XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Władysław MIRONOWICZ1
Marek ZOMBROC
2
LOSOWE DRGANIA WYMUSZONE
FUNDAMENTU SKRZYNIOWEGO
1. Wstęp
Fundamenty pod maszyny w postaci żelbetowej skrzyni, zgodnie z zaleceniami
literaturowymi [1], traktowane są z reguły jako nieodkształcalna bryła. Niektóre badania
zrealizowanych obiektów wskazują jednak na wyraz
ne odstępstwa od takiego modelu,
prowadzące do zwię kszonych drgań oraz uszkodzeń fundamentu [2].
W dążeniu do wyjaśnienia tego problemu, w [3] rozpatrzono losowe zagadnienie własne
takiego fundamentu  przy założeniu, że składa się on z odkształcalnych ścian i płyty górnej
oraz nieodkształcalnej płyty dolnej zagłębionej w podłożu gruntowym. W kontynuacji
tamtych rozważań, w niniejszej pracy sformułowano i przeanalizowano problem drgań
fundamentu wymuszonych okresowym, losowym sygnałem o różnych charakterystykach.
Dla jasności i skrócenia dociekań przyjęto, że parametry opisujące sztywność i masę układu
są deterministyczne. Uwzględniono natomiast wpływ losowego charakteru tłumienia w pod-
łożu gruntowym.
2. Sformułowanie problemu
Rozpatrywany jest model fundamentu pod maszyny składający się z tzw. płyty dolnej  trak-
towanej jako nieodkształcalna bryła o kształcie prostopadłościanu i poziomej podstawie oraz
nadbudowie w postaci skrzyni zbudowanej z pionowych, wzajemnie prostopadłych ścian
(równoległych do boków płyty dolnej) i poziomej, prostokątnej płyty górnej. Zakłada się, że
ściany i płyta górna mają stałą w swoim obszarze grubość, a do opisu ich modelu stosuje się
teorię płyt Mindlina. Przyjęto zgodnie z [4] bezinercyjny model podłoża scharakteryzowany
jak w [3] macierzą sztywności Kb opisaną w bazie współrzędnych uogólnionych qb
określających ruch podstawy fundamentu
Kb = diag (Kv, Kxz, Kyz, Kt). (1)
1
Dr hab. inż., prof. PWr, Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki
Wrocławskiej
2
Mgr inż., Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
134
Kv, Kxz, Kyz, Kt są to sztywności podłoża odpowiadające ruchowi pionowemu płyty dolnej,
ruchom wahadłowym w płaszczyznach xz, yz oraz ruchowi skrętnemu.
Stan przemieszczeń w obszarze nadbudowy fundamentu (ściany, płyta górna) sformułowano
jak w [3] w konwencji MES. Oznaczono: u,v  przemieszczenia w płaszczyz
nie elementu
(kierunki x,y), w  przemieszczenie z płaszczyzny elementu (kierunek z), łx, ły  kąty
odksztaÅ‚cenia postaciowego, º2  współczynnik odksztaÅ‚cenia postaciowego, E  moduÅ‚
Younga, ½ - współczynnik Piossona, h  grubość elementu, ¨x = Å‚x  w,,x, ¨y= Å‚y  w,,y. Stan
przemieszczeń w elemencie opisano relacjami
w = qwT(t)Q(x, y), ¨x = qxT(t)Px(x, y), ¨y = qyT(t)Py(x, y),
u = quT(t)U(x, y), v = qvT(t)V(x, y). (2)
Posługując się analizą energii akumulowanej w elemencie skończonym otrzymano macierz
sztywności elementu w bazie uogólnionych ge=[qeT,qeuvT]T w postaci
Ke = diag (Kew, Keuv), (3)
gdzie:
qeT = [qwT, qxT, qyT]e, qeuvT = [quT, qvT]e,
Kew = E/(24(1-½2)) dxdy, Keuv = Eh/(1-½2) dxdy,
w uv
+"+"K +"+"K
K = (1+½)h3S1 + 12º2(1-½)hS2 + (1-½)h3S3,
w
îÅ‚ Å‚Å‚
T
U,xU,x + 1/ 2(1- ½)U,yUT ½V,x UT + 1/ 2(1 - ½)U,yV,T śł
,y ,y x
ïÅ‚
K .
uv
ïÅ‚ śł
T
½V,yUT + 1/ 2(1 - ½)V,x U,y V,yV,T + 1/ 2(1 - ½)V,x V,T
ïÅ‚ śł
,x y x
ðÅ‚ ûÅ‚
Macierze S1, S2, S3 podano w [3]. Przykładowo
T T
îÅ‚
0
0TÅ‚Å‚ , gdzie 0 = îÅ‚0Å‚Å‚ , P = îÅ‚Px,x Px,x Px,x Py,y Å‚Å‚ .
S1 =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚0śł
T T
Px,x Py,yPy,y śł
ðÅ‚0 P ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚Py,y
ðÅ‚ ûÅ‚
Analogicznie otrzymano macierz bezwładności Be elementu skończonego w bazie ge w
postaci
Be = diag(Bew, Beuv), (4)
gdzie:
T T T
Bew = (Áh/12) diag [12
x y
+"+"QQ dxdy, h2+"+"P Px dxdy, h2+"+"P Py dxdy],
T T
Beuv = Áh diag[
+"+"UU dxdy, +"+"VV dxdy].
135
Macierze sztywności K i bezwładności B całego układu będącego modelem fundamentu
otrzymuje się w bazie współrzędnych uogólnionych g = [q, qb]T, gdzie q = [ge] jest wektorem
współrzędnych przypisanych elementom skończonym tworzących nadbudowę fundamentu.
Macierz te formalnie zapisujemy w postaci
K = ATK Ae + ATK Ab , B = ATBeAe + ATBbAb , (5)
" "
e e b b e b
e e
gdzie Ae, Ab są macierzami transformacji wektorów ge, qb na wektor g.
Wymuszenie drgań przyjęto w postaci Ff(t), gdzie F  wektor lokalizujący obciążenie, zaś
f(t)  funkcja przedstawiająca serię obciążeń krótkotrwałych  jak na rysunku 1. Wyraża ją
formuła
Rys. 1
n n
f(t) = A Sj(1(t-tj)-1(t-tj-T)) = A Sj(t, tj, T) (6)
" "
j j
j=1 j=1
gdzie: 1(t)  funkcja Heaviside a, tj = jÅ"", ", T  wartoÅ›ci staÅ‚e. Aj jest wielkoÅ›ciÄ…
deterministyczną lub zmienną losową (najczęściej wartością maksymalną, tzw.  amplitudą ),
natomiast Sj jest funkcją deterministyczną lub losową. Rozważano przypadki:
a) Sj = 1, b) Sj = (t-tj)/T, c) Sj = (T+tj-t)/T,
~
d) Sj = j e) Sj = sin( (t-tj)/T), f) Sj = \
(t)+ S (t). (7)
e-c(t-t )
Są to: a)  sygnał stały, b) i c) sygnały rosnący i malejący liniowo, d)  sygnał malejący
wykładniczo, e)  sygnał sinusoidalny, f)  sygnał stochastyczny (symbole ('", <") oznaczają
odpowiednio wartość oczekiwaną i losową fluktuację).
Macierz tłumienia C przyję to zgodnie z sugestiami literaturowymi i realiami praktycznymi w
postaci
C = ²1 ATKeAe + ²2 ATK Ab , (8)
"
e b b
e
gdzie ²1, ²2  parametry tÅ‚umienia Voigta-Kelvina fundamentu i podÅ‚oża gruntowego.
Równanie drgań układu, po zastosowaniu transformacji własnej
g = W·y, (9)
136
(W  macierz własna) ma postać
2
&& &
y + Cy y + {É }y = {m-1 }Qf(t) , (10)
gdzie: {m} = WTCW, {k} = WTKW, {É2} = {km-1}, Q = WTF, Cy = {m-1}WTCW.
Diagonalizacja macierzy Cy w celu rozseparowania równań (10) wymaga pominięcia
występujących w niej elementów sprzężenia. Błąd wynikający z takiego pominięcia będzie
jednak mały ze względu na duże zróżnicowanie sztywności podłoża i fundamentu (układ
 rozstrojony  [5]).
3. RozwiÄ…zanie problemu
Rozwiązanie równania (10) ma w zakresie wartości oczekiwanych y postać
t +T
j t
r
w
(t) = Âj +" { hj(t-Ä)}Q \
(Ä, tj, T)dÄ+s  hv(t-Ä)}Q \
v (Ä, tv, T)dÄ, (11)
"
+"{
j v
j=1
t t
j v
gdzie: hj  impulsowa funkcja przejścia,
s(t) = s = {1, gdy v" d" t < v"+T; 0, gdy "v +T d" t < (v+1)"},
r = {v-1, gdy s = 1; v, gdy s = 0}.
Macierz kowariancji cov y(t1, t2), w ogólnej formie ujmującej po dwa możliwe przypadki
s(t1)=s1 oraz s(t2) = s2, przedstawiono w [6]. W rozważanym tutaj zagadnieniu, gdy
przykładowo s1=0, s2 = 0, to
t +T
ti +T
v1 v2 j
~ ~ ~ ~
cov y(t1, t2) = E[AiA ] LE[ Si (Ä1, ti, T) Sj (Ä2, tj, T)] dÄ1dÄ2, (12)
" "
+" +"
j
i=0 j=0
ti t
j
gdzie L = {h(t1-Ä1)}QQT{h(t2-Ä2)}.
Rozwiązanie w bazie współrzędnych uogólnionych g otrzymujemy wykorzystując relacje
%1Å„ = Ww
, cov g(t1, t2) = W cov y(t1, t2)WT. (13)
Gdy probabilistyczna charakterystyka problemu jest opisana przez zmienne losowe, to
efektywne rozwiązanie może być uzyskane również metodą zbioru realizacji. Niech losowe
cechy obciążenia opisują parametry Aj=A, ", T, zmienną losową niech będzie także parametr
tÅ‚umienia podÅ‚oża ²2. Jeżeli rozwiÄ…zanie rozpatrywanego problemu przedstawia relacja (11),
w której pominięto symbol ( '" ), to wektory wartości oczekiwanych y(t) oraz wariancji var
y(t,t) przedstawiają formuły
w
(t) = y(Ak, "l, Tm, ²2n) P(Ak, "l, Tm, ²2n), (14)
" " " "
k l m n
137
var y(t,t) = ( y(Ak, "l, Tm, ²2n)- w
)2 P(Ak, "l, Tm,²2n), (15)
" " " "
k l m n
gdzie P(Ak, "l, Tm, ²2n) jest to prawdopodobieÅ„stwo zdarzenia.
Przejście do bazy współrzędnych uogólnionych g przedstawiają relacje (13). Dowolnie
określona odpowiedz
z(t) układu np. przemieszczenie lub naprężenie w wybranym punkcie
fundamentu określa relacja
z(t) = aTWy(t), (16)
a więc również
Ä™ (t) = aTW w
(t), cov z(t1, t2) = aTW cov y(t1, t2)WTa, (17)
gdzie a jest wektorem transformacji.
4. Przykład numeryczny
Przedmiotem analizy numerycznej jest fundament skrzyniowy, którego płyta dolna ma
nastÄ™ pujÄ…ce wymiary: 8·7,7·2 m. NadbudowÄ™ fundamentu stanowiÄ… pÅ‚yta górna o
wymiarach odpowiednie 7,4·7,5·0,7 m oraz cztery Å›ciany o gruboÅ›ci 0,8 m i wysokoÅ›ci
3,9 m, tworzące komorę zamknię tą. Pozostałe dane są nastę pujące: ro = 4,37 m (przyję to
założenie o równości pól prostokątnej podstawy fundamentu i zastę pczego pola
kołowego), głębokość zagłębienia fundamentu g = 2 m. Konstrukcję obciążono serią
impulsów prostokątnych o czę stości równej pierwszej czę stości drgań własnych
fundamentu. Siła wymuszająca jest przyłożona w środku górnej powierzchni
fundamentu, równolegle do osi x. Rozwiązanie zadania losowego dokonano przy
zaÅ‚ożeniu rozkÅ‚adu normalnego zmiennych losowych: parametru tÅ‚umienia podÅ‚oża ²2
oraz amplitudy obciążenia A, przechodzÄ…c do rozkÅ‚adu N(0,1). Dla zmiennej ²2 przyjÄ™ to
ò2 = 0,01 natomiast dla A  ÃA = 666.²1 jest staÅ‚e i wynosi 0,04.
Rys. 2. Rozkład naprężeń w elementach konstrukcji
138
Å‚
Rys. 3. Wykres zależności odchylenia standardowego przemieszczenia
od amplitudy A siły
Å‚
Rys. 4. Wykres zależności odchylenia standardowego przemieszczenia
od liczby tłumienia ą
139
Å‚
Rys. 5. Wykres zależności odchylenia standardowego naprężeń
od amplitudy A siły
Å‚
Rys. 6. Wykres zależności odchylenia standardowego naprężeń
od liczby tłumienia ą
ę ż ń
ę ż ń
140
Rys. 2 pokazuje wytężenie konstrukcji w poszczególnych elementach fundamentu. Uwagę
zwraca ściana równoległa do płaszczyzny xz, na której naprężenia wypadkowe osiągają wartości
największe. Na rysunkach od 3 do 6 przedstawiono relacje wartości oczekiwanych oraz
odchylenia standardowego przemieszczeń (punktu przyłożenia siły wzdłuż osi x) i naprężeń
(maksymalnych, jakie występują w konstrukcji) w zależności od liczby tłumienia ą oraz
amplitudy A siły. Widzimy, że powyższe relacje, gdy oś pozioma jest osią liczby tłumienia, nie są
liniowe, a zmienność przedstawionych wartości jest znaczna.
Podsumowanie
Sformułowano i rozwiązano problem drgań wymuszonych fundamentu skrzyniowego, który z
reguły jest traktowany jako blokowy. Uwzględniono odkształcalność nadbudowy, a założono,
że płyta dolna jest bryłą sztywną. Zgodnie z sugestiami praktyki inżynierskiej przyjęto, że
wybrane parametry są losowe i sformułowano rozwiązanie w zakresie teorii korelacyjnej.
Przeprowadzono wybrane analizy numeryczne i zamieszczono ich rezultaty. Wyniki te traktuje
się jako wstępne, testujące rozwiązanie analityczne, a przewiduje się analizę numeryczną w
szerokim zakresie. Uzupełniające wyniki zostaną przedstawione na konferencji.
Literatura
[1] LIPIC
SKI J., Fundamenty pod maszyny. Warszawa, Arkady, 1980.
[2] CHROBOK R. MIRONOWICZ W., W sprawie adekwatności modeli dynamicznych
fundamentów pod maszyny. Inż . i Bud. 1981, 5, s. 189-191.
[3] MIRONOWICZ W., ZOMBROC
M., Losowe drgania własne fundamentu skrzynio-
wego, XLVII Konf. KILW PAN i KN PZITB, Krynica 2001, t.2, s. 95-102.
[4] WOLF P. G., Foundation vibration analysis using simple physical models. Prentice Hall, 1994.
[5] Kusainov A. A., Clough R. W., Alternatives to standard mode superposition for analysis
of non-classically damped systems, Coll. of Engng. Univ. of California at Berkeley, rep.
UCB/EERC-88/09.
[6] MIRONOWICZ W., Problemy losowych drgań płytowych konstrukcji wsporczych pod
maszyny, Oficyna Wyd. Pol. Wr., s. monografie, 18, 1998.
RANDOM FORCED VIBRATION OF THE BOX FOUNDATION
Summary
Forced vibrations problem of the machine foundation, constructed with the lower plate
having large stiffness and the superstructure in the form of the more slender box is
considered. In the dynamic model of walls and upper plate of the superstructure bending and
slide compliances are taken into account. The excitation has the form of the series of short
duration shocks of random character. The solution is formulated in the correlation theory
sphere. The selected results of numerical analysis are given.