ESTYMACJA PUNKTOWA
Optymalność
Własności
Estymator Tn E(Tn) D2(Tn) w sensie Uwagi
Parametr ¸
estymatora
metody
2 1) nieobciążony
n Ã
MM,
1
2) zgodny
µ
x = MNK,
"xi
n
3) najbardziej
n
i=1 MNW
wartość
efektywny*
średnia
µ
2
1
Ä„ Ã metoda zbiorowość generalna
mediana z próby µ + OëÅ‚ öÅ‚ 1) zgodny
ìÅ‚ ÷Å‚ Å"
kwantyli normalna, duża próba
n
íÅ‚ Å‚Å‚ 2 n
częstość względna z
1) nieobciążony
próby
wskaz
nik p(1- p)
p 2) zgodny MNW m-liczba obserwacji
struktury p m
n
Ć
p = 3) najbardziej wyróżnionych w próbie
n
efektywny
2
1) nieobciążony
S* =
4
·4 -Ã
2) zgodny MNW
2
n
1 Ã
3) najbardziej (zał: X:N)
= xi - µ )2
"( n
n efektywny *
i=1
4
·4 -Ã
S2 = +
wariancja
n MM,
2
n n -1
2
à 1
à 1) zgodny MNW
= xi - x )2
"( ·4 - czwarty moment
n
(zał: X:N)
n
i=1 1
centralny
+ oëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
4
·4 -Ã
\
2 =
+
n
n
1
1) nieobciążony
2
=
____
"( xi - x )2
Ã
2) zgodny
n -1
i=1
1
+ oëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
4
·4 -Ã
+
2
odchylenie 4Ã n jak dla
1
standardowe à + OëÅ‚ öÅ‚ 1) zgodny estymatorów
ìÅ‚ ÷Å‚
S* S , \

n
à íÅ‚ Å‚Å‚
wariancji
1
+ oëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
współcz. 2
(1 - Á )2
r MM, wzór na wariancję
1
korelacji
(współ. korel. Á + OëÅ‚ öÅ‚
1) zgodny MNW ważny dla bardzo
ìÅ‚ ÷Å‚
liniowej n - 1
n
íÅ‚ Å‚Å‚
liniowej Pearsona) (zał: X:N) dużych n
Á
* Najwyższą efektywność ustalono przy założeniu normalnego rozkładu w populacji generalnej
MM  metoda momentów, MNK  metoda najmniejszych kwadratów, MNW  metoda największej wiarygodności
y
ródło: Pawłowski Z. (1966). Wstęp do statystyki matematycznej. PWN, Warszawa, s.298-299
Pawłowski Z. (1980). Statystyka matematyczna. PWN, Warszawa, s.102-106
3
Błąd średniokwadratowy estymatora
MSE(Tn)=D2(Tn)+[B(Tn)]2
MSE(Tn)=E(Tn-¸ )2  bÅ‚Ä…d Å›redniokwadratowy estymatora (ang. Mean Square Error)
MSE(Tn ) jest miarą dokładności estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się
od rzeczywistej wartości parametru.
Czym mniejszy MSE (pierwiastek z MSE) tym większa dokładność.
D2(Tn)= E(Tn- E(Tn))2  wariancja estymatora ( D(Tn ) = D2(Tn ) - średni błąd szacunku estymatora)
D(Tn ) jest miarą precyzji estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się od
wartości oczekiwanej estymatora.
Czym mniejsza wariancja (średni błąd szacunku) tym większa precyzja.
B(Tn)=E(Tn)-¸ - obciążenie estymatora
Gdy obciążenie estymatora wynosi zero to estymator jest nieobciążony czyli oszacowania nie są obciążone
błędem systematycznym. Gdy natomiast obciążenie jest różne od zera to estymator jest obciążony, czyli
oszacowania są obciążone błędem systematycznym.
Uwaga:
Jeśli estymator Tn jest nieobciążony (czyli gdy E(Tn)=Ą) wówczas MSE(Tn)=D2(Tn) i przy interpretacji błędu
szacunku D(Tn ) można skorzystać z interpretacji pierwiastka błędu średniokwadratowego MSE(Tn )
Własności estymatorów
Estymator nazywa siÄ™ nieobciążonym, jeÅ›li E(Tn)=¸ (czyli B(Tn)=0)
Estymator nazywa się asymptotycznie nieobciążonym, jeśli lim B(Tn ) = 0
n"
Estymator nazywa siÄ™ zgodnym, jeÅ›li lim P{Tn -¸ < µ}= 1przy każdej dowolnie maÅ‚ej dodatniej wartoÅ›ci µ .
n"
Tw. Jeśli lim D2 (Tn ) = 0 i estymator jest nieobciążony lub asymptotycznie nieobciążony to estymator jest
n"
zgodny
*
Nieobciążony estymator Tn nazywamy efektywnym jeśli ma najmniejszą wariancję ze wszystkich
estymatorów należących do klasy estymatorów nieobciążonych.
*
Wskaz
nik efektywności estymatora Tn (gdzie Tn jest estymatorem efektywnym):
*
D2(Tn ); e(Tn )"< 0,1 >
e(Tn )=
D2 (Tn )
4