Drgania wymuszone:
Sporządz
charakterystyki amplitudowo częstotliwościowe dla układu na poniższym rysunku:
Dane:
k
j�1
j�2
k =� 1000N / m
k
m
m
F sint r
m =� 2kg
r
r =� 0,2m
x1 x2
F =� 20N
2 2
Równania więzów :
mr2 2 mr2 2 mx1 mx2
E =� j�1 +� j�2 +� +�
4 4 2 2 x1 =� j�1r
��
��x =� j�2r
3
2 2
�� 2
E =� mr2 j�1 +�j�2
(� )�
4
q =� j�1,j�1
{� }�
1 1 2
2
U =� kx2 +� k x1 +�j�1r -� x2 -�j�2r
(� )�
2 2
1 2
2
U =� kr2j�2 +� 2kr2 j�1 +�j�2
(� )�
2
d�W =� F sint ��d� x1 =� Fr sint ��d�j�1
Qj�1 =� F sint Qj� =� 0
2
Pochodne:
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH Strona 20
ć� �� ć� ��
d ś�E 3 d ś�E 3
=� mr2j�1 =� mr2j�2
�� �� �� ��
dt ś�j�1 ł� 2 dt ś�j�2 ł� 2
Ł� Ł�
ś�U ś�U
=� 4kr2 j�1 -�j�2 =� kr2j�2 -� 4kr2 j�1 -�j�2
(� )� (� )�
ś�j�1 ś�j�1
3 3
mr2j�1 +� 4kr2 j�1 -�j�2 =� Fr sin t mr2j�2 +� 5kr2j�2 -� 4kr2j�1 =� 0
(� )�
2 2
8 k 2F 8 k 8 k
����
(� )�
��j�1 +� 3 m j�1 -�j�2 =� 3mr sint
����j�1 +� 3 m j�1 -� 3 m j�2 =� f0 sin t
��
����
��j�2 +� 10 k j�2 -� 8 k j�1 =� 0 ��j�2 +� 10 k j�2 -� 8 k j�1 =� 0
����
�� 3 m 3 m �� 3 m 3 m
2F
gdzie: f0 =� =� 33,34
3mr
Poszukiwane rozwiązania w postaci (całka szczególna):
j�1 =� Asint j�1 =�-�Aw�2 sint
j�2 =� Bsint
j�2 =�-�Bw�2 sint
8 k 8 k
��
2
��-� A +� 3 m A -� 3 m B =� f0
��
��
��-� 2B +� 10 k B -� 8 k A =� 0
��
�� 3 m 3 m
�� 8 k 8 k
��
2
����
��A -� +� 3 m -� B 3 m =� f0
��A -� 2 +�1333,33 -� B ��1333,33 =� f0
(� )�
�� Ł� ł� ��
�� ��
2
2
(� )�
��-�A 8 k -� Bć� +� 10 k �� 0 ��-�A��1333,33-� B -� +�1666,67 =� 0
��
-� =�
����
��
3 m 3 m
Ł�ł�
��
2
-� +�1333,33 -�1333,33
2 2
W =� =� -� +�1333,33 -� +�1666,67 -�1333,332
(� )�(� )�
2
-�1333,33 -� +�1666,67
2
W =� v4 -�3000 +444452.2222
Częstości drgań własnych obliczamy przyrównując wyznacznik główny do 0.
W =� 0 �� w�4 -� 3000w�2+444452.2222 =� 0 - równanie charakterystyczne
D� =� 9000000 -� 8888884,4444 =� 7222191,11
D�=� 2687,41
3000 -� 2687,41 rad
2
w�1 =�=�156, 29 w�1 =� 12,5
f1 =� 2Hz
2 s
3000 +� 2687,41 rad f2 =� 8,5Hz
2
w�2 =�=� 2843,71 w�2 =� 53,33
2 s
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH Strona 21
166,67 -�1333,33
2
W1 =� =� 33,34 -� +�1666,67
(� )�
2
0 -� +�1666,67
2
-� +�1333,33 166,67
W2 =� =�1333,33��33,34 =� 44445,22
-�1333,33 0
Amplitudy w funkcji częstości wymuszenia przyjmują postać:
2
W2 44445,22
(� )�
W1 33,34 -� +�1666,67
B =� =�
(� )�
2
A =� =�
(� )�
2 W v4 -� 3000 +444452.22
W v4 -� 3000 +444452.22
A 0 =� 0,125rad B 0 =� 0,5rad
(� )� (� )�
Antyrezonans :
Antyrezonans :
nie występuje!!!
-�ar 2 +�1666,67 =� 0
rad
ar =� 40,82
s
Rys. 1 Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH Strona 22