Rozumienie rzeczywistości na modelach
Informatyka i Komputerowe Wspomaganie
Prac Inżynierskich
W naukach technicznych rozumienie pojmowane jest jako pojęciowe
wychwycenie odpowiedniości między obiektami i zjawiskami
Modelowanie  cz. 1  Podstawy modelowania matematycznego naturalnymi a obiektami teoretycznymi (tworami abstrakcyjnymi), czyli
określenie pojęć i relacji, które związane są z określonymi cechami
obiektów i procesów materialnych.
Dokonuje siÄ™ tego na modelach.
Model jest uproszczeniem (abstrakcją) istniejących obiektów, procesów
i zjawisk rzeczywistych; jest celowo dobranym układem cech
przedmiotów poddanych badaniu.
W działaniach technicznych szczególną umiejętnością jest
przechodzenie ze sfery konkretów do abstrakcji (i odwrotnie).
1 2
Istota modelowania Korzyści wynikające z modelowania
Modelowanie jest jednÄ… z podstawowych metod badawczych. 1. Modele dajÄ… podstawÄ™ do symulacji, czyli wirtualnego badania i
przekształcania rzeczywistości.
Modelowanie polega na korzystaniu z zależności i wnioskowań
prowadzonych przy użyciu aparatu logicznego i formalizmu 2. Modele pozwalają na określanie związków pomiędzy parametrami
matematycznego, czego wynikiem są np. przewidywania co do symptomów diagnostycznych i cechami stanu obiektu
pewnych cech i zachowań rozpatrywanego obiektu. technicznego.
Modelowanie to nie tyko otrzymanie konkretnego modelu, lecz cały cykl 3. Techniki modelowania i symulacji prowadzą do redukcji kosztów i
badawczy, od utworzenia modelu poczynając, przez jego weryfikację, czasu w projektowaniu nowych procesów i wyrobów.
interpretacje, a kończąc na kolejnym przybliżeniu.
4. Modele pozwalają przewidywać własności nowych materiałów.
3 4
Klasyfikacja modeli Klasyfikacja modeli
Z punktu widzenia spełnianych funkcji można wyróżnić 3 grupy modeli:
Z punktu widzenia sposobu odtwarzania rzeczywistości wyróżnia się
dwie grupy modeli
Modele strukturalne  pokazujÄ…ce powiÄ…zania i lokalizacjÄ™ geometrycznÄ…
wyróżnionych elementów, wygodne do analizy organizacji obiektu i
- modele materialne: istnieją w rzeczywistości, funkcjonują wg praw
zagadnień związanych z kierowaniem i sterowaniem obiektem. Modele te
przyrody (i w tym sensie są niezależne od człowieka).
mają zwykle postać: relacji logicznych (powiązania strzałkowe), opisowo-
graficzną, np. schemat organizacyjny, lub postać złożeniowego rysunku
- modele abstrakcyjne (myślowe): istnieją jedynie w świadomości
technicznego.
człowieka; mogą odtwarzać te same zjawiska, co modele materialne;
Modele funkcjonalne  pokazujące wpływ różnych elementów obiektu na
mimo, że mogą być wyrażone np. jako rysunki, szkice lub znaki,
poszczególne funkcje (zadania) wykonywane przez obiekt, np.: modele
funkcjonują jedynie dzięki operacjom myślowym.
opisowo-graficzne, schematy blokowe itp.
Modele badawcze  wśród których wyróżnia się:
modele ideowe  pokazujące sposób realizacji określonych zadań, np. schematy
elektryczne,
modele analityczne  umożliwiające ilościowe określanie właściwości obiektu. Mają
one zwykle postać matematyczną, np. zależności funkcyjne, macierze, opisy
procesów itp.
5 6
Konstruowanie modeli
Etapy modelowania matematycznego
W technice i nauce najbardziej poszukiwanymi modelami sÄ… modele
matematyczne. StanowiÄ… one najbardziej reprezentatywnÄ… grupÄ™ modeli
" Sformułowanie celów i założeń modelowania
myślowych. Modelowanie matematyczne pozwala wnikać w istotę badanych
" Budowa bazy wiedzy i bazy danych o modelowanym systemie
systemów i udostępnia szczegółowemu badaniu wiele własności, procesów i
związków.
" Wybór kategorii modelu
Budując model konieczne jest określenie :
" Określenie struktury modelu; budowa modelu
1. Listy zjawisk i procesów jakie występują w badanym układzie (obiekcie)  " Identyfikacja modelu
zmienne i parametry.
" Algorytmizacja modelu
2. Listy założeń, które wprost powinny wynikać z pożądanego zakresu
" Weryfikacja modelu
ważności modelu (a ten jest dany lub przyjęty).
3. Listy uproszczeń, która wynika: z założeń i pożądanego zakresu badań oraz
Pomiędzy poszczególnymi etapami modelowania występują interakcje 
potrzebnej (żądanej) dokładności analizy.
proces modelowania nie jest procesem o szeregowej strukturze
7 8
Sprzężenia pomiędzy etapami budowy modelu matematycznego
Metodologia pozyskiwania wiedzy naukowej
Problem rozwiÄ…zywany z pomocÄ… modelowania matematycznego
Cele i założenia modelowania
Baza danych
Baza wiedzy
f& Kategoria modelu f& Dane
f& Teorie
f& Struktura modelu eksperymentalne
f& Prawa
f& Identyfikacja modelu
f& Wiedza
f& Algorytmizacja modelu
empiryczna
f& Hipotezy
f& Weryfikacja modelu
Model zweryfikowany Zastosowanie
9 10
Cele ogólne modelowania
Określenie celów modelowania
f& Opis i wyjaśnienie mechanizmów działania systemu
 model poznawczy
Dlaczego jasne określenie celu modelowania jest ważne?
1. ma to bezpośredni wpływ na przebieg procesu modelowania  f& Przewidywanie zachowania się systemu przy różnorodnych warunkach
oddziaływania otoczenia na system
różne cele implikują różne problemy jakie trzeba rozwiązać przy
 model prognostyczny, predykcyjny
modelowaniu;
2. modelowanie jest najczęściej działalnością interdyscyplinarną 
f& Wybór odpowiednich oddziaływań wejściowych, spełniających
określenie celu musi być jasne dla wszystkich biorących udział w
określone warunki i zapewniających pożądane reakcje wyjściowe
modelowaniu;
 model decyzyjny, wyznaczania sterowań
3. po zbudowaniu modelu należy ocenić, na ile zadowalająco
" w szczególności wybór oddziaływań optymalnych w sensie
postawiony cel został osiągnięty.
wybranego kryterium
- model optymalizacyjny
f& Wybór struktury lub parametrów systemu mającego spełniać określone
zadania
 model projektowy, normatywny
11 12
Założenia modelu y
rodła informacji o modelowanym systemie
Wiedza a priori
c& Granice pomiędzy systemem a otoczeniem, zmienne wejściowe i
" Doświadczenie
wyjściowe, ....
" IstniejÄ…ce modele
" Literatura (fakty, zjawiska, teorie, ...)
c& Skala czasowa modelu, ....
c& Dokładność zgodności modelu systemu z systemem rzeczywistym, ....
Dane
c& Warunki stosowalności modelu, ....
" IstniejÄ…ce dane
" Nowe dane zbierane dla celów budowy modelu
13 14
Kategorie modeli (matematycznych) Kategorie modeli (matematycznych)
f& FENOMENOLOGICZNE (white  box) lub BEHAWIORALNE (black-box)
f& NIEPARAMETRYCZNE lub PARAMETRYCZNE
Modele nieparametryczne systemu to modele dane w postaci
Modele fenomenologiczne (lub oparte o wiedzÄ™):
wykresu, funkcji itp., które niekonieczne opisane być mogą za
Struktura modelu pozostaje w zasadniczym związku ze strukturą procesów a
pomocą skończonej liczby parametrów (danych):
parametry modelu posiadajÄ… fizykalnÄ… interpretacjÄ™
charakterystyki czasowe elementu  modelem jest sygnał wyjściowy wywołany
odpowiednim sygnałem wejściowym;
Modele behawioralne - modele budowane w oparciu o zebrane dane
charakterystyka częstotliwościowe elementu liniowego  modelem jest
pomiarowe, modele które jedynie aproksymują obserwowane
zależność amplitudy i fazy sygnału wyjściowego od częstotliwości
zachowanie się systemu, nie wymagając w tym celu żadnej wiedzy a
sinusoidalnego sygnału wejściowego;
priori o procesach generujÄ…cych te dane
Modele parametryczne systemu to modele w których dla pełnego
Struktura modelu nie musi pozostawać w żadnym zasadniczym związku ze
opisu elementu potrzebna jest znajomość na pewno skończonej
strukturą procesów a parametry nie posiadają żadnej fizykalnej interpretacji
liczby parametrów (współczynników):
równania algebraiczne
15 16
Kategorie modeli (matematycznych) Kategorie modeli (matematycznych)
f& LINIOWE lub NIELINIOWE
f& STATYCZNE lub DYNAMICZNE
Rozróżnia się dwa rodzaje liniowości:
Statyczne dotyczą systemów statycznych składających się z
liniowość względem wejść (LI - linear in its inputs),
elementów zdolnych co najwyżej przekazywać energię, masę,
liniowość względem parametrów (LP  linear in its parameters)
informację bez strat lub ze stratami  dają się opisywać m.in. za
pomocą układów równań algebraicznych  ciągłych lub dyskretnych
Niech
Dynamiczne dotyczą systemów dynamicznych zawierających
ym(t, p,u)
elementy zdolne gromadzić i oddawać energię, masę, informację 
mogą być opisywane m.in. za pomocą układów równań
będzie w chwili t wyjściem modelu o parametrach p, jeżeli wejście
różniczkowych lub różnicowych
u(Ä),0 d" Ä d" t
Jeżeli istotne są jedynie stany równowagi systemu dynamicznego, w których
dany system może się znajdować, to można ograniczyć się dla takiego
zostało podane przy zerowych warunkach początkowych (brak innych
systemu dynamicznego do modelu statycznego
oddziaływań na obiekt)
17 18
Kategorie modeli (matematycznych) Kategorie modeli (matematycznych)
f& LINIOWE lub NIELINIOWE f& LINIOWE lub NIELINIOWE
Struktura modelu jest liniowa względem wejść (LI) jeżeli jego wyjście Struktura modelu jest liniowa względem parametrów (LP) jeżeli jego
spełnia warunek liniowości względem jego wejść, t.j. wyjście spełnia warunek liniowości względem jego parametrów, t.j.
"(Ä…1 ,Ä…2 )" R2 ,"t " R+ : ym(t, p,Ä…1 Å" u1 + Ä…2 Å" u2) "(Ä…1 ,Ä…2 )" R2 ,"t " R+ : ym(t,Ä…1 Å" p1 + Ä…2 Å" p2 ,u)
= Ä…1 Å" ym(t, p,u1)+ Ä…2 Å" ym(t, p,u2 ) = Ä…1 Å" ym(t, p1 ,u)+ Ä…2 Å" ym(t, p2 ,u)
19 20
Kategorie modeli (matematycznych) Kategorie modeli (matematycznych)
f& Z CZASEM CI
GA
YM lub Z CZASEM DYSKRETNYM f& Z CZASEM CI
GA
YM lub Z CZASEM DYSKRETNYM
Modele z czasem ciągłym - najczęściej badane ewoluują w czasem ciągłym - Modele z czasem dyskretnym  zastosowanie dla systemów czasu ciągłego
stąd naturalna tendencja do stosowania modeli opisywanych równaniami aproksymacji ich działania za pomocą modeli z czasem dyskretnym
różniczkowymi
x(t + 1)= f [x(t),u(t),t, p], x(0)= x0(p)
d
x(t)= f (x,u,t, p), x(0)= x0(p)
ym(t)= h[x(t),u(t),t, p]
dt
ym(t)= h(x,u,t, p)
gdzie t jest całkowitoliczbowym indeksem czasu, który odpowiada
czasowi rzeczywistemu t·T, jeżeli rozważany system z czasem
ciągłym jest próbkowany z okresem T
21 22
Kategorie modeli (matematycznych) Budowa modelu matematycznego
f& DETERMINISTYCZNE lub NIEDETERMINISTYCZNE Przetworzenie całej istotnej z punktu widzenia celów modelowania
wiedzy i danych o systemie w niesprzeczny układ symboli i operatorów
W modelach systemów deterministycznych zmiennym i współczynnikom przypisywane
matematycznych
są określone wartości
W modelach systemów niedeterministycznych co najmniej jedna zmienna lub
Praktyczne wymagania jakie powinny być spełnione przy budowie modelu:
współczynnik ma niepewne wartości
f& O PARAMETRACH SKUPIONYCH lub ROZPROSZONYCH f& zgodność z modelowanym systemem w zakresie interesujących
właściwości, zależności
Opis systemów ciągłych o parametrach skupionych będzie zawierał równania
różniczkowe zwyczajne, natomiast o parametrach rozproszonych musi zawierać f& łatwość użytkowania modelu zgodnie z przeznaczeniem
równania różniczkowe cząstkowe
StÄ…d:
f& NIESTACJONARNE LUB STACJONARNE
c& wstępna koncepcja budowy modelu matematycznego powinna zawierać
W modelach systemów niestacjonarnych co najmniej niektóre współczynniki
zbiór hipotez wyróżniających to, co jest istotne dla celów modelowania
(parametry modelu) są funkcjami czasu, w modelach systemów stacjonarnych są stałe
i powinno znalez
ć odbicie w modelu, od tego co należy odrzucić
23 24
Identyfikacja modelu matematycznego Identyfikacja modelu matematycznego  c.d.
Wyróżnia się identyfikację:
IdentyfikacjÄ™ modelu przeprowadza siÄ™, gdy:
" biernÄ…, czynnÄ…
wiedza teoretyczna o systemie nie wystarcza do nadania modelowi
postaci umożliwiającej wykonanie w oparciu o ten model obliczeń; " jednorazową, bieżącą (okresową, ciągłą)
nie wystarcza do określenia niektórych lub wszystkich
współczynników tego modelu
Identyfikacja:
c& bierna  polega na gromadzeniu danych doświadczalnych
Identyfikacja modelu (parametrów modelu) to: (pomiarowych) podczas normalnej pracy systemu, a następnie
przetworzenie jej odpowiednimi metodami w celu wyznaczenia
wyznaczenie ocen statystycznych (lub innych)  estymatorów
estymatorów nieznanych parametrów
wartości nieznanych parametrów drogą odpowiedniego
przetworzenia danych eksperymentalnych (pomiarowych lub
c& czynna  polega na odpowiednim zaplanowaniu (plan oddziaływań
doświadczalnych)
wejściowych systemu) i przeprowadzeniu eksperymentu
identyfikacyjnego, którego wyniki służą następnie do wyznaczenia
odpowiednimi metodami estymatorów nieznanych parametrów
25 26
Identyfikacja modelu matematycznego  c.d.
Jak ustalać kryterium?
Identyfikacja:
Różnica pomiędzy wyjściami systemu i modelu
c& jednorazowa  system o parametrach stacjonarnych
ey(t, p)= y(t)- ym(t, p)
c& bieżąca (okresowa, ciągła)  system o parametrach
niestacjonarnych
jest nazywana błędem wyjścia
Parametry modelu muszą być dobrane zgodnie z pewnym kryterium,
zwykle przez optymalizację pewnej funkcji kosztów
Jeżeli kilka struktur rywalizuje do opisu tych samych danych, ich dobroć
będzie również porównywana z pomocą kryterium
27 28
Jak ustalać kryterium? Weryfikacja modelu matematycznego
Najczęściej dąży się, aby błąd wyjścia był jak najbliższy zeru  to
Weryfikacja modelu to porównanie wyników modelowania z:
prowadzi do problemu definicji funkcji kryterialnej służącej
f& systemem rzeczywistym, lub
porównywaniu jakości analizowancyh modeli.
f& z modelem wzorcowym
Zwykle przyjmowana jest funkcja skalarna (funkcjonał) j parametrów i
z punktu widzenia ich zgodności z wiedzą teoretyczną lub z wynikami
ewentualnie struktury i nazywana funkcją kosztów
badań doświadczalnych
Zwykle funkcja ta jest minimalizowana
Model M(p1) jest wówczas lepszy od modelu M(p2) w sensie kryterium
Uwaga:
związanego z funkcjonałem j, jeżeli
Weryfikacja jest integralnie związana z każdym z poprzednich etapów
modelowania  powinna być realizowana nie tylko po zakończeniu
poprzednich etapów, lecz także w trakcie ich realizacji
j(M (p1))< j(M (p2))
29 30
Weryfikacja modelu matematycznego Weryfikacja modelu matematycznego
Przystępując do weryfikacji należy ustalić kryteria, które będą Kryteria wewnętrzne  dotyczą tzw. wewnętrznych cech modelu:
stosowane dla oceny zgodności (ustalenia przyczyn niezgodności)
" zgodność formalna  brak sprzeczności koncepcyjnych,
logicznych i matematycznych
Wyróżnia się dwie grupy kryteriów: " zgodność algorytmiczna  poprawność użytych operatorów,
algorytmów zapewniająca efektywne wykonywanie obliczeń z
" wewnętrzne
wymaganą dokładnością
" zewnętrzne
31 32
Schemat weryfikowania zgodności pragmatycznej
Weryfikacja modelu matematycznego
Zakłócenia
Uwaga:
" Weryfikacja zgodności
Kryteria zewnętrzne  dotyczą celów modelowania i zgodności modelu
pragmatycznej modeli
z wynikami badań eksperymentalnych:
Model
systemów nie istniejących,
zakłóceń
" zgodność heurystyczna  dotyczy walorów badawczych modelu: np. znajdujących się w
stadium projektowania nie
możliwości interpretacji za jego pomocą określonych zjawisk
jest w zasadzie możliwa
zachodzÄ…cych w systemie, sprawdzenia postawionych hipotez,
Wielkości
formułowania nowych zadań badawczych
wejściowe
SYSTEM
" zgodność pragmatyczna  dotyczy bezpośredniej zgodności
wyników z modelu systemu z danymi z systemu rzeczywistego;
Wielkości Kryteria
stwierdzenie tej zgodności wymaga przede wszystkim
wyjściowe zgodności
porównania wielkości wyjściowych z modelu i z systemu
rzeczywistego
MODEL
Wynik
weryfikacji
33 34
Rodzaje zgodności pragmatycznej
Weryfikacja modelu matematycznego - c.d.
model jest zgodny replikatywnie, jeżeli stwierdzono jego
! Nie należy nigdy oczekiwać całkowitej zgodności wyjść modelu i
zgodność z systemem korzystając podczas weryfikacji z tych
systemu rzeczywistego !
samych danych, na podstawie których dokonano identyfikacji
modelu
model jest zgodny predykatywnie, jeżeli stwierdzono jego
O tym czy zaobserwowane różnice między wyjściami modelu i
zgodność z systemem korzystając podczas weryfikacji z innych
systemu pozwalają na jego użytkowanie, czy też nie, decydują
danych, niż te na podstawie których dokonano identyfikacji
wyniki testów zgodności  ich konkretna treść zależy od
modelu; na podstawie danych zebranych w innych warunkach
przeznaczenia modelu
model jest zgodny strukturalnie, jeżeli stwierdzono jego
zgodność z systemem nie tylko dla wartości wielkości
wyjściowych, ale stwierdzono też zgodność mechanizmów
przetwarzania wielkości wejściowych w wyjściowe
35 36
Schemat procesu modelowania matematycznego
Eksperymentator
Określenie celu modelowania, wybór kategorii modelu,
określenie struktury modelu, wybór algorytmów
System Model matematyczny
y
ródło danych
Zmiana/modyfikacja
Dane i wiedza o systemie
modelu
Dane do identyfikacji, weryfikacji, obliczeń z Algorytmy identyfikacji, weryfikacji,
modelem obliczeń z modelem
Zmiana/modyfikacja
algorytmów
Komputer
Wyniki
Narzędzie przetwarzania danych w Przesłanki do
oparciu o określone algorytmy akceptacji lub zmiany
37