ZESTAW ZADAŃ DO ĆWICZEŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ
– TEORIA PRODUCENTA –
Zad. 1
Dla poniższych funkcji produkcji ustal, jakie są techniczne efekty skali produkcji:
a) F(x1, x2) = x1 + 5x2,
b) F(x1, x2) = min{2x1; x2},
c) F(x1, x2) = 50x1x2,
d) F(x
1/4
1, x2) = 50x1x2
e) F(x
1/2
1/3
1, x2) = 2x1
x2 ,
Zad. 2
Dysponując funkcją kosztów K = 2y3 – 4y2 + 140y oblicz:
a) koszt krańcowy MC,
b) koszt przeciętny AC,
c) wielkość produkcji y, dla której funkcja MC i AC osiąga minimum.
Zad. 3
Funkcja opisująca koszt krańcowy przy produkcji baterii ma postać: MC = 3000 + 500y, gdzie y to rozmiary produkcji.
Jeżeli cena baterii to 5000 zł, to ile baterii powinien wyprodukować maksymalizujący zyski producent w warunkach
konkurencji doskonałej?
Zad. 4
Funkcja kosztów przeciętnych produkcji trzpieni metalowych ma postać AC = 100 + 10y + 50/y, gdzie y to rozmiary
produkcji. Przy jakich rozmiarach produkcji trzpieni koszty przeciętne tej firmy osiągną najniższy poziom?
Zad. 5
Wytwórca doniczek ma możliwość wykorzystywania w procesie produkcyjnym gliny od dostawcy A albo od dostawcy
B. Wielkość produkcji zależy od ilości zużytej gliny w sposób następujący: F(sA, sB) = 8sA+ 6sB, gdzie sA to nakład gliny od dostawcy A, zaś sB to nakład gliny od dostawcy B. Wiedząc, że cena gliny u dostawcy A wynosi 60 zł/kg, zaś u dostawcy B to 40 zł/kg określ, którego dostawcę wybierzesz i jakie będą optymalne (tj. minimalne) koszty
wyprodukowania 300 doniczek.
Zad. 6
Mając następującą funkcję produkcji: F(s, k, r) = 0,5s + 4k + 8r oraz cenę czynnika wytwórczego s równą 1,5 zł, cenę
czynnika k równą 8 zł, cenę czynnika r równą 2 zł oraz wiedząc, że koszty stałe to 100 zł określ:
a) efekty skali w sensie technicznym i ekonomicznym,
b) który czynnik produkcji zastosujesz w procesie produkcji.
Zad. 7
Jeżeli funkcja produkcji termometrów ma postać F(k, a) = min{8k – 10; (3a – 15)/5}, cena czynnika k to 200 zł, zaś czynnika a to 150 zł, to:
a) jaka jest postać funkcji kosztów uzależniona od nakładów czynników wytwórczych,
b) jaka jest postać funkcji kosztów uzależniona od rozmiarów produkcji termometrów,
c) ile wynoszą optymalne nakłady obu czynników przy poziomie produkcji 1500 i 3000 jednostek produktów ?
Zad. 8
Funkcja
miesięcznej
produkcji
firmy
produkującej
krzesła
przedstawia
się
następująco:
F(r, d, k, e) = min{r; d/5; 400k; e}, gdzie F(...) to liczba wyprodukowanych w ciągu miesiąca krzeseł, przy czym F(...) ≤ 3000, r to liczba rbh przy cenie 1 rbh = 20, d to nakład drewna w kg, przy cenie drewna 40 zł za kg, k to nakład kapitału w jednostkach, przy czym k = 10 niezależnie od rozmiarów produkcji, a cena utrzymania jednostki kapitału to
50 zł, e to zużycie energii elektrycznej w kWh, przy czym cena 1 kWh wynosi 30 zł. Na podstawie danych określ:
a) jakiego typu efekty skali w sensie technicznym i ekonomicznym występują w tym przedsiębiorstwie,
b) zbuduj funkcje kosztów zmiennych, kosztów całkowitych, kosztów przeciętnych oraz kosztów przeciętnych
zmiennych, przeciętnych kosztów stałych oraz kosztów krańcowych w zależności od wielkości produkcji,
c) optymalne rozmiary produkcji przy cenie krzesła wynoszącej 190 zł, a następnie przy cenie równej 380 zł.
© Opracowanie Michał Sosnowski
1
UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012
Zad. 9
Firma X zajmująca się wytwarzaniem klapek plażowych charakteryzuje się godzinową funkcja produkcji
w następującej postaci: F(a, k, s) = min{100a; 4k; 2s} ≤ 100. F(a, k, s) to produkcja klapek w parach (lewe + prawe); a
to nakłady pracy w roboczogodzinach; k czas pracy maszyn w maszynogodzinach; zaś s to nakłady surowca w kg. Cena
pracy pa = 15 zł/rbh; cena maszynogodziny pk = 30 zł/mh; cena hipotetycznej jednostki surowca ps = 0,4 zł. Ponadto
firma ponosi koszty stałe (podatek od nieruchomości, administracja ogólna etc.) w kwocie 40 zł/godz. Na podstawie
danych określ:
1) ogólną postać wzorów dla tej wytwórni na: koszty całkowite, koszty zmienne, koszty przeciętne, przeciętne koszty
zmienne, przeciętne koszty stałe, koszty krańcowe w zależności od wielkości produkcji (Y),
2) wysokość tych kosztów, jeżeli rozmiary produkcji godzinowej to: 10, 50, 100 klapek – rozwiązanie podaj w tabeli,
3) jaką produkcję na godzinę powinna wytworzyć firma maksymalizująca zysk, gdy uzyskuje cenę 10 zł za parę
klapek – jaki to będzie zysk,
4) jakie koszty w ciągu czterech tygodni poniesie firma i jaki osiągnie wynik finansowy, jeżeli wyprodukuje 32 000
par; jak sprawnie zorganizować pracę linii produkcyjnej, przy założeniu 40-godzinnego tygodnia pracy,
5) ile godzin powinna pracować linia w miesiącu (4 tygodnie), aby dokładnie pokryć koszty funkcjonowania
przedsiębiorstwa.
Zad. 10
Firma X zajmująca się wytwarzaniem pewnego dobra y charakteryzuje się godzinową funkcja produkcji w następującej
3
postaci: F ( a, k , s) = min
2
2
100 a ;4 k ;2 s , gdzie a to nakłady pracy w roboczogodzinach; k czas pracy maszyn w
maszynogodzinach; zaś s to nakłady surowca w kg. Cena pracy pa = 25 zł/rbh; cena maszynogodziny pk = 35 zł/mh;
cena hipotetycznej jednostki surowca ps = 0,5 zł. Ponadto firma ponosi koszty stałe (podatek od nieruchomości,
administracja ogólna etc.) w kwocie 50 zł/godz. Na podstawie danych określ ogólną postać wzorów dla tej wytwórni
na: koszty całkowite, koszty zmienne, koszty przeciętne, przeciętne koszty zmienne, przeciętne koszty stałe, koszty
krańcowe w zależności od wielkości produkcji (y).
Zad. 11
Mając funkcję produkcji: F(a, k
2
1, k2) = min{10a; 3k1 + 2k2 } oraz cenę jednostki nakładu czynnika produkcji a równą 5
j.p.; cenę jednostki nakładu czynnika produkcji k1 równą 3 j.p.; cenę jednostki nakładu czynnika produkcji k2 równą 4
j.p.,
a) zapisz funkcję kosztu zmiennego w zależności od wielkości produkcji y,
b) dla ceny produktu równej 4 j.p. oraz kosztów stałych równych 3,5 j.p. określ poziom produkcji yBEP, dla którego
wynik finansowy wynosi „0”.
Zad. 12
Produkując komplet dywaników do samochodów osobowych zużywasz alternatywnie tkaninę poliestrową (tpl) w ilości
4 mb albo tkaninę poliamidową (tpd) w ilości 3,5 mb na komplet (2 różne dywaniki na przód i dwa jednakowe dywaniki
na tył samochodu). Wykrojenie, obszycie i wyszycie logo danej marki samochodu zajmuje pracownikowi (a) 45 minut
na komplet dywaników, przy czym nakład pracy ludzkiej rozliczany jest w roboczogodzinach. W celu wykrojenia z
materiału jednego kompletu wykrawaczka (w) potrzebuje 15 minut, a maszyna obszywająca brzegi (o) 5 minut, przy
czym nakład pracy obu maszyn rozliczany jest w maszynogodzinach. W oparciu o powyższe dane zbuduj funkcję
produkcji tej firmy.
Zad. 13
Jakie nakłady czynników wytwórczych zużyjesz i jakie koszty poniesiesz na wytworzenie 25 oraz 150 wyrobów
gotowych, jeżeli funkcja produkcji ma postać: F(a, r, k) = min{a; r/4; 0,5k}, gdy 0 < F(a, r, k) ≤ 50, oraz
F(a, r, k) = min{2a; r; 4k}, gdy 50 ≤ F(a, r, k) ≤ 200. Koszty stałe niezależne od poziomu produkcji wynoszą 2000 zł,
cena czynnika a to 10 zł, czynnika r – 20 zł, zaś cena czynnika k to 100 zł.
Zad. 14
Firma produkująca plastykowe zestawy ogrodowe (stół, krzesła, etc.) zużywa 18 kg plastyku na zestaw. Jedna forma do
odlewu zestawu pozwala w ciągu godziny pracy odlać 15 zestawów, a jeden pracownik jest w stanie jednocześnie
obsługiwać 5 form, przy czym te charakterystyki występują przy produkcji do 350 zestawów na godzinę. Firma może
jednak przekroczyć tę produkcję i wytworzyć nawet 650 zestawów na godzinę, jednak musi liczyć się z tym że
dodatkowy park maszynowy pozwalający na przyrost produkcji jest znacznie wyeksploatowany. W związku z tym
zużycie plastyku wzrasta do 22 kg na zestaw, jedna forma pozwala odlać 10 zestawów w ciągu godziny, a jeden
© Opracowanie Michał Sosnowski
2
UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012
pracownik obsługuje jednocześnie maksymalnie 3 formy. Koszt 1 kg plastyku to 30 zł, roboczogodzina kosztuje 65 zł, a
maszynogodzina to 1500 zł. Koszty stałe firmy wynoszą 3000 zł/godz. Na podstawie danych:
a) zapisz funkcję produkcji tej firmy,
b) zapisz postać funkcji kosztów zmiennych w zależności od wielkości produkcji,
c) określ, jaka powinna być optymalna wielkość produkcji przy cenie zestawu wynoszącej 600 zł oraz 820 zł –
odpowiedź krótko uzasadnij,
d) jeśli do firmy wpłynie zlecenie na produkcję 6500 zestawów po 805 za sztukę, to czy przyjmiesz to zlecenie
oraz w jakim czasie je wykonasz nie mając na najbliższe 24 godziny żadnych innych zleceń.
Zad. 15
Produkujesz wazony zgodnie z miesięczną funkcją produkcji: F(k, a, s) = k1/2a1/3s. Czy przyjmiesz zlecenie
na wyprodukowanie 900 sztuk wazonów po 90 zł za sztukę, jeżeli cena maszynogodziny k wynosi 500 zł, cena
roboczogodziny a wynosi 10 zł, kg surowca s to 1000 zł, miesięczne koszty stałe to 1000 zł, natomiast nakład czynnika:
a) k = 4 mh oraz a = 90 rbh;
b) a = 90 rbh;
c) k, a oraz s może kształtować się w sposób elastyczny w zależności od rozmiaru produkcji?
Zad. 16
Miesięczna funkcja produkcji firmy X ma następującą postać: F(r, e, k, s1, s2) = min{4r; e1/2k; s1 + 2s2}. Koszty stałe
to 5000 zł miesięcznie. F(...) to produkcja wykładzin w m2; r oznacza nakład pracy w rbh, przy czym cena rbh to 5 zł; e
to nakład energii w kWh, a cena kWh to 3 zł; k oznacza nakład kapitału w mh, gdzie cena mh to 120 zł; s1 to nakład
surowca II gatunku w kg, przy cenie 2 zł za kg; s2 to nakład surowca I gatunku w kg, w cenie 3 zł za kg.
1) jeżeli nakłady kapitału są dane i wynoszą k = 200 mh miesięcznie, a duże przedsiębiorstwo dokonujące robót
wykończeniowych nowego osiedla domków jednorodzinnych zaproponowało firmie X kontrakt dotyczący
zakupu 4000 m2 wykładziny po 20 zł za m2 (kontrakt blokuje możliwość innej produkcji przez miesiąc), to
określ:
a) optymalne nakłady czynników wytwórczych pozwalające wywiązać się z kontraktu,
b) koszty realizacji kontraktu przez firmę X,
c) przychody z realizacji tego kontraktu oraz wynik finansowy osiągnięty z realizacji tego kontraktu,
d) czy przyjmiesz to zlecenie.
2) jeżeli podobne zlecenie masz szansę uzyskać po pewnym czasie, a do tego czasu możesz zmienić park
maszynowy, tzn. nakłady kapitału stają się zmienną, przy pozostałych warunkach niezmienionych, to określ:
a) optymalne nakłady czynników wytwórczych pozwalające wywiązać się z kontraktu,
b) koszty realizacji kontraktu przez firmę X,
c) przychody z realizacji tego kontraktu oraz wynik finansowy osiągnięty z realizacji tego kontraktu,
d) czy przyjmiesz to zlecenie.
Zad. 17
Funkcja produkcji talerzy w ujęciu miesięcznym ma postać: F(r, k, s1, s2) = r1/2k(s1+1,2s2), gdzie F(...) to rozmiary produkcji talerzy w szt., r – robocizna w rbh, k – nakład kapitału w mh, s1 – nakład surowca klasy B w kg, s2 – nakład surowca klasy A w kg. F(...) ≤ 2000; koszt stały to 10.000 zł, zaś nakład robocizny r jest stały (niezależny od wielkości produkcji) i wynosi 100. Ceny jednostkowe czynników wytwórczych przedstawia poniższa tabela:
Jedn.
r (rbh)
k (mh)
s1 (kg)
s2 (kg)
p (zł)
Cena (zł)
10
3 000
10
15
10
Na podstawie danych określ:
a) efekty skali w sensie technicznym i ekonomicznym – odpowiedź uzasadnij,
b) optymalną wielkość produkcji – odpowiedź uzasadnij,
c) który surowiec wykorzystasz w procesie produkcji i dlaczego,
d) optymalne nakłady czynników wytwórczych,
e) wartość kosztów zmiennych, kosztów całkowitych, kosztów przeciętnych, przeciętnych kosztów zmiennych,
przeciętnych kosztów stałych (dla postaci funkcji produkcji po dokonaniu wyboru surowca) dla optymalnej
wielkości produkcji,
f) miesięczny wynik finansowy.
g) wykonaj polecenia a) – f) przy założeniu, że czynnik r jest zmienny.
© Opracowanie Michał Sosnowski
3
UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012
Zad. 18
Podjąłeś pracę w przedsiębiorstwie wytwarzającym uszczelki. Funkcja miesięcznej produkcji ma następującą postać:
F(r, g1, g2, k) = min{2000r; 0,5g1 + 0,4g2; 100k}, przy czym oznaczenia, ceny i ograniczenia dotyczące czynników
produkcji i wyrobu gotowego zebrano w tabeli. Miesięczne koszty stałe to 100.000 zł.
Wyszczególnienie
Produkt F(...)
Praca (r)
Guma I (g1)
Guma II (g2)
Kapitał (k)
Jednostka
szt.
etaty
kg
kg
mh
Ograniczenia
Wynikają z nakładów
r ≥ 20*
brak
brak
k ≤ 380
Ceny
410
3000
200
170
500
* ze względu na silę związków zawodowych nie ma możliwości zmniejszenia zatrudnienia poniżej 20 osób, wzrost zatrudnienia odbywać się może bez ograniczeń
a) określ, jakiego typu efekty skali (techniczne i ekonomiczne) występują w tym procesie produkcyjnym
b) dla jakich rozmiarów produkcji (w szt.) koszty pracy należy traktować jako ukryte koszty stałe; ile one
wynoszą?
c) w jakim przedziale produkcji koszty pracy mogłyby być traktowane jako koszt zmienny?
d) jakie są maksymalne możliwości produkcji w sztukach?
e) który z czynników substytucyjnych wykorzystasz i dlaczego?
f) zapisz wzory na koszty zmienne, koszty całkowite, koszty jednostkowe uzależnione od rozmiarów produkcji,
oblicz koszt zmienny jednostkowy produkcji uszczelek
g) jaka będzie optymalna wielkość produkcji w Twojej firmie, jeżeli możesz sprzedać całą jej wielkość, gdy cena
produktu to 400 zł, 408 zł i 410 zł,
h) przyjmując cenę wyrobu gotowego = 410 zł, ustal próg rentowności tego przedsiębiorstwa.
Zad. 19
Pewna firma stosuje jeden czynnik wytwórczy do produkcji wyrobów zgodnie z funkcją produkcji: F(x) = 4x1/2, gdzie x
jest liczbą jednostek zużytego czynnika. Produkt jest sprzedawany po cenie równej 100 zł, a jednostkowa cena czynnika
produkcji wynosi 50 zł. Na podstawie danych określ:
a) efekty skali produkcji,
b) wzór pozwalający wyliczyć wartość produkcji w zależności od wielkości produkcji,
c) wzór pozwalający wyliczyć koszty produkcji w zależności od wielkości produkcji,
d) wzór pozwalający wyliczyć wynik finansowy w zależności od wielkości produkcji,
e) ile wynosi optymalny poziom produkcji,
f) ile jednostek czynnika produkcji zużyje optymalizująca wynik finansowy firma,
g) jaki będzie optymalny wynik finansowy.
Zad. 20
Funkcja produkcji firmy X dana jest wzorem: F(x
1/2
1/4
1, x2) = x1
x2 . Cena czynnika x1 wynosi 1 zł, czynnika x2 to 2 zł,
natomiast cena produktu wynosi 4 zł. Na podstawie danych określ:
a) efekty skali produkcji,
b) wzór pozwalający wyliczyć wynik finansowy w zależności od wielkości produkcji,
c) jaka jest wielkość produkcji, dla której wynik finansowy jest optymalny,
d) jakie nakłady czynnika x1, a jakie nakłady czynnika x2 maksymalizują zysk,
e) jaki jest optymalny wynik finansowy,
f) jaka jest optymalna wielkość produkcji, jeżeli F(...) ≤ 1, a jaka gdy 1 ≤ F(...) ≤ 8.
Zad. 21
Proces wytwórczy stali opisuje funkcja rocznej produkcji w postaci: F(a, s, e, k) = min{10a; 0,03s; 10e1/3k1/3}, gdzie a
to nakład pracy w czynnych etatach, s – nakład rudy żelaza w tonach, e – zużycie energii w MWh, zaś k to nakład
kapitału rozumiany jako liczba hut. Roczne koszty administracji wynoszą l 000 000 zł. Ograniczenia na najbliższy rok
dotyczące nakładów czynników oraz ich ceny przedstawia poniższa tabela:
Czynnik
Praca (a)
Ruda żelaza (s)
Energia (e)
Kapitał (k)
Produkt F(...)
Jednostka
Etat na rok
Tona
MWh
Huta
Tona
Wynikają z ograniczeń
Ograniczenia Bez ograniczeń
Bez ograniczeń
Bez ograniczeń
k = 27
czynników produkcji
Cena (zł)
10 000 zł
100 zł
l zł
900 000 zł
60 000 zł
© Opracowanie Michał Sosnowski
4
UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012
a) Jakie rozmiary produkcji stali należy wytworzyć (przy nieograniczonych możliwościach jej produkcji i zbytu)?
b) Jakie byłyby optymalne nakłady czynników wytwórczych, koszty produkcji i wynik finansowy w warunkach z
pkt. a)?
Zad. 22
Dla funkcji produkcji: f(x
1/2
1/4
1/2
1, x2, x3, x4) = min{x1
x2 ; x3x4 }, gdzie x1,..., x4 to czynniki wytwórcze, przy czym cena x1
to 2 zł; cena x2 to 8 zł; cena x3 to 4 zł, zaś cena x4 to 6 zł, określ postać funkcji kosztu zmiennego, kosztu całkowitego, kosztu przeciętnego i kosztu przeciętnego zmiennego w zależności od poziomu produkcji (y), wiedząc że koszt stały
wynosi 500 zł.
Zad. 23
Funkcja produkcji firmy monopolistycznej ma postać F(a) = 10a, gdzie a to nakład pracy w rbh. Cena produktu p zależy od wielkości produkcji i sprzedaży i jest opisana funkcją p = 2 – F(a)/1000. Koszty stałe to 100 zł, a cena rbh to
5 zł.
Na podstawie danych określ: optymalny nakład pracy, optymalne rozmiary produkcji oraz optymalny wynik finansowy.
Zad. 24
Firma monopolistyczna działa wg następującej funkcji kosztów: K = 0,2y3 – 12y2 + 100y oraz sprzedaje swój produkt
osiągając przychód dany funkcją: R = – 0,6y2 + 45y. Oblicz poziom produkcji y, dla którego zysk będzie maksymalny
i równy „0”.
Zad. 25
Firma monopolistyczna produkuje dwa wyroby, których ceny zmieniają się w zależności od wielkości produkcji i są
sprzedawane wg następujących funkcji popytu: P1 = 55 – y1 – y2 oraz P2 = 70 – y1 – 2y2. Funkcja kosztu tej firmy ma
postać: K = 2y 2
2
1 + y1y2 + 2y2 . Oblicz rozmiary produkcji obu wyrobów, dla których zysk będzie maksymalny.
Zad. 26
Firma monopolistyczna sprzedaje swój produkt na 3 oddzielnych rynkach: krajowym, europejskim i azjatyckim.
Funkcje przychodów przeciętnych dla poszczególnych rynków są następujące: AR1 = 63 – 4y1, AR2 = 105 – 5y2, AR3 =
75 – 6y3, gdzie y1, y2 i y3 to ilości produktów sprzedawanych na każdym z rynków. Funkcja kosztu tej firmy ma postać:
K = 20 + 15y, gdzie y = y1 + y2 + y3. Oblicz rozmiary produkcji tych wyrobów, dla których zysk będzie maksymalny.
Zad. 27
Firma wolnokonkurencyjna produkuje dwa wyroby w ilościach y1 i y2. Ceny tych wyrobów wynoszą odpowiednio: p1 =
12 zł i p
2
2
2 = 18 zł. Funkcja kosztu tej firmy ma postać: K = 2y1 + y1y2 + 2y2 . Oblicz rozmiary produkcji obu wyrobów,
dla których zysk będzie maksymalny.
Zad. 28
Zmaksymalizuj zysk firmy, który jest dany następującym wzorem: Z = 144y
2
1 – 3y2 – y1y2 – 2y2 + 120y2 – 35, wiedząc
że poziom produkcji obu wyrobów y1 i y2 to 40 szt. łącznie.
© Opracowanie Michał Sosnowski
5
UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012