17. Ruch Å‚adunku w polu elektromagnetycznym. PrÄ…d elektryczny
Wybór i opracowanie Marek Chmielewski
17.1. Z aluminiowego pręta o przekroju poprzecznym S wykonano zamknięty pierścień o
promieniu r. Ten pierÅ›cieÅ„ wiruje z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É wokół osi przechodzÄ…cej przez
jego środek prostopadle do płaszczyzny pierścienia. Ruch pierścienia został gwałtownie
zatrzymany. Przyjmując, że w czasie hamowania trwającego t przyspieszenie kątowe
było stałe, oblicz natężenie prądu płynącego podczas hamowania ruch. Przewodnictwo
aluminium wynosi Ã.
17.2. Jednakowe oporniki o oporach R każdy połączono jak na rysunku. Oblicz opór
zastępczy układu między punktami A i B oraz B i C.
A
C
B
17.3.Fragment rozgałęzionego obwodu składa się z trzech oporników połączonych w trójkąt.
Znalez
ć oporność R1,R2,R3 elementów gwiazdy, która wmontowana w obwód na miejsce
trójkąta będzie równoważna trójkątowi.
R3
r2
r1
R2 R1
r3
17.4.Pyłek o masie m i ładunku q spada w próżni w polu płaskiego kondensatora,
naładowanego do napięcia U. Okładki kondensatora są ustawione pionowo i oddalone od
siebie o d. Jaka powinna być wysokość okładek, by pyłek nie uderzył o okładkę. W
chwili początkowej pyłek znajdowała się tuż przy powierzchni jednej z okładek.
17.5.W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B z tego samego punktu wybiegajÄ… dwie
cząstki o masie m i ładunku Q każda, z tymi samymi prędkościami, ale różnie
skierowanymi. Wektor prędkość pierwszej cząstki V1 tworzy z kierunkiem wektora B
kÄ…t Ä…, a wektor prÄ™dkoÅ›ci drugiej czÄ…stki V2  kÄ…t ², przy czym Ä…>². W jakim odstÄ™pie
czasu t po pierwszej powinna wybiec druga cząstka, aby nastąpiło spotkanie. Wektory
V1, V2 i B leżą w jednej płaszczyz
nie.
17.6.Oblicz, jaka masę m musiałaby mieć cząstka naładowana ładunkiem elementarnym e aby
w próżni okrążała kulę ziemską wzdłuż równika magnetycznego, jeżeli składowa
pozioma wektora indukcji magnetycznej ma średnia wartość Bs, a prędkość cząstki
wynosi V.
17.7.Elektron o energii kinetycznej E wlatuje w jednorodne pole magnetyczne o indukcji B.
Oblicz promień okręgu, po którym będzie krążył elektron w tym polu. A
adunek
elektronu wynosi q, masa m. Wektor prędkości elektronu V jest prostopadły do wektora
B. Jaka będzie częstotliwość obiegu elektronu po orbicie? Zbadać, jak zależy
częstotliwość obiegu elektronu po orbicie od jego energii kinetycznej.
17. RozwiÄ…zania
17.1.R. Podczas hamowania na elektrony działają siły bezwładności
dV dÉ
F = ma = m = mr
dt dt
dÉ
r
mr = Ee
dt
S
i i
j = ÃE = Ò! E =
S sÃ
dÉ dÉ "É É
= const Ò! = =
dt dt "t t
É ie mrÉsÃ
mr = Ò! i =
t sà et
17.2.R.
KorzystajÄ…c z praw Kirchhoffa
i
a)
U
i3
i1
Rz =
R
i
R
i = i1 + i2 + i3 i1 = i3
i2
U = i2R = 3i3R
U U
R R
R
U
i2 = i3 = i = 2i3 + i2
R 3R
5U U 3
i = Rz = = R
5U
3R 5
R R
3R
b)
i4
R
R
U
Rz =
i
R R
R
i = i1 + i2 + i3
üÅ‚
ôÅ‚
i1 + i2 = i4
ôÅ‚
i2 i3
ôÅ‚
i3 + i4 = i
11
ôÅ‚R = R
żł
z
R R
i1R + i1R + i1R = i2R 15
ôÅ‚
i1
i2R + i4R + i4R = i3RôÅ‚
ôÅ‚
i
U = i3R ôÅ‚
þÅ‚
U
Uwaga w obu przypadkach można wyznaczyć rezystancje zastępczą szukając oporu
poszczególnych gałęzi obwodów.
b)
a)
17.3.R.
IB
IB
B
B
R3
r2
r1
R2
R1
IC
IA
A
IC
C
A
IA
r3
C
Zamiennik musi działać tak aby prądy jak i spadki napięć w jednym jak i drugim układzie
były takie same więc:
Dla układu trójkąta
U U U U
AB AC BC AC
I = + IC = +
A
r1 r3 r2 r3
U = U +U
AC AB BC
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 U U 1 1
BC AB
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
I = U + + IC = +U +
A AB
ìÅ‚ ÷Å‚
r1 r3 r3 r3 BC ìÅ‚ r2 r3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Dla układu gwiazdy
U = I R2 + IBR3 U = -IBR3 + IC R1
AB A BC
IB = I - IC
A
U = I (R2 + R3) - IC1R3 U = -I R3 + IC (R1 + R3)
AB A BC A
Układy te należy rozwiązać ze względu na IA oraz IC
(R1 + R3)U R3UBC
AB
I = +
A
R1R2 + R1R3 + R2R3 R1R2 + R1R3 + R2R3
R3U (R2 + R3)UBC
AB
IC = +
R1R2 + R1R3 + R2R3 R1R2 + R1R3 + R2R3
R
3R
2R
R
3R
R
3R
Porównując wyrażenia na prąd dla trójkąta i gwiazdy można wyznaczyć szukane
zależności przez przyrównanie wyrażeń przy UAB i UBC.
R1R2 + R1R3 + R2R3
r3 =
R3
W analogiczny sposób obliczamy kolejne zależności. A
atwo zauważyć regularność w
uzyskiwaniu tych wyrażeń.
R1R2 + R1R3 + R2R3 R1R2 + R1R3 + R2R3
r1 = r2 =
R1 R2
17.4.R.
Rozpatrujemy układ równań
axt2
x(t) = +V0 xt + x0
F X
E
2
ayt2
y(t) = +V0 yt + y0
2
mg
Z warunków zadania otrzymujemy:
V0x=V0y=x0=y0=0
l
U U Uq
Fe = Eq = q max = q Ò! ax =
d
d d md
ay = g
2 2 U
Uqtk 2md
Y
x(tk ) = d = Ò! tk =
2md Uq
2 2 2
gtk gmd gmd
y(tk ) = lmax = = Ò! l <
2 Uq Uq
17.5.R.
Obie cząstki będą się poruszały po liniach śrubowych
V
V1B
Jest to ruch złożony z ruchu
jednostajnego z prędkościami
V1t=VcosÄ…
Ä…
V2t=Vcos²
Q
V1t
B
i z ruchu po okręgu przy czym:
2
mVB mVB
= QVBB R =
R QB
2Ä„R 2Ä„m
T = Ò! T =
VB QB
s = V1t0
Okres obiegu nie zależy od prędkości
s
Czas potrzebny na to by cząstka 2 dogoniła cząstkę 1 można
V1
zapisać w następujący sposób
V2
X
x1 = x0 +V1tt0 x2 = V2tt x1 = x2 Ò! t = tk
V1tt0 t0V cosÄ…
tk = =
V2t -V1t V cos ² -V cosÄ…
Aby cząstki się spotkały całkowita różnica czasu musi być równa minimum jednemu
całkowitemu okresowi
2Ä„m cos ² - cosÄ…
tk = T Ò! t0 =
QB cosÄ…
17.6.R.
Przy założeniu, że siła ciężkości jest pomijalnie mała
2
mV
mg)#)#
R
Zadanie to można rozwiązać rozpatrując działanie
tylko siły pochodzącej od pola magnetycznego Fl.
r r
V Ä„" B Ò! Fl = qVB
B
2
mV RqB
= qVB Ò! m =
R V
W przypadku uwzględnienia siły grawitacji, która jest
zawsze równoległa do siły dośrodkowej, należy
rozwiązać następujące równanie.
2
mV qVB
+ mg = qVB Ò! m =
2
R V
+ g
R
17.7.R.
2 2
mV 2E mV mV 2mE
E = Ò! V = = qVB Ò! R = =
2 m R qB qB
1 2Ä„R 2Ä„mV 2Ä„m qB
f = T = = = Ò! f =
T V qBV qB 2Ä„m
W przypadku gdy V<okręgu nie zależy od prędkości, a więc nie zależy od energii kinetycznej. Jeżeli prędkości są
duże (mechanika relatywistyczna) masa cząstki zależy od energii kinetycznej, dlatego energia
ta ma wpływ na częstotliwość obiegu ładunku.