Przypomnienie pojęć kombinatoryki
Zbiór n elementowy H nazywamy zbiorem uporządkowanym gdy:
- ma element pierwszy i ostatni
- po każdym elemencie ( z wyjątkiem ostatniego ) następuje inny,
- elementom zbioru można przyporządkować liczby ciągu liczb
naturalnych (pierwszemu 1 , ostatniemu n ).
Każdy uporządkowany zbiór H nazywamy permutacją utworzoną z
jego elementów.
Ogólna ilość możliwych permutacji z n elementów wynosi n!
Przykład. Permutacje w zbiorze 3 elementowym H={a,b,c}
a b c ; a c b ; b a c ; b c a ; c a b ; c b a
n=3 n!=3!=1*2*3=6
PRZYKA
ADY
Przykład. Zagadnienie komiwojażera. Należy znalez
ć liczbę
możliwych sposobów odwiedzenia n miast.
Odp. Między n miastami jest n-1 odcinków dróg je łączących. Droga
z np. miasta A do miasta B i ta sama droga z miasta B do miasta A
jest droga równoważną. Zatem będzie dróg: 0.5*(n-1)! . To dla 17
głównych miast Polski daje liczbę 0.5*16! = 10 461 394 944 000
W związku z tak wielka liczba możliwych tras, analiza pod kątem
zminimalizowania wydatków wydaje się wątpliwą drogą porównania
ich długości.
Przykład. Świadek wypadku, zapamiętał 6 cyfr rejestracji
samochodu  sprawcy wypadku drogowego. Niestety, nie
zapamiętał ich kolejności  wiadomo tylko, że każda była inna. Ile
jest możliwych rejestracji 6 cyfrowych, które trzeba sprawdzić, by
odnalez
ć sprawcę wypadku?
Odp. n! = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Wariacje
Uporządkowane podzbiory, utworzone z m elementów wybranych z n
elementowego zbioru H, różniące się między sobą albo elementami
albo ich kolejnością ( uporządkowaniem) nazywamy wariacjami z n
po m elementów. (Warunek: Zbiór H nie posiada 2 takich samych
elementów)
Liczba wariacji wynosi : Am = n!/(n-m)!
n
Przykład. Wywiad gospodarczy twojej firmy donosi, że konkurencja która
uzyskała przewagę technologiczną i usiłuje wyprzeć twą firmę z rynku, stosuje do
produkcji produktu tylko 5 spośród 12 znanych powszechnie dodatków
(komponentów). Komponenty muszą być dodawane do produktu w ściśle
określonej kolejności. Ich dawka jest niewielka, więc ich ilość jest nieistotna.
Trzeba by zatem przeprowadzić własne badania. Oblicz, ile eksperymentów
należałoby wykonać.
Odp. Każdy eksperyment poprzedzić należy wyborem 5 spośród 12
komponentów i dodawać je w określonej kolejności. Zatem wybrane piątki są
wariacjami 5 elementowymi spośród 12 elementów
K= 12!/(12-5)!= 95040
Kombinacje
Podzbiory m elementowe n elementowego zbioru H, różniące się
między sobą przynajmniej jednym elementem, nazywamy
kombinacjami z n po m elementów. (Warunek: Zbiór H nie posiada 2
takich samych elementów).
Liczba kombinacji wynosi Cm = n! / (m!(n-m)!)
n
Spełnione są też relacje Cm < Am ; Cm = Am / Pm
n n n n
gdzie Pm liczba permutacji m elementowych.
Przykład. Drużyna koszykówki składa się z 5 graczy. Kadra zespołu jest 12
osobowa. Na ile różnych sposobów można zestawić wyjściową piątkę w
najbliższym meczu?
Odp. Ponieważ, kolejność graczy w każdej wybranej piątce jest obojętna, liczba
kombinacji 5 spośród 12 graczy jest rozwiązaniem
K = C5 = 12!/ (5!(12-5)!) = 12!/ (5!*7!) = 8*9*10*11*12/(2*3*4*5)
12
K = 792
Prawdopodobieństwo
Eksperyment statystyczny to proces prowadzący do pojedynczego
wyniku, który nie może być przewidziany z bezwzględną
dokładnością ( pojęcie szersze aniżeli eksperyment fizyczny).
Zdarzenie elementarne to rezultat eksperymentu, który nie może
być zdekomponowany na bardziej elementarne rezultaty.
Przykład: Rzut monetą, Elementarne zdarzenia:
1. Reszka na wierzchu ; 2. Orzeł na wierzchu
Rzut kostką do gry, Elementarne zdarzenia:
1. Na wierzchu 1 ; 2. Na wierzchu 2
3. Na wierzchu 3 ; 4. Na wierzchu 4
5. Na wierzchu 5 ; 5. Na wierzchu 6
Rzut 2 monetami, Elementarne zdarzenia:
1. Orzeł 1, Orzeł2; 2. Orzeł 1, Reszka 2
3. Reszka 1, Orzeł 2 4. Reszka 1, Reszka 2.
Zdarzenie (złożone,pewne, przeciwne)
Zdarzenie jest zbiorem zdarzeń elementarnych ( lub pojedynczym
zdarzeniem elementarnym).
Przykład. Eksperyment to rzut kostką do gry.
Zdarzenie: wynik rzutu jest liczbą nieparzystą (składa się z 3
elementarnych zdarzeń: 1,3,5)
Jeśli jakieś zdarzenie zachodzi zawsze, to zdarzenie takie
nazywamy zdarzeniem pewnym.
Zdarzenie przeciwne do jakiegoś zdarzenia E, to zdarzenie które
polega na tym, że nie zachodzi zdarzenie E. Zdarzenie przeciwne
do zdarzenia pewnego nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Typy zdarzeń
Trzy odstawowe typy zdarzeń:
- suma zdarzeń : Zdarzenie polegające na tym , że zajdzie
przynajmniej jedno ze zdarzeń składowych.
Oczekujemy na przystanku na tramwaj. Interesuje nas tylko tramwaj o nr
13 i o nr 24. Przyjazd jakiegokolwiek tramwaju to zdarzenie. Sumą
zdarzeń E1 i E2 jest przyjazd 13 lub 24.
- iloczyn zdarzeń : Zdarzenie polegające na tym, że zajdą oba
zdarzenia składowe równocześnie.
Z talii kart wyciągamy 1 kartę. Zdarzenie pierwsze E1 to wyciągnięcie
pika. Zdarzenie drugie E2 to wyciągnięcie króla. Zdarzenie które jest
iloczynem E1 i E2: to wyciagnięcie króla pik.
- różnica zdarzeń : Zdarzenie polegające na tym, że jedno ze
zdarzeń składowych zachodzi a drugie nie zachodzi.
Posiadamy serię produktów posiadających braki. Wybór produktu jest
zdarzeniem E1. Wybór produktu wybrakowanego to zdarzenie E2.
Zdarzenie E=E1 E2 to zdarzenie wybrania produktu nie wybrakowanego.
Zdarzenia cd.
Zdarzenia wyłączające się, to takie dla których zachodzi, iż ich
iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym.
Przykład. Losujemy jedną kartę z talii kart. Zdarzenia wyłączające się to
wylosowanie kiera, lub pika, lub trefla lub karo.
Jeśli zajście pewnego zdarzenia E jest równoważne zajściu jednego ze
zdarzeń wyłączających się nawzajem E1, E2,...,En
E=E1*"E2 *"... *" En (suma zdarzeń zajście E równoważne zajściu dowolnego Ei )
Ei)"Ej = 0 dla i`"j ( iloczyn zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym  czyli zespół
zdarzeń E1, E2,...,En to zdarzenia wyłączające się wzajemnie)
to mówimy, że zdarzenie E rozkłada się na zdarzenia E1, E2,...,En.
Przykład. Wynik rzutu kostką do gry rozkłada się na 6 zdarzeń: wyrzucenie 1
lub 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub 6. Ale możliwe są też zdarzenia: wyrzucenie liczby
podzielnej przez 2 lub podzielnej przez 3. Te dwa ostatnie zdarzenia nie są
wzajemnie wyłączające się, przeto rzut kostką nie rozkłada się na takie zdarzenia.
Klas. def. PRAWDOPODOBIEC
STWA (Laplace)
Jeśli pewne zdarzenie E rozkłada się na n wykluczających się
wzajemnie i jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych,
spośród których m zdarzeń elementarnych sprzyja zajściu
interesującego nas zdarzenia A to prawdopodobieństwem zajścia
zdarzenia A nazywamy ułamek
P(A) = m / n
Przykład. W grupie studenckiej jest 15 osób, 10 mężczyzn i 5 kobiet.
Wykładowca losuje osobę do odpowiedzi. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kobiety.
Odp. n=15 (wylosowanie każdej z osoby z osobna jest zbiorem zdarzeń
wyłączających się) . Liczba zdarzeń sprzyjających wylosowaniu kobiety m = 5 .
Prawdopodobieństwo wylosowania kobiety wynosi zatem P = 5/15 = 1/3
Własności prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo zdarzenia A może przyjmować wartości z
zakresu : 0 d" P(A) d" 1
d" d"
d" d"
d" d"
Jeśli zdarzenie A rozkłada się na zdarzenie B i zdarzenie C ( tzn.
A=B*"C oraz B)"C=0 ) oraz zdarzeniu B sprzyja m zdarzeń a
zdarzeniu C sprzyja k zdarzeń to: P(A)=P(B)+P(C)=m/n+k/n
gdzie n łączna liczba zdarzeń.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń przeciwnych jest równe jedności.
Niech A i B są zdarzeniami przeciwnymi. Wtedy suma A*"B jest
zdarzeniem pewnym, którego prawdopodobieństwo wynosi 1. Jeśli
prawdopodobieństwo zdarzenia A oznaczymy P(A)=p, zaś
prawdopodobieństwo zdarzenia B oznaczymy P(B)=q, to na
podstawie w/w twierdzenia mamy: p+q=1 lub p=1-
-q
-
-
Przykład. Wyznaczono prawdopodobieństwo wylosowania kobiety w grupie
studenckiej, a wynosi ono 0.25 . Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania
mężczyzny? Odp. P(mężczyzna) = 1 - 0.25 = 0.75
-
-
-
Statystyka a prawdopodobieństwo
W klasycznej definicji prawdopodobieństwa, musimy znać ilość
sprzyjających zdarzeń m zdarzeniu A oraz liczbę wszystkich zdarzeń
n rozkładu zdarzenia E by wyznaczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia A. Czy jesteśmy w stanie dokonać tego bez tych
informacji?
W przykładzie z określeniem prawd. wylosowania kobiety w grupie
studenckiej, możemy postąpić następująco: losujemy wielokrotnie
osobę, określamy jej płeć, i rejestrujemy liczbę losowań dających
wynik kobieta. Po wykonaniu wielu losowań, stale z tej samej puli
osób, częstość wylosowanych kobiet coraz bardziej się stabilizuje się
wokół pewnej wartości p, która jest eksperymentalnie określoną
wartością prawdopodobieństwa wylosowania kobiety.
Jeśli w eksperymencie statystycznym, przez częstość empiryczną
określimy stosunek m/n to prawdopodobieństwo wynosi:
P(A) = limn"(m/n)
"
"
"
Aksjomatyczna def prawdopodobieństwa
Aksjomat 1. (definicja)
Każdemu zdarzeniu, wchodzącemu w skład pola zdarzeń,
przyporządkowana jest pewna liczba P(A) zwana
prawdopodobieństwem spełniająca warunek: 0 d" P(A) d" 1
d" d"
d" d"
d" d"
Aksjomat 2.
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1.
Aksjomat 3.
Prawdopodobieństwo sumy skończonej (A=A1*"A2 *"... *" An) lub
przeliczalnej ilości wzajemnie (parami) wyłączających się zdarzeń
(Ai)"Aj=0) równa jest sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:
P(A) = P(A1)+P(A2)+...+P(An)
Wnioski:
Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych wynosi jeden.
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.
Zdarzenia niezależne i zależne
Jeśli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, to
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest niewiększe od
prawdopodobieństwa zdarzenia B : P(A) d" P(B)
 Pociaga za sobą : Każde zdarzenie A jest także zdarzeniem B (ale nie na odwrót).
Def.
Dwa zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli zajście jednego z
tych zdarzeń nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia
drugiego zdarzenia.
Przykład. Losujemy osoby z grupy studenckiej (5 kobiet i 10 mężczyzn) i
określamy ich płeć.
Dwie możliwości:
1) za każdym razem losujemy z pełnej listy nazwisk:
1 losowanie: P(A)=5/15 = 1/3 ; 2 losowanie: P(B)= 5/15 = 1/3 Co oznacza, że
schemat tego losowania (losowanie ze zwracaniem), powoduje że za każdym
kolejnym losowaniem prawdopodobieństwo wylosowania kobiety jest takie
samo=1/3.
2) po wylosowaniu określonej osoby skreślamy jej nazwisko z listy i losujemy
ponownie.
1 losowanie: P(A)=5/15 = 1/3
2 losowanie: Tym razem prawdopodobieństwo wylosowania kobiety jest zależne
od tego, kto został wylosowany w 1 kolejności. I tak, jeśli w 1 losowaniu była to
kobieta, to P(B) = 4/14=2/7, zaś jeśli w 1losowaniu był to mężczyzna to P(B) =
5/14 .
Schemat tego losowania nazywamy schematem losowania bez zwracania, i
wtedy kolejne losowania nie są zdarzeniami niezależnymi w myśl w/w
definicji.
Prawd. iloczynu zdarzeń
Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia B zależy od dodatkowych
warunków, to prawdopodobieństwo zdarzenia B nazywamy
prawdopodobieństwem warunkowym. P(B|A)  prawd zdarzenia
B pod warunkiem , że zaszło zdarzenie A.
Dwa zdarzenia są od siebie niezależne, gdy P(A)=P(A|B) lub
P(B)=P(B|A) .
Prawdopodobieństwo iloczynu dwu dowolnych zdarzeń A i B
wynosi: P(A)"B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)
Jeśli oba zdarzenia są niezależne to P(A)"B)=P(A)*P(B)
Przykład. Z talii kart wybieramy dwie karty (bez zwracania). Jakie jest
prawdopodobieństwo wyciągnięcia 2 asów.
Odp. Prawdopodobieństwo wyciagnięcia jako pierwszej karty asa wynosi
P(A)=4/52=1/13. Prawd wyciagnięcia wtedy w drugim losowaniu asa wyniesie
P(B|A)=3/51=1/17 (zostały 3 asy i 51 kart). Stąd prawd wyciagnięcia po kolei 2
asów: P(A )"B)=P(A)*P(B|A)=(1/13)*(1/17)=0.005
Prawd. sumy zdarzeń
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń (dowolnych) A oraz B wynosi
P(A*"B)=P(A)+P(B) P(A)"B)
Przykład. Z talii kart losujemy 1 kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
będzie to figura lub karta czerwona (kier lub karo).
Odp. A  zdarzenie polegające na wyciągnięciu figury ( 4*4=16 )
B  zdarzenie polegające na wyciągnięciu czerw karty (26)
P(A)=16/52=4/13 ; P(B)=26/52=1/2 ;
P(A)"B)=8/52=2/13 ( 2*4 figury czerwone)
Stąd mamy P(A*"B)=4/13+1/2  2/13=17/26=0.66
Prawd. całkowite
Pewne zdarzenie A może zajść łącznie tylko z jednym spośród
wzajemnie wyłączających się zdarzeń E1*"E2*"...*"En . Oznacza to, że
zdarzenie A=(A)"E1)*"(A)"E2) *"... *"(A)"En). Zdarzenia A)"E1, A)"E2,
...,A)"En będą też wzajemnie wyłączające się, skąd
P(A)"Ei)=P(Ei)*P(A|Ei).
Zatem, prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A wynosi:
P(A) = ŁiP(A)"Ei) = Łi P(Ei)*P(A|Ei)
Przykład. Losujemy jedną osobę z trzech grup na chybił trafił. W pierwszej
grupie połowa osób to kobiety, w pozostałych grupach jedna trzecia to kobiety.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kobietę.
Odp. Zdarzenie E1  wylosowanie osoby z grupy nr 1,
Zdarzenie E2  wylosowanie osoby z grupy nr 2 lub grupy nr 3,
Zdarzenie A  wylosowanie kobiety.
Ponieważ są trzy grupy osób: P(E1)=1/3 , P(E2)=2/3 Prawd wylosowania kobiety
z 1 grupy P(A|E1)=1/2, zaś z 2,3 P(A|E2)=1/3
Stąd prawd wylosowania kobiety
P(A)=(1/3)(1/2)+(2/3)(1/3)=1/6+2/9=3/18+4/18=7/18=0.388
Sprawdz
my, jaki byłby rezultat, gdybyśmy wszystkie grupy połączyli, i losowali
pojedynczą osobę. W tym wypadku musimy założyć pewne liczebności
poszczególnych grup. Niech grupy mają liczebności 10,21,45 odpowiednio.
Liczba kobiet po połączeniu = 10*(1/2)+(21+45)*(1/3)=27
Liczba osób po zmieszaniu = 10+21+45=76
B  zdarzenie polegające na wylosowaniu kobiety z całej połączonej grupy osób.
P(B)= 27/76 = 0.355
Gdyby liczebności grup były bardziej zróżnicowane : 800,21,45 ; otrzymamy
Liczba kobiet po połączeniu = 800*(1/2)+(21+45)*(1/3)=422
Liczba osób po zmieszaniu = 800+21+45=866
B  zdarzenie polegające na wylosowaniu kobiety z całej połączonej grupy osób.
P(B)= 422/866 = 0.487
Przykład ten dowodzi, jak istotny jest wpływ sposobu losowania na
prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia. Losowanie
pierwszego typu w statystyce nazwaliśmy losowaniem zespołowym,
zaś losowanie drugie w statystyce nazywamy losowaniem prostym.
Wzór Bayes a
Prawdopodobieństwo zajścia jednego spośród układu wyłączających
się wzajemnie zdarzeń E1*"E2*"...*"En , jeśli wiadomo , że zaszło
zdarzenie A wynosi:
P(Ei|A)=P(Ei)*P(A|Ei) / Łi P(Ei)*P(A|Ei)
Przykład. Zakład nasz otrzymuje półprodukty od 3 dostawców X,Y,Z, każdy z
nich dostarcza mniej więcej tę samą ilość.
Zwykle, część kontenerów nosi ślady usiłowania włamań, i tak od dostawcy X
zwykle jest to 2%, od Y jest 6%, od Z jest 1%. W magazynie, po rozpakowaniu
półproduktów , nie można już zidentyfikować dostawcy. W procesie produkcji
wykryto półprodukt, całkowicie zdekompletowany. Oblicz, jakie jest
prawdopodobieństwo, że półprodukt zdekompletowany pochodzi od dostawcy Y.
ODP.
A  wylosowanie półproduktu zdekompletowanego
E1  wylosowanie półproduktu od dostawcy X,
E2  wylosowanie półproduktu od dostawcy Y,
E3  wylosowanie półproduktu od dostawcy Z.
Mamy: P(E1)=1/3, P(E2)=1/3, P(E3)=1/3 (trzech równych dostawców)
P(A|E1)=0.02 (2%) ; P(A|E2)=0.06 (6%) ; P(A|E3)=0.01 (1%)
Prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A wynosi:
P(A)=P(E1)*P(A|E1)+ P(E2)*P(A|E2)+ P(E3)*P(A|E3)=
(1/3)*(0.02+0.06+0.01)=0.03 (3%)
Zatem ze wzoru Bayes a : P(E2|A)=P(E2)*P(A|E2)/P(A)=(1/3)*0.06/0.03=2/3
(66.7%)
Prawdopodobieństwo, że zdekompletowany półprodukt pochodzi od dostawcy Y
wynosi 66.7%