Zadanie 1. Znaleźć sumy szeregów
∞
∞
X
X
rn cos nt,
rn sin nt
n=0
n=0
dla r, t ∈ R, |r| < 1.
Zadanie 2. Uzasadnić, że poniższy szereg jest bezwzględnie zbieżny i znaleźć jego sumę:
∞
X
1
.
(n + i)(n + 1 + i)
n=1
∞
Zadanie 3. Uzasadnić, że szereg P 1 in jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, oraz znaleźć jego n
n=1
sumę.
Zadanie 4. Sprawdzić, że w półpłaszczyźnie <z > 0 istnieje dokładnie jedna gałąź loga-rytmu taka, że log 1 = 0. Znaleźć log(1 + i).
Zadanie 5. Wyznaczyć obrazy następujących zbiorów przy odwzorowaniu f (z) = ez:
• odcinek {z ∈ C; −π < =z < π} ∩ {<z = x0};
• prosta {z ∈ C; −π < =z < π} ∩ {=z = y0}
• pas {z ∈ C; −π < =z < π};
• prosta {x + iy; y = ax + b}
Zadanie 6. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji sin i cos.
Zadanie 7. Wykazać, że funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są nieograniczone.
Zadanie 8. Rozwiązać równania
cos z = u,
sin z = w
dla u, w ∈ C.
Zadanie 9. Niech (an)∞
będzie ciągiem liczb zespolonych, a
n=1
n 6= 0.
Wykazać, że jeżeli
istnieje granica lim |an+1| to istnieje granica lim |a
|a
n|1/n i granice te są sobie równe.
n|
∞
Zadanie 10. Znaleźć promień zbieżności szeregów potęgowych P anzn, gdzie wyrazy an n=1
dane są wzorami:
• n!
•
n2
4n+3n
• n!
nn
√
• (n!)3 W. Ze wzoru Stirlinga n! ∼
2πnn+1/2e−n.
(3n)!
Zadanie 11. Zbadać zbieżność poniższych szeregów potęgowych na brzegu koła zbieżności:
∞
∞
∞
X
X
1
X 1
nzn,
zn,
zn.
n2
n
n=0
n=1
n=1
∞
Zadanie 12. Niech f (z) = P anzn. Wykazać, że f jest rozwijalna w szerego potęgowy w n=0
każdym punkcie wewnątrz koła zbieżności.
Zadanie 13. Wykazać, że funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej f (x) := exp(−x−2) dla x > 0 i f (x) = 0 dla x ≤ 0 jest klasy C∞ lecz nie jest rozwijalna w zerze w szereg potęgowy. Oznacza to, że f nie jest analityczna (klasy Cω) w zerze. Wskazać przyczynę takiego zachowania funkcji w zerze badając zespolony odpowiednik tej funkcji.
2