Analiza wariancji (ANOVA)
Test chi-kwadrat porównuje częstości
Test t-Studenta porównuje różnice między 2 grupami
Analiza wariancji (ANOVA) porównuje różnice między > 2 grupami
- Analiza wariancji (klasyfikacja prosta) ðð czy grupy różniÄ… siÄ™?
- Test a posteriori Tukeya ðð które grupy siÄ™ różniÄ…?
- Test Kruskala-Wallisa ðð nieprametryczna odmiana ANOVA
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,15 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
x = 64,65
Sðx2 = 514,55
s2 = 514,55 / (20 - 1) = 27,082
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
64,65
Średnia z 4 średnich = x = 59,4 68,4 65,8 65,0
Sðx2 = 43,07 x 5 = 215,35
JeÅ›li z populacji o wariancji sð2 pobieramy próby N-elementowe
s2 = 215,35 / (4  1 ) = 71,783
i obliczamy średnią z tych prób, to wariancja obliczona z tych średnich
wynosi sð2 / N, czyli jest N-krotnie mniejsza
Aby otrzymać oszacowanie wariancji między pomiarami należy tą
wariancję pomnożyć przez N
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
x = 59,4 68,4 65,8 65,0
Suma Sðx2 = 299,20 Sðx2 = 123,2 77,2 50,8 48
s2 = 299,2 / (20  4) = 18,7
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
64,65
Średnia z 4 średnich = x = 59,4 68,4 65,8 65,0
Suma Sðx2 = 299,20 Sðx2 = 123,2 77,2 50,8 48
s2 = 299,2 / (20  4) = 18,7
A +2 +4 -2
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 67 73 61
Ogólna 728,55 19 38,344
60 72 66 66
Międzygrupowa 429,35 3 143,117
51 66 74 66
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 77 67 58
62 70 69 64
65,65
Średnia z 4 średnich =
x = 59,4 70,4 69,8 63,0
Suma Sðx2 = 299,20
Sðx2 = 123,2 77,2 50,8 48
s2 = 299,2 / (20  4) = 18,7
Analiza wariancji (ANOVA)
a Nj
A B C D
(Sð Sð Xij)2
58 65 69 63
a Nj
j i
60 70 62 68
Ogólna SK = = 514,55
Sð Sð Xij2 -
51 64 70 68
N
j i
66 75 63 60
(58)2 + (60)2 + & + (66)2 = 84107
62 68 65 66
(58 + 60 + & + 66)2 / 20 = (1293)2 / 20 = 83592,45
Sð= 297 342 329 325
84107  83592,45 = 514,55
Nj a Nj
(Sð Xij)2 (Sð Sð Xij)2
a
i j i
= 215,35
MiÄ™dzygrupowa SK = Sð
-
j Nj N
(297)2 / 5 + (342)2 / 5 + (329)2 / 5 + (325)2 / 5 = 83807,8
83807,8  83592,45 = 215,35
Ogólna SK = Międzygrupowa SK + Wewnątrzgrupowa SK
Wewnątrzgrupowa SK = Ogólna SK  Międzygrupowa SK = 299,20
514,55 215,35
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
df ogólna SK = N - 1 = 20  1 = 19
df międzygrupowa SK = a  1 = 4  1 = 3
a
df wewnÄ…trzgrupowa SK =
Sð (Nj  1) = (5  1) + (5  1) + (5  1) + (5  1) = 16
i
df ogólna SK = df międzygrupowa SK + df wewnątrzgrupowa SK
Wariancja międzygrupowa = SK / df = 215,35 / 3 = 71,783
Wariancja wewnÄ…trzgrupowa = SK / df = 299,2 / 16 = 18,7
F = wariancja między grupami / wariancja w grupach
F = 71,783 / 18,700 = 3,839
F0,05; 3; 16 = ?
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
58 65 69 63
60 70 62 68
51 64 70 68
66 75 63 60
62 68 65 66
Między którymi?
F = wariancja między grupami / wariancja w grupach
F = 71,783 / 18,700 = 3,839
F> F0,05; 3; 16 ðð MiÄ™dzy grupami sÄ… różnice
F0,05; 3; 16 = 3,24
Test a posteriori Tukeya (metoda T)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
1) Obliczamy Najmniejszą Istotną Różnicę (NIR)
NIR = (wartość krytyczna)Íð(bÅ‚Ä…d standardowy) = Q0,05; a; df Íð x
s
a) wartość krytyczna
Q0,05; a; df = ?
Q0,05; 4; 16 = ?
Rozstęp studentyzowany (Tablica H)
df  liczba stopni swobody
a  liczba grup
Test a posteriori Tukeya (metoda T)
a) wartość krytyczna
(rozstęp studentyzowany - Tablica H)
Q0,05; a; df = ? df  liczba stopni swobody = N - a
Q0,05; 4; 16 = 4,05 a  liczba grup
Test a posteriori Tukeya (metoda T)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
1) Obliczamy Najmniejszą Istotną Różnicę (NIR)
NIR = (wartość krytyczna)Íð(bÅ‚Ä…d standardowy) = Q0,05; a; df Íð
sx = 4,05 Íð 1,934 =
= 7,8327
a) wartość krytyczna
b) błąd standardowy
Q0,05; a; df = ?
s2
Q0,05; 4; 16 = 4,05
= (18,7 / 5) = 1,934
"
sx =
Rozstęp studentyzowany (Tablica H)
"
n
df  liczba stopni swobody s2  wariancja
a  liczba grup n  liczba powtórzeń w jednym zabiegu
Test a posteriori Tukeya (metoda T)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
x = 59,4 68,4 65,8 65,0
1) Obliczamy Najmniejszą Istotną Różnicę (NIR)
d = 55,48 64,48 61,88 61,08
NIR = 7,8327
g = 63,32 72,32 69,72 68,92
2) Obliczamy średnią i jej zakres
80
dA = 59,4  7,8327/2 = 55,48
d = X  NIR/2
70
gA = 59,4 + 7,8327/2 = 63,32
g = X + NIR/2
60
3) Porównujemy zakresy średnich
50
Jeśli średnie między zakresami z dwóch zabiegów
A B C D
zachodzą na siebie, to nie ma między nimi statystycznie
B + - - -
istotnych różnic
C - - -
D - - -
Analiza wariancji - założenia
Założenia analizy wariancji:
- Niezależność prób
- Losowość prób
- Addytywność (czynnik aðj zmniejsza lub zwiÄ™ksza Å›redniÄ… w danej grupie)
- Homogeniczność wariancji (poszczególne grupy nie różnią się wariancją)
- Normalność (czynnik losowy Eij ma rozkład normalny)
Xij = mð + aðj + Eij
Xij  pojedynczy pomiar
mð  ogólna Å›rednia z populacji generalnej
aðj  wpÅ‚yw zabiegu eksperymentalnego j
Eij  losowe odchylenie każdego z pomiarów
Test Kruskala-Wallisa
A B C D
a
12 Rj2
2 11,5 17 8,5
58 65 69 63
H = Sð
- 3(N + 1)
4 18,5 6,5 15
60 70 62 68
N(N + 1) j Nj
1 10 18,5 15
51 64 70 68
66 13 20 63 8,5 4
75 60
62 6,5 68 15 65 11,5 60 4
2 3
4 4
6,5 5
4 4
6,5 5
1 2
8 7
9 8
4 4
Nj  liczba pomiarów w grupie j-tej
N  liczba pomiarów we wszystkich (a)
grupach Å‚Ä…cznie
a  liczba grup
Rj  suma rang
Test Kruskala-Wallisa
A B C D
a
12 Rj2
2 11,5 17 8,5
58 65 69 63
H = Sð
- 3(N + 1)
4 18,5 6,5 15
60 70 62 68
N(N + 1) j Nj
1 10 18,5 15
51 64 70 68
66 13 20 63 8,5 4
75 60
H = 0,0286 Íð 2466,7  63 = 7,477
62 6,5 68 15 65 11,5 60 4
Rj = 26,5 75 62 46,5
12/(20 ´ð 21) = 0,0286
(26,5)2/5 + (75)2/5 + (62)2/5 + (46,5)2/5 = 2466,7
3(20 + 1) = 63
Sð (t3  t)
D = 1 -
N3 - N
D = ?
t  ranga wiÄ…zana
N3  N = 203  20 = 7980
Nj  liczba pomiarów w grupie j-tej
Sð (t3  t) = 4 (23  2) + 2 (33  3) = 4Íð6 + 3Íð24 = 72
N  liczba pomiarów we wszystkich (a)
grupach Å‚Ä…cznie
a  liczba grup
Rj  suma rang
Test Kruskala-Wallisa
A B C D
a
12 Rj2
2 11,5 17 8,5
58 65 69 63
H = Sð
- 3(N + 1)
4 18,5 6,5 15
60 70 62 68
N(N + 1) j Nj
1 10 18,5 15
51 64 70 68
66 13 20 63 8,5 4
75 60
H = 0,0286 Íð 2466,7  63 = 7,477
62 6,5 68 15 65 11,5 60 4
Rj = 26,5 75 62 46,5
12/(20 ´ð 21) = 0,0286
(26,5)2/5 + (75)2/5 + (62)2/5 + (46,5)2/5 = 2466,7
3(20 + 1) = 63
Sð (t3  t)
D = 1 -
N3 - N
D = 1  72/7980 = 1  0,009023 = 0,9909775
t  ranga wiÄ…zana
N3  N = 203  20 = 7980
Nj  liczba pomiarów w grupie j-tej
Sð (t3  t) = 4 (23  2) + 2 (33  3) = 4Íð6 + 3Íð24 = 72
N  liczba pomiarów we wszystkich (a)
grupach Å‚Ä…cznie
H = 7,477 / 0,9909775 = 7,545
a  liczba grup
Rj  suma rang
Test Kruskala-Wallisa
H = 7,545 cð20,05; 3 = 7,815 ðð brak różnic miÄ™dzy grupami
nominalna, interwałowa,
skala
test Kruskala-
porzÄ…dkowa ilorazowa
Wallisa
Liczba prób
niespełnione
Test chi-
2 >2
kwadrat
założenia ANOVA:
Obserwowane zmienne
ðð równość wariancji
majÄ… charakter normalny
ðð normalność rozkÅ‚adu
TAK
spełnione
próby
Czy są różnice?
zależne
niezależne
Analiza
Test t
wariancje
wariancji
dla prób
ANOVA
zależnych
jak
równe różne
Między którymi są różnice?
sprawdzić?
test Tukeya
Test t Test Cochrana-
dla prób Coxa
Test F
niezależnych
Test Levene a
Statistica: Wpisywanie danych
Typ 1:
Zmienna grupujÄ…ca (Grupa) óð Zmienna zależna (Pomiar)
Zastosowanie:
- Test chi-kwadrat;
- Testy t dla prób niezależnych;
- Test Manna-Whitney a
- ANOVA
- Test Tukey a
- Test Kruskalla-Wallisa
Typ 2:
Grupa A óð Grupa B
(dane w parach obok siebie)
Zastosowanie:
- Testy t dla prób zależnych;
- Test kolejności par Wilcoxona
Analiza wariancji (ANOVA)
Efekt  zmienność międzygrupowa
Błąd  zmienność wewnątrzgrupowa
SS  suma kwadratów odchyleń od średniej = SK
MS  wariancja (s2)
Jak obliczyć:
> Statystyka > Statystyki podstawowe i tabele > Przekroje, prosta ANOVA > Zmienne >
wybieramy zmienną grupującą i zmienną zależną > Kody zmiennych grupujących
(wszystko lub wybieramy kody przez ich zaznaczenie) > Test Levene a (aby
sprawdzić, czy wariancje są równe) > Analiza wariancji > Post-hoc > Test rozsądnej
istotnej różnicy (RIR) Tukey a.
Analiza wariancji (ANOVA)
A B C D
y
ródła zmienności SK df Oszacowanie wariancji
58 65 69 63
60 70 62 68
Ogólna 514,55 19 27,082
Międzygrupowa 215,35 3 71,783 51 64 70 68
WewnÄ…trzgrupowa 299,20 16 18,700
66 75 63 60
62 68 65 66
Wariancja międzygrupowa = SK / df = 215,35 / 3 = 71,783
Wariancja wewnÄ…trzgrupowa = SK / df = 299,2 / 16 = 18,7
F = wariancja między grupami / wariancja w grupach
F = 71,783 / 18,700 = 3,839
F0,05; 3; 16 = ?
Test a posteriori Tukeya (metoda T)
1) Obliczamy Najmniejszą Istotną Różnicę (NIR)
A B C D
58 65 69 63
NIR = 7,8327
60 70 62 68
51 64 70 68
2) Obliczamy średnią i jej zakres
66 75 63 60
dA = 59,4  7,8327/2 = 55,48
d = X  NIR/2
62 68 65 66
gA = 59,4 + 7,8327/2 = 63,32
g = X + NIR/2
x = 59,4 68,4 65,8 65,0
3) Porównujemy zakresy średnich
d = 55,48 64,48 61,88 61,08
g = 63,32 72,32 69,72 68,92
Jeśli średnie między zakresami z dwóch zabiegów
zachodzą na siebie, to nie ma między nimi statystycznie
80
istotnych różnic
70
60
50
A B C D
B + - - -
C - - -
D - - -
Test Kruskala-Wallisa
Jak obliczyć:
> Statystyka > Statystyki nieparametryczne > Porównanie wielu prób niezależnych (grup)
> Zmienne > wybieramy zmienną grupującą i zmienną zależną > ANOVA Kruskala-
Wallisa i test mediany > ! Po lewej stronie wybrać ANOVA Kruskala-Wallisa.
Test chi-kwadrat
Jak obliczyć:
> Statystyka > Statystyki podstawowe i tabele > Tabele wielodzielcze > Określ tabele
(wybierz zmienne) > wybieramy jednÄ… zmiennÄ… z jednej listy, a drugÄ… zmiennÄ… z
drugiej listy > Użyj kodów grupujących użytkownika > Kody > Wszystko > OK. > OK.
> Opcje > Chi-kwadrat Pearsona i NW + Liczności oczekiwane > Więcej > Dokładne
tabele dwudzielcze.