badania układów analogowych
Przekształcenie Laplace’a
1
• Podstawowe definicje.
• Transformaty Laplace;a wybranych sygnałów.
• Własności przekształcenia Laplace’a.
• Tw
T i
w er
e dze
z n
e ia
a (
prze
z s
e unię
i c
ę i
c e
i
e r
ze
z c
e z
c y
z w
y is
i te
t ,
e p
rze
z s
e unię
i c
ę i
c e
i
e z
e
z s
e polo
l ne)
e
• Przykłady obliczeń transformaty Laplace’a.
• Transformata pochodnej funkcji czasu.
• Immitancja i transmitancja operatorowa.
• Metody wyznaczania transmitancji (metoda schematów blokowych)
• Przykłady
2
Wśród metod częstotliwościowych badania układów analogowych najczęściej
znajduje
zastosowanie
metoda
przekształcenia
Laplace’a.
Metoda
od
ta polega
g
na za
z stą
t pie
pi ni
n u ró
r żnic
ni zkowa
kow ni
a a funkc
f
ji
j czasu
przez
pomnożenie
funkcji
zmiennej
zespolonej,
zwanej
transformatą, przez parametr zespolony i odpowiednio na zastąpieniu całkowania funkcji czasu w granicach od 0 do t przez podzielenie transformaty przez tenże parametr.
Metodę zalicza się do metod operatorowych, a zespół twierdzeń i reguł związanych z zastosowaniem przekształcenia Laplace’a nazywa się rachunkiem operatorowym.
3
W przekształceniu Laplace’a rozpatruje się dwie funkcje: f(t) – argumentu rzeczywistego t, którym w elektrotechnice jest zazwyczaj czas, funkcję f(t) nazywa się zazwyczaj funkcją oryginalna, oryginałem lub też funkc
f
ją czasu.
u
F(s) – argumentu zespolonego (zmiennej zespolonej) s=δ+jω
zwanego też parametrem zespolonym.
∞
F( s)
∫
−
= f ( t) e stdt
0
4
• Znika dla argumentów ujemnych, tzn. f(t)=0 dla t<0,
• Jest jednoznacznie określona w całym przedziale od 0
do α
oraz
a
z j
es
e t w
w tym
m prze
z d
e zi
z al
a e
e c
i
c ąg
ą ła,
a
,
• Wzrasta co do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza, to znaczy do danej funkcji f(t) można dobrać taką liczbę dodatnią M
oraz stałą α nieujemną, że dla wszystkich wartości argumentu t zachodzi: |f(t)| < M·exp(α t) 5
Własności przekształcenia Laplace’a.
1. Liniowość.
[
L af ( t) + bf ( t) = aF s + bF s 1
2
]
( )
( )
1
2
2. T
2. r
T ansfor
f ma
m ta s
tałej.
[
L
] A
A = s
3. Transformata skoku jednostkowego.
1
[
1
L
t
(
1 )] = s
0
6 t
Własności przekształcenia Laplace’a cd..
4. Transformata skoku jednostkowego.
f(t)=1(t-a)
− as
1
[
L
t
(
1 − )] e
a = s
0
a
t
∞
∞
∞
− st
− as
−
−
−
e
∞
e
∫1( t − a) st
e
dt = ∫ 0 st
st
e
dt + e dt
∫
=
| =
a
− s
s
0
0
a
7
Własności przekształcenia Laplace’a cd..
5. Transformata funkcji wykładniczej.
− at
f t
( ) = e
∞
−
−
−
−1
at
at
st
−
−( a+ s) t ∞
1
L( e
) = e
e dt
∫
=
e
| =
s + a
0
s + a
0
at
f t
( ) = e
∞
−
−1
L( eat ) = eate stdt
∫
(
)
1
=
e a− s t ∞
| =
s − a
0
s − a
8
0
Własności przekształcenia Laplace’a cd..
6. Transformata funkcji sin.
e jω t − e− jω t f t
( ) = sin ω t
sin ω t =
2 j
1
jω t
− jω t
1
1
1
L [sin ω t ] = L
( e
− e
) =
−
=
2 j
2 j s − jω
s + jω
1 s + jω − s + jω
2 jω
1
ω
=
=
2
2
2
2
2
2
2 j
s + ω
2 j
s + ω
s + ω
9
Własności przekształcenia Laplace’a cd..
7. Transformata funkcji cos.
jω t
− jω t
e
+ e
f t
( ) = cosω t
cos t
ω =
2
1
jω t
− jω t
1
1
1
L [cos ω t ]
1
ω
− ω
1
1
] = L
( e
+ e
)
=
+
=
2
2 s − jω
s + jω
1 s + jω + s − jω
2 s
1
s
=
=
2
2
2
2
2
2
2
s + ω
2 s + ω
s + ω
10
Własności przekształcenia Laplace’a cd..
8. Transformata funkcji sin(ωt+ψ).
f ( t) = sin(ω t +ψ )
[
L s
A in(ω t ψ
+ ]
) = [
L (
A sinω t cosψ +cosω t sinψ ]
) =
ωcosψ + s sinψ
= A
2
2
s
ω
+
11
Własności przekształcenia Laplace’a cd..
9. Transformata Delty Diraca.
f ( t) = δ ( t (
1
) t)
1
t
(
1 ) − t
(
1 − a)
δ t
( ) = lim
δ t
( , a) = lim
a→0
a→0
0
t
a
(
1 t) − (
1 t − a)
(
1 t) − (
1 t − a)
1− − as
−
e
se as
[
L δ ( t)] = [
L lim
= lim
[
L
] = lim
= lim
= 1
a→0
a→0
a→0
a→0
a
a
as
s
12
Twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym.
f ( t ) = f ( t ) ⋅1( t ) Jeżeli transformata funkcji
f ( t ) = f ( t ) ⋅1( t ) = F ( s ) To:
− as
L [ f ( t − a ) ⋅1( t − a ) = F ( s ) e f(t)1(t)
f(t-a)1(t-a)
1
1
0
t
0
a
t
13
Twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym cd..
Chcemy mieć: f(t-a) = sinω (t-a) Dla a- połowa okresu sinusoidy, a=T/2, ω=2π/T, zatem ωa= π
sin ω t
( − a) = sin ω
( t − ω a) = sin ω
( t − π ) = − sin ω t
Moż
o emy
m z
y apisać:
f ( t) = s
A in t
ω (
1 t) − s
A in t
ω (
1 t − )
a = s
A in t
ω (
1 t) + s
A in (
ω t − a (
1
) t − )
a
Możemy zatem zapisać transformatę:
Aω
Aω
ω
−
A
F ( s)
as
=
+
e
=
1
(
− as
+ e
)
2
2
2
2
2
2
s + ω
s + ω
s + ω
14
Twierdzenie o przesunięciu zespolonym.
Jeżeli: L [ f ( t )] = F ( s ) λ = a + jb
To:
L [ − λ
e
t f ( t )] = F ( s + λ ) Ni
N ech:
f ( t ) = sin( ω t )
− λ t
− λ t
s + λ
L [ e
f ( t )] = L [ e sin ω t ] =
2
2
( s + λ ) + ω
15
Transformata pochodnej funkcji czasu df ( t )
L [
] = sF ( s )
f ( 0 +
−
)
dt
∞
∫ df( ) t −
[
L
] e s d
t t=
− st ∞
f ( )
t e | + s f t e s d
t t
f
sF s
0
∫
−
( )
=−
)
0
( + ( )
dt
0
16
Zastosowanie przekształcenia Laplace’a.
Transformata Laplace'a oddaje nieocenione usługi w wielu dziedzinach nauki i techniki. Jej zasadnicze zastosowanie to rozwiązywanie równań różniczkowych.
Tr
T ansfor
f ma
m tę wykor
w
zystuje się do obliczania:
• Równań różniczkowych zwyczajnych.
• Równań różniczkowych cząstkowych.
• Równań całkowych.
• Transmitancji.
17
Funkcje wymierne w układach elektrycznych.
L
L −1
1
L ( s )
a s
+ a
s
+ ... + a s + a
L
L −1
1
0
F ( s ) =
=
M
M −1
1
M ( s )
b
s
+ b
s
+ ... + b s + b
M
M −1
1
0
a
( s − s ) ⋅ ( s − s ) ⋅ ... ⋅ ( s − s ) F ( s )
L
1
2
L
=
⋅
b
(
'
s − s ) ⋅ (
'
s − s ) ⋅ ... ⋅ (
'
s − s
)
M
1
2
M
s , s , s ,..., s 1
2
3
L
- zera
'
'
'
'
s , s , s ,..., s 1
2
3
M
- bieguny
18
Immitancja i transmitancja operatorowa.
Immitancja jest funkcją zmiennej zespolonej s, która opisuje własności dwójnika jako przetwornika sygnału.
Tr
T ansmi
m ta
t ncj
nc a oper
ope at
a orow
o a
w jako funkc
f
ja
j zmi
m enne
nn j s, któr
ó a je
j st
współczynnikiem
między
transformatą
wymuszenia
i
transformatą odpowiedzi układu pozwala na wyznaczenie odpowiedzi układu na dowolne wymuszenie.
Y ( s ) = T ( s ) X ( s ) 19
U
( s )
wy
Transmitancja napięciowa:
T ( s ) = U ( s) we
I
( s )
wy
w
Tr
T an
a smi
m t
i a
t n
a cj
c a
a p
rąd
ą owa:
a
T ( s ) = I ( s) we
Transmitancja napięciowo-prądowa:
U
( s )
T ( s )
wy
= I ( s)
we
Transmitancja prądowo-napięciowa :
I
( s )
T ( s )
wy
=
20
U
( s )
we
Metody wyznaczania transmitancji.
• Metoda Massona.
• Metoda schematów blokowych.
• Me
M to
t dy o
bwodowe
21
Elementy schematu blokowego:
Węzeł sumacyjny:
Węzeł zaczepowy:
Transmitancja:
+
x1
x1+x2
x
x2
x
x
T
+
x1
x1- x2
x
-x2
22
w schematach blokowych.
• Sygnały płyną wzdłuż gałęzi poprzez blok wyłącznie w stronę strzałek.
• Aby uzyskać sygnał wychodzący z bloku należy sygnał
wchodzący do bloku pomnożyć przez transmitancję bloku.
• Sygnał wychodzący z węzła sumacyjnego równy jest sumie algebraicznej sygnałów wchodzących do tego węzła.
• Sygnał wchodzący do węzła zaczepowego jest przekazywany na wszystkie gałęzie wychodzące z tego węzła.
23
Przykłady schematów blokowych.
1.
2
x
y
T
y = T x
2.
x
T 1
T x
T1
y
x
+
y = (T + T )
2
x
1
x
T
T 2x
2
3.
y = T x
1
z = T y
2
x
y
z
T1
T 2
z = T 1T x
2
24
Przykłady schematów blokowych.
Schemat blokowy ze sprzężeniem zwrotnym : ( x ± T
y ) T
= y
x
y
2
1
+
T1
T x ± T T
y = y
1
1
2
+ T y
2
-
T x = y (1 ± T T ) 1
1
2
T2
y
T 1
T =
=
x
1 ± T T
1
2
Schemat blokowy ze sprzężeniem zwrotnym : x
y
+
T1
+
T
= 1
2
-
y
T 1
T =
=
x
1 ± T 1
25
Wyznaczyć transmitancję napięciową.
R
I (s)
U ( s)
T( s)
2
=
= ?
U 1(s)
L
U
U ( )
s
2 (s)
1
Metoda analizy:
Metoda schematów blokowych:
1
U( )
s
U ( )
s
1
1
(
I )
s
2
I ( s) =
U
[
( s) − U ( s)]
+
1/R
sL
R
1
2
-
U ( s) = sL − I ( s) 2
U ( s)
1
I ( s) =
1
T s
( )= ⋅ sL
R + sL
1
R
U ( s) ⋅ sL
U ( s) =
1
1
2
sL
R + sL
T s
( )
sl
1
R
T s
( )=
=
=
U ( s)
sL
1 ( )
1
T ( s) =
2
=
T
+ s
R s
+ L
1
+
1
sL
U ( s)
R + sL
R
26
1