Teoria Obwodów 2
Transformata Laplace a oraz jej wykorzystanie w analizie
stanu nieustalonego metodą operatorową  część II
Zawartość:
1. Metoda operatorowa ...................................................................................................................................................................................................... 2
1.1 Prawa Kirchhoffa w zapisie operatorowym........................................................................................................................................................... 3
1.2 Równania dla elementów RLC w zapisie operatorowym  elementy schematu operatorowego .......................................................................... 4
1.3 Impedancja, admitancja operatorowa, prawo Ohma w zapisie operatorowym ..................................................................................................... 7
1.4 Przykłady analizy stanu nieustalonego metodą operatorową ................................................................................................................................ 9
Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie stałe ........................................................................................................................................................... 9
Obwód rozgałęziony zawierający gałęzie aktywne, dwa oczka ...................................................................................................................................... 13
Wymuszenie sinusoidalne oraz metoda wektora wirującego .......................................................................................................................................... 23
�
1
Teoria Obwodów 2
1. Metoda operatorowa
Metoda klasyczna analizy pracy obwodu elektrycznego w stanie nieustalonym bazowała na różniczkowo-
całkowych związkach prądowo-napięciowych na elementach obwodu. Pozytywnym aspektem takiego
podejścia było przede wszystkim zachowanie wszystkich kroków analizy w dziedzinie czasu i tym samym
ukłon w kierunku fizyki elementów RLC z nierozerwalnymi związkami różniczkowo-całkowymi, z prawem
zachowania energii czy ciągłości prądów płynących przez cewkę i napięć na kondensatorach. Za
negatywną stronę metody klasycznej można uznać pracochłonne i czasochłonne działania związane z
wyodrębnieniem i rozwiązaniem równania różniczkowego, zwłaszcza w przypadku obwodów wyższego
rzędu.
Wprowadzenie transformaty Laplace a przenosi ciężar zapisu sygnału z dziedziny czasu do dziedziny
zmiennej zespolonej s, która nosi nazwę operatora s. Adaptacja tej metody w analizie obwodów
elektrycznych stwarza automatycznie dwa podstawowe pytania o wykorzystanie w:
1. zapisie równań Kirchhoffa,
2. zapisie związków prądowo-napięciowych na elementach RLC.
Czy uda się zapisać równania Kirchhoffa w zapisie operatorowym? Jak będą wyglądać związki
różniczkowo-całkowe w zapisie operatorowym i czy ich forma pozwoli na uproszczenie operacji
matematycznych potrzebnych do rozwiązania obwodu?
Odpowiedz
na większość z tak stawianych pytań jest pozytywna, do tego stopnia, że reprezentacja
związków prądowo-napięciowych na elementach RLC skutkuje nawet ich operatorowymi schematami
zastępczymi, tzn.  transformacji Laplace a możemy poddać cały obwód, z istniejącymi w nim sygnałami
napięć i prądów, oraz elementami i gałęziami. Tak wprowadzimy pojecie schematu operatorowego.
Podobną filozofię stosowaliśmy w metodzie symbolicznej analizy obwodu w stanie ustalonym przy
wymuszeniu sinusoidalnym. Jednak w przypadku transformacji Laplace a mamy do czynienia z pełną, nie
tylko symboliczną, reprezentacją.
�
2
Teoria Obwodów 2
1.1 Prawa Kirchhoffa w zapisie operatorowym
Dla dowolnego czasu t prądy ik t spełniają w danym przekroju (węz
le) obwodu I-prawo Kirchhoffa
( )
(algebraiczna suma prądów w przekroju (węz
le) równa jest zero). Nałożenie liniowej operacji transformacji
Laplace a pozwala zauważyć, że I-prawo Kirchhoffa jest zachowane również dla transformat prądów:
Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s
( ) ( )
"i t = 0 "I s = 0
k k
k k
Na podstawie liniowości przekształcenia Laplace a : L af1 t ą bf2 t = aF1 s ą bF2 s
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
Identycznie możemy zaadoptować transformację Laplace a w przypadku II prawa Kirchhoffa, gdzie
możemy powiedzieć, że algebraiczna suma transformat napięć oraz z
ródeł napięciowych w oczku jest
równa zero:
Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s
( ) ( )
"u t = 0 "U s = 0
n n
n n
Na podstawie liniowości przekształcenia Laplace a : L af1 t ą bf2 t = aF1 s ą bF2 s
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
�
3
Teoria Obwodów 2
1.2 Równania dla elementów RLC w zapisie operatorowym  elementy schematu
operatorowego
Adaptacja transformacji Laplace a w opisie relacji prądowo-napięciowych na elementach RLC
wykorzystuje następujące właściwości przekształcenia:
L af1 t ą bf2 t = aF1 s ą bF2 s liniowość przekształcenia
( ) ( ) ( ) ( )
{}
'
L f t = s F s - f 0- transformata pochodnej
( ) ( )
{} ( )
1C
L f t dt = F s + transformata całki
( ) ( )
{ }
+"
ss
Znaczącym pozytywnym aspektem wykorzystanie transformacji Laplace a w opisie RLC jest zastąpienie
funkcjonałów różniczkowo-całkowych przez algebraiczne relacje pomiędzy transformatami napięć i prądów
oraz parametrów obwodu. Prowadzi to do schematów operatorowych elementów obwodu.
REZYSTOR:
Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s
L
i(t) u t = Ri t U s = R I s I(s)
R ( ) ( ) ( ) ( ) R
Ż#Ż#

R R
uR t UR s
( ) ( )
i t = I s =
( ) ( )
uR(t) UR(s)
R R
�
4
Teoria Obwodów 2
CEWKA:
Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s
Li(0-)
I(s) sL
=
( ( )
)
L
di t
( ) Ż#Ż# U (s) = L sI (s) - i 0-
L
u t = L
( )
L
dt
= sLI s - Li 0-
( )
i(t) L ( )
UL(s)
i(0-)
s
uL(t)
I(s)
1 i 0 -)
1 (
L
i t =
( ) I s = U s +
( ) ( )
sL
L
L
+"u (t)dt Ż#Ż#
L
sLs
UL(s)
UWAGA:
Dla zerowych warunków początkowych związek prądowo-napięciowy transformat przyjmie postać:
1
U s = sL �" I s ,I s = U s
( ) ( ) ( ) ( )
LL
sL
co należy odczytywać jako prawo Ohma dla transformat lub operatorowe prawo Ohma dla cewki.
1
Składniki sL, można zatem traktować jako impedancje oraz admitancje operatorowe cewki.
sL
�
5
Teoria Obwodów 2
KONDENSATOR:
Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s
Cuc(0-)
= I(s)
( )
()
duc t
( ) Ż#Ż# I (s) = C sUc (s) - uC 0-
1
L
i t = C
( )
sC
dt
= sCUC s CuC 0-
i(t) ( )-
C
( )
UC(s)
uC(0-)
uc(t)
1
I(s) s
sC
1 uC 0 -)
1 (
L
uC t =
( )

+"i(t)dt Ż#Ż# UC (s) = I (s) + s
C
sC
UC(s)
UWAGA:
Dla zerowych warunków początkowych związek prądowo-napięciowy transformat przyjmie postać:
1
U s = �" I s ,I s = sC �"U s
( ) ( ) ( ) ( )
CC
sc
co należy odczytywać jako prawo Ohma dla transformat lub operatorowe prawo Ohma dla
1
kondensatora. Składniki ,sC można zatem traktować jako impedancje oraz admitancje
sC
operatorowe kondensatora.
�
6
Teoria Obwodów 2
1.3 Impedancja, admitancja operatorowa, prawo Ohma w zapisie operatorowym
Idąc dalej, dla zerowych warunków początkowych, możemy wprowadzić pojęcie impedancji
operatorowej Z s oraz admitancji operatorowej Y s , zarówno dla gałęzi jak i zastępczych połączeń
( ) ( )
szeregowo-równoległych.
Przykład dla szeregowej pasywnej gałęzi RLC:
sL 1/sC
I(s) R
1 s2LC + sRC + 1 1sC
U(s)
Z s = R + sL + = , Y s ==
( ) ( )
sCsC Z s s2LC + sRC + 1
( )
Ostatecznie przy zerowych warunkach początkowych reprezentację prawa Ohma w postaci
operatorowej można zapisać jako:
U s = Z s �" I s ,I s = Y s �"U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Przykład dla szeregowej aktywnej gałązi RLC:
uC 0 -)
(
Li 0 -)
(
sL
I(s) R 1/sC
s
uC 0 -)
(
U s + Li 0 -) -
( ) (
1
s
U(s)
I s = ;Z s = R + sL +
( ) ( )
Z ssC
( )
�
7
Teoria Obwodów 2
PODSUMOWANIE:
Zastosowanie transformacji Laplace a w ujęciu prądów i napięć w obwodzie zachowuje w pełni
najważniejsze prawa obwodowe tj. I-go oraz II-go prawa Kirchhoffa. Transformacji podlegają nie
tylko sygnały, ale możemy mówić o transformacji całego obwodu, łącznie z elementami. Prowadzi
to do adaptacji znanych już pojęć, lecz tym razem w znaczeniu operatorowym, takich jak.
impedancja oraz admitancja operatorowa czy operatorowe prawo Ohma.
Jeśli uda nam się przetrasformować w pełni obwód, czyli zarówno pod względem napięć, prądów,
wymuszeń, elementów, to możemy mówić o SCHEMACIE OPERATOROWYM OBWODU.
UWAGA: Do rozwiązania napięć i prądów w schemacie operatorowym możemy wykorzystać
wszystkie dostępne metody obwodowe. Stanowi to podstawę tzw. METODY OPERATOROWEJ.
Ostatecznie po rozwiązaniu obwodu metodą operatorową, szukane sygnały napięć czy prądów
możemy odnalez
ć jako transformatę odwrotną.
Historia obwodu
t<0
Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją
Warunek początkowy dla t=0-
t=0-
Utworzenie schematu operatorowego z uwzględnieniem warunków
początkowych, z
ródeł
Wybór metody obwodowej oraz rozwiązanie obwodu ze względu na
szukane prądy, napięcia w postaci transformat
Wyznaczenie transformaty odwrotnej szukanych sygnałów napięć oraz t>0
prądów
�
8
Metoda
operatorowa
Teoria Obwodów 2
1.4 Przykłady analizy stanu nieustalonego metodą operatorową
Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie stałe
L Dane: Szukane:
t = 0
e t = E = const. i t
( ) ( )
i(t)
uL(t)
R, L
E R
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-
i t = 0 A
( )
i 0- = 0 A
( )
2. Schemat operatorowy po komutacji
sL Dane: Szukane:
E
( )
I(s)
E s = L e t =
( ) ( )
{ }s I s
UL(s)
R
UR(s)
E
R, sL
E(s)=
s
Li 0- = 0 zerowe
( )
warunki początkowe
�
9
Teoria Obwodów 2
Ze względu na zerowe warunki początkowe obwód reprezentuje schemat z jednym
wymuszeniem operatorowym i układem połączeń impedancji operatorowych. Wykorzystamy
metodę przekształceń (redukcji obwodu).
Z s = R + sL
( )
Dalej prawo Ohma operatorowo:
E s
( ) EE 1
I s == =
( )
R
Z s s R + sL L
( ) ()
s s +
()
L
3. Szukane i t znajdziemy jak transformatę odwrotną I s
( ) ( )
Po pierwsze przygotowujemy informacje o liczniku i mianowniku danej transformaty:
st L s = 0 , brak zer transformaty I s
( ) ( )
{ }
R
st M s = 2 , miejsca zerowe mianownika tj. bieguny transformaty: M s = 0 �! s s + = 0
( ) ( )
{}
( )
L
R
Stąd określamy bieguny i ich krotności: s1 = 0,n1 = 1 s2 = - ,n2 = 1
L
Sprawdzamy warunki:
1. stopień wielomianu licznika L(s) jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika M(s), czyli st{L(s)} <
st{M(s)} ( 0 < 2 ),
L s
( )
2. ułamek jest nie skracalny, tzn. miejsca zerowe L(s) są różne od miejsc zerowych M(s).
M s
( )
�
10
Teoria Obwodów 2
Wykorzystanie rozkładu na ułamki proste:
ni
r
Aik
I s =
( )
""(s - si ) = A11 + A21 = A11 + (s +A21/ L)
k11
s
i=1 k =1 s - s1 s - s2 R
() ()
Wyznaczamy współczynniki rozkładu dla pierwszego bieguna s1 = 0,n1 = 1
Ą#ń#
1 E L E
Ą#ń#ó#
A11 = lim F s = lim s = =
( )Ś# E
s0 Ł#s s0
L R R
s s + R / L L
()Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
R
Wyznaczamy współczynniki rozkładu dla drugiego bieguna s2 =- ,n2 = 2
L
Ą#ń#
E 1 E1 E L E
Ą#
A = lim/ L = lim/ L ó# s + R / L = lim/ L Ą# ń# = - = -
()
21
s s s
ó# Ą#
- R - R - R
L L s RR
L
ó#Ą#
s s + R / L Ł# Ś#
()
Ł#Ś#
Ostatecznie I(s) w rozkładzie na ułamki proste przyjmie postać:
E1 E 1
I s = -
( )
R s R s + R / L
()
Wykorzystując tabele transformat oraz własności odnajdujemy poszczególne składniki oryginału i(t):
R
- t - t
�#ś#
EE ER
L
i t = 1 t - e 1 t =
( ) ( ) ( ) ( )
ś#1- e L ź#1 t
RR R
�# #
�
11
Teoria Obwodów 2
W otrzymanym rozwiązaniu wyróżnić możemy składnik związany z wymuszeniem stałym, tj. składową
R
- t
E E
L
wymuszoną (ustaloną) 1 t , oraz składową swobodną (przejściową) e 1 t
( ) ( )
R R
i(t)
L
iLu t
� ( )
E
R
- t
E ER
L
iL t = - e ,dla t > 0
( )
R R
t
t=0
iLp t
( )
-E
R
Polecenie: proszę sprawdzić powyższe rozwiązanie metodą klasyczną  wykład 2.
�
12
Teoria Obwodów 2
Obwód rozgałęziony zawierający gałęzie aktywne, dwa oczka
R Dane: Szukane:
e t = E = const. i t
( ) ( )
i(t)
R R
iz
r t = Iz
r = const
( )
t = 0
iz
r(t)
R, L
E
L
1. t<0, analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie
warunku początkowego dla t=0-
Przed komutacją obwód pracował ze zwartą gałęzią iz
r(t). Jedynym aktywnym z
ródłem było z
ródło
napięcia stałego, co przy gałęziach zbudowanych z RL pozwoliło potraktować obwód przed komutacją
jako obwód czysto rezystancyjny.
R R
13 E 2 E
RZAST = R + R = R i1 t = =
( )
22 RZAST 3 R
i2(t) i1(t)
(t)
i
11 E
E i t = i1 t =
R ( ) ( )
23 R
1E
Stąd: i 0- =
( )3 R
�
13
Teoria Obwodów 2
2. Schemat operatorowy po komutacji
Dane: Szukane:
R V(s)
Iz
r E
i t = L-1 I s
( ) ( )
{ }
I(s)
I1(s) Iz
r s = , E s =
( ) ( )
s s
RR
I E
z
r
Iz
r(s)=
s Li 0- = L
( )
3R
sL
E
E(s)=
s
Li(0-)
Obwód reprezentuje układ dwu-oczkowy z wieloma wymuszeniami, ale o strukturze drabinkowej
(dwu-węzłowej). Decydując się na metodę rozwiązania takiego obwodu możemy zaproponować
metodę potencjałów węzłowych, metodę Thevenina czy metodę równań Kirchhoffa.
Podkreślmy jeszcze raz znaczenie operatorowej reprezentacji obwodu. Dzięki transformacji
całego obwodu do dziedziny s przenosimy ciężar poszukiwania rozwiązania na analizę obwodu
znanymi już metodami obwodowymi. Mając pewne doświadczenie możemy wybrać metodę,
która w szybki sposób pozwoli wyznaczyć transformatę szukanego sygnału. Dla porównania
wyznaczymy w zadanym przypadku I(s) trzema metodami.
Ostatnim krokiem jest wyznaczenie transformaty odwrotnej szukanej wielkości.
�
14
Teoria Obwodów 2
Ad 2.1 Wykorzystanie metody potencjałów węzłowych w zapisie operatorowym
Dla przedstawionego obwodu w schemacie operatorowym istnieje tylko jeden węzeł niezależny i
równanie metody potencjałów węzłowych dotyczyć będzie tylko jednego potencjału V(s):
Li 0-
E s ( )
( );ś#ź#V s = Iz
r s +-
( )
11 sL + 2R ( )
�#ś#V s = Iz
r s + E s Li 0- �#ś#
+ -
( ) ( ) ( ) ( )
ś#ź#
sL + R R R sL + R sL + R R R sL + R
()
�# #
�# #
sL + R R
Li 0- ( )
sL + R R E s sL + R R ( )
V s = Iz
r s +-
( ) ( )()( ) ()
sL + 2R sL + 2R sL + 2R
R sL + R
Li 0- R V(s)
sL + R Iz
r s R + E s sL + R ( )
() ( )( )( )
V s =-
( )
(s)
I
sL + 2R sL + 2R
R
Różnica wyznaczonego potencjału i potencjału odniesienia wskazuje napięcie gałęziowe
U(s)
U(s), a następnie szukaną transformatę prądu I(s) wyznaczamy z operatorowego prawa
sL
Ohma dla tej gałęzi:
U s + Li 0-
( )
( ),U (s) = V (s)-V0 (s) = V (s)
Li(0-)
I s =
( )
sL + R
�
15
Teoria Obwodów 2
Li 0- R
sL + R Ą#Iz
r s R + E s ń#
( )Ł# ( ) ( )Ś# ( )
-+ Li 0-
( )
V s + Li 0-
( )
( )
sL + 2R sL + 2R
I s ==
( )
sL + R sL + R
Li 0- R
( )
( )
Ą#Iz
r s R + E s ń#
( ) ( )Ś# + -+ Li 0-
Ł#
sL + 2R
I s = =
( )
sL + 2R sL + R
-Li 0- R Li 0-
Ą#Iz
r s R + E s ń#
( )( )Ś# + + ( )
( )
Ł#
I s =
( )
sL + 2R sL + 2R sL + R sL + R
()( )
Ą#Iz
r s R + E s ń# -Li 0- R + Li 0- sL + 2R
( )
( )( )Ś# + ( ) ( )
Ł#
I s =
( )
sL + 2R sL + 2R sL + R
()( )
Ą#Iz
r s R + E s ń# -Li 0- R + Li 0- sL + 2R
( )
( )( )Ś# + ( ) ( )
Ł#
I s =
( )
sL + 2R sL + 2R sL + R
()( )
sL + R Ą#Iz
r s R + E s ń# + Li 0-
(
Ą#Iz
r s R + E s ń# )
( ) ( )Ś#
(
( )( )Ś# + Li 0-)
( )
Ł#
Ł#
I s = =
( )
sL + 2R sL + 2R
sL + 2R sL + R
() ( )
�
16
Teoria Obwodów 2
Iz
r E E
Po podstawieniu danych: Iz
r s = , E s = ,Li 0- = L
( ) ( )
( )
s s 3R
Iz
r EE Iz
r EE s
Ą#ń# Ą#ń#
E
R + + L R + + LsL + Iz
rR + E
[]
ó#Ą# ó#Ą#
ss3Rss3R s3R
Ł#Ś# Ł#Ś#
I s == =
( )
sL + 2R sL + 2R s sL + 2R
()
Ad 2.2 Wykorzystanie metody Thevenina w zapisie operatorowym
R
R
a
a
a a
I(s)
I1(s) I(s) I
(s)
1
RR
R
R R
ETH(s)
I
I
z
r
z
r
Iz
r(s)=
Iz
r(s)= U (s)=
Zab(s)=
s
s
ab
Thevenin
=ETH(s)
=ZTH(s)
sL ZTH(s)
sL
E
E
E(s)=
E(s)=
s
s
Li(0-)
Li(0-)
b
b
b b
Z metody Thevenina szukany I(s) wyznaczymy jako:
ETH s + Li 0-
( )
( )
I s =
( )
ZTH s + sL + R
( )
�
17
Teoria Obwodów 2
Poszczególne składniki metody zastępczego z
ródła Thevenina potrzebne do wypełnienia powyższego
wyrażenia wskazują powyższe obwody pomocnicze: UAB(s)=ETH(s), ZAB(s)=ZTH(s)
UAB s = ETH s = RI1 ' s + E s , gdzie : I1 ' s = Iz
r s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
ZAB s = ZTH s = R
( ) ( )
Iz
r E E
Po podstawieniu danych Iz
r s = , E s = ,Li 0- = L :
( ) ( )
( )
s s 3R
RIz
r EE E
+ + LsL + Iz
rR + E
[]
ss3R 3R
I s ==
( )
R + sL + R s sL + 2R
()
*Porównaj efektywność wyznaczenia I(s) z metodą potencjałów węzłowych.
Ad 2.3 Wykorzystanie metody równań Kirchhoffa
I(s)
I1(s)
Układ równań Kirchhoffa przyjmie postać:
RR
I
z
r
Iz
r(s)=
s
ż#Iz
r s = I1 s + I s
( ) ( ) ( )
�#
�#
sL
sL + R I s - I1 s R - E s - Li 0- = 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
�#
�#
E
E(s)=
s
Li(0-)
�
18
Teoria Obwodów 2
Podstawiając I1 s = Iz
r s - I s
( ) ( ) ( )
sL + R I s - Iz
r s R + I s R - E s - Li 0- = 0
() ( )( ) ( ) ( )
( )
sL + 2R I s = Iz
r s R + E s + Li 0-
() ( )( ) ( )
( )
Iz
r s R + E s + Li 0-
( ) ( )
( )
I s =
( )
sL + 2R
()
Iz
r E E
Po podstawieniu danych Iz
r s = , E s = ,Li 0- = L :
( ) ( )
( )
s s 3R
Iz
r EE s E
R + + L sL + Iz
rR + E
[]
ss 3R s3R
I s ==
( )
sL + 2R s sL + 2R
() ()
*Porównaj efektywność wyznaczenia I(s) z metodą Thevenina oraz z metodą potencjałów
węzłowych.
�
19
Teoria Obwodów 2
3. Wyznaczenie oryginału szukanego i(t) jako transformaty odwrotnej I(s)
Właściwą odpowiedz
uzyskamy przez realizację transformaty odwrotnej i t = L-1 I s
( ) ( )
{ }
Do tego celu możemy wykorzystać: metodę granic, metodę residuów oraz metodę sprowadzania do
wspólnego mianownika.
Jako przykład wyznaczymy i(t) z metody residuów. Polecam sprawdzenie uzyskanego wyniku stosując
rozkład na ułamki proste z wykorzystaniem metody granic i metody sprowadzania do wspólnego
mianownika.
EE 1
sL + Iz
rR + E s + Iz
rR + E
[] []
r
Ą#
res 3R 3R L
Ą#Ś#Ś#1
i t = L-1 I s = s ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
"
s=si
ó#Ą#
Ł#I s est ń#ń# t ,I
2R
s sL + 2R ś#
Ł# i=1 ()
s�# s +
ś#ź#
L
�# #
1. stopień wielomianu licznika L(s) jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika M(s), czyli st{L(s)} <
st{M(s)} ( 1 < 2 ),
L s
( )
2. ułamek jest nie skracalny, tzn. miejsca zerowe L(s) są różne od miejsc zerowych M(s).
M s
( )
�
20
Teoria Obwodów 2
2R
Dalej określamy bieguny i ich krotności: s1 = 0,n1 = 1 s2 = - ,n2 = 1
L
r
Ą#
res res
Ą#Ś#Ś#1 Ł#
i t = L-1 I s =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
"
s=si s=-2R
ó#Ą#
Ł#I s est ń#ń# t = Ą# s=0 Ą# s est ń# +res / L Ą# s est ń#Ś# t
Ł#I Ś# Ł#I Ś#ń#1
Ł# i=1
Residuum dla pierwszego bieguna s1 = 0,n1 = 1 wyznaczymy jako:
Ą#ń#
ż# �#Ą# ń#
E1 E1
ó#Ą#
s + Iz
rR + E s + Iz
rR + E
�#ó# Ą#
[] []
�#
res
L L
ó#
Ą#Ś# 1 d(1-1) �# 3R
s est �#Ą# = lim est Ą# =
( )
�#Ź#Ą# s0 ó# 3R
s=0
Ł#I s est ń# = lim ó# 1- 1 !
s0
2R ó# 2R Ą#
�#ś# �#ś#
( )
ds(1-1)
�#�#Ą#
s s + s +
ó#
ó# Ą#
ś#ź# ś#ź#
�#�#Ą#
LL
ó#Ś# �# #
�# #
�#�# Ł# Ś#
Ł#
Ą#ń#
1
Iz
rR + E
ó#Ą#
[]
Iz
r E
Ą#
L
ó#Ą#ń#
=+
ó#Ś#
ó# 2R Ą#Ą#
�# ś# 2 2R
Ł#
ó#Ą#
ś# ź#
L
�# #
Ł#Ś#
�
21
Teoria Obwodów 2
Residuum dla drugiego bieguna s2 = -R / 2L,n2 = 1 wyznaczymy jako:
Ą#ń#
ż#�#
E1
ó#Ą#
�#�#
s + Iz
rR + E
[]
ó#Ą#
1 d(1-1) 2R3R
�#�#
�#ś#
res
L
Ą#Ś#
s + est Ź#Ą#
( )
�#
2R ś#ź#
Ł#I s est ń# = lim ó# 1 - 1 !
2R
s=-
s ( )
�#ś#
-
ds(1-1) �# L # s s + 2R
�#�#Ą#
ó#
L
L
ś#ź#
�#�#Ą#
ó#
L
�# #
�#�#
Ł#Ś#
Ą#ń#
E1 1
Ą#ń#
2R 2R 2R
s + Iz
rR + E Iz
rR + E
ó#Ą#
[] []
ó#Ą#
- t - t
EE Iz
r E E Iz
r - t
Ą#ń# ń#
Ą#
3R L L
L LL
ó#Ą#
= lim ó#Ą# + ee = e
est = =
ó#3R - - Ą# ó#- - Ą#
2R
ó#Ą#
2R
s3R �#ś# 2 2R 6 R 2
s
Ł#Ś# Ś#
Ł#
- ó#Ą#
-
L
ó#Ą#
ś#ź#
ó#Ą#
Ł#Ś#
L
�# #
Ł# Ś#
Ostatecznie szukany oryginał:
Ą#ń# Ą#Ą# Iz
r E ń# Ą# E Iz
r ń# 2R ń#
- t
res
L
Ą#Ś#Ą#Ś#Ą#1
i t = ó# + e 1 t
Ą#
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s=0 2R
Ł#I s est ń# +res Ł#I s est ń# t = ó#ó# 2 + 2R Ą# ó#- - Ą#
s=-
6 R 2
ó#Ą# ó#Ą#
Ł#Ś# Ł#Ł#Ś# Ł# Ś# Ś#
L
�
22
Teoria Obwodów 2
Wymuszenie sinusoidalne oraz metoda wektora wirującego
Niejednokrotnie powtarzaliśmy, że w przypadku stanu nieustalonego przy wymuszeniu sinusoidalnym,
nie możemy stosować metody symbolicznej, tj. zastąpienia sygnałów sinusoidalnych ich statyczną
reprezentacją wektorową (wskazową), a elementów RLC obwodu impedancją zespoloną. Takie
postępowanie było możliwe tylko w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. W trakcie stanu
przejściowego mamy do czynienia z sygnałami, które różnią się od sinusoidy, np. sygnały wykładnicze,
czy oscylacje zanikające lub rosnące, dla których reprezentacja za pomocą statycznego wektora jest
niewystarczająca.
Jeśli jednak spojrzymy na wymuszenie sinusoidalne jak część urojoną funkcji zespolonej, czyli
wirującego wektora, wtedy możemy zaadoptować zapis wektora wirującego do analizy stanu
nieustalonego. Jest to bardzo efektywne narzędzie zwłaszcza w przypadku stosowania metody
operatorowej.
Przypomnijmy relacje pomiędzy funkcją zespoloną a sygnałem sinusoidalnym:
j �t+�
j�
( ) j �t
f ( )
f
f t = Fm sin �t +� = Im t = Im Fme e
( ) ( )
( )
{f }= Im Fme { }
f { }
Korzyści w zastosowaniu zapisu wektora wirującego w metodzie operatorowej upatruje się w  wygodnej
formie transformaty Laplace a w porównaniu do bezpośredniej transformaty Laplace a samego sygnału
sinusoidalnego.
�
23
Teoria Obwodów 2
Bezpośrednia transformata Laplace a Transformata Laplace a wektora wirującego
�
Fm
ż# �#
ż#�#
1
( )
L Fm sin �t =
( )
{}
L Fmej �t = ej0 =
�#F Ź# �# Ź#
{}
m
s2 + �2
s - j� s - j�
�#�#
�#�#
ż# �#
1
j�
L Fm sin �t +� =
( )
( ) ff
{ }
f
L Fme ej �t = ej� =
�#F Ź#
{}s - j� �#
m
�#
= FmL sin �t cos � + cos �t sin � =
( ) ( )
( ) ( )
{}
f f
Fm
ż#�#
=
�#Ź#
� �"cos � s �" sin �
( ) ( )
ff
�#s - j� �#
= Fm + Fm
s2 + �2 s2 + �2
Spróbujmy wykorzystać transformatę wektora wirującego w analizie obwodu RC załączanego na
napięcie sinusoidalne:
Dane: Szukane
R
t = 0 i(t)
e t = Em sin �t +� uc t
( ) ( ) ( )
e
uR(t)
R,C
e(t)
C
uC(t)
e(t)=Emsin(�t+�e)
�
24
Teoria Obwodów 2
1. t<0, analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie
warunku początkowego dla t=0-
Obwód przed komutacją pracował bezenergetycznie, czyli uc 0- = 0V
( )
2. Schemat operatorowy po komutacji z wykorzystaniem transformaty Laplace a wektora
wirującego:
R Em
ż# �#
ż# 1
I(s)
j �t
j� ( ) j�
ee
E s =L Eme e =Ź# �# Ź#
=
( )
�#E e
{}s - j� �#
m
s - j�
�#�#
�#�#
UR(s)
1
I s =L t
E(s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{i };U s =L{u t };U s =L{u t }
RR CC
UC(s)
sC
Korzystając z dzielnika napięcia:
11
1
sC sC
UC s = E s �" = E s �" = E s �"
( ) ( ) ( )sRC +1 ( )sRC +1
1
R +
sC
sC
Em Em
11
UC s =�" = �"
( )
1
s - j� sRC +1 RC �#ś#
s + s - j�
()
ś#ź#
RC
�# #
�
25
Teoria Obwodów 2
3. Wyznaczenie oryginału szukanego uc(t) z wykorzystaniem transformaty Laplace a wektora
wirującego UC s :
( )
Przygotujemy UC s w formie rozkładu na ułamki proste względem biegunów:
( )
1
s1 =- ,n1 = 1 s2 = j� ,n2 = 1
RC
Em
1 A11 A21
UC s =�" = +
( )
11
RC �#ś# �#ś# s - j�
()
s + s - j� s +
()
ś#ź# ś#ź#
RC RC
�# # �# #
Współczynniki rozkładu znajdziemy wykorzystując metodę granic:
ż#�#
�#�#
Em Em Em
1 1 1
�#ś# �#
A11 =lim 1 �# �" �" s + =�" = -
�#Ź#
ś#ź#
s-
1
RC RC RC 1+ j�RC
�#ś#
()
1 �# #
�#ś#
RC
�#�#
-- j�
s + s - j�
() ś#ź#
ś#ź#
�#�# RC
�# #
RC
�# #
�#�#
ż#�#
�#�#
Em Em Em
1 1
�#
A21 =lim j� �# �" �" s - j� =�" =
()
�#Ź#
s
1 1
RC �#ś# RC �#ś# 1+ j�RC
()
�#�#
s + s - j� j� +
()
ś#ź# ś#ź#
RC
�#�# RC
�# # �# #
�#�#
�
26
Teoria Obwodów 2
Rozkład na ułamki proste wektora wirującego UC s przyjmie postać:
( )
Em Em
11
UC s =- +
( )
1
1+ j�RC 1+ j�RC s - j�
�#ś#
()ź# () ()
s +
ś#
RC
�# #
Dodatkowo wprowadz
my następujące przekształcenie:
Ą
ś#
Ą
j�#�+
j
ś# ź#
1
�#ś#
j�
2
�# #
2
1+ j�RC = j�C R - j = �Ce �" Ze = �CZe
()
ś#ź#
�C
�# #
2
1
�# ś#
gdzie: Z = R2 + - moduł impedancji zespolonej w stanie ustalonym,
ś# ź#
�C
�# #
1
�#ś# - argument impedancji zespolonej w stanie ustalonym.
� = actg -
ś#ź#
�CR
�# #
j�
e
Pamiętając, że amplituda zespolona rozwija się w formę Em = Eme , można opisać UC s formą:
( )
j� j�
ee
Eme Eme
11
UC s =- +
( )
ĄĄ
ś# ś#
j�#� + 1 j�#� + s - j�
�#ś#
()
ś# ź# ś# ź#
22
�# # �# #
s +
�CZe ś#ź# �CZe
RC
�# #
�
27
Teoria Obwodów 2
ĄĄ
ś# e- ź# ś# e ź#
Em j�#� � - ś# 11
Em j�#� -�- ś#
22
�# # �# #
UC s =- e + e
( )
1
�CZ �#ś# �CZ s - j�
()
s +
ś#ź#
RC
�# #
Wyznaczenie oryginał szukanego napięcia uC t odbędzie się w dwóch krokach:
( )
UC s uC t - wyznaczenie oryginału wektora wirującego uC t = L-1
( ) ( ) ( ) ( )
{U s }
C
uC t uC t - wyznaczenie sygnału szukanego napięcia z postaci wektora wirującego
( ) ( )
uC t = Im
( ) ( )
{u t }
C
A zatem oryginał wektora wirującego (funkcja zespolona):
ĄĄ
ś#
1
j�#� �-
ś# e- ź# - t
ś# e ź#
Em j�#� -� - ś#
22 j�t
�# # �# #
RC
uC t = L-1 e + e
e
( ) ( )
{U s }= - Em e
C
�CZ �CZ
Em - 1 t Ą# ĄĄ ń#
�#ś# ś#
RC
=- e + j sin�#� -� - +
ś# e
ó#cos�#� -� - ź# ś# e ź#
�CZ 22
# �# #Ą#
Ł# Ś#
Em Ą#ń#
Ą Ą
�#ś# ś#
+ + j sin�#�t +� -� -
ś# ee
ó#cos�#�t +� -� - ź# ś#ź#
�CZ 22
# �# #Ą#
Ł#Ś#
�
28
Teoria Obwodów 2
Ostatecznie szukane napięcie na kondensatorze:
1
- t
RC
uC t = Im + =
( ) ( )
{u t }= - Em e Ą#sin�#� -� - Ą ś#ń# Em Ą#sin�#�t +�e -� - Ą ś#ń#
C ś# e ź# ś# ź#
ó#
�CZ 22
�CZ
�# #Ą#ó# �# #Ą#
Ł# Ś#Ł# Ś#
Em - 1 t Em
RC
= e Ą# Ą# �t +�e -�
()Ś# �CZ Ł#cos()Ś#
e
Ł#cos � -� ń# - ń#
�CZ
Ą
ś#
Wykorzystano: sin�#ą - = -cos ą
( )
ś#ź#
2
�# #
�
29