Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
PLANOWANIE EKSPERYMENTU
1. INFORMACJE WST
PNE
Planowanie eksperymentu (PE) ang. The Design of Experiments Ò!
R.A. Fisher 1935 rok (w ramach prac dotyczÄ…cych analizy
wariancyjnej).
Eksperyment - seria doświadczeń, np. w metalurgii seria wytopów
stali o różnych składach chemicznych.
Cel planowania eksperymentu - wyznaczenie opisu
matematycznego obiektu badań lub zjawiska, tzw. modelu
matematycznego, umożliwiającego analizę jego zachowania i ustalenia
czynników wpływających na zachowanie obiektu.
1
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
2. WYBÓR CZYNNIKÓW I ZMIENNYCH STANU OBIEKTU BADAC

Obiekt badań można przedstawić jako czarną skrzynkę:
z
x1
y1
x2
y2
Obiekt
xn
ym
Gdzie: x1, x2, ...,xn - zmienne wejściowe (czynniki)
y1, y2, ...,ym - zmienne wyjściowe, charakteryzujące stan obiektu
w zależności od zmiennych wejściowych - nazywane również
zmiennymi stanu
z - zmienna przypadkowa o nieokreślonym rozkładzie,
niekontrolowana (zakłócenie)
2
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
3. RÓŻNICA MI
DZY ZWYKA
YM I STATYSTYCZNYM
PLANOWANIEM EKSPERYMENTU
Wg metody planowania zwykłego zmienne zmienia się stopniowo,
przy czym wszystkie pozostałe zmienne utrzymuje się stałe. Następnie
zmienia się kolejną zmienną, a pozostałe utrzymuje się stałe itd.
Otrzymuje się w ten sposób wyniki badań jako zależności zmiennej
stanu od każdej zmiennej przy ustalonym poziomie wszystkich
pozostałych zmiennych (np. w postaci krzywej). Potrzebna liczba badań
jest duża.
W statystycznym planowaniu eksperymentu dokonuje siÄ™ zmiany
jednocześnie wszystkich zmiennych w planie eksperymentu.
3
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
4. EKSPERYMENT WST
PNY I EKSPERYMENT PODSTAWOWY
Eksperyment wstępny przeprowadza się w przypadku, gdy brak
jakiejkolwiek informacji o obiekcie badań. Jego celem jest uzyskanie
wstępnych informacji o obiekcie niezbędnych do przeprowadzenia
eksperymentu podstawowego.
Zadaniem eksperymentu podstawowego jest uzyskanie modelu
badanego obiektu, który wykorzystuje się dla optymalizacji obiektu (lub
procesu) lub jako opis matematyczny służący do badania jego
zachowania.
4
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
5. EKSPERYMENT CZYNNIKOWY. PLANY RZ
DU PIERWSZEGO
Przykład
Obiektem badania jest aparatura wytwarzająca pewną ilość
produktu y. Ilość wyprodukowanego produktu zależy od temperatury x1
i ciśnienia x2 panujących w aparacie. Oznaczmy maksymalne i
minimalne wartości czynników x1 i x2 przez +1 i -1. Wówczas wszystkie
możliwe kombinacje czynników przy wariowaniu na dwóch poziomach
(minimalnym i maksymalnym) będą określone w czterech
doświadczeniach. Taki plan eksperymentu przyjęto zapisywać w
postaci macierzy planowania:
5
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Dośw. nr x1 x2 y
1 +1 +1 y1
2 -1 +1 y2
3 +1 -1 y3
4 -1 -1 y4
W tym przypadku mamy
Liczba poziomów - 2
Liczna czynników k=2
Liczba doświadczeń w eksperymencie N=2k = 22
6
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
BUDOWA MACIERZY PLANOWANIA
Plan eksperymentu, zawierajÄ…cy zapis wszystkich kombinacji
czynników albo ich części nazywa się macierzą planowania. W
budowie macierzy planowania dla dużej liczby czynników stosuje się
szereg różnych metod
7
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
L.p. x1 x2 x3 x4
1 +1 +1 +1 +1
2 -1 +1 +1 +1
3 +1 -1 +1 +1
4 -1 -1 +1 +1
5 +1 +1 -1 +1
6 -1 +1 -1 +1
7 +1 -1 -1 +1
8 -1 -1 -1 +1
9 +1 +1 +1 -1
10 -1 +1 +1 -1
11 +1 -1 +1 -1
12 -1 -1 +1 -1
13 +1 +1 -1 -1
14 -1 +1 -1 -1
15 +1 -1 -1 -1
16 -1 -1 -1 -1
8
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
WA
ASNOÅšCI MACIERZY PLANOWANIA
Macierze planowania posiadają własności związane z
optymalnością modelu, do którego wyznaczenia służą.
Symetryczność:
N
"x = 0 i=1, 2, ...,n - czynniki
ik
k=1
Unormowanie:
N
"x2 = N - ilość doświadczeń
ik
k =1
gdzie: i - numer czynnika
k - numer doświadczenia
9
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Warunek ortogonalności zakłada równość zeru sumy iloczynów
elementów dowolnych dwóch kolumn macierzy planowania:
N
"x x = 0 (i,j = 1,2,....., n, i`"j)
ik jk
k =1
10
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
6. PLANY 23
Pełny plan czynnikowy pozwala uwzględnić wzajemne
oddziaływania czynników. W tym celu plan eksperymentu uzupełnia się
kolumnami, przedstawiajÄ…cymi iloczyny odpowiednich kolumn
czynników.
Dla pełnego eksperymentu czynnikowego 23 macierz planowania
eksperymentu z udziałem efektów oddziaływania przedstawia się
następująco:
11
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Dośw. x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 y
nr
1 + + + + + + y1
2 - + + - - + y2
3 + - + - + - y3
4 - - + + - - y4
5 + + - + - - y5
6 - + - - + - y6
7 + - - - - + y7
8 - - - + + + y8
12
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Współczynniki bij oblicza się z wzoru:
N
1
bij =
"x x yk (i`"j)
ik jk
N
k=1
W ten sposób można otrzymać model matematyczny postaci:
n n
w
= b0 + xi +
"b "b xi x
i i, j j
i=1 i, j=1
I tak dla planu 22:
w
= b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2
13
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Zwiększenie liczby czynników prowadzi do szybkiego zwiększenia
liczby doświadczeń, np. przy 6 czynnikach liczba doświadczeń wynosi
26=64, a przy 7 27=128.
W praktyce, dla otrzymania dokładnych ocen współczynników
równania regresji wystarcza przeprowadzenie niedużej liczby
doświadczeń. Dlatego też dla dużej liczby czynników wprowadza się
tzw. ułamkowy eksperyment (plan) czynnikowy, nazywany również
planem częściowym, powtarzaniem ułamkowym, repliką ułamkową.
Stanowi on pewną część (np. 1/2, 1/4, 1/8 itd.) Pełnego Eksperymentu
Czynnikowego (PECZ)
14
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Przykład
Załóżmy, że trzeba opisać pewną część funkcji celu (zmiennej
stanu) od trzech zmiennych niezależnych równaniem liniowym.
W tym celu można wykorzystać plan typu 23 z 8 doświadczeniami,
ograniczając się do 1/2 tego planu tj. do 4 doświadczeń. W tym celu
kolumnę oddziaływań x1x2 PECZ 22 przypisujemy czynnikowi trzeciemu
x3.
Dośw. x0 x1 x2 x3=x1 x2 y
nr
1 + + + + y1
2 + - + - y2
3 + + - - y3
4 + - - + y4
15
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Repliki, w których p efektów liniowych jest przyrównywane do
efektów oddziaływań umownie oznacza się 2n-p.
W ten sposób półreplikę od PECZ 26 będziemy zapisywać 26-1.
16
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Liczba Replika Oznaczenie Ilość dośw. Ilość dośw.
czynników ułamkowa PECZ
3 1/2 od 23 23-1 4 8
4 1/2 od 24 24-1 8 16
5 1/4 od 25 25-2 8 32
6 1/8 od 26 26-3 8 64
7 1/16 od 27 27-4 8 128
5 1/2 od 25 25-1 16 32
6 1/4 od 26 26-2 16 64
7 1/8 od 27 27-3 16 128
8 1/16 od 28 28-4 16 256
9 1/32 od 29 29-5 16 512
10 1/64 od 210 210-6 16 1024
17
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
7. PLANY RZ
DU DRUGIEGO
Wymaganie adekwatności modelu w obszarze eksperymentu
powoduje, że może bardzo często musi on być nieliniowy, np.:
n n n
w
= a0 +
"a xi + "a xi x + "a xi2
i ij j ii
i , j =1
i=1 i=1
i `" j
Przy pomocy dotychczas omówionych metod nie da się zbudować
takiego modelu, gdyż nie jest spełniony warunek ortogonalności w
kolumnach xi2 (suma elementów będzie równa N, a nie 0).
Dla otrzymania modelu o takiej postaci stosuje siÄ™ plany specjalne.
18
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Dośw. nr x1 x2 y
1 + + y1
2 + - y2
3 + 0 y3
4 - + y4
5 - - y5
6 - 0 y6
7 0 + y7
8 0 - y8
9 0 0 y9
19
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Wybór liczby poziomów
Model matematyczny w postaci wielomianu rzędu drugiego wymaga
zastosowania trzech poziomów czynników  3n.
W przypadku liczby czynników większej od 4, pełny eksperyment
czynnikowy na 3-ch poziomach jest nieekonomiczny (34  N=81, 35 
N=243).
20
 Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Plany kompozycyjne
Jeżeli plan PECZ uzupełnimy określonymi (konkretnymi) punktami
przestrzeni czynnikowej, można otrzymać plan o mniejszej liczbie
doświadczeń niż plan typu 3n.
Ogólną liczbę doświadczeń przy takim planowaniu określa się z
zależności:
N=2n+2n+N0
Gdzie poszczególne składniki określają odpowiednio liczbę
doświadczeń w PECZ typu 2n, punktów dodatkowych (tzw. gwiezdnych)
i punktów zerowych.
21
Statystyczne planowanie eksperymentu
StatGraph.lnk
Plan kompozycyjny typu 22
Dośw. x0 x1 x2 x1x2 x12 x22 y
nr
1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y1
2 +1 +1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 +1 +1 y3
4 +1 -1 -1 +1 +1 +1 y4
5 +1 +a 0 0 a2 0 y5
6 +1 -a 0 0 a2 0 y6
7 +1 0 +a 0 0 a2 y7
8 +1 0 -a 0 0 a2 y8
9 +1 0 0 0 0 0 y9
Wybór punktów gwiezdnych i liczba punktów zerowych zależy od
przyjętego kryterium optymalności.
22