Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (1)
Teoria ruchu
Zało\
enia:
" w systemie tym istnieje N stanowisk obsługi
telekomunikacyjnego
" czasy między kolejnymi wywołaniami są zmiennymi
losowymi o rozkładzie wykładniczym
" czasy obsługi są zmiennymi losowymi o rozkładzie
Systemy z oczekiwaniem
wykładniczym
zgłoszeń
" wywołania, które napotykają na blokadę są umieszczane w
kolejce, gdzie oczekujÄ… na zwolnienie siÄ™ stanowisk
obsługi
2
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (2) Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (3)
" Warunkiem równowagi statystycznej jest spełnienie
      
nierówności A < N, w przeciwnym przypadku kolejka
rosłaby do nieskończoności, przy czym: 0 1 2 N-1 N N+1
 µ 2µ 3µ (N-1)µ Nµ Nµ Nµ
A =
µ
Diagram równowagi dla systemu M/M/N
" W przypadku, gdy w systemie znajduje się x wywołań i x
" Dzięki wcześniejszym zało\
eniom mo\
na zapisać
d" N (x stanowisk obsługi jest zajętych) intensywność
następujące równania:
zakoÅ„czenia obsÅ‚ugi wynosi xµ
Px-1 = xµPx dla 1 d" x < N
" Je\
eli x > N, czyli x - N wywołań oczekuje w kolejce,
intensywność jest staÅ‚a i wynosi Nµ
3 4
Px-1 = NµPx dla x e" N
(ilustracja  następny slajd)
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (4) Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (5)
Po podstawieniu

A =
WykorzystujÄ…c warunek normalizacyjny
µ
"
= 1
"Px
Otrzymujemy:
P1 = AP0
x=0
A2
P2 = P0
2!
mo\
na zapisać:
L
AN 1 1
PN = P0
P0 = =
N! i -1
N
N -1 "
Ai AN N
Ai AN A
A AN
+
ìÅ‚ ÷Å‚
PN +1 = P0 " "ëÅ‚ N öÅ‚ " i! + N! N - A
N N! i! N! i=0
i=0 i=0 íÅ‚ Å‚Å‚
2
A AN
ëÅ‚ öÅ‚
PN +2 = P0
ìÅ‚ ÷Å‚
N N!
íÅ‚ Å‚Å‚
5 6
Natomiast...
L
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 1
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (6) Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (7)
" Prawdopodobieństwo blokady, czyli prawdopodobieństwo
wystąpienia opóz
nienia wynosi
" Istnieje związek pomiędzy pierwszym i drugim wzorem
Erlanga. Jest on opisany następującą zale\
nością:
AN N
"
N! N - A
E2,N (A) = =
"Px
N -1
NE1,N (A)
Ai AN N
x=N
+
" E2,N (A) =
i! N! N - A
i=0
N - A + AE1,N (A)
" Powy\
szy wzór nosi nazwę drugiego wzoru Erlanga.
W literaturze amerykańskiej jest on nazywany  wzorem
C-Erlanga
7 8
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (8) Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (9)
- kilka u\
ytecznych wzorów - kilka u\
ytecznych wzorów
" Prawdopodobieństwo, \
e wszystkie stanowiska są zajęte i
w kolejce oczekuje  j wywołań:
" Z punktu widzenia projektowania systemów z
j j
oczekiwaniem wa\
na jest nie tylko znajomość
AN A A A
ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
PN + j = P0 = E2,N (A)ëÅ‚1- ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ prawdopodobieÅ„stwa, \
e zgłoszenie trafi do kolejki,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
N! N N N
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
ale równie\

rozkład czasów oczekiwania na obsługę,
" Prawdopodobieństwo, \
e wszystkie stanowiska obsługi są
a w tym
zajęte, a w kolejce znajduje się  j lub więcej wywołań:
prawdopodobieństwo, \
e czas oczekiwania na
i i i j
" j-1
łł obsługę przekroczy określoną wartość t
A A A A A A
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚îÅ‚ " öÅ‚ öÅ‚
E2, (A)ëÅ‚1 - ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł ìÅ‚ ÷Å‚
= E2,N ( A)ëÅ‚1-
ìÅ‚
" N "ëÅ‚ "ëÅ‚ = E2,N (A)ëÅ‚ N öÅ‚
N N N N N
i= j íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ (czyli P(Å‚>t)).
i=0 i=0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
9 10
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (10) Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (11)
- kilka u\
ytecznych wzorów - kilka u\
ytecznych wzorów
" Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite " PN+j(ł>t) mo\
na wyrazić korzystając ze wzoru Poissona i
mo\
na powiedzieć, \
e: mamy wtedy:
"
i
P (Å‚ > t ) = (Å‚ > t )
"
P P t
N + j N + j ëÅ‚ öÅ‚
j = 0 N
ìÅ‚ ÷Å‚ t
gdzie:
- N
j
h
íÅ‚ Å‚Å‚
h
(Å‚ > t ) = " e
PN+j stanowi prawdopodobieństwo, \
e wszystkie
P N + j
i = 0 i!
stanowiska obsługi są zajęte i w kolejce oczekuje j
gdzie:
zgłoszeń,
h jest średnim czasem obsługi
PN+j(Å‚>t) jest prawd., \
e czas oczekiwania będzie większy
ni\
t pod warunkiem, \
e zgłoszenie napłynęło, gdy w
11 12
systemie znajduje się N+j zgłoszeń Stąd po podstawieniu do poprzedniego wzoru mamy:
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 2
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (12) Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (10)
- kilka u\
ytecznych wzorów - kilka u\
ytecznych wzorów
" Åšredni czas oczekiwania w kolejce W odniesiony do
" Prawdopodobieństwo, \
e czas oczekiwania będzie większy
wszystkich wywołań (zarówno oczekujących jak i nie
ni\
t (przy zało\
eniu regulaminu kolejki typu FIFO):
oczekujÄ…cych) wynosi:
h
W = E2,N (A)
N - A
P(Å‚ > t) = E2,N (A)e-(N - A)t / h
" Średni czas oczekiwania odniesiony do wywołań
gdzie: opóz
nionych wynosi:
h  średni czas obsługi W h
Wo = =
13 14
E2,N (A) N - A
Przykład 1
Model Erlanga z oczekiwaniem (M/M/N) (11)
Do koncentratora przyłączono 512 abonentów telefonicznych, z których ka\
dy
generuje ruch o średnim natę\
eniu 0,085 Erl. Koncentrator połączono z centralą
- kilka u\
ytecznych wzorów za pomocą dwóch traktów PCM 30/32.
1. Oblicz prawdopodobieństwo oczekiwania abonenta na przydzielenie kanału.
2. Oblicz średni czas oczekiwania odniesiony do wszystkich zgłoszeń oraz
do zgłoszeń opóz
nionych. Przyjmij, \
e strumień zgłoszeń jest strumieniem
Poissona. Przeprowadz
obliczenia przyjmujÄ…c, \
e średni czas trwania połączenia
" Średnia liczba wywołań oczekujących w kolejce Q: :
wynosi: a) 2 min; b) 3 min.
RozwiÄ…zanie:
S=512, N=2*30=60, A = 512*0,085 = 43,52 Erl
S>>N model Erlanga
Q =  Å"W
Ad. 1
NE1,N (A)
E2,N (A) =
N - A + AE1,N (A)
16
15
E1,N(A)  odczytujemy z tablic: Ad. 2 a
h = 2 min
Średni czas oczekiwania w kolejce W odniesiony do wszystkich wywołań:
h
W = E2,N (A)
N - A
2
W = 0,01 = 0,00121min = 0,073s
60 - 43,52
Średni czas oczekiwania odniesiony do wywołań opóz
nionych wynosi:
W h
Wo = =
E1,N(A)=0,003165
E2,N (A) N - A
60Å"0,003165 0,1899
2
E2,N (A) = = = 0,01
Wo = = 0,121min = 7,28s
60 - 43,52 + 43,52Å"0,003165 16,618 17 18
60 - 43,52
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 3
Ad. 2 b
h = 3 min
Średni czas oczekiwania w kolejce W odniesiony do wszystkich wywołań:
h
W = E2,N (A)
N - A
3
W = 0,01 = 0,0018 min = 0,1s
60 - 43,52
Średni czas oczekiwania odniesiony do wywołań opóz
nionych wynosi:
W h
Wo = =
E2,N (A) N - A
3
Wo = = 0,182min =10,9s
19
60 - 43,52
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 4