Instytut Fizyki
Politechniki Wrocławskiej
Raport Serii SPR 332/98
Dwuwymiarowy ekscyton
w zewnętrznym polu elektrycznym.
Praca magisterska
Michał Tyc
Promotor: dr inż. Włodzimierz Salejda
Wrocław, czerwiec 1998
Spis treści
1. Wprowadzenie 3
2. Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej 4
3. Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu w studni kwantowej 7
4. Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrznego pola we współrzęd-
nych biegunowych 9
5. Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzędnych parabolicznych 11
6. Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trójwymiarowym 16
7. Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania 21
8. Wyniki obliczeń numerycznych 22
9. Podsumowanie 26
Dodatek 26
A. Współrzędne paraboliczne płaskie 26
B. Współrzędne obrotowo-paraboliczne 28
C. Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre a. Harmoniki sferyczne 30
D. Konfluentna funkcja hipergeometryczna 31
E. Wielomiany i funkcje Laguerre a 32
F. Wielomiany i funkcje Hermite a 33
G. Metody macierzowe rozwiÄ…zywania jednowymiarowego równania Schrö-
dingera 35
Literatura 37
2
1. Wprowadzenie
W ostatnich latach własności trójwymiarowego i dwuwymiarowego ekscytonu Wan-
niera-Motta są przedmiotem intensywnych badań [1 10]. W przypadku trójwymiarowym
przeprowadzono obszerną analizę wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na
energię wiązania pary elektron-dziura w materiałach półprzewodnikowych [3 7]. Przypa-
dek dwuwymiarowy analizowany był w pracy [8].
W ostatnim okresie zaawansowanymi metodami technologicznymi otrzymuje siÄ™ ma-
teriały półprzewodnikowe o ograniczonej geometrii, mające zastosowanie m. in. do bu-
dowy laserów. Ze względu na istotne znaczenie ekscytonów dla własności optycznych tych
materiałów ważnym zagadnieniem jest zbadanie właściwości widma energetycznego pary
elektron-dziura w przestrzeni dwuwymiarowej.
Dotychczas problem ekscytonu w strukturach dwuwymiarowych w zewnętrznym polu
elektrycznym rozważano głównie w przypadku, gdy kierunek pola był równoległy do kie-
runku wzrostu struktury [10]. Niniejsza praca dotyczy konfiguracji, w której pole skie-
rowane jest w płaszczyz
nie struktury. Rozpatrywane jest w niej zagadnienie ściśle dwu-
wymiarowe (na płaszczyz
nie, d = 2), które w tej konfiguracji stanowi przybliżenie pro-
blemu rzeczywistego. Zagadnienie dla d = 2 bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwią-
zano analitycznie w pracy [2], natomiast przypadek z polem badany był numerycznie w
pracy [8].
Celem pracy jest zbadanie wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na energię
wiÄ…zania dwuwymiarowego ekscytonu Wanniera-Motta.
W rozdziale 2. pracy przytoczone są  podstawowe dla dalszych rozważań  formuły
i bezwymiarowe postaci równaÅ„ Schrödingera dotyczÄ…cych dwu- i trójwymiarowego za-
gadnienia. Rozdział 3. uzasadnia stosowanie modelu ekscytonu dwuwymiarowego do opisu
ekscytonu w studni kwantowej. W rozdziale 4. przedstawiony jest opis ekscytonu w d = 2
bez zewnętrznego pola elektrycznego we współrzędnych biegunowych. Rozdział 5. zawiera
zasadniczy wynik pracy  opis ekscytonu w d = 2 we współrzędnych parabolicznych
z uwzględnieniem zewnętrznego pola elektrycznego. W kolejnym rozdziale przedstawione
jest porównanie otrzymanych formuł analitycznych z formułami dla ekscytonu w d = 3.
Rozdział 7. zawiera przybliżony opis rozpadu ekscytonu w polu elektrycznym poprzez
tunelowanie. Rozdział 8. przedstawia algorytm i wyniki obliczeń numerycznych. Praca
zakończona jest podsumowaniem. Dodatek zawiera definicje i podstawowe własności wy-
korzystywanych w pracy układów współrzędnych i funkcji specjalnych oraz krótki opis
wykorzystywanych do obliczeń metod numerycznych.
3
2. Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej
Załóżmy, że pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne są izotropowe i paraboliczne
oraz majÄ… ekstrema w Å›rodku strefy Brillouina (w punkcie “). Prawa dyspersji dla elek-
tronów  e i dziur  h mają wówczas postać
2
h2ke
Å»
µe(ke) = + µg,
2mĆ"
e
(2.1)
2
h2kh
Å»
µh(kh) = ,
2mĆ"
h
gdzie µg  przerwa energetyczna, a mĆ"  masy efektywne.
e,h
Jeżeli µe, µh j" µg i potencjaÅ‚ oddziaÅ‚ywania zmienia siÄ™ dostatecznie wolno w obsza-
rze, gdzie kwazicząstki się poruszają (odpowiada to ekscytonowi o dużym promieniu 
ekscytonowi Wanniera-Motta), możemy ich funkcje falowe przedstawić w postaci
¨(r) = u0(r) Åš(r),
gdzie u0  funkcja Blocha dla k = 0 (na dnie lub w wierzchołku pasma), a Ś(r) 
funkcja falowa obwiedni, speÅ‚niajÄ…ca równanie Schrödingera dla czÄ…stki swobodnej z masÄ…
efektywnÄ… [11].
Dla układu złożonego z elektronu i dziury równanie na funkcję obwiedni możemy
zapisać w postaci

h2 h2
Å» Å»
2 2
- "r - "r + Ueh(re, rh) Åš(re, rh) = (µexc - µg) Åš(re, rh), (2.2)
r r
2mĆ" re 2mĆ" rh
e h
-e2
gdzie re,h  położenia kwazicząstek, Ueh(re, rh) =  energia potencjalna
%EÅ‚ |re - rh|
oddziaÅ‚ywania kulombowskiego elektron-dziura (%EÅ‚ oznacza staÅ‚Ä… dielektrycznÄ…), a µexc 
energia ekscytonu.
Wprowadz
my teraz współrzędne: środka masy R i względną r,
mĆ"re + mĆ"rh
e h
R = , r = re - rh,
M
oraz masy: caÅ‚kowitÄ… M i zredukowanÄ… µ,
M = mĆ" + mĆ", µ-1 = mĆ"-1 + mĆ"-1.
e h e h
Równanie (2.2) sprowadza się wtedy do postaci

h2 h2 e2
Å» Å»
2 2
- "R - "r - Åš(R, r) = (µexc - µg) Åš(R, r) (2.3)
R r
R r
2M 2µ %EÅ‚r
4
i, po rozdzieleniu zmiennych R i r, daje rozwiÄ…zanie
1
K R
K R
"
Åš(R, r) = ei(K·R) È(r)
V
będące iloczynem fali płaskiej odpowiadającej swobodnemu ruchowi środka masy ekscy-
tonu oraz funkcji falowej È(r) odpowiadajÄ…cej ruchowi wzglÄ™dnemu elektronu i dziury
(V  objętość kryształu). Otrzymujemy również, że energia ekscytonu jest sumą energii
kinetycznej Å›rodka masy (Å» jest jego kwazipÄ™dem), energii wiÄ…zania µ oraz przerwy
hK
energetycznej µg:
h2K2
Å»
µexc = + µ + µg.
2M
EnergiÄ™ wiÄ…zania µ wyznaczamy z równania Schrödingera na funkcjÄ™ È(r):

h2 e2
Å»
- "2 - È(r) = µÈ(r). (2.4)
2µ %EÅ‚r
Równanie (2.3) można uogólnić wprowadzając zewnętrzne pole elektryczne E. Pojawi
się w nim wówczas dodatkowa energia potencjalna
2 2
U2 = Ue + Uh = e(E · re) - e(E · rh) = e(E · r),
która nie zależy od współrzędnej R, więc wejdzie tylko do równania (2.4). Wynika to
z faktu, że pole nie może wpływać na ruch środka masy elektrycznie obojętnego ekscytonu.
Włączenie pola powoduje, że zagadnienie przestaje być stacjonarne. Ekscyton ma
wtedy skończony czas życia, gdyż pole może go  rozerwać . Dokładne rozwiązanie ta-
kiego zagadnienia wymagaÅ‚oby posÅ‚użenia siÄ™ równaniem Schrödingera z czasem. Można
jednak potraktować problem kwazistacjonarnie (tj. przy założeniu, że czas życia ekscytonu
jest dostatecznie dÅ‚ugi) i posÅ‚użyć siÄ™ stacjonarnym równaniem Schrödingera.
Rozpatrując ekscyton w przestrzeni trójwymiarowej (d = 3), wybieramy tradycyjnie
E = [0, 0, E], natomiast w przestrzeni dwuwymiarowej (d = 2) kładziemy E = [E, 0].
Całkowity potencjał dany jest zatem wzorami
Å„Å‚
e2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - + eEz dla d = 3
òÅ‚
%EÅ‚r
U =
ôÅ‚
ôÅ‚
e2
ôÅ‚
ół
- + eEx dla d = 2.
%EÅ‚r
Wykres potencjału U(x, y) dla d = 2 jest przedstawiony na rys. 1, a jego przekrój wzdłuż
osi OX na rys. 2. Wykresy wykonane są w bezwymiarowych jednostkach, które zostaną
wprowadzone dalej.
Równanie Schrödingera opisujÄ…ce ekscyton w zewnÄ™trznym polu elektrycznym ma po-
stać


h2 e2 z
Å»
- "2 - + eE È(r) = µÈ(r), (2.5)
2µ %EÅ‚r x
gdzie górny symbol w nawiasach klamrowych dotyczy przypadku d = 3, a dolny  przy-
padku d = 2.
5
Rys. 1. Potencjał U(x, y) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)
Rys. 2. Potencjał U(x, 0) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)
6
Sprowadz
my wszystkie wielkości występujące w równaniu (2.5) do postaci bezwymia-
rowej. W tym celu pomnóżmy je stronami przez 2µ/Å»2, co prowadzi do
h


2µe2 2µeE z 2µµ
-"2 - + È(r) = È(r). (2.6)
%EłŻ2r h2 x h2
h Å» Å»
Wprowadz
my teraz jednostki: długości a0, energii W0 i pola E0,
%EłŻ2
h
a0 =  ekscytonowy promień Bohra,
µe2
µe4
W0 =  ekscytonowa stała Rydberga, (2.7)
2%EÅ‚2h2
Å»
e
E0 =  natężenie pola ładunku elementarnego w odległości a0.
%EÅ‚a2
0
WykorzystujÄ…c je, przepisujemy (2.6) w postaci


2 2E z µ
-"2 - + È(r) = È(r). (2.8)
a0r E0a3 x W0a2
0 0
Zdefiniujemy teraz bezwymiarowe wielkości:

[x2 , y2 , z2 ]
r2 = = r/a0  współrzędne,
[x2 , y2 ]
E2 = E/E0  natężenie pola,
µ2 = µ/W0  energia,
Å„Å‚ üÅ‚
3
2
òÅ‚ żł
a0/
È2 (r2 ) = È(a0r2 )  funkcja falowa.
ół þÅ‚
a0
Å„Å‚ üÅ‚
7
2
òÅ‚ żł
a0/
Mnożąc (2.8) przez otrzymujemy bezwymiarowe równanie Schrödingera
ół þÅ‚
a3
0

2 z2
-"2 2 - + 2 E2 È2 (r2 ) = µ2 È2 (r2 ). (2.9)
r2 x2
2
Dalej znaki będą pomijane.
W przypadku bez zewnętrznego pola (E = 0) równanie (2.9) daje się rozwiązać me-
todą separacji zmiennych dla d = 3 i d = 2 odpowiednio we współrzędnych sferycz-
nych (r, Ń, Õ) [12, 13] lub biegunowych (r, Õ) [2]. WÅ‚Ä…czenie pola E usuwa tÄ™ możliwość,
jednak daje się wtedy rozdzielić zmienne odpowiednio we współrzędnych parabolicznych
obrotowych (u, v, Õ) lub pÅ‚askich (u, v), o których mowa w Dodatku A i B.
3. Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu
w studni kwantowej
Funkcję falową elektronu lub dziury w studni kwantowej możemy przedstawić w postaci
iloczynu
¨(x, y, z) = È(x, y)Ç(z),
7
(oś OZ jest tu ustawiona wzdłuż kierunku wzrostu struktury). W przybliżeniu parabo-
licznym prawa dyspersji dla nośników ładunku mają postać (2.1), z tym że wektor falowy
k leży w płaszczyz
nie XY , a µg zastÄ…pić należy efektywnÄ… przerwÄ… energetycznÄ…
µ2 = µg + µ(z) + µ(z),
g e0 h0
gdzie µ(z)  energie najniższych poziomów elektronowych i dziurowych w studniach w
e,h 0
pasmie przewodnictwa i walencyjnym, pojawiajÄ…cych siÄ™ na skutek kwantowania ruchu
wzdłuż osi OZ. Zakładamy, że wyższe poziomy są nieobsadzone, jeśli istnieją.
Studnię kwantową wytworzoną w pasmie przewodnictwa (lub walencyjnym) półprze-
wodnikowej heterostruktury możemy w przybliżeniu opisywać w formalizmie masy efek-
tywnej za pomocÄ… prostokÄ…tnego potencjaÅ‚u U(z) = U0[1 - ¸(a/2 + z) ¸(a/2 - z)], gdzie
a  szerokość studni, a U0  jej głębokość.
Przy zwężaniu studni i zwiÄ™kszaniu wysokoÅ›ci barier funkcja Ç(z) staje siÄ™ coraz bar-
dziej zlokalizowana. W granicy a 0, U0 " mamy Ç(z) ´(z), co odpowiada
ściśle dwuwymiarowemu ruchowi elektronu (lub dziury) w płaszczyz
nie XY . Ilustruje to
rys. 3a przedstawiający wyniki wykonanych przez autora obliczeń dla studni w pasmie
przewodnictwa heterostruktury GaAs/Al0.3Ga0.7As. Zmiana materiału bariery na AlAs
(około 4-krotne zwiększenie U0) i odpowiednie zwężenie studni powoduje silniejszą lokali-
zacjÄ™ elektronu (rys. 3b).
Przedstawione na rys. 3 wyniki obliczeń zostały otrzymane za pomocą macierzowej
metody rozwiązywania równania masy efektywnej opisanej w raporcie [14].
W realnych strukturach nie jesteśmy w stanie dowolnie zwiększać wysokości barier
(brak jest odpowiednich materiałów). Dla wąskich studni prowadzi to do rozmycia funkcji
falowej Ç(z), co ilustruje rys. 3c, na którym zmniejszeniu a nie towarzyszy podwyższe-
nie bariery. Dodatkowo (ze względów technologicznych) nie można dowolnie zmniejszać
szerokości studni.
W modelu ściśle dwuwymiarowego ekscytonu przyjmujemy  trójwymiarowe (z poten-
cjałem typu 1/r) oddziaływanie kulombowskie elektron-dziura, bez uwzględnienia efektów
związanych z różnicą stałych dielektrycznych między materiałami studni i bariery. Przy-
jęcie  dwuwymiarowego potencjału typu ln r jest nieuzasadnione, gdyż cząstki znajdują
się w przestrzeni trójwymiarowej, a jedynie ich ruch jest ograniczony do wybranej płasz-
czyzny.
Pomimo powyższych ograniczeń model dwuwymiarowego ekscytonu stanowi ważne
zagadnienie. Pełny (trójwymiarowy) opis ekscytonu w studni kwantowej prowadzi do nie-
rozwiązywalnych analitycznie i bardzo złożonych numerycznie równań. Tymczasem model
dwuwymiarowy jest bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwiązywalny analitycznie, a
z polem stanowi stosunkowo prosty problem numeryczny, co zostanie wykazane w dalszej
części pracy.
Model dwuwymiarowy stanowi przybliżenie realnej sytuacji. Może być wykorzystany
jako element modeli bardziej dokładnych (np. [10]) oraz do weryfikacji wyników uzyska-
nych innymi metodami w granicznym przypadku a 0, U0 ".
8
Rys. 3. Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
studniach kwantowych heterostruktur GaAs/Al0.3Ga0.7As (a,c)
i GaAs/AlAs (b). ML = monowarstwa H" 2.8 Å
4. Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrz-
nego pola we współrzędnych biegunowych
Dwuwymiarowe równanie Schrödingera bez zewnÄ™trznego pola elektrycznego we współ-
rzędnych biegunowych ma postać

1 " " 1 "2 2
- r - - È(r, Õ) = µÈ(r, Õ). (4.1)
r "r "r r2 "Õ2 r
PrzedstawiajÄ…c funkcjÄ™ falowÄ… È(r, Õ) w postaci iloczynu Ç(r) Åš(Õ) i mnożąc (4.1) przez
9
-r2
dostajemy
Ç(r) Åš(Õ)

r d d 1 d2
r Ç(r) + 2r + µr2 + Åš(Õ) = 0. (4.2)
Ç(r) dr dr Åš(Õ) dÕ2
Jeśli wprowadzimy stałą separacji C, będziemy mogli zapisać (4.2) jako układ równań
typu {f1(Õ) = -C, f2(r) = C}. Pierwsze z nich jest równaniem na funkcje i wartoÅ›ci
własne operatora kwadratu momentu pędu rotatora płaskiego:
d2
- Åš(Õ) = C Åš(Õ).
dÕ2
1
Tymi funkcjami sÄ… Åšm(Õ) = (2Ä„)- /2eimÕ dla m = 0, Ä…1, Ä…2, . . .; wartoÅ›ci wÅ‚asne C = m2.
Po podstawieniu wartoÅ›ci C drugie z równaÅ„  na funkcjÄ™ radialnÄ… Ç(r)  bÄ™dzie
postaci

d2 1 d 2 m2
+ + - + µ Ç(r) = 0. (4.3)
dr2 r dr r r2
Zamiast rozwiązywać to równanie jak w pracy [2], skorzystamy z faktu, iż jest ono szczegól-
nym przypadkiem równania (D.4)  patrz Dodatek D. Rozwiązania poszukujemy zatem
w postaci rdebrF(a; c; r) (F  funkcja dana wzorem (D.3)). Po porównaniu współczyn-
ników otrzymujemy
1
 = -2b, µ = -b2, |d| = |m|, c = 1 + 2d, b = (a - d - /2)-1. (4.4)
Rozważamy stany zwiÄ…zane (µ < 0), wiÄ™c argument r funkcji F jest rzeczywisty. Nor-
mowalnym i zachowującym się właściwie przy r 0 rozwiązaniem będzie zatem (patrz
Dodatek D) funkcja
n
Çn(r) <" r|m|e- rF (|m| - n; 1 + 2|m|; 2nr)
(n całkowite i n |m|). Stała n określająca energie poszczególnych stanów ma postać
1
n = , (4.5)
1
n + /2
zatem poziomami energetycznymi sÄ…
1
µn,m = µn = - , (4.6)
1
(n + /2)2
a każdy z nich jest (2n + 1)-krotnie zdegenerowany (bez uwzględnienia spinu). Zgodnie z
oznaczeniami wprowadzonymi w [2] główną liczbę kwantową n liczymy od 0 (inaczej niż
w przypadku trójwymiarowym). Energia stanu podstawowego ekscytonu w d = 2 wynosi
µ0 = -4 i jest czterokrotnie wiÄ™ksza niż dla d = 3.
Ze wzorów (E.2) i (E.7)  patrz Dodatek E  otrzymujemy łatwą do unormowania
postać funkcji radialnej
Çn(r) <" L2|m| (2nr),
n-|m|
10
gdzie La (x)  funkcja Laguerre a (E.7). Warunkiem unormowania jest
N
"

|Çn(r)|2r dr = 1;
0
ze wzoru (E.10) mamy
"

1
2n + 1 (n + /2)3 -3
n
[L2|m| (2nr)]2r dr = = = .
n-|m|
42 2 2
n
0
Unormowanymi funkcjami bazy dla stanów związanych we współrzędnych bieguno-
wych są więc
1 3
c /2
Èn,m(r, Õ) = Ä„- /2n L2|m| (2nr) eimÕ =
n-|m|


3
/2
n (n - |m|)!
n
= " e- r[2nr]|m|L2|m| (2nr) eimÕ. (4.7)
n-|m|
Ä„ (n + |m|)!
gdzie La (x)  uogólnione wielomiany Laguerre a (E.1). Funkcją falową stanu podstawo-
N
wego jest

c
È0,0(r, Õ) = 8/Ä„ e-2r.
5. Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzęd-
nych parabolicznych
Równanie Schrödingera (2.9) w pÅ‚askich współrzÄ™dnych parabolicznych przyjmie, na
podstawie wzorów (A.1) i postaci laplasjanu (A.6), postać

1 "2 "2 4
- + - + (u2 - v2)E È(u, v) = µÈ(u, v). (5.1)
u2 + v2 "u2 "v2 u2 + v2
u2 + v2
Przedstawmy funkcjÄ™ È(u, v) jako iloczyn f(u) g(v) i pomnóżmy (5.1) przez - ;
f(u) g(v)
otrzymamy

1 d2 1 d2
f(u) - Eu4 + µu2 + 2 + g(v) + Ev4 + µv2 + 2 = 0. (5.2)
f(u) du2 g(v) dv2
Zapiszmy (5.2) w postaci układu równań typu {f1(u) = -C, f2(v) = C} bez osobliwości
w punkcie (0, 0), wprowadzając stałą separacji C:

Å„Å‚
ôÅ‚ d2 d2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - - µu2 + Eu4 - 2 f(u) = - + V+(u) f(u) = -Cf(u),
òÅ‚
du2 du2

(5.3)
ôÅ‚
d2 d2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
- - µv2 - Ev4 - 2 g(v) = - + V-(v) g(v) = Cg(v).
ół
dv2 dv2
11
Równania (5.3) majÄ… postać zbliżonÄ… do jednowymiarowych równaÅ„ Schrödingera. SÄ…
to zagadnienia wÅ‚asne na staÅ‚Ä… separacji C, a energia wiÄ…zania µ jest tu parametrem
w funkcjach, które będą dalej nazywane kwazipotencjałami (odpowiadają one potencjałom
w równaniu Schrödingera):
V+(u) = -µu2 + Eu4 - 2,
(5.4)
V-(v) = -µv2 - Ev4 - 2.
Procedura numerycznego rozwiązywania układu równań (5.3) powinna więc polegać na
znalezieniu takiej wartoÅ›ci µ(E), dla której wartoÅ›ci wÅ‚asne C i -C otrzymane z obu
równań (5.3) będą identyczne.
Należy tu dodać, że alternatywna definicja współrzędnych parabolicznych (Doda-
tek A), zastosowana w pracy [8], także pozwala na rozdzielenie zmiennych w równa-
niu (2.9). Otrzymujemy wtedy ukÅ‚ad dwóch jednowymiarowych równaÅ„ Schrödingera,
w których parametrem jest stała separacji, a wartością własną energia. Równania te są
jednak znacznie trudniejsze do numerycznego rozwiązywania niż (5.3), gdyż zawierają
osobliwości.
W punkcie v = 0 nie możemy położyć dogodnego w obliczeniach numerycznych wa-
runku początkowego g(0) = 0, gdyż implikowałoby to nieuzasadnione przypuszczenie
È(0, 0) = 0. Wartość g(0) jest nieznana. Aby ominąć tÄ™ trudność, rozszerzymy dziedzinÄ™
zmiennej v na wartości ujemne (wykorzystujemy dwuznaczność odwzorowania konforem-
nego (A.5)). PociÄ…ga to za sobÄ… warunek
È(u, v) = È(-u, -v) (5.5)
(patrz Dodatek A). Ze względu na to, że kwazipotencjały (5.4) są funkcjami parzystymi,
funkcje f(u) i g(v) muszą być parzyste bądz
nieparzyste. Równość (5.5) zajdzie tylko
wtedy, gdy parzystość f i g będzie taka sama.
Wykresy kwazipotencjałów w przypadku z polem i bez pola (w rozszerzonej dziedzinie
v) przedstawia rys. 4.
Zajmijmy się teraz przypadkiem E = 0, który jest rozwiązywalny analitycznie. Rów-
nania (5.3) przyjmują wtedy postać

d2
- + 2w2 fÄ…(w) = (2 Ä… C) fÄ…(w), (5.6)
dw2
gdzie w oznacza u lub v, f- i f+  odpowiednio funkcje f i g, a 2 = -µ. Przy jego
rozwiązywaniu moglibyśmy skorzystać z ogólniejszego równania (D.5). Warto jednak za-
uważyć, że (5.6) jest odwróconym zagadnieniem własnym kwantowego liniowego oscylatora
harmonicznego. Jego rozwiÄ…zaniami sÄ… (patrz (F.8)) dla nÄ… = 0, 1, 2, . . . funkcje Hermite a
"
fn (x) <" Hn (  x), (5.7)
Ä… Ä…
a wartości własne 2 ą C = (2ną + 1). Wybór znaku + lub - zależy od tego, które
z równań układu (5.3) rozpatrujemy.
Dodając do siebie obie wartości własne dostajemy
4 = (2n+ + 2n- + 2)n n-
+
2
n n- = .
+
n+ + n- + 1
12
Rys. 4. Kwazipotencjały V+(u) i V-(v) dla różnych wartości pola E.
Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0
Symbole n+ i n- oznaczają paraboliczne liczby kwantowe. Ze względu na narzucony wa-
runek È(u, v) = È(-u, -v) mamy
n+ + n- = 2n, n = 0, 1, 2, . . . , (5.8)
gdzie n  główna liczba kwantowa (jak we współrzędnych biegunowych), bowiem energia
stanów wyraża się tylko przez nią:
1
n ,n- = n = ,
+
1
n + /2
1
µn ,n- = µn = - .
+
1
(n + /2)2
Ze wzoru (5.7) możemy wyznacyć unormowane funkcje falowe È(u, v)

1
Èn ,n-(u, v) = (In ,n-)- /2Hn ( n u) Hn ( n v),
+ + - +
13
przy czym czynnik normalizacyjny In ,n- znajdujemy, posługując się iloczynem skalar-
+
nym (A.7):
" "

2In ,n- = |fn (u) gn (v)|2(u2 + v2) du dv =
+ - +
-"-"
(5.9)
" " " "

= |fn (u)|2 du |gn (v)|2 v2 dv + |fn (u)|2 u2 du |gn (v)|2 dv.
- + - +
-" -" -" -"
Zastosujmy do tych całek wzory (F.7) i (F.10); otrzymamy
1 1 3
1 1 1
In ,n- = - /2 - /2(n+ + /2 + n- + /2) = (n + /2) -2 = -3 = In
+ n n n n
2
(In zależy tylko od n). Dla wygody zmieńmy wskaz
niki funkcji È, tak aby zawieraÅ‚y
główną liczbę kwantową n zgodnie z (5.8). Jako drugą liczbę kwantową wybierzemy j =
1
/2(n+ - n-) (j = -n, -n + 1, . . . , n - 1, n).
Ostatecznie unormowane funkcje bazy dla stanów związanych mają we współrzędnych
parabolicznych postać

3
p
/2
Èn,j(u, v) = n in+j Hn-j( n u) Hn+j( n v) =
3
/2
n 2-n in+j 1
= "
e- /2n(u2+v2)Hn-j( n u) Hn+j( n v), (5.10)
Ä„
(n - j)! (n + j)!
gdzie HN (x)  wielomiany Hermite a (F.1). Czynnik in+j został dodany w celu uzyskania
prostszej postaci macierzy transformacji, które są przedstawione dalej. Funkcją falową
stanu podstawowego jest

2
p
È0,0(u, v) = 8/Ä„ eu +v2.
p
c
Funkcje Èn,m(r, Õ) wyrażajÄ… siÄ™ przez kombinacje liniowe fukncji Èn,j(u, v) z tÄ… samÄ…
wartością n, co oznacza, że funkcje (5.10) nie są funkcjami własnymi operatora momentu
pędu.
W podprzestrzeniach liniowych o określonej wartości liczby kwantowej n mamy zatem
p
c
bazy |Èn,j i |Èn,m . Zachodzić muszÄ… równoÅ›ci
n n

p p (n) p
c c
|Èn,m = |Èn,j Èn,j|Èn,m = Tj,m|Èn,j ,
j=-n j=-n
(5.11)
n n

p p (n)"
c c c
|Èn,j = |Èn,m Èn,m|Èn,j = Tj,m |Èn,m .
m=-n j=-n
Aby znalez
ć elementy macierzy transformacji T(n), czyli wartości całek definiujących
p
c
iloczyny skalarne wystÄ™pujÄ…ce we wzorach (5.11), należy sprowadzić funkcje |Èn,j i |Èn,m
do tego samego układu współrzędnych. Dla uniknięcia całkowania wielomianów trygono-
metrycznych przejdziemy do układu parabolicznego.
14
Korzystamy z zależności (A.3) i przekształcamy najpierw dwa czynniki z funkcji falo-
wej (4.7):

(2nr)|m|eimÕ = (2nr)|m|(r/r)m = (2nr)|m|(s2/2r)m =


(2nr)|m|s2|m|(2r)-|m| dla m 0
=

(2nr)|m|(s")2|m|(2r)-|m| dla m 0

(2nr)|m|eimÕ = [ n(u + iv sgn m)]2|m|,
a dalej




3/2 (n - |m|)!
r n

Èn,m(u, v) = " [ n(u + iv sgn m)]2|m| ×
Ä„ (n + |m|)!
1
× e- /2n(u2+v2)L2|m| (nu2 + nv2). (5.12)
n-|m|
(n)
Dla m = 0 możemy wyznaczyć liczby Tj,m korzystając ze związków między funkcjami
Laguerre a i Hermite a (F.11):

cos2[(n + j)Ä„/2] n
(n)
Tj,0 = (n - j)! (n + j)!.
n! 2n ij-n (n - j)/2
Kilka pierwszych macierzy T(n) jest zestawionych poniżej:
îÅ‚ Å‚Å‚
"
1 1 6 1 1
ïÅ‚ śł
- -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 4 2 4 2 4 śł
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
"
ïÅ‚ śł
1 2 1 1 1 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -
śł
- 0 -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 2 2 2 śł 2 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ " " śł "2 2 "
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 2 6 1 6
ïÅ‚ śł
T(0) = [ 1 ], T(1) = , T(2) = ïÅ‚ śł ,
ïÅ‚ - 0 śł 0 - 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 2 ïÅ‚ 4 2 4 śł
ïÅ‚ śł
" ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 2 1 ûÅ‚ 1 1 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ - - 0 śł
ïÅ‚ śł
2 2 2 2 2 2 2
ïÅ‚ śł
"
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 1 6 1 1 ûÅ‚
4 2 4 2 4
15
îÅ‚ Å‚Å‚
" " " " "
1 6 15 5 15 6 1
ïÅ‚ śł
- - -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
8 8 8 4 8 8
ïÅ‚ śł
" " "8 "
ïÅ‚ śł
6 1 10 10 1 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
- - 0 -
ïÅ‚ śł
8 2 8 8
ïÅ‚ śł
" " " "2 "8
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
15 10 1 3 1 10 15
ïÅ‚ śł
- - - -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 8 8 8 8 8 śł
ïÅ‚ " "8 4 " " śł
ïÅ‚ śł
5 3 3 5
ïÅ‚ śł
T(3) = .
ïÅ‚ - 0 0 - 0
śł
ïÅ‚ śł
4 4 4
ïÅ‚ śł
" " " " "4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
15 10 1 3 1 10 15
ïÅ‚ śł
- - -
ïÅ‚ śł
8 8 8 8 8
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ " "8 4 " " śł
ïÅ‚ śł
6 1 10 10 1 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ - - - 0 śł
ïÅ‚ śł
8 8 2 8
ïÅ‚ śł
"2 " " "8 "
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 6 15 5 15 6 1 ûÅ‚
8 8 8 4 8 8 8
Są one macierzami rzeczywistymi i symetrycznymi dzięki dodaniu w funkcjach (5.10)
czynnika in+j.
6. Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trój-
wymiarowym
Równanie Schrödingera dla ekscytonu trójwymiarowego bez zewnÄ™trznego pola (jest
to znane zagadnienie atomu wodoru [12, 13]) ma we współrzędnych sferycznych postać

1 " " 1 " " 1 "2 2
- r2 - sin Ń - - È(r, Ń, Õ) =
r2 "r "r r2 sin Ń "Ń "Ń r2 sin2 Ń "Õ2 r
= µÈ(r, Ń, Õ). (6.1)
PrzedstawiajÄ…c funkcjÄ™ falowÄ… È(r, Ń, Õ) w postaci iloczynu Ç(r) Åš(Ń, Õ) i mnożąc (6.1)
-r2
przez otrzymujemy ukÅ‚ad równaÅ„ typu {f1(Ń, Õ) = -C, f2(r) = C}. Pierw-
Ç(r) Åš(Ń, Õ)
sze z nich jest zagadnieniem własnym operatora kwadratu momentu pędu:

1 " " 1 "2
- sin Ń + Åš(Ń, Õ) = C Åš(Ń, Õ).
sin Ń "Ń "Ń sin2 Ń "Õ2
Jego unormowanymi funkcjami wÅ‚asnymi sÄ… harmoniki sferyczne Yl,m(Ń, Õ) zdefiniowane
wzorem (C.2), gdzie l = 0, 1, 2, . . ., a m = -l, -l + 1, . . . , l - 1, l; wartościami własnymi
sÄ… liczby C = l(l + 1).
Drugie równanie  na funkcjÄ™ radialnÄ… Ç(r)  po wstawieniu wartoÅ›ci C przyjmie
postać

d2 2 d 2 l(l + 1)
+ + - + µ Ç(r) = 0. (6.2)
dr2 r dr r r2
16
Jest to, podobnie jak dla d = 2, szczególny przypadek równania (D.4), więc rozwiązania
poszukujemy w postaci rdebrF(a; c; r) (F  funkcja postaci D.3). Porównanie współczyn-
ników oraz żądanie normowalności rozwiązania i jego właściwego zachowania przy r 0
daje
Çn,l(r) <" rle-r/nF (-n + 1 + l; 2 + 2l; 2r/n)
dla całkowitych n > l (F  konfluentna funkcja hipergeometryczna (D.2)). Korzystając
ze wzorów (E.2) i (E.7) możemy napisać
1
Çn,l(r) <" [2r/n]- /2L2l+1 (2r/n).
n-1-l
NormujÄ…c funkcjÄ™ Çn,l(r) zgodnie z warunkiem
"

|Çn,l(r)|2r2 dr = 1.
0
otrzymujemy, przy pomocy wzorów (E.9) i (E.10), funkcje falowe bazy dla stanów zwią-
zanych we współrzędnych sferycznych:
1
s
Èn,l,m(r, Ń, Õ) = 2n-2[2r/n]- /2L2l+1 (2r/n) Yl,m(Ń, Õ) =
n-1-l



2 (n - l - 1)!

= [2r/n]le-r/nL2l+1 (2r/n) Yl,m(Ń, Õ), (6.3)
n-1-l
n2 (n + l)!
gdzie La  uogólnione wielomiany Laguerre a (zgodnie z (E.7)). Funkcją falową stanu
N
podstawowego jest

s
È1,0,0(r, Ń, Õ) = 2/Ä„ e-r.
Energie kolejnych poziomów mają wartość
1
µn,l,m = µn = - , (6.4)
n2
a krotność degeneracji n-tego poziomu wynosi (bez uwzględnienia spinu) n2.
Równanie (2.9) daje się rozseparować dla d = 3 także we współrzędnych parabo-
licznych, również w przypadku E = 0. Korzystając z zależności (B.1) i postaci lapla-

sjanu (B.6) otrzymujemy

1 1 " " 1 " " u2 + v2 "2
- u + v + +
u2 + v2 u "u "u v "v "v u2v2 "Õ2

4
- + (u2 - v2)E È(u, v, Õ) = µÈ(u, v, Õ). (6.5)
u2 + v2
Aby wydzielić część kÄ…towÄ…, przedstawiamy funkcjÄ™ falowÄ… È(u, v, Õ) w postaci iloczynu
Ć(u, v) Åš(Õ). Jeżeli wprowadzimy staÅ‚Ä… separacji D, po przeksztaÅ‚ceniach otrzymamy
ukÅ‚ad równaÅ„ typu {f1(Õ) = -D, f2(u, v) = D}. Pierwsze z nich to zagadnienie wÅ‚asne
operatora kwadratu z-owej składowej momentu pędu:
d2
- Åš(Õ) = D Åš(Õ),
dÕ2
17
1
a jego rozwiÄ…zaniami sÄ… Åšm(Õ) = (2Ä„)- /2eimÕ dla m = 0, Ä…1, Ä…2, . . . oraz D = m2.
Wybór kierunku pola E wzdłuż osi OZ pozwala jednak także na rozdzielenie zmien-
nych u i v. Wstawiając wartość D do drugiego równania, zapisując Ć(u, v) w postaci
Å»
iloczynu f(u) !(v) i wprowadzając nową stałą separacji C, otrzymujemy układ dwóch
równań:

Å„Å‚
ôÅ‚ 1 d d m2
ôÅ‚
Å»
ôÅ‚
u + µu2 - Eu4 - + 2 - C f(u) = 0,
ôÅ‚
òÅ‚
u du du u2

(6.6)
ôÅ‚
1 d d m2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
v + µv2 + Ev4 - + 2 + C !(v) = 0.
ół
v dv dv v2
Jeżeli użyjemy nowych funkcji
" "
Å»
f(u) = u f(u), g(v) = v !(v), (6.7)
d2
to równania (6.6) przybiorą postać zagadnień własnych dla operatora typu - + V(w)
dw2
(w " 0, ") oznacza tu u lub v), analogicznÄ… do jednowymiarowych równaÅ„ Schrödingera:

Å„Å‚
1
ôÅ‚ d2 m2 - /4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - - µu2 + Eu4 + - 2 f(u) = -Cf(u),
òÅ‚
du2 u2

(6.8)
1
ôÅ‚
d2 m2 - /4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
- - µv2 - Ev4 + - 2 g(v) = Cg(v).
ół
dv2 v2
Są to, podobnie jak w przypadku d = 2, równania na wartości własne stałej separacji C,
w których energia jest parametrem określającym kwazipotencjały
1
m2 - /4
V+(u) = -µu2 + Eu4 + - 2,
u2
(6.9)
1
m2 - /4
V-(v) = -µv2 - Ev4 + - 2.
v2
Ich wykresy dla przypadków z polem i bez pola oraz dla różnych wartości liczby kwantowej
m przedstawia rys. 5.
Warto tu zauważyć, że przyjęcie współrzędnych parabolicznych w wersji proponowanej
przez Landaua i Lifszica ([12] oraz Dodatek B) prowadzi do układu dwóch standardowych
równaÅ„ Schrödingera. Obliczenia oparte na takim podejÅ›ciu zawiera praca [1].
m2
Odpychająca część kwazipotencjałów typu jest związana z występowaniem siły
w2
odśrodkowej przy ruchu obrotowym wokół osi OZ (znika dla stanów z rzutem momentu
1
pędu m = 0), a część przyciągająca - pojawia się tylko na skutek transformacji (6.7).
4w2
W przypadku, gdy brak zewnętrznego pola, równania układu przyjmują postać

1
d2 m2 - /4
+ µw2 - + 2 Ä… C fÄ…(w) = 0, (6.10)
dw2 w2
gdzie f- oznacza funkcję f, a f+  funkcję g, która jest rozwiązywalna analitycznie.
Jest to szczególny przypadek równania (D.5), więc rozwiązania poszukujemy w postaci
18
Rys. 5. Kwazipotencjały V+(u) i V-(v) dla różnych wartości liczby kwan-
towej m. Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0
1
rde- /2 br2F(a; c; r2) (F  funkcja postaci (D.3)). Porównując współczynniki i żądając
normowalności funkcji falowej i jej właściwego zachowania dla u, v 0 otrzymujemy
rozwiÄ…zanie postaci
1 2 1
/2
fÄ…(w) <" w|m|+ /2e-w /2nF (-nÄ…; |m| + 1; w2/n) <" w L|m|(w2/n), (6.11)
nÄ…
gdzie ną  paraboliczne liczby kwantowe (skorzystaliśmy z (E.2) i (E.7)).
Możemy wprowadzić główną liczbę kwantową n:
1 1
= , (6.12)
n n+ + n- + |m| + 1
od której (wyłącznie) zależy energia stanu:
1
µn = - .
n2
Na podstawie wzorów (6.7) i (6.11) wyznaczamy unormowane funkcje Ć(u, v):
1 1
Ćn ,n-,m(u, v) = (In ,n-,m)- /2fn,n (u) gn,n ,m(v) = (In ,n-,m)- /2L|m|(u2/n) L|m|(v2/n),
+ + -,m
+ + n-
n+
19
gdzie czynnik normalizacyjny In ,n-,m wyraża się (na podstawie (B.7)) przez całkę
+
"
"
In ,n-,m = |fn,n (u) gn,n ,m(v)|2(u3v + uv3) du dv. (6.13)
+ -,m
+
0 0
Ostatecznie dostajemy
n3 n4
In ,n-,m = [2(n+ + n-) + 2|m| + 2] = ,
+
4 2
przy użyciu związków między liczbami kwantowymi (6.12). Ponieważ liczby te nie są
niezależne (jest ich o jedną za dużo), oznaczmy n- = j; wtedy n+ = n-1-|m|-j i mamy
liczby kwantowe n (opisującą energię stanu), m (opisującą składową z-ową momentu pędu)
oraz j.
Unormowanymi funkcjami falowymi bazy dla stanów związanych we współrzędnych
parabolicznych są więc
1
p
Èn,j,m(u, v, Õ) = [- sgn m]mÄ„- /2 n-2L|m|(u2/n) L|m| (v2/n) eimÕ =
j
n-1-|m|-j



[- sgn m]m j! (n - 1 - |m| - j)!

= ×
n2 Ä„(j + |m|)! (n - 1 - j)!

|m|
uv u2 + v2
× exp - L|m|(u2/n) L|m| (v2/n) eimÕ. (6.14)
j
n-1-|m|-j
n 2n
Dodanie czynnika [- sgn m]m ma za zadanie uproszczenie macierzy transformacji, które
opisane będą na końcu rozdziału.
Występujące w funkcjach (6.14) liczby kwantowe n i m są identyczne z tymi, które
s
numerujÄ… funkcje Èn,l,m(r, Ń, Õ), natomiast j przyjmuje wartoÅ›ci 0, 1, . . . , n-1-|m|. Funk-
cja we współrzędnych sferycznych o danych n, l, m wyraża się przez kombinację liniową
funkcji we współrzędnych parabolicznych o tych samych n, l i różnych j. Oznacza to, że
p
funkcje Èn,i,m(u, v, Õ) nie sÄ… stanami wÅ‚asnymi operatora momentu pÄ™du (a tylko jego
składowej z).
W podprzestrzeniach liniowych o określonych wartościach liczb kwantowych n i m
p
s
mamy zatem bazy |Èn,j,m i |Èn,l,m . SpeÅ‚nione sÄ… równoÅ›ci
n-1-|m| n-1-|m|

p p (n,m) p
s s
|Èn,l,m = |Èn,j,m Èn,j,m|Èn,l,m = Tj,l |Èn,j,m ,
j=0 j=0
(6.15)
n-1 n-1

p p (n,m)"
s s s
|Èn,j,m = |Èn,l,m Èn,l,m|Èn,j,m = Tj,l |Èn,l,m .
l=|m| l=|m|
Unitarne macierze transformacji T(n,m) pomiędzy bazami można wyznaczyć obliczając
iloczyny skalarne występujące we wzorach (6.15). Aby znalez
ć wartości definiujących te
p
s
iloczyny caÅ‚ek, trzeba sprowadzić funkcje |Èn,j,m i |Èn,l,m do tego samego ukÅ‚adu współ-
rzędnych; najdogodniejszy jest w tym przypadku układ sferyczny. Kilka obliczonych ma-
20
cierzy T(n,m) jest zestawionych poniżej:
îÅ‚ Å‚Å‚
" " "
3 2 6
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
" "
ïÅ‚ śł
2 2 ïÅ‚ 3 2 6 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ " " śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 2 3 6
ïÅ‚ śł
T(n,Ä…(n-1)) = [ 1 ], T(n,Ä…(n-2)) = ïÅ‚ śł , T(3,0) = ,
" "
ïÅ‚ 0 - śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
" " "3
-
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2 3 2 6
-
3 2 6
îÅ‚ Å‚Å‚
" "
1 3 5 1 5
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
" " "
ïÅ‚ śł
30 2 5 2 10 2 10
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
" "
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 10 2 5 śł 1 5 1 3 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ " " śł
- - śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
10 15 2 10 2 10
ïÅ‚ śł
T(4,Ä…1) = , T(4,0) = ïÅ‚ śł .
" "
ïÅ‚ 0 - śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 1 5 1 3 5 śł
ïÅ‚ śł
"5 " "5 ïÅ‚ śł
- -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
30 2 5 2 10 2 10
ïÅ‚ śł
" "
- ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
10 2 5 1 3 5 1 5
- -
2 10 2 10
Równości T(n,ą(n-1)) = [ +1 ] oraz T(n,m) = T(n,-m) zachodzą dzięki dodaniu w funk-
cjach (6.14) czynnika [- sgn m]m.
Dokładniejsze wyprowadzenia zawartych w tym rozdziale formuł znajdują się w ra-
porcie [15].
7. Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania
Jak zostało to już powiedziane w rozdziale 2., zagadnienie ekscytonu w zewnętrznym
(dowolnie słabym) polu elektrycznym jest niestacjonarne. Rozpatrując problem w sposób
kwazistacjonarny można w przybliżeniu określić zmianę widma energetycznego ekscytonu
oraz znalez
ć wartość pola Ei, dla której stan podstawowy przestaje istnieć. Rozpad (jo-
nizacja) ekscytonu może jednak nastąpić dla |E| < Ei, a ściślej dla dowolnego E = 0.

Jest to skutkiem kwantowego efektu tunelowania, który pozwala na przejście ekscytonu
poprzez barierę potencjału ze stanu związanego ze zlokalizowaną funkcją falową do stanu
z funkcją falową rozciągłą.
Tunelowanie przez dwuwymiarową barierę jest bardzo złożonym zagadnieniem, dla-
tego ograniczmy się do przybliżenia jednowymiarowego. Rozpatrzmy przekrój potencjału
U(x, y) wzdłuż osi OX (rys. 6).
Dla czÄ…stki o energii µ bariera rozciÄ…ga siÄ™ pomiÄ™dzy punktami x1 i x2:
" "
µ + µ2 - 16E µ - µ2 - 16E
x1 = , x2 = .
4E 4E
Jeżeli funkcję falową cząstki w punkcie x1 przedstawimy w postaci kombinacji fali pada-
jÄ…cej i fali odbitej ¨1 + ¨2, a w punkcie x2 w postaci fali przechodzÄ…cej ¨3, możemy w
21
Rys. 6. Tunelowanie przez jednowymiarową barierę potencjału
przybliżeniu WKB [13] wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia przez barierę (współ-
czynnik tunelowania)
ëÅ‚ öÅ‚
x2

íÅ‚
T H" exp -2 |k(x)| dxłł ,
x1
gdzie |k|  moduł wektora falowego (w barierze jest on liczbą urojoną). W jednostkach
atomowych (2.7) powyższy wzór ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
x2


íÅ‚
T H" exp -2 U(x) - µ dxÅ‚Å‚ . (7.1)
x1
Wielkość ta związana jest z czasem życia ekscytonu, jednak ze względu na przyjęte
uproszczenia nie można tego związku podać explicite.
8. Wyniki obliczeń numerycznych
Rozwiązywanie układu równań (5.3) równoważne jest poszukiwaniu miejsca zerowego
funkcji
+ -
hE(µ) = C0 (E, µ) + C0 (E, µ),
Ä…
gdzie C0 oznacza najniższą wartość własną stałej separacji C otrzymaną odpowiednio z
pierwszego i drugiego równania układu (5.3). Wystarczy znalez
ć tylko najniższe wartości
własne, gdyż to one odpowiadają stanowi podstawowemu ekscytonu.
Wartości własne zagadnień (5.3) wyznaczane były numerycznie przy pomocy macie-
rzowych metod siatkowych: trójpunktowej i Lindberga, opisanych w Dodatku G. W ten
22
sposób problem sprowadził się do znajdowania najniższej wartości własnej macierzy trój-
diagonalnych za pomocą metody bisekcji. Metoda ta jest prosta, szybka i dokładna, co
zostało potwierdzone licznymi testami.
SpecyficznÄ… cechÄ… zastosowanych metod jest rozpatrywanie równania Schrödingera na
ograniczonym przedziale, na brzegach którego zakłada się znikanie funkcji falowej. Jest to
równoważne postawieniu na końcach przedziału nieskończonych barier potencjału.
W przypadku kwazipotencjału V+(u) nałożenie takiego warunku brzegowego nie powo-
duje istotnego błędu (o ile rozpatrywany przedział jest dostatecznie szeroki), gdyż funkcja
f(u) w barierze szybko zanika. Jest to skutkiem kształtu kwazipotencjału (rys. 4).
Dla potencjału V-(v) natomiast funkcja g(v) nie zanika dla |v| " i trzeba tak
dobrać szerokość rozpatrywanego przedziału, aby nałożenie sztucznych warunków brzego-
wych powodowało możliwie mały błąd. Okazuje się, że wybór przedziału -v1, v1 (rys. 7,

1
grubsza linia przerywana), gdzie v1 = /2|µ/E|, prowadzi do bÅ‚Ä™dnych wyników (energia
ekscytonu w silnym polu rośnie). Wybór przedziału -v2, v2 z potencjałem stałym na
odcinkach -v2, -v1 i v1, v2 (cieńsza linia przerywana rys. 7) powoduje natomiast, że
energia µ przy wzroÅ›cie pola maleje, a wyniki ustalajÄ… siÄ™ przy wzroÅ›cie odlegÅ‚oÅ›ci |v2-v1|.
Rys. 7. Wybór warunków brzegowych dla potencjału V-
Obie metody (trójpunktowa i Lindberga) dają jednakowe wyniki. Większa dokładność
metody Lindberga przejawia się tylko przy bardzo słabych polach: poprawki do energii
stanu podstawowego obliczone dla różnych wartości E wykazują w niej mniejszy rozrzut
wokół krzywej opisanej równaniem (8.1).
Rys. 8 przedstawia obliczone wartości energii wiązania stanu podstawowego dwuwy-
miarowego ekscytonu µ0(E) (linia ciÄ…gÅ‚a). Linia kropkowana przedstawia wartość poten-
"
cjału w jego maksimum na osi OX (por. rys. 6) Ub(E) = -4 E, a linia przerywana
23
różnicÄ™ µ0 - Ub. Rozpad ekscytonu interpretowany jest jako spadek tej różnicy do 0 (dla
E H" 1.1).
Rys. 8. Zależność energii wiązania i wysokości bariery od natężenia pola
(opis w tekście)
Rys. 9. Zależność przesuniÄ™cia energii stanu podstawowego "µ0 od na-
tężenia pola (opis w tekście)
Na rys. 9 przedstawiona jest poprawka do energii stanu podstawowego "µ0(E) =
= µ0(E)-µ0(0) wyznaczona numerycznie (linia ciÄ…gÅ‚a) oraz obliczona za pomocÄ… drugiego
24
rzędu rachunku zaburzeń ze wzoru (według [8])
21
"µ0(E) = - E2 H" -0.164E2. (8.1)
128
Wyniki otrzymane obiema metodami niewiele się różnią (poprawka wyznaczona nu-
merycznie jest większa co do wartości bezwzględnej o mniej niż 1% dla E < 0.05 i o około
10% dla E <" 1). Wynika stąd, że ekscyton dwuwymiarowy, jako stosunkowo silnie zwią-
zany, jest słabo polaryzowalny i rachunek zaburzeń daje dlań zaskakująco dobre wyniki.
Obserwacja ta zgadza się z poczynioną w pracy [8]. Jest to sytuacja odmienna niż w
przypadku ekscytonu trójwymiarowego [1, 8].
Rys. 10 przedstawia obliczony według wzoru (7.1) współczynnik tunelowania w skali
liniowej i logarytmicznej. Współczynnik T osiąga stosunkowo dużą wartość (rzędu 0.1)
dla E <" 0.7.
Rys. 10. Zależność współczynnika tunelowania T od natężenia pola
25
Wybór liczby 0.1 jest tu zupełnie arbitralny, ponieważ zastosowane przybliżenie nie
umożliwia wyznaczenia czasu życia ekscytonu.
9. Podsumowanie
Najważniejsze wyniki pracy można krótko przedstawić w następujący sposób:
1. Znaleziono ukÅ‚ad współrzÄ™dnych, w którym równanie Schrödingera opisujÄ…ce dwu-
wymiarowy ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym separuje się na dwa rów-
nania jednowymiarowe.
2. Zastosowana transformacja układu współrzędnych powoduje regularyzację hamilto-
nianu. Pozwala to na zastosowanie prostych i dokładnych metod numerycznych.
Otrzymane równania jednowymiarowe są podobne do zagadnienia własnego dla
oscylatora anharmonicznego.
3. Podobny opis można zastosować do ekscytonu trójwymiarowego, co pozwala na
rozpatrywanie obu przypadków w ramach jednolitego podejścia.
4. Zagadnienie jest niestacjonarne, co powoduje, że dla silnego zewnętrznego pola za-
stosowany opis kwazistacjonarny ma charakter przybliżony.
5. Wyniki obliczeń numerycznych wskazują, że stan podstawowy dwuwymiarowego
ekscytonu przestaje istnieć w polu elektrycznym o natężeniu około 1.1 (w jednost-
kach bezwymiarowych). Jonizacja ekscytonu może wystąpić przy dowolnie słabych
polach, a jej prawdopodobieństwo szybko rośnie przy wzroście E.
6. Wyznaczone przesunięcie energii stanu podstawowego pod wpływem pola elektrycz-
nego niewiele odbiega od wyznaczonego przy pomocy rachunku zaburzeń. Oznacza
to, że ekscyton dwuwymiarowy jest słabiej polaryzowalny niż trójwymiarowy.
W dalszych badaniach istotne byłoby rozwiązanie (przynajmniej przybliżone) równa-
nia Schrödingera z czasem i wyznaczenie czasu życia ekscytonu. Ponadto warte uwagi jest
zbadanie ekscytonu dwuwymiarowego z potencjałem kulombowskim typu ln r.
Dodatek
A. Współrzędne paraboliczne płaskie
Na płaszczyz
nie możemy zdefiniować ortogonalny układ współrzędnych parabolicznych
(u, v) związanych ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y) wzorami [16]
"
u2 - v2
x = , u = r + x,
2
(A.1)
"
y = uv, v = r - x,
26
gdzie r  długość promienia wodzącego:

u2 + v2
r = x2 + y2 = . (A.2)
2
Aby pokryć całą płaszczyznę, jedna ze współrzędnych (np. v) musi przybierać dowolne
wartości rzeczywiste, a druga (u)  tylko nieujemne. Linie u = const i |v| = const są
parabolami o ogniskach w początku układu i wierzchołkach skierowanych odpowiednio
w prawo i w lewo, przy czym sgn v = sgn y. Ich osiÄ… symetrii jest oÅ› x (patrz rys. 11).
Rys. 11. Siatka współrzędnych w układzie parabolicznym
Z czÄ™sto używanymi współrzÄ™dnymi biegunowymi (r, Õ) wiążą współrzÄ™dne parabo-
liczne zależności


"
u2 + v2 Õ
r = , u = 2r (1 + cos Õ) = 2r cos ,
2 2
(A.3)

"
2uv Õ
Õ = arc tg , v = 2r (1 - cos Õ) = 2r sin ,
u2 - v2 2
przy czym Õ przyjmujemy z przedziaÅ‚u (-Ä„, +Ä„ .
Równania (A.1) i (A.3) upraszczają się po zapisaniu ich przy pomocy liczb zespolo-
nych. Zdefiniujemy w tym celu liczby

r = x + iy = reiÕ, s = u + iv, (A.4)
27

przy czym re s 0. Możemy teraz napisać

Õ = arg r = 2 arg s,
(A.5)
" "

s2 1
/2 iÕ

r = , s = 2r = 2r e ,
2

czyli przyporzÄ…dkowanie s "! Á można opisać funkcjÄ… analitycznÄ…  jest to odwzorowanie
"

konforemne (poza punktem 0). Ze względu na własności funkcji r przyporządkowanie

to nie jest jednoznaczne  płaszczyzna r przechodzi, z cięciem wzdłuż ujemnej półosi

rzeczywistej, na dwie równoważne półpłaszczyzny: re s > 0 i re s < 0. W ten sposób

funkcja f(r) przechodzi na funkcję f(s) o własności symetrii f(s) = f(-s).
Inaczej mówiąc, zamiast arbitralnie wybierać u 0, możemy rozpatrywać funkcje
na całej płaszczyz
nie (u, v) przy nałożeniu warunku parzystości f(-u, -v) = f(u, v), co
może być w pewnych przypadkach bardzo wygodne.
Laplasjan w płaskich współrzędnych parabolicznych ma postać

1 "2 "2
"2 = + . (A.6)
u2 + v2 "u2 "v2
Elementem powierzchni jest
"(x, y)
dS = du dv = (u2 + v2) du dv,
"(u, v)
więc iloczyn skalarny ma postać
" "
È|È2 = È"(u, v) È2 (u, v) (u2 + v2) du dv. (A.7)
-" 0
Współrzędne paraboliczne na płaszczyz
nie można też zdefiniować nieco inaczej:
u - v
x = , u = r + x,
2
(A.8)
"
y = uv, v = r - x.

PrzyporzÄ…dkowanie s "! Á nie jest wtedy opisane funkcjÄ… analitycznÄ…, a wzór definiu-
jący laplasjan ma postać znacznie bardziej skomplikowaną niż (A.6).
B. Współrzędne obrotowo-paraboliczne
Jednym z trójwymiarowych ortogonalnych układów współrzędnych jest układ obro-
towo-paraboliczny [16]. WspółrzÄ™dne (u, v, Õ) w tym ukÅ‚adzie sÄ… zwiÄ…zane ze współrzÄ™d-
nymi kartezjańskimi (x, y, z) następującymi wzorami:
"
x = uv cos Õ, u = r + z,
"
y = uv sin Õ, v = r - z,
(B.1)
u2 - v2
z = , Õ = arc tg(y/x),
2
28
gdzie r  długość promienia wodzącego:

u2 + v2
r = x2 + y2 + z2 = . (B.2)
2
WspółrzÄ™dne u, v sÄ… nieujemne, a Õ przyjmujemy z przedziaÅ‚u (-Ä„, +Ä„ . Powierzchnie
u = const i v = const są paraboloidami obrotowymi o ogniskach w początku układu,
skierowanymi odpowiednio wierzchołkami w górę i w dół. Ich osią symetrii jest oś OZ,
bÄ™dÄ…ca też wspólnÄ… krawÄ™dziÄ… półpÅ‚aszczyzn Õ = const (patrz rys. 12).
Rys. 12. Obrotowo-paraboliczny układ współrzędnych
Związki współrzędnych parabolicznych z często używanymi współrzędnymi sferycz-
nymi (r, Ń, Õ) sÄ… nastÄ™pujÄ…ce:


"
u2 + v2 Ń
r = , u = 2r (1 + cos Ń) = 2r cos ,
2 2
(B.3)

"
u2 - v2 Ń
Ń = arc cos , v = 2r (1 - cos Ń) = 2r sin ,
u2 + v2 2
a współrzÄ™dna Õ jest w obu ukÅ‚adach taka sama; kÄ…t Ń przyjmuje wartoÅ›ci z przedziaÅ‚u
0, Ä„ .
Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym (Dodatek A), równania (B.1) i (B.3)
upraszczają się, jeżeli zapiszemy je przy pomocy liczb zespolonych. Zdefiniujemy w tym
celu liczby

Á = x + iy = ÁeiÕ, r = z + iÁ = reiŃ, s = u + iv, (B.4)
29
1

przy czym im Á 0 oraz arg s " 0, /2Ä„ . Możemy teraz napisać

Õ = arg Á, Ń = arg r = 2 arg s,
" "
(B.5)
s2 1
/2 iŃ

r = , s = 2r = 2r e ,
2

czyli przyporzÄ…dkowanie s "! Á można opisać funkcjÄ… analitycznÄ….
Laplasjan ma we współrzędnych obrotowo-parabolicznych postać

1 1 " " 1 " " u2 + v2 "2
"2 = u + v + , (B.6)
u2 + v2 u "u "u v "v "v u2v2 "Õ2
a elementem objętości jest
"(x, y, z)
dV = du dv dÕ = uv (u2 + v2) du dv dÕ.
"(u, v, Õ)
Otrzymujemy stąd postać iloczynu skalarnego
Ä„ +"+"

È|È2 = È"(u, v, Õ) È2 (u, v, Õ) uv (u2 + v2) du dv dÕ. (B.7)
-Ä„ 0 0
Współrzędne obrotowo-paraboliczne definiuje się też często nieco inaczej (np. w [12]):
"
x = uv cos Õ, u = r + z,
"
y = uv sin Õ, v = r - z,
(B.8)
u - v
z = , Õ = arc tg(y/x).
2
Zmieniają się oczywiście wtedy postaci laplasjanu i iloczynu skalarnego (stają się nawet

nieco prostsze). PrzyporzÄ…dkowanie s "! Á nie jest jednak wtedy opisane przez funkcjÄ™
analitycznÄ….
C. Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre a.
Harmoniki sferyczne
Wielomiany Legendre a Pl(z) definiujemy wzorem
1 dl
Pl(z) = (z2 - 1)l.
2l l! dzl
Przy ich pomocy określa się stowarzyszone funkcje Legendre a Plm(z):
1 dm
/2m
Plm(z) = (-1)m(1 - z2) Pl(z) =
dzm
1
#1/2(l-m)#
(C.1)
/2m

(-1)m(1 - z2) (2l - 2k)! zl-2k-m
= (-1)k .
2l k!(l - k)! (l - 2k - m)!
k=0
30
dla m = 0, 1, . . . , l. Funkcje te stanowią układ ortogonalny na przedziale -1, 1 :
1
2 (l - m)!
2
Plm(x) Plm(x) dx = ´l,l .
2
2l + 1 (l + m)!
-1
Harmoniki sferyczne Yl,m(Ń, Õ) definiuje siÄ™ wzorem



2l + 1 (l - m)!

Yl,m(Ń, Õ) = (sgn m)m Pl|m|(cos Ń) eimÕ. (C.2)
4Ä„ (l + m)!
Stanowią one układ ortonormalny na sferze:
Ä„ 0
"
2 2 2
Yl,m(Ń, Õ) Yl ,m2 (Ń, Õ) d cos Ń dÕ = ´l,l ´m,m .
-Ä„ Ä„
Harmoniki sferyczne są funkcjami własnymi operatora momentu pędu we współrzęd-
nych sferycznych.
D. Konfluentna funkcja hipergeometryczna
Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego Kummera

d2 d
z + (c - z) - a f(z) = 0 (D.1)
dz2 dz
jest [16, 17]
f1(z) = F (a; c; z)
 konfluentna (albo zdegenerowana) funkcja hipergeometryczna, zwana też funkcją Kum-
mera. Można ją przedstawić w postaci szeregu potęgowego
"

“ (c) “ (a + k) zk a a(a + 1) z2
F (a; c; z) = = 1 + z + + . . . , (D.2)
“ (a) “ (c + k) k! c c(c + 1) 2
k=0
zbieżnego dla |z| < " i c = 0, -1, -2, . . ..

Drugim (niezależnym liniowo) rozwiązaniem (D.1) jest funkcja [16]

z1-cF (a + 1 - c; 2 - c; z) dla niecałkowitych c,
f2(z) =
F (a; c; z) ln z + (szereg potęgowy) dla całkowitych c.
Jako drugi element fundamentalnego układu rozwiązań przyjmuje się też często funkcję
Tricomiego G(a, c; z), będącą pewną kombinacją liniową f1(z) i f2(z). Nie będziemy się
tu nią zajmować.
Ogólnym rozwiązanie równania (D.1) jest zatem
F(a; c; z) = C1f1(z) + C2f2(z), C1, C2  stałe. (D.3)
31
Jeżeli a = -n (n = 0, 1, 2, . . .), to szereg (D.2) urywa się i funkcja F (-n, c, z) staje
się wielomianem n tego stopnia. W ogólnym wypadku zachodzi wzór asymptotyczny [17]
“ (c) “ (c)
F (a; c; x)x" eiĄax-a + eiĄ(a-c)xa-cex,
<"
“ (c - a) “ (a)
czyli dla a = -n funkcja F (a; c; z) zachowuje się asymptotycznie w przybliżeniu jak ex.

Funkcje postaci g(x) = xdebxF(a; c; x) spełniają równanie

d2 c - 2d d
+  + 2b - +
dx2 x dx

(D.4)
(a - d) + b(c - 2d) d(1 + d - c)
+ b(b + ) + + g(x) = 0,
x x2
1
natomiast funkcje postaci g(x) = xde- /2 bx2F(a; c; x2)  równanie

d2 2(c - d) - 1 d
+ 2(b - )x + +
dx2 x dx

(D.5)
d(2 + d - 2c)
+ b(b - 2)x2 + 2(b - )(c - d) + 2(c - 2a) + g(x) = 0
x2
(na podstawie [16]). Równania (D.4) i (D.5) sprowadzają się, po zamianie zmiennych, do
równania (D.1).
E. Wielomiany i funkcje Laguerre a
Uogólnione wielomiany Laguerre a La(z) definiujemy za [17] dla n = 0, 1, 2, . . . i re a >
n
-1 jako

n

ez dn n + a (-z)k
La(z) = [zn+ae-z] = (E.1)
n
n! za dzn n - k k!
k=0
Są one szczególnym przypadkiem konfluentnej funkcji hipergeometrycznej
(a + 1)n
La(z) = F (-n; a + 1; z), (E.2)
n
n!
“ (a + 1 + n)
gdzie (a)n = a(a + 1) · . . . · (a + n - 1) =  symbol Pochhammera.
“ (a + 1)
Należy tu zwrócić uwagę na to, że uogólnionymi wielomianami Laguerre a nazywa się
czasem wielomiany n! · La(z) (i oznacza siÄ™ je tak samo). Ponadto symbol Lk(z) czÄ™sto,
n n
zwłaszcza w literaturze fizycznej, oznacza stowarzyszone wielomiany Laguerre a; jeżeli tu,
k
dla odróżnienia, zapiszemy je jako ln(z), to mamy
dk dk
k
ln(z) = L0 (z) a" Ln(z) = (-1)kn! Lk (z).
n-k
dzk n dzk
32
Uogólnione wielomiany Laguerre a La(x) stanowię układ ortogonalny na przedziale
n
0, ") z wagÄ… xae-x:
"

“ (n + 1 + a)
2
xae-xLa(x) La (x) dx = ´n,n . (E.3)
n n2
n!
0
Dla wielomianów tych istnieją liczne wzory rekurencyjne, m. in.
(n + 1)La (z) = [(2n + 1 + a) - z]La(z) - (n + a)La (z), (E.4)
n+1 n n-1
La-1(z) = La(z) - La (z). (E.5)
n n n-1
Ponadto spełniona jest równość
n

La(x)Lb (y) = La+b+1(x + y). (E.6)
k n-k n
k=0
Zdefiniujmy1 za [18] funkcje Laguerre a La(z):
n

n! a 1
/2
La(z) = z e- /2 zLa(z). (E.7)
n n
“ (n + 1 + a)
Zgodnie z (E.3) otrzymujemy dla nich zwięzek ortogonalności
"

2
´n,n
La(²x) La (²x) dx = . (E.8)
n n2
²
0
Funkcje Laguerre a stanowią zupełny układ ortonormalny na dodatniej półosi rzeczywi-
stej.

a 1
/2
Mnożąc (E.4) przez n!/“ (n + 1 + a) z e- /2 z otrzymujemy zwiÄ…zek rekurencyjny
²zLa(²z) = (2n + 1 + a)La(²z) +
n n

(E.9)
- n(n + a) La (²z) - (n + 1)(n + 1 + a) La (²z).
n-1 n+1
Korzystając z niego i z (E.9) możemy obliczyć jeszcze jedną całkę:
" "
2n + 1 + a
[La(²x)]2 x dx = (2n + 1 + a) [La(²x)]2 dx = . (E.10)
n n
²2
0 0
F. Wielomiany i funkcje Hermite a
Wielomiany Hermite a definiuje siÄ™ (np. [17]) dla n = 0, 1, 2, . . . jako
#n/2#

2 dn 2 (-1)k(2z)n-2k
Hn(z) = (-1)nez e-z = N! . (F.1)
dzn k! (n - 2k)!
k=0
1
Czasami funkcjami Laguerre a nazywa się wielomiany Laguerre a uogólnione na przypadek niecałko-
witych n za pomocÄ… wzoru (E.2)
33
ZwiÄ…zane sÄ… one z konfluentnÄ… funkcjÄ… hipergeometrycznÄ… wzorem
(2n + Ã)!
1
H2n+Ã(z) = (-1)n (2z)ÃF (-n; /2 + Ã; z2), Ã = 0 lub 1. (F.2)
n!
Wielomiany Hermite a Hn(x) stanowią układ ortogonalny na przedziale (-", ")
2
z wagÄ… e-x :
+"

"
2
2 2
e-x Hn(x) Hn (x) dx = 2nn! Ä„ ´n,n . (F.3)
-"
Słuszny jest wzór rekurencyjny
1
²zHn(²z) = /2Hn+1(²z) + nHn-1(²z). (F.4)
Z równości (E.2) i (F.2) wynikają związki między wielomianami Hermite a i Laguerre a:
1
H2n(z) = (-4)nn! L- /2(z2),
n
(F.5)
1
/2
H2n+1(z) = (-4)nn! 2z Ln (z2).
Funkcje Hermite a Hn(z) definiuje siÄ™ (np. [18]) jako
1
e- /2 z2Hn(z)

Hn(z) = . (F.6)
"
2nn! Ä„
Stanowią one układ ortonormalny zupełny na całej osi rzeczywistej. Zgodnie z (F.3) mamy
+"

2
´n,n
2
Hn(²x) Hn (²x) dx = . (F.7)
²
-"
Funkcje Hermite a Hn(²z) sÄ… rozwiÄ…zaniami szczególnymi równania różniczkowego zagad-
nienia własnego kwantowego oscylatora harmonicznego

d2
- ²2z2 + (2n + 1)² f(z) = 0. (F.8)
dz2
"
1 1
Mnożąc (F.4) przez (2nn! Ą)- /2 e- /2 z2 otrzymujemy związek rekurencyjny


n + 1 n
²zHN(²z) = Hn+1(²z) + Hn-1(²z). (F.9)
2 2
Korzystając z niego oraz z ortogonalności funkcji Hermite a, obliczymy jeszcze jedną całkę:
îÅ‚ Å‚Å‚
+" +" +"

1
ðÅ‚
[xHn(²x)]2 dx = (n + 1) [Hn+1(²x)]2 dx + n [Hn-1(²x)]2 dxûÅ‚
2²2
-" -" -" (F.10)
1 1
= /2²-2[(n + 1)/² + n/²] = (n + /2) ²-3.
34
Skorzystamy teraz ze wzorów (E.6) i (F.5). Otrzymamy
n

1 1
1
L0 (x2 + y2) = L- /2-1/2+1(x2 + y2) = L- /2(x2) L- /2(y2) =
n n k n-k
k=0

n n

(-1)kH2k(x) (-1)n-kH2n-2k(y) 1 n
= = H2k(x) H2n-2k(y).
k! 4k(n - k)! 4n-k n! (-4)n k
k=0 k=0
1
Jeżeli pomnożymy tę równość obustronnie przez e- /2(x2+y2), to, zgodnie z definicjami (E.7)
i (F.6), otrzymujemy

"
n
(2k)! (2n - 2k)!
Ä„
L0 (x2 + y2) = H2k(x) H2n-2k(y). (F.11)
n
(-2)n k! (n - k)!
k=0
G. Metody macierzowe rozwiÄ…zywania jednowymia-
rowego równania Schrödingera
Metody macierzowe rozwiÄ…zywania równania Schrödingera polegajÄ… na jego dyskrety-
zacji i sprowadzeniu do algebraicznego zagadnienia własnego.
FunkcjÄ™ falowÄ… È(z) rozważamy na przedziale a, b . NakÅ‚adamy warunki brzegowe
È(a) = È(b) = 0, (G.1)
które odpowiadają postawieniu nieskończonych barier potencjału w punktach a i b. W
tej sytuacji mamy wyłącznie stany związane. Przedział a, b dzielimy na N + 1 równych
podprzedziałów o długości
b - a
s = .
N + 1
FunkcjÄ™ falowÄ… È reprezentujemy za pomocÄ… wektora
È = [È1, È2, . . . , ÈN ]T,
którego skÅ‚adowymi sÄ… wartoÅ›ci funkcji È w kolejnych punktach siatki:
Èi = È(zi), gdzie zi = a + is.
Zgodnie z warunkami (G.1),
È0 = ÈN +1 = 0. (G.2)
Podobnie określamy na siatce potencjał: Ui = U(zi).
WystÄ™pujÄ…ce w równaniu Schrödingera operatory różniczkowe przybliżamy za pomocÄ…
różnic skończonych, a powstały układ równań po zapisaniu go w postaci macierzowej
stanowi zagadnienie na wartości i wektory własne pewnej macierzy H:

HÈ = µÈ,
odpowiadajÄ…ce równaniu Schrödingera z hamiltonianem H:
HÈ = µÈ.
35

Najniższe wartoÅ›ci wÅ‚asne µ sÄ… zwiÄ…zane z energiami kolejnych stanów zwiÄ…zanych µ, a
odpowiadajÄ…ce im wektory È opisujÄ… funkcje falowe È tych stanów.
Wez
my równanie Schrödingera zapisane w postaci bezwymiarowej

d2
- + U(z) È(z) = µÈ(z). (G.3)
dz2
Jeżeli przybliżymy występującą w równaniu (G.3) drugą pochodną trójpunktowym wzo-
rem różnicowym (jest to metoda trójpunktowa):

d2È Èi-1 - 2Èi + Èi+1
= + O(s2), (G.4)
dz2 s2
zi
to otrzymamy układ N równań (i = 1, 2, . . . , N) odpowiadających punktom z1, z2, . . . , zN:


- Èi-1 + (2 + Ui)Èi - Èi+1 = µÈi. (G.5)


WielkoÅ›ci Ui i µ sÄ… zwiÄ…zane z potencjaÅ‚em i energiÄ… wzorami


Ui = s2Ui, µ = s2µ.
Zapisując układ równań (G.5) w postaci macierzowej i uwzględniając warunki brze-

gowe (G.2), otrzymujemy HÈ = µÈ z macierzÄ… postaci
îÅ‚ Å‚Å‚

2 + U1 -1 0 · · · 0
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ -1 2 + U2 -1 · · · 0
śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 -1 2 + U3 · · · 0
H = ïÅ‚ śł = trid(-1, 2 + Ui, -1).
ïÅ‚ śł
. .
.
ïÅ‚ śł
. . .
.
ðÅ‚ . . ûÅ‚

0 · · · 0 -1 2 + UN
Jest to macierz symetryczna trójdiagonalna N ×N o niezerowych wszystkich wyrazach
pozadiagonalnych. Wiadomo, że macierz taka ma N różnych wartości własnych (wiadomo
także [12], iż wartości własne hamiltonianu w przypadku jednowymiarowym odpowiada-
jące stanom związanym są niezdegenerowane). Najniższe spośród wartości własnych H
odpowiadają energiom kolejnych stanów związanych.
Ponieważ nie interesują nas wszystkie wartości własne macierzy H, a wyznaczenie
wszystkich (zwykle N = 103 104) byłoby zbyt czasochłonne, wygodnie jest zastosować
metodę bisekcji pozwalającą na poszukiwanie tylko wartości własnych należących do za-
danego przedziału, a przy tym bardzo dokładną i stabilną numerycznie. Opiera się ona na
twierdzeniu Martina-Deana [19], które jest w uproszczonej formie przytoczone poniżej.
Niech H bÄ™dzie macierzÄ… rozmiaru N × N postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
a1 b2 0 · · · 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
b2 a2 b3 · · · 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 b3 a3 · · · 0
H = ïÅ‚ śł . (G.6)
ïÅ‚ śł
. .
.
ïÅ‚ śł
. . .
.
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 · · · 0 bN aN
36
Wówczas liczba wartości własnych macierzy (G.6) mniejszych od x jest równa
liczbie ujemnych wyrazów ciągu
u1 = a1 - x,
b2 (G.7)
i
ui = ai - x - dla i = 2, 3, . . . , N.
ui-1
W przypadku metody Lindberga [20] posługujemy się przybliżeniem operatora drugiej
pochodnej za pomocÄ… aproksymanty Padé:

d2È 1 ´2
= È + O(s4),
dz2 s2 1 + ´2/12
zi i
gdzie (´2È)i = Èi-1 - 2Èi + Èi+1. Otrzymujemy stÄ…d ukÅ‚ad N równaÅ„ odpowiadajÄ…cych
punktom z1, z2, . . . , zN, który możemy zapisać w postaci uogólnionego macierzowego za-
gadnienia własnego

AÈ + µ MÈ = 0, (G.8)
gdzie A oraz M są macierzami trójdiagonalnymi:
s2 10s2 s2
A = trid(1 - Ui-1, -2 - Ui-1, 1 - Ui+1) = trid(bi-1, ai, bi+1)
12 12 12
M = trid(1, 10, 1) = trid(², Ä…, ²).
Liczba wartości własnych zagadnienia (G.8) mniejszych od x jest równa liczbie dodat-
nich wyrazów ciągu
d1 = a1 + Ä…x,
(bi + ²x)(bi-1 + ²x)
(G.9)
di = ai + Ä…x - dla i = 2, 3, . . . , N.
di-1
Korzystając z ciągów (G.7) i (G.9) można łatwo wyznaczać wartości własne zdyskre-
tyzowanego równania Schrödingera przy użyciu metody bisekcji.
Sposoby wyznaczania wektorów wÅ‚asnych równania Schrödingera przedstawione sÄ…
m. in. w pracy [14].
Literatura
[1] W. Salejda, K. Ryczko, J. Misiewicz: Wpływ zewnętrznego pola elektrycznego na
widmo ekscytonowe w GaAs, Raport PRE 163/96, Instytut Fizyki Politechniki Wro-
cławskiej, 1996.
[2] M. Shinada, S. Sugano: Interband Optical Transitions in Extremely Anisotropic Se-
miconductors. Bound and Unbound Exciton Absorption, J. Phys. Soc. Japan 21, 1936
(1966).
[3] C. B. Duke, M. E. Alferieff: Solvable Model of Hydrogenic System in a Strong Electric
Field: Application to Optical Absorption in Semiconductors, Phys. Rev. 145, 583
(1966).
37
[4] J. D. Dow, D. Redfield: Electroabsorption in Semiconductors: The Excitonic Absorp-
tion Edge, Phys. Rev. B 1, 3358 (1970).
[5] D. F. Blossey: Wannier Exciton in an Electric Field. I. Optical Absorption by Bound
and Continuum States, Phys. Rev. B 2, 3976 (1970).
[6] D. F. Blossey: Wannier Exciton in an Electric Field. II. Electroabsorption in Direct-
-Band-Gap Solids, Phys. Rev. B 3, 1382 (1971).
[7] E. I. Raszba, M. D. Sturge: Eksitony, Nauka, Moskwa 1985.
[8] F. L. Lederman, J. D. Dow: Theory of electroabsorption by anisotropic and layered
semiconductors. I. Two-dimensional exciton in a uniform electric field, Phys. Rev.
B 13, 1633 (1976).
[9] G. Bastard: Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures, Les Edi-
tions de Physique, Les Ulis Cedex 1988.
[10] R. P. Leavitt, J. W. Little: Simple method for calculating exciton binding energy in
quantum-confined semiconductor structures, Phys. Rev. B 42, 11774 (1990).
[11] W. L. Boncz-Brujewicz, S. G. Kałasznikow: Fizyka półprzewodników, PWN, War-
szawa 1985.
[12] L. D. Landau, E. M. Lifszic: Mechanika kwantowa. Teoria nierelatywistyczna, PWN,
Warszawa 1958.
[13] I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński: Teoria kwantów. Mechanika falowa,
PWN, Warszawa 1991.
[14] M. Tyc, J. Andrzejewski, W. Salejda, M. Kubisa, K. Ryczko, M. Just: Ma-
cierzowe metody numerycznego rozwiązywania równania masy efektywnej, Raport
SPR 331/98, Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1998.
[15] W. Salejda, M. Tyc: Dwu- i trójwymiarowy ekscyton w zewnętrznym stałym polu
elektrycznym. I. Wyprowadzenie podstawowych formuł, Raport SPR 312/97, Instytut
Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1997.
[16] E. Madelung: Matiematiczeskij apparat fiziki, FIZMATGIZ, Moskwa 1961.
[17] M. Abramowitz, I. A. Stegun: Sprawocznik po specialnym funkcijam s formułami,
grafikami i matiematiczeskimi tablicami, Nauka, Moskwa 1979.
[18] W. I. Smirnow: Matematyka wyższa, t. III, PWN, Warszawa 1965.
[19] P. Dean: The vibrational spectra of disordered systems. Numerical results, Rev. Mod.
Phys. 44, 127 (1972).
[20] B. Lindberg: A new efficient method for calculation of energy eigenvalues and eigen-
states of the one-dimensional Schrödinger equation J. Chem. Phys. 88, 3805 (1988).
38