16. Ruch cząstek naładowanych w polu elektrycznym i magnetycznym
A
adunek punktowy w polu elektrycznym
Pole elektryczne działa na cząstkę naładowaną z siłą wytwarzającą przyspieszenie
(16-1)
gdzie m jest masą cząstki. Rozważmy dwa przykłady przyspieszenia cząstki naładowanej w
jednorodnym polu elektrycznym. Takie pole można wytworzyć łącząc dwie końcówki baterii z
dwiema równoległymi płytkami metalowymi, odizolowanymi od siebie. Jeżeli odległość pomiędzy
płytkami jest mała w porównaniu z rozmiarami płytek, to pole pomiędzy nimi będzie
wystarczająco jednorodne z wyjątkiem obszaru położonego blisko brzegów. Zauważmy, że
rozważając ruch cząstki w polu wytworzonym przez ładunki zewnętrzne, pomijamy pole
wytworzone przez samą cząstkę. Podobnie pole grawitacyjne Ziemi nie wywiera żadnej siły na
samą Ziemię, a tylko na inne przedmioty, powiedzmy kamień, umieszczone w tym polu.
Przykład 1. Wprowadzamy cząstkę o masie m i ładunku q do jednorodnego pola elektrycznego i
puszczamy ją swobodnie (rys. 16-1). Opisać jej ruch.
Ruch ten jest podobny do ruchu ciała spadającego w ziemskim polu grawitacyjnym. Przyspieszenie
dane jest przez
(16-1)
Stosujemy więc równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego. Przyjmując v0 = 0 mamy
(16-2)
Energię kinetyczną osiągniętą po przebyciu odległości y znajdujemy z zależności
(16-3)
Ten wynik można również otrzymać bezpośrednio z twierdzenia o zamianie pracy na energię, gdyż
stała siła qE działa na drodze y.
Rys. 16-1. Ruch Å‚adunku w jednorodnym polu elek-
trycznym wytworzonym przez dwie przeciwnie nałado-
wane płyty P1 i P2
Przykład 2. Odchylanie wiązki elektronów. Rysunek 16-2 przedstawia elektron o masie m i ładunku q
= e, wpadający do jednorodnego pola elektrycznego z prędkością początkową v0, prostopadłą do kie-
runku wektora natężenia pola E. Opisać ruch tego elektronu.
1
Rys. 16-2. Przykład 2. Elektron o prędkości po-
czÄ…tkowej v0 wchodzi w obszar pola elektrycznego
wytworzonego przez dwie płytki naładowanego
kondensatora. Kierunek prędkości jest prostopadły do
kierunku pola
Ruch elektronu będzie podobny do ruchu pocisku wystrzelonego poziomo w polu grawitacyjnym Zie-
mi. Otrzymujemy następujące wyrażenia na składową poziomą (x) i pionową (y) ruchu
(16-4)
Eliminując t otrzymujemy równanie toru
(16-5)
Elektron opuszczając obszar zawarty pomiędzy płytkami (rys. 27-13) porusza się (zaniedbujemy siły
ciążenia) po linii prostej, stycznej do paraboli z równ. (27-9) w punkcie wyjścia. Na jego drodze, w
pewnej odległości przed płytkami, możemy ustawić fluoryzujący ekran S. Wówczas rozważany
elektron razem z innymi elektronami biegnącymi po tej samej drodze będzie widoczny jako mała
plamka świetlna; na tym polega zasada działania elektrostatycznego oscyloskopu katodowego.
Przykład 3. Dodatni, punktowy ładunek próbny q0 znajduje się w połowie drogi pomiędzy dwoma
równymi umieszczonymi na stałe ładunkami dodatnimi q. Jaka siła działa na niego w punkcie P i w
pobliżu punktu P?
Ze względu na symetrię siła w punkcie P równa się zeru; cząstka znajduje się w równowadze.
Należ) znalez
ć rodzaj tej równowagi. Na rysunku 27-14 (porównaj rys. 27-4) pokazane są wektory E
dla czterech punktów w sąsiedztwie punktu P. Jeżeli ładunek próbny porusza się wzdłuż osi z, to
występuje siła przywracająca równowagę; jednakże równowaga jest nietrwała dla ruchu po osiach x i y.
Jest to zatem trójwymiarowy równoważnik siodłowego punktu równowagi (patrz rys. 14-8). Jaki byłby
rodzaj równowagi dla ujemnego ładunku próbnego?
Rys. 16-3. Przykład 3. Pole elektryczne w czterech
punktach w pobliżu punktu P, leżącego w środku
odległości między dwoma dodatnimi ładunkami q.
Dipol w polu elektrycznym
Elektryczny moment dipolowy może być traktowany jako wektor p, którego wielkość p dla
dipola, takiego jak opisany w przykładzie 3, jest iloczynem 2aq, tj. wielkości ładunku q i
odległości 2a pomiędzy ładunkami, a kierunek p jest zgodny z kierunkiem od ładunku ujemnego
do dodatniego. Wektorowa natura elektrycznego momentu dipolowego pozwala nam, jak
zobaczymy, sprowadzić wiele wyrażeń do bardziej zwartej postaci poprzez wprowadzenie dipoli
elektrycznych.
Rysunek 16-4a przedstawia dipol elektryczny utworzony przez umieszczenie dwóch ładunków
+q i -q w stałej wzajemnej odległości 2a. Układ jest umieszczony w jednorodnym zewnętrznym
polu elektrycznym E, z którym moment dipolowy p tworzy kÄ…t ¸. Na dipol, jak pokazano,
działają dwie równe i przeciwnie skierowane siły F i -F, gdzie F = qE. Wypadkowa siła jest
2
oczywiście równa zeru, lecz istnieje wypadkowy moment obracający dipol wokół osi
przechodzÄ…cej przez punkt O dany przez
(16-6)
A
ącząc te dwa równania i biorąc pod uwagę, że p = 2aq, otrzymujemy
(16-7)
Widzimy, że na dipol elektryczny umieszczony w zewnętrznym polu E działa moment skręcający,
dążący do ułożenia go wzdłuż linii pola. Równanie (16-7) można przepisać w postaci
wektorowej
(16-8)
Odpowiednie wektory pokazane sÄ… na rys. 27-15b.
Rys. 16-4. (a) Dipol elektryczny w jednorodnym polu zewnÄ™trznym, (b) Ilustracja zależnoÅ›ci Ä= pxE
Ażeby zmienić położenie dipola elektrycznego w zewnętrznym polu elektrycznym, musi być
wykonana pewna praca (dodatnia lub ujemna) przez czynnik zewnętrzny. Praca ta zostaje
zmagazynowana jako energia potencjalna U układu składającego się z dipola i urządzenia
wytwarzajÄ…cego pole zewnÄ™trzne. Jeżeli ¸ na rys. 16-4a ma wartość poczÄ…tkowÄ… ¸ 0, to praca
potrzebna do obrócenia dipola do kÄ…ta ¸ dana jest równaniem (16-9), czyli
(16-9)
gdzie Ä jest momentem skrÄ™cajÄ…cym, wywieranym przez czynnik, który wykonuje pracÄ™. Z tego
równania oraz z zależności (16-7) otrzymujemy
(16-10)
Ponieważ interesujÄ… nas tylko zmiany energii potencjalnej, orientacjÄ™ punktu odniesienia, ¸0
możemy dobrać tak, aby miaÅ‚a wygodnÄ… wartość, w tym przypadku 90°. StÄ…d mamy
(16-11)
A
adunki krążące po orbitach
Rysunek 16-5 przedstawia ujemnie naładowaną cząstkę o prędkości v, wprowadzoną do
jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B. Zakładamy, że v jest prostopadłe do B, czyli
leży dokładnie w płaszczyz
nie rysunku. Z zależnoÅ›ci F = qÅxB wynika, że na czÄ…stkÄ™ dziaÅ‚a siÅ‚a
odchylająca o wartości bezwzględnej qvB. Siła ta leży w płaszczyz
nie rysunku, wobec czego
cząstka nie może opuścić tej płaszczyzny.
Przypomina nam to kamień przytrzymywany linką i obracający się w płaszczyz
nie poziomej
po okręgu koła. Tutaj również na kamień działa siła o stałej wartości bezwzględnej  napięcie
linki, leżąca stale w jednej płaszczyz
nie i prostopadła do prędkości. Naładowana cząstka,
podobnie jak kamień, porusza się ze stałą prędkością po torze kołowym.
(16-12)
3
gdzie r jest promieniem toru. Na rysunku 16-6 pokazany jest spiralny tor (trzy spirale) elektronu o
niskiej energii w komorze pęcherzykowej. Tutaj tor nie jest kołem, ponieważ elektron w czasie
ruchu traci energię wskutek zderzeń.
Rys. 16-5. A
adunek -q krąży po torze
kołowym leżącym w płaszczyz
nie
prostopadłej do jednorodnego pola
magnetycznego
Rys. 16-6. Komora pęcherzykowa jest urządzeniem
pozwalającym oglądać, dzięki powstającym w nią
małym pęcherzykom, tory cząstek naładowanych,
przechodzÄ…cych poprzez komorÄ™. Rysunek
przedstawi* fotografię wykonaną przy użyciu takiej
komory umieszczonej w polu magnetycznym o
indukcji B i naświes-lanej promieniowaniem z
wielkiego cyklotronu. Krzywa o kształcie litery V
przechodzÄ…ca przez punkt F jest utworzona przez
tory dodatniego i ujemnego elektronu, które w polu
magnetycznym sÄ… odchylone w przeciwne strony.
Spirale S są śladami trzech niskoenergetycznych
elektronów. (Dzięki uprzejmości E. O. Lawrence'a,
Radiation Laboratory, Uniyersity of California)
PrÄ™dkość kÄ…towa É równa jest v/r, czyli
(16-13)
Częstość v dana jest wzorem
(16-14)
Zauważmy, że v nie zależy od prędkości cząstki. Szybkie cząstki poruszają się po dużych kołach,
wolne po małych, ale każda z nich potrzebuje tego samego czasu T, aby wykonać jeden obrót w
polu.
Częstość v jest częstością charakterystyczną dla naładowanej cząstki w polu magnetycznym i
można ją porównać z częstością charakterystyczną wahadła w ziemskim polu grawitacyjnym oraz
z częstością charakterystyczną układu drgającego masa-sprężynka. Częstość ta jest czasami
nazywana częstością cyklotronową cząstki w polu, ponieważ z taką częstością krąży cząstka
w cyklotronie.
Akceleratory czÄ…stek
Cyklotron, uruchomiony po raz pierwszy na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley przez
Ernesta Lawrance'a (1902-1958) w roku 1932, jest przyrządem służącym do przyspieszania
naładowanych cząstek, takich jak jądra wodoru (protony) i deuterony, czyli jądra ciężkiego
wodoru do wysokich energii, takich aby cząstki te można było używać w doświadczeniach nad
4
rozbijaniem atomów. Na rysunku 16-7 przedstawiony jest cyklotron pracujący dawniej na
uniwersytecie w Pittsburghu. Chociaż konwencjonalne cyklotrony tego typu nie są już używane,
przedyskutujemy je z dwóch powodów: (a) dostarczają one doskonałych ram do dyskusji
oddziaływania pól elektrycznego i magnetycznego na cząstki naładowane; (b) od nich wywodzi się
kilka generacji usprawnionych akceleratorów  chociażby synchrotron protonowy. Ten ostatni
dostarcza nawet więcej możliwości badania oddziaływania pól elektrycznych i magnetycznych z
cząstkami naładowanymi. Oczywiście nie jest to jego główne zadanie.
W środku cyklotronu znajduje się z
ródło jonów, w którym cząsteczki deuteru (ciężkiego
wodoru) bombardowane są elektronami o dosyć wysokiej energii (np. 100 eV), dzięki czemu
podczas zderzeń wytwarza się duża liczba dodatnich jonów. Wiele z tych jonów są to po prostu
swobodne deuterony, które przedostają się przez mały otwór w ściance z
ródła- jonów do
właściwego cyklotronu i tam mogą być przyspieszane.
W cyklotronie do przyspieszania stosuje się różnicę potencjałów średniej wielkości (np. 105
V), ale jony przebywają tę różnicę wielokrotnie. Aby osiągnąć energię 10 MeV, przy różnicy
potencjałów przyspieszających 105 V, jony muszą przebyć tę różnicę 100 razy. Do zakrzywiania
toru jonów, tak aby mogły one wielokrotnie przebyć tę samą drogę, stosuje się pole magnetyczne.
Rysunek 16-7 przedstawia widzianą z góry część cyklotronu, która znajduje się wewnątrz
opróżnionego z powietrza zbiornika, oznaczonego na rys. 33-12 literą V. Dwa pierścienie w
kształcie litery D (nazywane duantami), z blachy miedzianej, tworzą część
Rys. 16-7. Część cyklotronu przedstawiająca
z
ródło Z jonów i duanty. Płytka
odchylajÄ…ca o odpowiednim ujemnym
potencjale skierowuje wiÄ…zkÄ™ na zewnÄ…trz
elektrycznego oscylatora. W przerwie pomiędzy pierścieniami panuje określona różnica
potencjałów przyspieszająca cząstki. Znak tej różnicy potencjałów zmienia się milion razy na
sekundÄ™.
Pierścienie umieszcza się w polu magnetycznym (BS 1,6 T) skierowanym za płaszczyznę
rys. 16-7. Pole wytworzone jest przez ogromny elektromagnes, którego część oznaczono na rys.
16-7 literą R. Ponadto przestrzeń, w której poruszają się jony, opróżniona jest z powietrza do
ciśnienia 10-6 mmHg. Gdyby tego nie zrobiono, jony zderzałyby się ciągle z cząsteczkami
powietrza.
Przypuśćmy, że deuteron wybiegający ze z
ródła jonów napotyka na pierścień o potencjale
ujemnym; zostanie on przyspieszony w kierunku tego pierścienia i wejdzie do niego. Wewnątrz
pierścienia jon (deuteron) jest ekranowany od sił elektrycznych przez jego metalowe ścianki.
Pole magnetyczne natomiast swobodnie przechodzi przez te ścianki, wobec czego tor jonu
zostaje zakrzywiony, staje się kołem o promieniu zależnym od prędkości i jest dany równaniem r
= mv/qB. Po czasie t0 jon wylatuje z pierścienia w kierunku przeciwnym niż początkowo ze
z
ródła jonów. Załóżmy, że w tym momencie potencjał zmienia znak. Wobec tego jon ma teraz
przed sobą drugi pierścień o potencjale ujemnym, w dalszym ciągu jest przyspieszany i znowu
opisuje półokrąg, ale już w drugim pierścieniu o nieco większym promieniu. Jednakże czas
przejścia przez drugi pierścień znowu jest równy t0, ponieważ okres obrotu jonu krążącego w polu
magnetycznym nie zależy od jego prędkości. Ten proces powtarza się aż do chwili, gdy jon zbliży
się do zewnętrznej krawędzi jednego z pierścieni, gdyż wówczas jest on wyrzucony z układu przez
ujemnie naładowaną płytkę odchylającą.
5
Aby cyklotron działał, częstość charakterystyczna v, z którą jon krąży w polu, musi być
równa ustalonej części v0 oscylatora elektrycznego, czyli v = v0. Jest to warunek rezonansowy. Z
warunku tego wynika, że jeżeli energia krążącego jonu ma wzrastać, trzeba mu dostarczać energię
z częstością v0 równą jego częstości własnej, z jaką krąży w polu. W ten sposób dostarczamy
energię huśtawce, popychając ją z częstością równą częstości własnej wahań huśtawki.
Korzystając z równania (y = qB/2Ąm) możemy warunek rezonansowy przepisać w postaci
(16-15)
Jeżeli wybraliśmy rodzaj cząstek, które mają być przyspieszane, stosunek q/m jest wielkością
ustaloną. Zwykle oscylatory pracują tylko przy określonej częstości v0. Zmieniając B dotąd, aż
równanie (33-17) będzie spełnione,  dostrajamy" cyklotron tak, aby otrzymać na wyjściu
wiÄ…zkÄ™ czÄ…stek przyspieszonych.
Energia cząstek wytwarzanych w cyklotronie zależy od promienia R pierścienia. Z równania
(33-15) (r = mv\qS) otrzymujemy na prędkość cząstki krążącej po okręgu o danym promieniu
wyrażenie
(16-16)
Energia kinetyczna jest więc równa
(16-17)
Istnieją dwa powody, dla których opisany przez nas klasyczny cyklotron zawodzi przy wysokich
energiach. Jeden z nich wiąże się z fizyką, drugi z kosztami. Omówimy oba. Przy wysokich
energiach działanie cyklotronu, zawodzi, ponieważ w jednym z założeń przyjęliśmy, że częstość
obrotów jonu krążącego w polu magnetycznym nie zależy od jego prędkości, co jest słuszne jedynie
dla prędkości dużo mniejszych od prędkości światła. Gdy prędkość cząstek wzrasta, w równaniu (16-
15) musimy brać pod uwagę masę relatywistyczną m. Ponieważ masa relatywistyczna rośnie wraz z
prędkością, więc przy dostatecznie dużych prędkościach częstość v maleje ze wzrostem prędkości.
Wskutek tego jony krążące w oscylatorze elektrycznym zbaczają z torów i w końcu energia ich
przestaje wzrastać. Drugą trudnością związaną z przyspieszaniem cząstek naładowanych do wysokich
energii jest to,
że wymiary magnesu potrzebnego do prowadzenia takich cząstek po orbitach kołowych muszą być
bardzo duże. Dla protonów o energii  na przykład  30.109 eV, w polu o indukcji 1,5 T promień
krzywizny wynosi 65 m. Magnes dla takiego cyklotronu (o średnicy około 17 m) byłby niezwykle
kosztowny. Nawiasem mówiąc, protony o energii 30 " 109 eV mają prędkość równą 0,99998
prędkości światła.
Oba te ograniczenia, relatywistyczne i ekonomiczne można zlikwidować w sposób, który okaże
się zrozumiały, jeżeli rozpatrzymy równanie (33-17) podstawiając tam na miejsce m masę
relatywistyczną, daną równaniem (8-20), czyli gdzie v jest prędkością cząstki, c 
prędkością światła.
Gdy prędkość cząstki rośnie, masa relatywistyczna również rośnie. Aby równość (16-15)
pozostała słuszna i spełniony był warunek rezonansowy, częstość oscylatora v0, w miarę jak cząstka
(niech będzie to np. proton) jest przyspieszana, można zmniejszyć w taki sposób, aby iloczyn vQm
pozostawał stały. Akceleratory, w których stosuje się ten sposób, nazywamy synchrocyklotronami.
Aby zlikwidować ograniczenie spowodowane kosztami magnesu, można zmienić zarówno B, jak i
v0 w sposób cykliczny, tak aby nie tylko przez cały czas spełnione było równanie (33-17), ale również,
aby promień orbity pozostawał nie zmieniony podczas procesu przyspieszenia. Pozwala to na użycie
magnesu pierścieniowego (w kształcie obrączki) zamiast magnesów zwykle stosowanych w
cyklotronach, co znacznie zmniejsza koszty. Mając do dyspozycji dwie zmienne wielkości B i v0,
możemy w czasie trwania procesu zachowywać dwie równości, jedną  równanie (16-51) i drugą,
daną zależnością
(16-17)
6
gdzie Ro jest ustalonym promieniem orbity. Akceleratory, w których stosowana jest tego rodzaju
technika, nazywane sÄ… synchrotronami. Tablica 33-2 podaje pewne parametry charakteryzujÄ…ce
synchrotron zbudowany w Brookhaven National Laboratory w Brookhaven.
Zwracamy uwagę, że nawet energie protonów wstrzykiwanych (50 MeV) do tego akceleratora
daleko przewyższają możliwości cyklotronu konwencjonalnego.
W czasie pisania tego podręcznika (1977) największy synchrotron protonowy (z energią 500 GeV
mającą wzrosnąć do docelowej 1000 GeV) znajdował się w Batavii k. Chicago w stanie Illinois.
System wstrzykujący protony do pierścienia przyspieszającego tego akceleratora jest sam w sobie
imponujący. Protony są początkowo przyspieszane do 750 keV przez układ transformator-prostownik.
Następnie przechodzą przez mający 145 m długości akcelerator liniowy i opuszczają go z energią 200
MeV, która jest energią wejściową do pośredniej wielkości synchrotronu dającego energię 80 GeV.
Dopiero z tą energią wstrzykiwane są do głównego przyspieszającego pierścienia.
We wszystkich tych procesach pola elektryczne i magnetyczne nie tylko przyspieszajÄ… protony,
lecz również kierują je w pożądanych kierunkach potrzebnych do przeprowadzanych eksperymentów,
a przede wszystkim ogniskujÄ… dobrze zdefiniowanÄ… wiÄ…zkÄ™ protonowÄ… na drodze jej przebiegu
wynoszącej około 1,6.105 km. Chociaż nie to było głównym celem, nie zbudowano lepszego
 laboratorium" dla zademonstrowania oddziaływania pól elektrycznego i magnetycznego na cząstki
naładowane. Dla ilustracji wielkości i zakresu tej inwestycji podajemy tylko jej roczny budżet za
zużytą energię elektryczną, który wyniósł w 1976 r. kilka milionów dolarów.
7