1. Zafałszowano, kostkę do gry jakie jest p6, jeśli
stwierdzono:
p1=0,14 p2=p3=p4=p5=0,2
2. Jakie jest p-two trafienia 4 w du\
ym lotku.
3. Tarcza ma promień równy r . Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e trafimy więcej ni\
5
punktów jeśli ka\
de pole punktowe (1-9) jest ma
szerokość 0.1r a środek promień równy 0.1r?
4. Rzucono 10 razy monetą. Oceń prawdziwość
poni\
szych zdań.
" Orła wyrzucono co najmniej 5 razy.
" Nie jest mo\
liwe, \
e za ka\
dym razem otrzymano
reszkÄ™.
" Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 1
orłów jest równe prawdopodobieństwu otrzymania
dokładnie 9 reszek.
" Zdarzenie polegajÄ…ce na wyrzuceniu co najmniej 1
orła lub co najwy\
ej 9 reszek jest zdarzeniem
pewnym.
" Je\
eli w 10 kolejnych rzutach monetÄ… za ka\
dym
razem otrzymano orła, to w następnym rzucie
prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest
większe ni\
prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.
5. Spośród 5 kul niebieskich, 3 kul czerwonych oraz 2
kul zielonych, wybrano bez zwracania 6 kul.
" Jakie jest p-two, \
e wylosowano dokładnie 3 kule
niebieskie?
" Jakie jest p-two, \
e wylosowano 3 kule niebieskie,
2 kule czerwone?
6. RozwiÄ…\
zadanie 4, zakładając, \
e losujemy kule ze
zwracaniem.
7. Dwaj strzelcy strzelajÄ… niezale\
nie jeden od
drugiego do tego samego celu. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e cel zostanie trafiony tylko
raz, je\
eli wiadomo, \
e pierwszy strzelec trafia
średnio w cel 7 razy na 10 oddanych strzałów, a
drugi 8 razy na 10?
1. Do tarczy oddaje się w sposób niezale\
ny trzy strzały. P-two
trafienia w tarczÄ™ dla ka\
dego strzaÅ‚u wynois ½. Zmienna losowa
oznacza liczbę trafień w tarczę.
Podać wartości funkcji p-twa.
Naszkicować dystrybuanty dla dwóch ró\
nych definicji dystrybuanty.
2. W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z
numerem 1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3
wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2
(wygrywamy  2).
Podać wartości funkcji p-twa.
Naszkicować dystrybuantę.
3. Policzyć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o
rozkładzie prawdopodobieństwa
xi -5 -1 0 3
pi
0,2 0,1 0,45 0,25
4. Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza
ilość wyrzuconych oczek. Policzyć wariancję i odchylenie
standardowe
5. Zmienna losowa X ma rozkład skokowy zero-jedynkowy,
0 1
xi
pi
q p
Policzyć wariancję i odchylenie standardowe
6. Moment zwykły (moment) rzędu k zmiennej losowej skokowej X
nazywamy wartość oczekiwaną k-tej potęgi tej zmiennej losowej:
k
mk = E(X ) = xik pi
"
i
Moment centralnym rzędu k zmiennej losowej skokowej X nazywamy
wartość oczekiwaną funkcji [X - E(X )]k tej zmiennej losowej:
µk = E[X - E(X )]k =
"[X - E(X )]k pi
i
Przedstaw związki miedzy momentami centralnymi a zwykłymi dla
k=1 i 2.
1. Dla jakiej wartości c funkcja f(x) jest funkcją gęstości
prawdopodobieństwa
0 dla x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚c dla 0 d" x d" 5.
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚0 dla x > 5
ół
2. Wyliczyć i naszkicować wykres dystrybuanty dla
zadania 1.
3. Wyliczyć wartość oczekiwaną, wariancje i odchylenie
standardowe dla zadania 1.
4. Dla zmiennej losowej
Å„Å‚3 / 4*(2x - x2 ) dla 0 d" x d" 2
ôÅ‚
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚
0 dla pozostaych x
ół
policzyć odpowiednie parametry rozkładu zmiennej losowej
( E(X), D2(X), współczynnik precyzji, dominantę, medianę).
Rozkład prawdopodobieństw ocen egzaminacyjnych
ze statystyki w grupie studentów studiów dziennych i
zaocznych mo\
na przedstawić w postaci takiej
tabelki:
2 3 3,5 4 4,5 5
Dzienne 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03
Zaoczne 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03
PrzyjmujÄ…c umownie, \
e rodzaj studiów jest
zmienną losową X o wartościach odpowiednio 1
(dzienne) i 2 (zaoczne), a oceny reprezentujÄ…
zmienną losową Y otrzymujemy funkcję rozkładu
prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej
losowej.
1. Podaj tabelkę z oznaczeniami X i Y oraz rozkłady
brzegowe obu zmiennych losowych.
2. Jaki jest rozkład ocen dla ogółu studentów (średnia ocena
z tego przedmiotu)?
3. Jaka jest dominanta dla studentów dziennych i zaocznych
 jak zinterpretować wynik?
4. Jakie jest przeciętne zró\
nicowanie ocen (wokół wartości
średniej)?
5. Czy zmienne losowe X i Y sÄ… zale\
ne?
6. Jaka jest średni ocen dla studentów dziennych i zaocznych
 jak interpretujemy statystycznie otrzymany wynik?
1. Naszkicować funkcję gęstości oraz dystrybuantę
dowolnego oraz standardowego rozkładu normalnego.
Określić wartość oczekiwaną, wariancję dla tych
rozkładów oraz wzór na funkcję gęstości rozkładu
normalnego.
2. Zilustrować na wykresach z zadania 1
prawdopodobieństwo, \
e zmienna losowa przyjmie
wartości pomiędzy a i b (a3. Przyjmijmy rozkład normalny N(70,6). Obliczyć p-
two, \
e zmienna losowa przyjmuje wartości:
" d"60
" (70,75]
" >85
4. Wiemy, \
e statystyka, która jest ró\
nicą średnich
2 2
Ã1 Ã
2
rozkładów normalnych ma rozkład N(m1 - m2, + ).
n1 n2
Znamy dwa rozkłady normalne o parametrach N(170,5)
(pierwszy) i N(166,4) (drugi) dla dwóch ró\
nych
niezale\
nych zmiennych losowych. Jakie jest p-two, \
e
przy wykonywaniu niezale\
nych pomiarów tych
zmiennych losowych (8 pomiarów dla rozkładu
pierwszego oraz 10 dla drugiego) średnia arytmetyczna
drugiego rozkładu będzie większa ni\
pierwszego?
1. Dysponujemy wiedzÄ… o populacji, \
e ma rozkład dwupunktowy określony
przez funkcjÄ™ p-stwa: P(X=1)=0.25 i P(X=2)=0.75. Z populacji wybieramy 2-
elementową próbę. Podać rozkład statystyki, która jest średnią z próby
1
X = (X1, X ) . Podać tabelę, gdzie będą mo\
liwe wartości próby, średnia
2
2
arytmetyczna oraz jej prawdopodobieństwo.
2. Niech cecha X ma w populacji generalnej rozkÅ‚ad normalny N(m, Ã). Z
populacji pobieramy wybieramy n-elementową próbę prostą (X1, X ,..., X ) . Jakie
2 n
są parametry rozkładu statystyki będącej średnią z próby. (Jest to rozkład
normalny, addytywnośc rozkładu normalnego). X : N(?,?).
3. Waga pewnego towaru (w pewnych jednostkach  j ) ma rozkład normalny
N(50, 3). Towar jest pakowany po 100 sztuk. Określić rozkład średniej
arytmetycznej wagi towaru w pojedynczej paczce. Jakie jest p-two, \
e średnia
waga w paczce będzie większa ni\
52j.
4. Na czym polega estymacja:
" parametryczna,
" nieparametryczna,
" punktowa,
" przedziałowa.
1. Dla populacji generalnej, która ma rozkład zero-jedynkowy z
parametrem p oszacować metodą największej wiarygodności na
podstawie próby losowej estymator tego parametru.
2. Niech populacja generalna ma rozkÅ‚ad normalny N(m, Ã).
Wyznaczyć metodą największej wiarygodności estymatory
parametrów m i Ã2.
1. Przedstawić graficznie idee bayesowskiego algorytmu
rozpoznawania dla cechy jednowymiarowej. Pokazać
prawdopodobieństwa a priori, a posteriori (twierdzenie Bayesa).
Wykazać związek tego problemu z omawianymi metodami
uzyskiwania estymatorów.
Estymacja przedziałowa.
2. W czasie produkcji tworzone są piłki o wadze zgodnej z rozkładem
normalnym mającym odchylenie standardowe à = 1,1 [jed].
Dokonano pomiaru 9-więciu losowo wybranych piłek i otrzymano
wyniki (200.8, 199.0, 198.6, 197.8, 200.2, 199.8, 200.5, 197.5, 198.8).
Wyznaczyć przedział ufności dla nieznanej średniej wagi piłek przy
zało\
eniu 1-Ä…=0,95.
Przedział ufności dla średniej m w populacji o rozkładzie normalnym z nieznanym
odchyleniem standardowym
1. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.90 wyznaczyć przedział ufności, gdy
mamy 16 doświadczeń z uzyskanymi parametrami x = 264 [ jed] oraz s = 15 [ jed].
Przedział ufności dla średniej m w populacji o nieznanym rozkładzie
2. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.95 wyznaczyć przedział ufności, gdy
mamy 200 doświadczeń z uzyskanymi parametrami x = 56 [ jed] oraz s = 8 [ jed].
2
Przedział ufności dla wariancji à dla zało\
onego rozkładu normalnego.
3. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.98 oraz rozkład normalny
mierzonego zjawiska wyznaczyć przedział ufności dla wariancji, gdy mamy do
dyspozycji następujące doświadczenia (7, 7.4, 6.8, 7.3, 7.2, 7, 6.9, 7.4) [jedn].
Regresja liniowa
1. Posiadamy dane dotyczÄ…ce zu\
ycia wody (tys m3 ) procesie nawadniania i plonów pewnego
zbo\
a (tony).
Jako X oznaczmy wielkość plonów, a jako Y zu\
ycie wody  posiadane dane przedstawiajÄ…
się następująco (x,y): {(1, 8), (2, 15), (3, 8), (4, 10), (5, 22), (6, 14),(7, 17), (8, 28), (9, 22),
(10, 26)}. ZakÅ‚adajÄ…c model regresji liniowej wyznaczyć parametry Ä…, ² liniowej funkcji
regresji.
2. Wykorzystując dane z zadania 2 obliczyć wartość: wariancję reszt, odchylenie standardowe
Ć
Ć
estymatora Ä… oraz ² .
3. Na podstawie zadań 1 oraz 2 wyznaczyć współczynnik determinacji oraz zinterpretować
otrzymany wynik.