STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA
POMIARÓW I
B. Kamys
ZFJ IFUJ
2005/06
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 1 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa
DEFINICJA: Zbiór zdarzeń elementarnych - zbiór takich zdarzeń, które
si¸ wzajemnie wykluczaj¸ oraz wyczerpuj¸ wszystkie
e a a
możliwości (tzn. w każdym możliwym przypadku
przynajmniej jedno z nich musi zachodzić).
DEFINICJA: Zdarzeniem jest dowolny podzbiór zdarzeń elementarnych
E.
DEFINICJA: Zdarzeniem pewnym jest zdarzenie zawieraj¸ wszystkie
ace
elementy zbioru E (zachodzi zawsze).
DEFINICJA: Zdarzeniem niemożliwym jest zdarzenie nie zawieraj¸
ace
żadnego elementu zbioru E tj. zbiór pusty Ø.
DEFINICJA: Zdarzenie A zawiera si¸ w zdarzeniu B jeżeli każde
e
zdarzenie elementarne należ¸ do zbioru A należy do B:
ace
A ‚" B
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 2 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa
DEFINICJA: Zdarzenia A i B s¸ równe
a
gdy A ‚" B i B ‚" A.
DEFINICJA: Suma zdarzeń A + B
to zdarzenie zawieraj¸ te i tylko te zdarzenia elementarne,
ace
które należ¸ do któregokolwiek ze zdarzeÅ„ A, B (suma
a

logiczna zbiorów zdarzeń elementarnych A B).
DEFINICJA: Różnica zdarzeń A - B
to zdarzenie zawieraj¸ te i tylko te zdarzenia elementarne,
ace
które należ¸ do zdarzenia A a nie należ¸ do zdarzenia B.
a a
DEFINICJA: Iloczyn zdarzeÅ„ A · B to zdarzenie zawieraj¸ te i tylko te
ace
zdarzenia elementarne, które należ¸ do wszystkich zdarzeÅ„
a

A, B (tzn. w j¸ zbiorów A B).
ezyku
DEFINICJA: Zdarzeniem przeciwnym do A: A nazywamy różnic¸
e
E - A .
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 3 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa
INTUICYJNE OKREŚLENIE: Zdarzenie losowe to takie, o którym
zwykle nie możemy powiedzieć czy zajdzie w danych
warunkach czy też nie zajdzie.
DEFINICJA: Zdarzeniem losowym - nazywamy zdarzenie spe lniaj¸
ace
poniższe warunki:
1 W zbiorze zdarzeÅ„ losowych znajduje si¸ zdarzenie
e
pewne oraz zdarzenie niemożliwe.
2 Jeżeli zdarzenia A1, A2, ... w ilości skończonej lub
przeliczalnej s¸ zdarzeniami losowymi to ich iloczyn i
a
ich suma s¸ również zdarzeniami losowymi.
a
3 Jeżeli A1 i A2 s¸ zdarzeniami losowymi to ich różnica
a
jest również zdarzeniem losowym.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 4 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa
DEFINICJA: Zmienn¸ losow¸ nazywamy jednoznaczn¸ funkcj¸
a a a e
rzeczywist¸ X(e) okreÅ›lon¸ na zbiorze E zdarzeÅ„
a a
elementarnych tak¸ że każdemu przedzia lowi wartoÅ›ci
a,
funkcji X odpowiada zdarzenie losowe.
DEFINICJA: Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego) to taka,
która przyjmuje tylko co najwyżej przeliczalny zbiór wartości.
DEFINICJA: Zmienna losowa typu ci¸ lego - może przyjmować dowolne
ag
wartości od minus do plus nieskończoności.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 5 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa
DEFINICJA: Definicja prawdopodobieństwa
Aksjomat 1: Każdemu zdarzeniu losowemu przyporz¸
adkowana jest
jednoznacznie nieujemna liczba rzeczywista zwana
prawdopodobieństwem.
Aksjomat 2: Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności.
Aksjomat 3: Jeżeli zdarzenie losowe Z jest sum¸ skoÅ„czonej lub
a
przeliczalnej liczby roz acznych zdarzeń losowych Z1,Z2,..
l¸
to prawdopodobieÅ„stwo zrealizowania si¸ zdarzenia Z jest
e
równe sumie prawdopodobieństw zdarzeń Z1,Z2, ..
Aksjomat 4: Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod
warunkiem, że zachodzi zdarzenie B; P(A | B) wyraża si¸
e
wzorem:
P(A·B)
P(A | B) =
P(B)
Prawdopodobieństwo to jest nieokreślone, gdy
prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi zero.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 6 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa W prawdopodobieństwa
lasności
Zdarzenie przeciwne do A :
P(A) = 1 - P(A)
Dowód:
A + A = E a wi¸ P(A + A) = P(E) = 1,
ec
z drugiej strony A i A wykluczaj¸ si¸ wi¸
a e ec
P(A + A) = P(A) + P(A).
St¸ P(A) = P(E) - P(A) czyli P(A) = 1 - P(A) c.b.d.o.
ad
Zdarzenie niemożliwe :
P(Ø) = 0
Dowód:
E i Ø wykluczaj¸ si¸ wi¸ P(E + Ø) = P(E) + P(Ø) oraz
a e ec
E + Ø = E a wi¸ P(E + Ø) = P(E), czyli P(Ø) = 0
ec
c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 7 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa W prawdopodobieństwa
lasności
Zdarzenie A zawiera si¸ w B :
e
P(A) d" P(B)
Dowód: P(B) = P(A + (A · B)) = P(A) + P(A · B) e" P(A)
c.b.d.o.
Dowolne zdarzenie losowe :
0 d" P(A) d" 1
Dowód: Dla każdego zdarzenia jest prawdziwe:
Ø ‚" A + Ø = A = A · E ‚" E
a wi¸ prawdopodobieÅ„stwa zdarzeÅ„ Ø, A i E spe lniaj¸
ec a:
0 d" P(A) d" 1
c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 8 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa W prawdopodobieństwa
lasności
Suma dowolnych zdarzeń A + B :
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A · B)
Dowód:
Zarówno A + B jak i B możemy zapisać jako sumy roz lacznych
¸
(wykluczaj¸ si¸ zdarzeÅ„:
acych e)
A + B = A + (B - A · B) oraz
B = A · B + (B - A · B),
stosujemy aksjomat nr 3 definicji prawdopodobieństwa,
P(A + B) = P(A) + P(B - A · B),
P(B) = P(A · B) + P(B - A · B)
odejmujemy stronami: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A · B)
c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 9 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa W prawdopodobieństwa
lasności
Iloczyn zdarzeÅ„ A · B :
P(A · B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)
Dowód:
Wynika to automatycznie z 4 aksjomatu definicji
prawdopodobieństwa.
DEFINICJA: Zdarzenie A jest niezależne od B gdy P(A | B) = P(A).
TWIERDZENIE: Jeżeli A nie zależy od B to B nie zależy od A.
Dowód:
Korzystamy z dwu wzorów na prawdopodobieÅ„stwo A · B
podanych wyżej, przy czym w pierwszym z nich uwzgl¸ że
edniamy,
A jest niezależne od B. Wówczas z porównania obu wzorów
dostajemy P(B | A) = P(B).
c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 10 / 74
Podstawy teorii prawdopodobieństwa W prawdopodobieństwa
lasności
WKW niezależnoÅ›ci: P(A · B) = P(A) · P(B)
Dowód:
Wynika to automatycznie ze wzoru na prawdopodobieństwo
iloczynu zdarzeń.
c.b.d.o
Formu la ca lkowitego prawdopodobieństwa: Jeżeli istnieje zbiór zdarzeń
A1, A2, ... wykluczaj¸ si¸ wzajemnie i wyczerpuj¸
acych e acych
wszystkie możliwości wówczas prawdopodobieństwo
dowolnego zdarzenia B może być zapisane nast¸ aco:
epuj¸

P(B) = P(Ai) · P(B | Ai)
i
Dowód:

B = B · Ai (suma roz lacznych zdarzeÅ„) a wi¸
¸ ec
i

P(B) = P(B · Ai) a każdy sk ladnik można zapisać jako
i
P(Ai) · P(B | Ai). c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 11 / 74
Ilościowy opis zmiennych losowych
IloÅ›ciowy opis zmiennych losowych uzyskujemy stosuj¸
ac
" Dystrybuant¸ (Zwan¸ cz¸ przez statystyków funkcj¸ rozk
e a esto a ladu)
" Rozk prawdopodobieństwa (Tylko dla zmiennych dyskretnych)
lad
" Funkcj¸ g¸ prawdopodobieÅ„stwa (Tylko dla zmiennych
e estości
ci¸ oraz wielkoÅ›ci charakteryzuj¸ te powyżej wymienione
ag lych) ace
twory.
DEFINICJA: Dystrybuant¸ F(x) nazywamy prawdopodobieÅ„stwo tego,
a
że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejsz¸ od x.
a
(X - to symbol zmiennej losowej a x to jej konkretna
wartość). OczywiÅ›cie dystrybuanta jest funkcj¸ x.
a
F(x) a" P(X < x)
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 12 / 74
Ilościowy opis zmiennych losowych
W lasności dystrybuanty:
1 0 d" F(x) d" 1
2 F(-") = 0
3 F(+") = 1
4 F(x) jest niemalej¸ a funkcj¸
ac¸ a
5 F(x) nie posiada wymiaru
Przyk lad: Dla rzutu kostk¸ do gry, gdzie jako zmienn¸ losow¸ przyj¸
a a a eto
liczb¸ wyrzuconych punktów:
e
F(x) = 0 dla x d" 1,
= 1/6 dla 1 < x d" 2,
= 2/6 dla 2 < x d" 3,
= 3/6 dla 3 < x d" 4,
= 4/6 dla 4 < x d" 5,
= 5/6 dla 5 < x d" 6,
= 1 dla x > 6
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 13 / 74
Ilościowy opis zmiennych losowych
DEFINICJA: Rozk prawdopodobieÅ„stwa : Jeżeli xi (i = 1, 2, ...) s¸
lad a
wartościami dyskretnej zmiennej losowej to rozk ladem
prawdopodobieństwa nazywamy zespó l prawdopodobieństw:
P(X = xi) = pi

pi = 1
i
Przyk lad: Rozk lad prawdopodobieÅ„stwa dla rzutu kostk¸ do gry
a
omawianego powyżej: pi = 1/6 dla i = 1, 2..6.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 14 / 74
Ilościowy opis zmiennych losowych
DEFINICJA: Funkcja g¸ prawdopodobieÅ„stwa f(x):
estości
f(x)dx a" P(x d" X d" x + dx)
W lasnoÅ›ci funkcji g¸ prawdopodobieÅ„stwa:
estości
1 f(x) e" 0,
2 f(x) jest unormowana

+"
tj. f(x)dx = 1
-"
dF(x)
3 f(x) =
dx
4 wymiar f(x) = wymiar(1/x)
Przyk lad: Rozk lad jednostajny na odcinku [a, b]:
Å„Å‚
0 dla x < a
òÅ‚
f(x) = 1/(b - a) dla a d" x d" b
ół
0 dla x > b
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 15 / 74
Funkcje zmiennej losowej
Funkcja Y zmiennej losowej X:
Y = Y(X)
jest również zmienn¸ losow¸ Dlatego też można dla niej
a a.
okreÅ›lić dystrybuant¸ rozk lad prawdopodobieÅ„stwa lub
e,
funkcj¸ g¸ prawdopodobieÅ„stwa. S¸ one prosto
e estości a
zwi¸ z odpowiednimi wielkoÅ›ciami dla zmiennej X.
azane
Należy rozpatrzyć niezależnie przypadek, gdy funkcja Y(X)
jest monotoniczna oraz gdy nie posiada tej w lasnosci. W
pierwszym wypadku można jednoznacznie okreÅ›lić funkcj¸
e
odwrotn¸ X = X(Y) a w drugim ca ly przedzia l wartoÅ›ci X
a
trzeba podzielić na roz l¸ podprzedzia ly, w których
aczne
funkcja b¸ monotoniczna a wyniki dodać
edzie
(prawdopodobieÅ„stwa roz l¸ zdarzeÅ„ sumuj¸ si¸
acznych a e).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 16 / 74
Funkcje zmiennej losowej
Dla monotonicznej funkcji Y = Y(X):
Dystrybuanta G(y) rosn¸ funkcji Y(X) wynosi:
acej
G(y) = F (x(y))
Dowód: Wychodz¸ z definicji dla Y(X) rosn¸
ac acej:
G(y) = P(Y < y)
= P (X(Y) < x)
= F (x(y))
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 17 / 74
Funkcje zmiennej losowej
Dla monotonicznej funkcji Y = Y(X):
Dystrybuanta G(y) malej¸ funkcji Y(X) wynosi:
acej
G(y) = 1 - F (x(y)) - P (x; y = y(x))
Dowód: Wychodz¸ z definicji dystrybuanty
ac
G(y) = P(Y < y)
= P (X(Y) > x)
= 1 - P (X(Y) d" x)
= 1 - P (X(Y) < x) - P (X(Y) = x)
= 1 - F (x(y)) - P (x; Y = y(x)) c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 18 / 74
Funkcje zmiennej losowej
Rozk lad prawdopodobieństwa P(y): P(yi) = P(xi; yi = Y(xi)) bo dla
funkcji monotonicznej wartoÅ›ci xi s¸ jednoznacznie zwi¸
a azane
z wartosciami yi.
dx(y)
Funkcja g¸ prawdopodobieÅ„stwa g(y): g(y) = f(x(y)) | |
estości
dy
gdzie X(Y) jest funkcj¸ odwrotn¸ do Y(X). Z definicji:
a a
f(x)dx = P(x d" X < x + dx) a to prawdopodobieństwo
przy jednoznacznym zwi¸ mi¸ X i Y wynosi
azku edzy
P(y d" Y < y + dy) = g(y)dy.
Iloraz nieskończenie ma lych przyrostów dy/dx równy jest
pochodnej z dok ladnoÅ›ci¸ do znaku. A wi¸ modu l przy
a ec
pochodnej pojawia si¸ st¸ że przy malej¸ funkcji Y(X)
e ad, acej
pochodna b¸ ujemna a iloraz nieskoÅ„czenie ma lych
edzie
przyrostów jest zawsze dodatni.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 19 / 74
Funkcje zmiennej losowej
Przyk lad dla funkcji monotonicznej: Y(X) = aX + b ; a i b to
rzeczywiste sta le.
Rozk lad prawdopodobieństwa:
yi-b
P(Y = yi) = P(axi + b = yi) = P(xi = ).
a
Dystrybuanta:

y-b
dla a > 0 G(y) = F x =
a

y-b y-b
dla a < 0 G(y) = 1 - F x = - P x =
a a
1 y-b
G¸ prawdopodobieÅ„stwa: g(y) = f(x = ) .
estość
|a| a
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 20 / 74
Funkcje zmiennej losowej
Przyk lad dla funkcji niemonotonicznej: Y(X) = X2
1.) Rozk lad prawdopodobieństwa wynosi:
" "
P(yi) = P(X2 = yi) = P(X = - yi) + P(X = + yi)
2.) Dystrybuanta wynosi:
G(y) = P(Y < y) = P(X2 < y)
" "
= P(- y < X < + y)
G(y) = 0 dla y d" 0
" "
G(y) = F( y) - F(- y) dla y e" 0
3.) Rozk lad g¸ prawdopodobieÅ„stwa wynosi:
estości
g(y) = 0 dla y < 0
-1 1
" "
g(y) = | | f( y) + f(- y)
" "
2 y 2 y
1
" "
= (f( y) + f(- y)) dla y e" 0
"
2 y
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 21 / 74
Charakterystyki opisowe
W praktycznych zastosowaniach cz¸ wystarcza poznanie wartoÅ›ci
esto
pewnych wielkoÅ›ci, które charakteryzuj¸ rozk lad prawdopodobieÅ„stwa
a
zamiast pe lnej informacji o rozk ladzie.
Oto najcz¸Å›ciej stosowane:
e
DEFINICJA: fraktyl xq (zwany również kwantylem) jest to taka wartość
zmiennej losowej, że prawdopodobieństwo znalezienia
mniejszych od niej wartości wynosi q:
P(X < xq) a" F(xq) = q
Najważniejsze fraktyle to dolny kwartyl: x0.25 , górny kwartyl: x0.75
oraz mediana: x0.5.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 22 / 74
Charakterystyki opisowe
DEFINICJA: Moda (zwana również wartoÅ›ci¸ modaln¸ jest to taka
a a)
wartość zmiennej losowej, dla której rozk lad
prawdopodobieÅ„stwa (lub funkcja g¸
estości
prawdopodobieństwa) przyjmuje maksimum.
DEFINICJA: Rozk lady prawdopodobieÅ„stwa posiadaj¸ jedn¸ mod¸
ace a e
zwane s¸ jednomodalnymi a te, które maj¸ wi¸ niż jedn¸
a a ecej a
- wielomodalnymi.
DEFINICJA: Wartość oczekiwana, wartość średnia lub nadzieja
matematyczna. B¸ go oznaczali przez E(X)
edziemy
Ć
(stosuje si¸ również oznaczenie M(X) lub X ).
e

E(X) a" xi · pi dla zmiennych dyskretnych,
i

E(X) a" x · f(x) dx dla zmiennych ci¸
ag lych
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 23 / 74
Charakterystyki opisowe
E(X) jest wspó lrz¸ a punktu, który
edn¸
by lby środkiem masy rozk ladu praw-
dopodobieÅ„stwa (lub pola pod funkcj¸
a
g¸ prawdopodobieÅ„stwa) gdyby
estości
INTERPRETACJA E(X):
prawdopodobieństwa poszczególnych
wartości xi traktować jako masy
(lub odpowiednio g¸ praw-
estość
dodobieÅ„stwa jako zwyk l¸ g¸
a estość).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 24 / 74
Charakterystyki opisowe
W ec:
LASNOÅšCI E(X) : E(X) jest operatorem liniowym a wi¸

1 E( Ci · Xi) = Ci · E(Xi)
i i
co w szczególnych przypadkach daje:
" E(C) = C
" E(C · X) = C · E(X)
" E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2)
2 Dla zmiennych niezależnych X1, ..., Xn


E Xi = E {Xi}
i i
UWAGA: Warunkiem koniecznym i wystarczaj¸ by zmienne by ly
acym
niezależne jest aby wspólny rozk lad prawdopodobieństwa
faktoryzowa l si¸
e:
f(X1, X2, .., Xn) = f1(X1) · f2(X2)...fn(Xn).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 25 / 74
Charakterystyki opisowe
Dla funkcji zmiennej X; Y = Y(X) wartość oczekiwana E(Y) może być
znaleziona przy pomocy rozk ladu zmiennej X bez
konieczności szukania rozk ladu g(y):


E(Y) = y(xi) · pi, E(Y) = y(x) · f(x) · dx
i
odpowiednio dla zmiennej dyskretnej i dla zmiennej ci¸
ag lej.
DEFINICJA: Momentem rozk rz¸ k wzgl¸ punktu x0,
ladu edu edem
nazywamy nast¸ ac¸ wielkość:
epuj¸ a
mk(x0) a" E{(x - x0)k}
czyli

mk(x0) a" (x - x0)k · f(x) · dx

mk(x0) a" (xi - x0)k p(xi)
i
odpowiednio dla zmiennych ci¸ i dyskretnych.
ag lych
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 26 / 74
Charakterystyki opisowe
Najważniejszymi momentami s¸ te, które
a
liczone s¸ wzgl¸ pocz¸ uk ladu wspó lrz¸ tj. x0 = 0
a edem atku ednych
(oznacza si¸ je zwykle przez mk ) oraz momenty
e
liczone wzgl¸ x0 = m1 tj. wzgl¸ pierwszego momentu liczonego
edem edem
od pocz¸ uk ladu wspó lrz¸ Te ostatnie momenty nazywa si¸
atku ednych. e
momentami centralnymi (zwykle oznaczane s¸ przez µk ).
a
UWAGA: m1 a" E(x); µ1 a" 0
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 27 / 74
Charakterystyki opisowe
DEFINICJA: µ2, zwany wariancj¸ lub dyspersj¸ B¸ go oznaczać
a a. edziemy
przez Ã2(X) lub var(X) (stosuje si¸ również oznaczenie
e
D(X)).
DEFINICJA: Pierwiastek z wariancji nazywany jest odchyleniem
standardowym i oznaczany Ã(X) ale czasami używa si¸
e
również nazwy dyspersja.

Ã2(X) a" (xi - E(x))2 · pi zmienna dyskretna
i

Ã2(X) a" (x - E(x))2 · f(x) · dx zmienna ci¸
ag la
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 28 / 74
Charakterystyki opisowe
W
LASNOŚCI WARIANCJI: Wariancja może być wyrażona przez
momenty liczone wzgl¸ pocz¸ uk ladu wspó lrz¸
edem atku ednych:
Ã2(X) = m2 - m2
1
Ã2(X) = E(X2) - E2(X)
DOWÓD: Korzystamy z trzeciej w lasności wartości oczekiwanej tj.
m2(E(X)) a" E((X - E(X))2)
= E(X2 - 2X · E(X) + E2(X))
= E(X2) - 2E(X) · E(X) + E2(X)
= E(X2) - E2(X)
c.b.d.o.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 29 / 74
Charakterystyki opisowe
" var(C) = 0 bo E(C2) - E2(C) = C2 - C2 = 0 c.b.d.o.
" var(C · X) = C2 · var(X)
jest to nast¸ liniowoÅ›ci E(X), przez któr¸ definiowaliÅ›my var(X).
epstwo a
" var(C1 · X + C2) = C2 · var(X)
1

" Dla zmiennych niezależnych var( Ci · Xi) = C2 · var(X)
i i i
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 30 / 74
Charakterystyki opisowe
DOWÓD: Wzór ten latwo wyprowadzić przypominaj¸ definicj¸
ac e
wariancji i korzystaj¸ z trzeciej w lasnoÅ›ci wartoÅ›ci
ac


oczekiwanej: var(y = Ci · Xi) a" E (y - E(Y))2 .
i
Po wstawieniu do wzoru oraz podniesieniu do kwadratu
otrzymamy sum¸ kwadratów wyrażeÅ„ Ci · (Xi - E(Xi))
e
oraz iloczyny mieszane tych wyrażeń.
Iloczyny mieszane znikn¸ w chwili gdy podzia la na nie
a
zewn¸ operator wartoÅ›ci oczekiwanej (bo
etrzny
E (X - E(X)) = E(X) - E(X) = 0).
Za lożenie niezależności jest potrzebne przy liczeniu wartości
oczekiwanej z iloczynów mieszanych (wówczas wartość
oczekiwana iloczynu równa jest iloczynowi wartości
oczekiwanych). Suma wartości oczekiwanych z kwadratów
wyrażeÅ„ Ci · (Xi - E(Xi)) jest w laÅ›nie poszukiwanym przez
nas wyrażeniem.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 31 / 74
Charakterystyki opisowe
Interpretacja wariancji wynika z nierównoÅ›ci Czebyszewa, któr¸ można
a
zapisać nast¸ aco:
epuj¸
P (| X - E(X) |e" a · Ã(X)) d" a-2
TWIERDZENIE:
Prawdopodobieństwo odchylenia wartości zmiennej losowej od wartości
oczekiwanej E(X) o a -krotn¸ wartość odchylenia standardowego jest
a
1
mniejsze lub równe od .
a2
Twierdzenie to jest s luszne dla wszystkich rozk ladów, które posiadaj¸
a
wariancj¸ (a wi¸ co za tym idzie i wartość oczekiwan¸ Liczba a jest
e ec, a).
dowoln¸ dodatni¸ liczb¸
a a a.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 32 / 74
Charakterystyki opisowe
INTERPRETACJA WARIANCJI: Korzystaj¸ z nierównoÅ›ci Czebyszewa
ac
dochodzimy do wniosku, że
wariancja (lub odchylenie standardowe) jest miar¸ rozrzutu
a
zmiennej losowej doko la wartości oczekiwanej .
Jest to bardzo ważny wniosek bo w analizie danych
doÅ›wiadczalnych utożsamiamy wartość oczekiwan¸ pomiarów
a
wykonanych w obecnoÅ›ci b l¸ przypadkowych z wartoÅ›ci¸
edów a
prawdziw¸ mierzonej wielkoÅ›ci. Wtedy miar¸ b l¸
a a edu
przypadkowego jest odchylenie standardowe bo ono określa
rozrzut wyników doko la wartości prawdziwej.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 33 / 74
Podstawowe poj¸ teorii estymacji
ecia
DEFINICJA: W statystyce skończony zespó l doświadczeń nazywamy
prób¸ a wnioskowanie na podstawie próby o w lasnoÅ›ciach
a
nieskończonego (zwykle) zespo lu wszystkich możliwych
doÅ›wiadczeÅ„ zwanego populacj¸ generaln¸ , nazywamy
a a
estymacj¸
a.
DEFINICJA: Przez prób¸ prost¸ rozumiemy ci¸ niezależnych
e a ag
doÅ›wiadczeÅ„ odnosz¸ si¸ do tej samej populacji
acych e
generalnej.
DEFINICJA: Statystyk¸ nazywamy tak¸ funkcj¸ zmiennych losowych
a a e
obserwowanych w próbie, która sama jest zmienn¸ losow¸
a a.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 34 / 74
Podstawowe poj¸ teorii estymacji
ecia
DEFINICJA: Estymatorem Tn(x1, x2, ..xn; ¸) parametru ¸ lub w skrócie
Tn(¸) nazywamy statystyk¸ o rozk ladzie
e
prawdopodobieÅ„stwa zależnym od ¸. Tu  x1, x2, ..
oznaczaj¸ wyniki pomiarów próby.
a
DEFINICJA: Estymacja punktowa to taka estymacja, która polega na
oszacowaniu wartoÅ›ci danego parametru ¸ przez wartość jego
estymatora Tn(¸).
DEFINICJA: Estymacja przedzia polega na szukaniu przedzia lu
lowa
liczbowego, wewn¸ którego z za lożonym
atrz
prawdopodobieństwem leży prawdziwa wartość parametru.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 35 / 74
Podstawowe poj¸ teorii estymacji
ecia
DEFINICJA: Estymator Tn(¸), jest zgodny jeżeli dla każdego > 0 jest
spe lniony warunek:
limn"P(| Tn(¸) - ¸ |< ) = 1
W takim przypadku używa si¸ cz¸ okreÅ›lenia, że
e esto
estymator spe prawo wielkich liczb .
lnia
PRZYK TWIERDZENIE (Bernoulli): Wzgl¸ cz¸
LAD: edna estość
pojawiania si¸ zdarzenia A w ci¸ n doÅ›wiadczeÅ„ spe lnia
e agu
prawo wielkich liczb czyli jest zgodnym estymatorem
prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A).
limn"P(| nA/n - P(A) |< ) = 1
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 36 / 74
Podstawowe poj¸ teorii estymacji
ecia
DEFINICJA: Estymator spe acy mocne prawo wielkich liczb to taki,
lniaj¸
który jest zbieżny do estymowanego parametru z
prawdopodobieństwem równym jedności:
P(limn"Tn(¸) = ¸) = 1
PRZYK TWIERDZENIE: F.P.Cantelli udowodni l w 1917 roku, że
LAD:
wzgl¸ cz¸ pozytywnego zakoÅ„czenia doÅ›wiadczenia;
edna estość
nA/n jest zbieżna do prawdopodobieństwa zdarzenia A;
P(A) z prawdopodobieństwem równym jedności:
P(limn"(nA/n) = P(A)) = 1
czyli wzgl¸ cz¸ spe lnia mocne prawo wielkich liczb.
edna estość
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 37 / 74
Podstawowe poj¸ teorii estymacji
ecia
DEFINICJA: Estymatorem nieobci¸Å¼onym Tn(¸) parametru ¸
a
nazywamy taki estymator, którego wartość oczekiwana
równa jest wartości estymowanego parametru niezależnie od
rozmiarów próby:
E(Tn(¸)) = ¸
DEFINICJA: Obci¸Å¼eniem estymatora  Bn nazywamy różnic¸ jego
a e
wartości oczekiwanej i wartości estymowanego parametru:
Bn = E(Tn(¸)) - ¸
DEFINICJA: Estymatorem obci¸Å¼onym nazywamy taki estymator,
a
którego obci¸Å¼enie jest różne od zera.
a
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 38 / 74
Podstawowe poj¸ teorii estymacji
ecia
DEFINICJA: Estymatorem asymptotycznie nieobci¸Å¼onym nazywamy
a
taki estymator obci¸Å¼ony, którego obci¸Å¼enie zmierza do zera
a a
gdy rozmiary próby nieskoÅ„czenie rosn¸
a:
limn"Bn = 0
TWIERDZENIE: Jeżeli wariancja estymatora nieobci¸Å¼onego lub
a
asymptotycznie nieobci¸Å¼onego d¸Å¼y do zera gdy rozmiary
a a
próby rosn¸ nieograniczenie wówczas estymator ten jest
a
zgodny.
TWIERDZENIE: Jeżeli Tn(¸) jest zgodnym estymatorem ¸ i jeżeli h(¸)
jest wielomianem lub ilorazem wielomianów to estymator
h(Tn(¸)) jest estymatorem zgodnym dla h(¸).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 39 / 74
Rozk normalny (Gaussa)
lad
DEFINICJA: Ci¸ zmienna losowa X, której funkcja g¸
ag la estości
prawdopodobieÅ„stwa ma nast¸ ac¸ postać:
epuj¸ a

-(X-A)2
1
"
f(X) = exp
2B2
2Ä„ B
nazywa si¸ zmienn¸ o rozk normalnym N(A, B).
e a ladzie
Wartość oczekiwana: E(X) = A
Odchylenie standardowe: Ã(X) = B
St¸ latwo widać, że N(A, B) a" N (E(X), Ã(X))
ad
Dystrybuanta: rozk ladu normalnego nie wyraża si¸ przez funkcje
e
elementarne.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 40 / 74
Rozk normalny (Gaussa)
lad
Warto zapami¸ nast¸ ace wartoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa znalezienia
etać epuj¸
zmiennej X w danym przedziale:
P(E(X) - Ã(X) d" X < E(X) + Ã(X)) = 0.6827
P(E(X) - 2Ã(X) d" X < E(X) + 2Ã(X)) = 0.9545
P(E(X) - 3Ã(X) d" X < E(X) + 3Ã(X)) = 0.9973
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 41 / 74
Rozk normalny (Gaussa)
lad
UWAGA: Dowoln¸ zmienn¸ Y o rozk ladzie normalnym można
a a
standaryzować tworz¸ wielkość Z o rozk ladzie
ac
standardowym normalnym N(0, 1):
Z = (Y - E(Y))/Ã(Y).
Standaryzacja jest ważna ze wzgl¸ na możliwość
edu
tablicowania zarówno funkcji g¸ prawdopodobieÅ„stwa,
estości
jak i dystrybuanty rozk ladu N(0, 1) a potem wykorzystania
faktu, że maj¸ zmienn¸ X o rozk ladzie N(0, 1) możemy
ac a
stworzyć zmienn¸ Y o rozk ladzie N(A, B) przez prost¸
a a
transformacj¸ Y = B " X + A .
e:
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 42 / 74
Rozk normalny (Gaussa)
lad
Centralne Twierdzenie Graniczne (Intuicyjne sformu lowanie)
Zmienna Z b¸ aca standaryzowan¸ sum¸
ed¸ a a
niezależnych zmiennych losowych bedzie mia la
standardowy rozk lad normalny gdy liczba
sk ladników w sumie d¸Å¼y do nieskoÅ„czonoÅ›ci oraz
a
w sumie nie wyst¸ a zmienne o wariancjach
epuj¸
dominuj¸ w stosunku do reszty sk ladników.
acych
W laśnie to twierdzenie powoduje, że rozk lad normalny jest
wyróżnionym rozk ladem - bardzo cz¸ stosowanym w
esto
statystyce.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 43 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
Wynik pomiaru bez podania dok
ladności
Motto:
doświadczenia (podania b edu) jest bezwartościowy.
l¸
DEFINICJA: Pomiarem bezpośrednim nazywamy doświadczenie, w
którym przy pomocy odpowiednich przyrz¸ mierzymy
adow
(porównujemy z jednostk¸ interesuj¸ a nas wielkość
a) ac¸
fizyczn¸
a.
Przyk lad:
" Pomiar d lugości przedmiotu przy pomocy linijki
" Pomiar d lugości odcinka czasu przy pomocy zegara
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 44 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
DEFINICJA: Pomiarem pośrednim nazywamy doświadczenie, w którym
wyznaczamy wartość interesuj¸ nas wielkoÅ›ci fizycznej
acej
przez pomiar innych wielkoÅ›ci fizycznych zwi¸ z dan¸
azanych a
wielkoÅ›ci¸ znanym zwi¸ funkcyjnym.
a azkiem
Przyk lad:
" Pomiar oporu elektrycznego przewodnika: mierzymy
spadek napi¸ U na przewodniku i pr¸ I przez niego
ecia ad
p lyn¸ a opór R wyznaczamy z prawa Ohma:
acy
R = U/I.
" Pomiar g¸ stopu, z którego zbudowany jest
estości
prostopad lościan: mierzymy bezpośrednio d lugość
kraw¸ a, b i c prostopad loÅ›cianu i jego mas¸ m a
edzi e
g¸ wyznaczamy ze wzoru: Á = m/(a · b · c).
estość
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 45 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
DEFINICJA: B edem pomiaru e nazywamy różnic¸ pomi¸ wartoÅ›ci¸
l¸ e edzy a
x uzyskan¸ w doÅ›wiadczeniu a prawdziw¸ (nieznan¸
a a a)
wartoÅ›ci¸ x0 danej wielkoÅ›ci:
a
e = x - x0
Podzia l b l¸ B l¸ dzielimy na
edów: edy
" grube
" systematyczne
" przypadkowe
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 46 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
DEFINICJA: B edy grube to b l¸ które pojawiaj¸ si¸ w wyniku pomy lki
l¸ edy, a e
eksperymentatora (np. odczyt na niew laściwej skali
przyrz¸ lub w wyniku niesprawnoÅ›ci aparatury
adu)
pomiarowej. Zwykle s¸ one na tyle duże, że można je latwo
a
zauważyć.
Dla unikni¸ tych b l¸ należy starannie zorganizować
ecia edów
proces pomiaru i używać do doświadczeń tylko w laściwie
wytestowanych przyrz¸
adów.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 47 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
DEFINICJA: B edy systematyczne to takie, które podczas wykonywania
l¸
pomiaru systematycznie przesuwaj¸ wyniki pomiarów w jedn¸
a a
stron¸ w stosunku do prawdziwej wartoÅ›ci.
e
Mog¸ mieć one różne przyczyny. Najcz¸Å›ciej to:
a e
" Niew laściwy sposób przeprowadzania pomiaru
(np. B l¸ paralaksy)
ad
" Stosowanie z lych przyrz¸
adów
(np. waga szalkowa o różnej d lugości ramion)
" Stosowanie nieprzemyślanej metody (patrz poniżej)
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 48 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
Przyk lad: Przy pomiarze oporu możemy zastosować dwa różne
schematy pod l¸ woltomierza i amperomierza:
aczenia
A
V
Rysunek: Schemat pierwszy: Woltomierz pod l¸ równolegle
aczony
do opornika a szeregowo do nich amperomierz. Systematycznie
zawyżamy wartość pr¸ I a wi¸ zaniżamy opór.
adu ec
A
V
Rysunek: Schemat drugi: Woltomierz pod l¸ równolegle do
aczony
uk ladu szeregowo po l¸
aczonych opornika i amperomierza.
Systematycznie zawyżamy wartość napi¸ U a wi¸ zawyżamy
ecia ec
opór.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 49 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
B ledy systematyczne s¸ trudne do zauważenia i oszacowania.
a
Dla ich unikni¸ stosuje si¸
ecia e:
" staranne przemyślenie metody pomiaru w poszukiwaniu możliwych
z
róde l b l¸ systematycznych i wybór metody, która nie prowadzi do
edów
takich b l¸ np. opór w powyższym przyk ladzie można mierzyć
edów,
metod¸ mostka.
a
" zmian¸ metody pomiaru , aby wyeliminować ukryte, niekontrolowane
e
z
ród la b l¸ systematycznych. Na przyk lad, ważne sta le fizyczne
edów
takie jak pr¸ Å›wiat la c by ly wielokrotnie mierzone różnymi
edkość
metodami, g lównie po to aby upewnić si¸ że unikni¸ b l¸
e, eto edów
systematycznych,
" pomiary wzgl¸ polegaj¸ na tym, że mierzymy równoczeÅ›nie, t¸
edne ace a
sam¸ metod¸ dwie wielkoÅ›ci - jedn¸ dobrze znan¸ a drug¸ - t¸ któr¸
a a a a a e, a
chcemy zmierzyć.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 50 / 74
Podstawy rachunku b edów
l¸
DEFINICJA: B edy przypadkowe to b l¸ które zmieniaj¸ si¸ od
l¸ edy, a e
pomiaru do pomiaru, powoduj¸ odchylenia od wartoÅ›ci
ac
prawdziwej zarówno w jedn¸ jak i drug¸ stron¸
a a e.
Zak lada si¸ że spowodowane s¸ one przez wiele
e, a
niezależnych przyczyn o porównywalnym znaczeniu.
Metody statystyki pozwalaj¸ na oszacowanie tego typu
a
b l¸ zarowno jakoÅ›ciowo jak i iloÅ›ciowo. Nie mówi¸
edów a
jednak nic o b l¸ systematycznych czy grubych.
edach
Dlatego dalsze rozważania b¸ a dotyczy
ed¸ ly
tylko b edów przypadkowych .
l¸
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 51 / 74
Podstawy rachunku b edów Rozk b edów przypadkowych
l¸ lad l¸
Rozk lad b l¸ przypadkowego to N(0, Ã(e)) czyli
edu

1 -e2
"
f(e) = exp
2Ã2(e)
2Ä„ Ã(e)
bo gdy mamy do czynienia tylko z b l¸ przypadkowymi
edami
wówczas:
" S¸ spe lnione za lożenia centralnego twierdzenia
a
granicznego a wi¸ rozk lad b l¸ jest rozk ladem
ec edów
normalnym.
" Wartość oczekiwana b l¸ znika (z za lożenia równe
edów
prawdopodobieÅ„stwo odchylenia w gór¸ i w dó l w
e
stosunku do prawdziwej wartości mierzonej wielkości).
" Miar¸ wielkoÅ›ci b l¸ przypadkowego jest odchylenie
a edu
standardowe rozk ladu b l¸ Ã(e).
edów:
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 52 / 74
Podstawy rachunku b edów Rozk pomiarów obarczonych b edami przypadkowymi
l¸ lad l¸
Rozk lad pomiarów: Pomiary przeprowadzane w obecnoÅ›ci jedynie b l¸
edów
przypadkowych maj¸ rozk lad N (x0, Ã(e)) bo wynik pomiaru
a
x jest przesuni¸ od prawdziwej wartoÅ›ci x0 o b l¸
ety ad
przypadkowy e:
x = x0 + e
a transformacja rozk ladu f(e) do g(x) daje wzór:

-(x-x0)2
1
"
g(x) = exp .
2Ã2(e)
2Ä„ Ã(e)
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 53 / 74
Podstawy rachunku b edów Rozk pomiarów obarczonych b edami przypadkowymi
l¸ lad l¸
WNIOSKI: Z poniższych faktów wynika, że:
szukanie prawdziwej wartości mierzonej wielkości i
jej b l¸ to estymacja wartoÅ›ci oczekiwanej i od-
edu
chylenia standardowego pomiarów
" Wartość prawdziwa mierzonej wielkości jest równa
wartoÅ›ci oczekiwanej pomiarów (jeżeli s¸ tylko b l¸
a edy
przypadkowe).
" Rozrzut pomiarów doko la wartości prawdziwej jest
okreÅ›lony przez odchylenie standardowe Ã(e) rozk ladu
b l¸ przypadkowych.
edów
" Miar¸ b l¸ pojedynczego pomiaru jest odchylenie
a edu
standardowe pomiarów.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 54 / 74
Podstawy rachunku b edów Estymator wartości oczekiwanej
l¸
Estymator E(x) to średnia arytmetyczna niezależnych pomiarów wielkości
x. B¸ j¸ oznaczać przez x :
edziemy a
n
1
Tn(E(x)) a" x = xi
i=1
n
" Ko lmogorow pokaza l, że x spe mocne prawo
lnia
wielkich liczb a wi¸ oczywiÅ›cie jest zgodny,
ec
" Estymator x jest nieobci¸Å¼ony.
a

1 1 1
E( xi) = E(xi) = (n · E(x)) = E(x) c.b.d.o.
i i
n n n
Tu wykorzystano fakt, że wszystkie wartoÅ›ci oczekiwane s¸
a
sobie równe E(xi) = E(x).
" Można pokazać, że x jest najbardziej efektywnym
estymatorem E(x).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 55 / 74
Podstawy rachunku b edów Estymator wartości oczekiwanej
l¸
TWIERDZENIE: Estymator x wartości oczekiwanej E(x) ma rozk lad

Ã(x)
"
normalny N E(x), gdzie n jest liczb¸ pomiarów w
a
n
próbie.
WNIOSKI:
" Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej x jest
"
n - krotnie mniejsze od odchylenia standardowego
pojedynczego pomiaru.
" Odchylenie standardowe Ã(x) czyli b ad Å›redni
l¸
kwadratowy średniej arytmetycznej charakteryzuje
dok
ladność wyznaczenia prawdziwej wartości x w
danym konkretnym pomiarze sk ladaj¸ si¸ z n
acym e
niezależnych doświadczeń.
" Aby charakteryzować dok
ladność metody pomiarowej
podajemy b ad pojedynczego pomiaru tj. Ã(x) .
l¸
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 56 / 74
Podstawy rachunku b edów Estymator odchylenia standardowego
l¸

n
1
Estymator S(x): S(x) a" (xi - x)2
i=1
n-1
Jest to zgodny, asymptotycznie nieobci¸Å¼ony estymator
a

n
1
Estymator s(x): s(x) a" (xi - x)2
i=1
n
Jest to zgodny, asymptotycznie nieobci¸Å¼ony i najbardziej
a
efektywny estymator

n-1
“( )
n-1
2
Estymator S(x): S(x) a" · S(x)
n
2 “( )
2
Jest to zgodny i nieobci¸Å¼ony estymator
a
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 57 / 74
Podstawy rachunku b edów Estymator odchylenia standardowego
l¸
UWAGA: Wspó lczynnik kn o który różni si¸ S(x) od S(x) jest
e
znacz¸ różny od 1.0 tylko dla ma lych prób i może być w
aco
przybliżeniu zast¸ przez wstawienie do wzoru na S(X)
apiony
zamiast 1/(n - 1) czynnika 1/(n - 1.45).

n-1
n kn n-1.45
3 1.1284 1.1359
4 1.0853 1.0847
5 1.0640 1.0615
6 1.0506 1.0482
7 1.0423 1.0397
10 1.0280 1.0260
15 1.0181 1.0165
20 1.0134 1.0121
25 1.0104 1.0095
50 1.0051 1.0046
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 58 / 74
Podstawy rachunku b edów Zapis wyników pomiarów
l¸
KONWENCJA: Stosuje si¸ nast¸ ac¸ konwencj¸ zapisu wyników :,
e epuj¸ a e
która zapewnia podawanie liczbowych informacji z rozs¸ a
adn¸
liczb¸ cyfr znacz¸
a acych:
" Pozostawia si¸ tylko dwie cyfry znacz¸
e ace
estymatora b l¸ a jeżeli zaokr¸ do jednej
edu aglenie
cyfry (zaokr¸ ac zawsze do góry) nie zmieni
aglaj¸
wyniku wi¸ niż o 10% to podaje si¸ tylko jedn¸
ecej e a
cyfr¸
e.
" Wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce
dziesi¸ dalej niż miejsce dziesi¸ na którym
etne etne,
zaokr¸ b l¸ a nast¸ zaokr¸ wg
aglono ad, epnie aglamy
normalnych regu l do tego samego miejsca
dziesi¸ do którego wyznaczono b l¸
etnego, ad.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 59 / 74
Rozk liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń
lad
TWIERDZENIE: Jeżeli prawdopodobieÅ„stwo zrealizowania si¸ danego
e
zdarzenia losowego w pojedynczym doświadczeniu jest
równe p to liczba k zrealizowanych zdarzeń w N
niezależnych doÅ›wiadczeniach rz¸ jest rozk
adzona ladem
Bernoulliego (dwumianowym, binomialnym):
N!
P(k) = pk(1 - p)N-k; k = 0, 1, ..N
k!(N-k)!
Latwo można pokazać, że

E(k) = N p
·
Ã(k) = N · p · (1 - p)
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 60 / 74
Rozk liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń
lad
Graniczny przypadek: cz¸ realizowany w fizyce atomowej, j¸
esto ader
atomowych i cz¸ elementarnych to sytuacja gdy N jest
astek
bardzo duże, p bardzo ma le a wartość oczekiwana
rejestrowanych zdarzeÅ„ E(k) a" N · p jest sta la.
Przyk lad:
" N - liczba radioaktywnych j¸ w badanej próbce,
ader
" p - prawdopodobieństwo rozpadu pojedynczego
radioaktywnego j¸ w jednostce czasu,
adra
" k - liczba rejestrowanych rozpadów w jednostce czasu
Rozk lad Poissona jest wtedy graniczn¸ postaci¸ rozk ladu Bernoulliego:
a a
k
P(k) = exp(-)
k!
Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe wyrażaj¸ si¸
a e
wzorem:
E(k) = 
"
Ã(k) = 
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 61 / 74
Rozk liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń B ad statystyczny
lad l¸
Liczba rejestrowanych w danym okresie czasu zdarzeÅ„ k rz¸
adzonych
powyższymi prawami jest zmienn¸ losow¸ a wi¸  prawdziwa liczba
a a ec
zdarzeÅ„ to E(k) a jej  b ad to Ã(k). Ten  b l¸ nazywany jest b edem
l¸ ad l¸
statystycznym.
ESTYMATOR prawdziwej liczby zdarzeń to liczba k zarejestrowanych
zdarzeń podczas pojedynczego pomiaru:
Tn (E(k)) = k
ESTYMATOR b l¸ statystycznego: to
edu
"
Tn (Ã(k)) = k
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 62 / 74
Rozk liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń B ad statystyczny
lad l¸
POZORNY PARADOKS: Im d lużej mierzymy tym b l¸ liczby
ad
zarejestrowanych zdarzeÅ„ jest wi¸
ekszy.
WYT ad edny
LUMACZENIE: Istotny jest statystyczny b l¸ wzgl¸ a nie
bezwzgl¸
edny:

1
"
Tn Ã(k) =
E(k)
k
NOMENKLATURA: Pomiar z ma lym wzgl¸ b l¸ statystycznym
ednym edem
to pomiar z dobr¸ statystyk¸ a z dużym wzgl¸ b l¸
a a ednym edem
statystycznym to pomiar ze z a statystyk¸
l¸ a.
UWAGA: Należy zwracać uwag¸ że b ad statystyczny ma
e, l¸
identyczny wymiar jak liczba zdarzeń, tj. wymiar
odwrotny do czasu mimo, że ilościowo jest pierwiastkiem z
liczby zdarzeń.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 63 / 74
Rozk liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń B ad statystyczny
lad l¸
W praktyce interesuje nas obok odpowiedzi na pytanie:
Ile zdarzeń zachodzi w określonym czasie ?
również odpowiedz
na pytanie:
Ile zachodzi zdarzeń DANEGO TYPU ?
PRZYK Rejestrujemy produkty reakcji j¸
LAD: adrowej. Chcemy wiedzieć
nie tylko ile reakcji zachodzi ale także ile jest produktów
posiadaj¸ okreÅ›lon¸ energi¸
acych a e.
PYTANIA:
1 Jakim rozk ladem rz¸ jest liczba zdarzeÅ„ w każdym
adzona
przedziale ( kanale ) energii?
2 Co by si¸ sta lo gdybyÅ›my dodali liczby zdarzeÅ„ z kilku
e
s¸
asiednich kana lów (dla poprawienia  statystyki liczby
zdarzeń) ?
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 64 / 74
Rozk liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń B ad statystyczny
lad l¸
Korzystamy z twierdzenia:
TWIERDZENIE: Rozk lad prawdopodobieństwa sumy skończonej liczby
niezależnych sk ladników, z których każdy rz¸ jest
adzony
rozk ladem Poissona o parametrze i jest również rozk ladem

Poissona ale o nowym parametrze  = i .
i
ODPOWIEDy
na 1 pytanie: Liczba zdarzeń w każdym kanale jest
rz¸ rozk ladem Poissona ale każdy z tych rozk ladów ma
adzona
zwykle różny parametr i.
ODPOWIEDy
na 2 pytanie: Liczba zdarzeń w kilku wysumowanych

kana lach k = ki b¸ rz¸ rozk ladem Poissona z
edzie adzona
i
parametrem , którego estymator jest równy

Tn ( a" E(k)) = ki .
i
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 65 / 74
Pomiary pośrednie
DEFINICJA: Jeżeli w doświadczeniu mierzymy wielkości X1, X2, .., XN a
nast¸ wyliczamy wartość funkcji Y = Y(X1, X2, .., XN)
epnie
to tak¸ procedur¸ nazywamy pomiarem poÅ›rednim.
a e
ESTYMATOR: Estymatorem E(Y) pomiaru pośredniego jest wartość
funkcji Y wyliczona dla argumentów, które s¸ estymatorami
a
prawdziwych wartości X1, X2, ..XN tzn. dla średnich
arytmetycznych X1, X2, ..., XN :
Tn(E(Y(X1, X2, ..XN))) = Y(X1, X2, ..., XN)
lub inaczej
E(Y(X1, X2, ..XN)) H" Y(X1, X2, ..., XN)
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 66 / 74
Pomiary pośrednie B ad pomiaru pośredniego
l¸
ESTYMATOR: b l¸ pomiaru poÅ›redniego, tzw. b ad Å›redni
edu l¸
kwadratowy liczy si¸ nast¸ aco (przy za lożeniu, że
e epuj¸
pomiary X1, X2, .., XN by ly wykonywane niezależnie
odpowiednio n1, n2, .., nN razy):

2
N

"Y
Ã(Y) H" · Ã2(Xi)
"Xi Xi=Xi
i=1
UWAGA:
" X1, X2, ..XN to różne wielkości a nie kolejne pomiary
wielkości  X ,
" Pochodne liczone wzgl¸  Xi to pochodne
edem
cz¸
astkowe tzn. liczone przy za lożeniu, że pozosta le
zmienne  Xj =i s¸ ustalone,
a
" Zamiast wariancji zmiennej Ã2(Xi) używa si¸ jej
e
estymatora tzn. S2(Xi) (ni - krotnie mniejszego od
estymatora S2(Xi)).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 67 / 74
Pomiary pośrednie B ad maksymalny
l¸
B l¸ maksymalny pomiaru poÅ›redniego liczymy wg poniższego wzoru, tzn.
ad
metod¸ różniczki zupe
a lnej.
N

"Y
"(Y) H" |"Xi | · "(Xi)
i=1
Tu modu ly pochodnych s¸ wyliczane dla jednokrotnie
a
zmierzonych wielkości Xi a symbol "(Xi) oznacza
maksymalny b l¸ tej wielkoÅ›ci mierzonej bezpoÅ›rednio.
ad
" Latwo można pokazać , że b l¸ obliczony metod¸
ad a
różniczki zupe lnej jest wi¸ od b l¸ Å›redniego
ekszy edu
kwadratowego.
" W odróżnieniu od b l¸ Å›redniego kwadratowego b l¸
edu ad
maksymalny nie ma interpretacji statystycznej a wi¸ nie
ec
można go wyrazić przez b l¸ Å›redni kwadratowy.
ad
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 68 / 74
Pomiary poÅ›rednie B ad wzgl¸ dla iloczynu pot¸
l¸ edny eg
B l¸ wzgl¸ iloczynu pot¸ cz¸ latwiej policzyć niż b l¸
ad edny eg esto ad
bezwzgl¸ Konkretnie, gdy szukana wielkość f(X, Y, Z)
edny.
zależy w poniższy sposób od mierzonych bezpośrednio
wielkości:
f(X, Y, Z) = Xa · Yb · Zc
(a, b i c to sta le) to otrzymujemy proste wzory:
dla b l¸ maksymalnego: b l¸ wzgl¸ z lożonej wielkoÅ›ci f jest
edu ad edny
nast¸ ac¸ kombinacj¸ liniow¸ wzgl¸ b l¸
epuj¸ a a a ednych edów
argumentów:
"(f)
=| a | ·"(X)+ | b | ·"(Y)+ | c | ·"(Z)
f |X| |Y| |Z|
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 69 / 74
Pomiary poÅ›rednie B ad wzgl¸ dla iloczynu pot¸
l¸ edny eg
Dla b l¸ Å›redniego kwadratowego dostajemy analogiczny wzór:
edu

2 2 2
Ã(f) Ã(X) Ã(Y) Ã(Z)
= a2 · + b2 · + c2 ·
f X Y Z
Wzór ten czasami okreÅ›la si¸ sformu lowaniem: wzgl¸
e edne
b l¸ Å›rednie kwadratowe dodaj¸ si¸ w kwadratach. To
edy a e
sformu lowanie jest precyzyjne wtedy gdy wyk ladniki pot¸ a,
eg
b, c, ... s¸ równe 1 (lub -1).
a
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 70 / 74
Pomiary pośrednie Regresja liniowa
DEFINICJA: Regresja liniowa zmiennej Y wzgl¸ zmiennej X to
edem
linia prosta Y = a · X + b z parametrami a i b dobranymi
tak aby minimalizować sum¸ kwadratów odchyleÅ„
e
wspó lrz¸ (yi, i = 1, 2, ..n) zespo lu n punktów o
ednych
wspó lrz¸ (x1, y1),(x2, y2),... (xn, yn) od tej linii:
ednych
n

Q2 = (yi - a · xi - b)2
i=1
Zmienna Y nazywana jest zmienn¸ objaÅ›nian¸ a
a a
zmienna X zmienn¸ objaÅ›niaj¸ a.
a ac¸
UWAGA: Regresja liniowa X wzgl¸ Y tj. prosta X = c · Y + d
edem
pokrywa si¸ z regresj¸ liniow¸ Y wzgl¸ X tj. prost¸
e a a edem a
Y = a · X + b znalezion¸ dla tego samego zespo lu punktów
a
doÅ›wiadczalnych tylko wtedy gdy zwi¸ pomi¸ X i Y
azek edzy
jest funkcyjnym zwi¸ liniowym (a nie zależnoÅ›ci¸
azkiem a
statystyczn¸
a).
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 71 / 74
Pomiary pośrednie Regresja liniowa
Specyficzna sytuacja: polegaj¸ a na tym, że:
ac¸
" zmienna objaÅ›niaj¸ X ma zaniedbywalnie ma le b l¸ a
aca edy
wi¸ może być traktowana jako nielosowa zmienna.
ec
" zmienna objaÅ›niana Y jest zmienn¸ losow¸ o
a a
identycznym b l¸ Ã(Y) dla wszystkich punktów.
edzie
Wtedy dostajemy proste, analityczne wzory na estymatory
parametrów regresji:

( xi2) · ( yi) - ( xi) · ( xi · yi)
i i i i
Tn(b) =
W

n · ( xi · yi) - ( xi) · ( yi)
i i i
Tn(a) =
W

W a" n · x2 - ( xi)2
i
i i
Wskaz
nik sumowania i przebiega wartości od 1 do n.
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 72 / 74
Pomiary pośrednie Regresja liniowa
B l¸ estymatorów parametrów a i b również wyrażaj¸ si¸ analitycznymi
edy a e
wzorami:

x2
i i
Tn(Ã(b)) = Ã(Y) ·
W

n
Tn(Ã(a)) = Ã(Y) ·
W
B l¸ wartoÅ›ci Y przewidzianej przez lini¸ regresji (zależny od x):
ad e

1 (x - x)2
Tn(Ã(Y(x))) = Ã(Y) · +
n (xi - x)2
i
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 73 / 74
Pomiary pośrednie Regresja liniowa
UWAGA: W praktyce opuszcza si¸ symbol estymatora, zarówno dla
e
parametrów regresji a, b jak i dla wartości Y przewidzianej
przez regresj¸ tzn. zamiast Tn(a) pisze si¸ po prostu a, itd.
e, e
ale należy pami¸ że s¸ to estymatory. W powyższych
etać, a
wzorach zastosowano nast¸ ace oznaczenia:
epuj¸
" Tn(Ã(Y(x))) to estymator b l¸ wartoÅ›ci Y(x)
edu
przewidzianej przez regresj¸
e,
" Ã(Y) to b l¸ pomiaru wspó lrz¸ Yi z za lożenia taki
ad ednej
sam dla wszystkich punktów. Gdy go nie znamy
wpisujemy zamiast niego wartość estymatora Tn(Ã(Y)),
" x to średnia arytmetyczna wartości zmiennej
kontrolowanej wyliczona ze wspó lrz¸ punktów
ednych
x1, x2, ...xn,
" x - to wartość zmiennej kontrolowanej X, dla której
wyliczamy wartość regresji liniowej Y(x) i estymator
b l¸ regresji liniowej Tn(Ã(Y(x))).
edu
B. Kamys (ZFJ IFUJ) STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I 2005/06 74 / 74