Zad 1. Oblicz granicę ciągu (an) o wyrazie ogólnym: 2 n
−3
n
n −1
n +
n
1
2 + n + 1
2 n +1
2 n + 11
n − 3
a =
; a
; a =
a
; a
a
n =
n =
n
n =
n =
n + 3
n + 2
n
1 − n
3
2 n −1
3 n − 5 ;
3 n + 1
2 2 1
+
3
n
n −10
2
n +
n
2
4 − 3 n − 5 2
n
n + 2
2 2
n + 4
a
; a
; a
; a
; a
n =
n =
n
n =
n = 2
n =
100 2
n + 200
2
n
2 2
n + 3 n + 2
n + 5
2 n − 2
2
1
−
3
1
+
2
n −
2
n + n
3
2 + n
3 − n 2
2
n +
n
3 n + 2
a
a
; a =
; a
;
n =
n
4 3
n =
n
n =
n + 3 n + 10
2
3
2
;
n
n + 2 n
n + 2 n
(
2
2 −2
+2
2 n + 3)
2 n +
n
3
3
n − n
3
2 n − 4 n −1
n +
n
3
a
a
; a
; a
; a
n = 3
n =
n =
n =
n =
n + 1
3
2
3
;
2 n
n + 3 n + 10
6 n + 3 n − n
n
3
n − n
n( 2 2
n + 1 − 2 2
n −1)
a
2
n −
n + n −
an =
n =
; an = 3
9
6
15 ;
12 3
n + 3 n + 10
2 3 1
+
3 3
n −10
3
n +
n
2
a
+
− −
2
−
+
a
a
n =
n =
3 2
n
2 n
5
n 3 ; an = n n
n
5 ;
n =
100 2
n + 20
3
;
n
n
2 n+2
n + 7
n − 4
n − 5
a
2
=
+
− −
a
;
3
a
n =
n =
n =
; a
4 n
5 n
7
2 n ;
n
n
n
27 n + 2
n−2
9 2
n + 9
2
4 n − 7
n + 3
a =
9 2 −
− 3 ; a
; a =
; a = lim
n =
n
( n n n)
2
n
n + 4
(
n
1 + n)2
−
n→∞
n 1
Zad. 2 Zbadaj monotoniczność ciągu: 5 n −1
2
n
4 n
1
n + 1
3 n + 2
a) a
, b) a
,c) a
, d) a
, e) a
, f) a
n =
n =
n =
n =
n =
n = n + 2
2
2
2
n + 1
4 n + 2
n + 2
n + 1
n + 1
g)
2
a
n = n
+ 4 n − 5
Zad. 3 Oblicz pochodną funkcji: 3
1
3
13
a) f ( x) = x 3 − 5 x 2 + 3 x b) f ( x) =
c)
3
4
5
6
f ( x) =
x −
x +
x − 2 x d) 5
2
f ( x) =
x
3 x − 2
3
2
5
15
2
1
2
1
e) f ( x) = x ln x − f) f ( x) = ln (2
2
+ x ) g) f ( x) = 5 x − x + x − 2
2
3
3
x + 1
h) f ( x) = x − sin x cos x j) 7
5
−
1
− 1
f ( x) = 9 x + 3 x
− 3 x k) f ( x) =
l) f ( x
3
) = sin x
2 x −1
5
ł) f ( x
2
) = cos x m) f ( x) =
n) f ( x) = cos(3 x − ) 1
2 2
x − 5 x + 1
1
o) f ( x) = x − ln x p) f ( x) = x 3
4
⋅ x r)
2
2 x
f ( x) = 2 x ⋅ e s) 2
2− x
f ( x) = x ⋅ e
3