały ufności
| |
| |
uzyskane dla ró\
nych
| |
prób tego samego
| |
| | rozmiaru:
| |
| |
(1 a)·100% z tych
| |
przedziałów pokrywa
| |
| |
prawdziwą wartość
| |
nieznanego parametru.
| |
| |
| |
| |
prawdziwa wartość parametru
" Jakość estymacji zale\
y od narzędzia, przy pomocy którego
dokonujemy estymacji. Tym narzędziem jest estymator danego
parametru.
" W analizowanym przykładzie estymatorem parametru m jest średnia
z próby, ale mo\
na wyobrazić sobie inny estymator parametru m, np.
medianę z próby.
Uzasadnienie: z zało\
enia próba pochodzi z rozkładu normalnego.
Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym, a dla rozkładów
symetrycznych zachodzi, \
e średnia arytmetyczna = mediana.
" Powstaje zatem kwestia wyboru najlepszego mo\
liwego estymatora dla
danego parametru.
" Jakie kryteria stosować do oceny estymatorów?
Estymator obciÄ…\
ony, o małej wariancji
Estymator nieobciÄ…\
ony, o małej wariancji
Estymator nieobciÄ…\
ony, o du\
ej wariancji
Estymator obciÄ…\
ony, o du\
ej wariancji