Pomiary grawimetryczne.
(przyśpieszenia siły ciężkości)
Jednostki: 1 cm� sek-2 = 1 gal (gal)
10-3 cm� sek-2 = 1 mgal (miligal)
10-6 cm� sek-2 = 1 m�gal (mikrogal)
Średnia wartość przyspieszenia ziemskiego
g � 981 gal
Rodzaje pomiarów grawimetrycznych
1. Bezwzględne
- wahadło fizyczne
- balistyczne
2. Względne
- wahadłowe
- grawimetr strunowy
- grawimetr statyczny
1.Pomiary bezwzględne
a) pomiary bezwzględne z wykorzystaniem wahadła fizycznego
Ruch wahadła matematycznego ujęty jest równaniem różniczkowym
2 (2.1)
d j� g
=� -� sinj�
dt2 l
Przy czym kąt j� jest wychyleniem z położenia
równowagi. W położeniu granicznym, gdzie j� =a�, a
t=0 oraz dj�/dt=0, z równania (2.1) wynika, że
dj� g
=� 2 (�cosj� -� cosa�)�
(2.2)
dt l
Przy czym zgodnie z oznaczeniami na rys.,
a� jest amplitudą drgań wahadła. Dalej
uzyskuje się:
l dj�
dt =�
(2.3)
2g
cosj� -� cosa�
Poprzez scałkowanie w granicach od - a� do+ a� znajduje się okres wahadła matematycznego
T Ą�
1 l dj�
T =� =�
��dt 2 g ��
j� a�
0 0
(2.4)
sin2 -� sin2
2 2
W nowoczesnych aparatach amplituda nie przekracza kilkunastu minut i dlatego
l �� 1 a� 9 a� ł�
�� ��
T =� p�
�� ��
ę�1+� sin2ć� �� +� sin4ć� �� +�...ś�
(2.5)
g 2 2 64 2
Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
Z błędem nie większym niż10-10 T można przyjąć, że półokres wahań
l 1
ć�1+� a� 2 ��
T =� p�
�� ��
g 16
Ł� ł�
Wielkość zdefiniowana wzorem Christana Huyghensa (1629-1695):
l
T0 =� p�
g
Odpowiada okresowi wahań dla a�= 0. Stąd przyspieszenie siły ciężkości
2
p� l
g =�
(2.6)
T02
Okres zredukowany wahadła do  zerowej amplitudy otrzymuje się w myśl wzoru
1
��
2
T0 =� Tć�1-� a�
�� ��
(2.7)
16
Ł� ł�
Wykorzystywane do pomiarów grawimetrycznych wahadło fizyczne ma w przybliżeniu
taki sam okres wahań, jak wahadło matematyczne o długości
J0
(2.8)
l =� a +�
Ma
zwanej długością zredukowana wahadła fizycznego. Wielkość a oznacza odległość
środka obrotu wahań od środka ciężkości wahadła fizycznego, a J0  moment
bezwładności masy M wahadła względem osi przechodzącej przez jego środek
ciężkości
Metoda swobodnego spadku ciał
Równanie swobodnego spadku ciał można zapisać w znanej z fizyki postaci
g
z =� z0 +� v0t +� t2
2
Równanie to ma swoje z
ródło w równaniu różniczkowym drugiego rzędu względem czasu
&�&� &�&�
z =� g mz =� mg
o postaci , wynikającego z równości . Ponieważ g = const., to w wyniku
&�&�
z =� v0 +� gt
pierwszego scałkowania otrzymalibyśmy .
A zatem z0 i v0 reprezentują stałe całkowania (położenie początkowe z0 i prędkość
początkowa v0 w momencie t=0). Dostatecznie precyzyjne pomierzenie tych parametrów
początkowych jest niewykonalne. Z tego powodu drogę i interwały czasu mierzy się
pomiędzy co najmniej trzema punktami na torze spadającego ciała. Można w takim
przypadku napisać dwa równania: jedno dla z2  z1 i drugie dla z3  z1, lub ogólnie dla
większej liczby interwałów pomiarowych:
g
2
zi -� z1 =� v1(�ti -� t1)�+� (�ti -�t1)�
2
Z układu takich równań można albo wyeliminować v1, albo potraktować dodatkowo z1 i v1
jako niewiadome, gdy rozporządzamy nadliczbowymi obserwacjami zi. Przy takim
podejściu należałoby uwzględnić zależność pomiędzy wielkościami obserwowanymi z i t.
W najprostszym przypadku trzech punktów obserwacji wzdłuż drogi spadku
otrzymalibyśmy następujący związek:
(�z3 -� z1)�(�t2 -� t1)�-�(�z2 -� z1)�(�t3 -� t1)�
g =� 2
(�t3 -� t1)�(�t2 -� t1)�(�t3 -� t2)�
Dokładność współczesnych
bezwzględnych pomiarów
stacjonarnych przyspieszenia siły
ciężkości szacuje się w granicach
jednego mikrogala. Pomiary
aparatami przenośnymi są mniej
dokładne. Można ich błędy szacować
na około ą0,002�0,005 mgala.
1.  komora próżniowa, 2  ruchomy pryzmat, 3  laser, 4  urządzenie kompensujące
drgania, 5  licznik lub oscyloskop, 6  silnik napędzający urządzenie wyrzucające
pryzmat
Grawimetry statyczne
Do pomiarów względnych przyśpieszenia siły ciężkości stosuje się powszechnie grawimetry
statyczne.
Najprostszy model grawimetru statycznego
stanowić może pionowa sprężyna obciążona
stałą masą. Zmiany przyśpieszenia siły
ciężkości powodują zmienność siły
przykładanej do tej sprężyny i tym samym
zmiany jej długości. W pewnym zakresie
zmiany te będą miały charakter liniowy.
Równanie równowagi statycznej naszego
modelu ma następującą postać:
mg =� k(�l -�l0)�
Model grawimetru statycznego
przy czym k jest pewna stałą wartością charakterystyczną dla danej sprężyny, l  to
długość sprężyny obciążonej, zaś l0  nie obciążonej. Poprzez różniczkowanie tego
równania można dojść do związku liniowego pomiędzy małą zmianą przyspieszenia d�g i
zmianą długości sprężyny d�l.
g
k
d�g =� d�l
albo
d�g =� d�l
l -� l0
m
We współczesnych grawimetrach statycznych znalazł zastosowanie inny, bardziej
złożony system pomiarowy
Rysunek przedstawia schemat tego systemu.
Pozioma  dz
wignia o długości a, obciążona
masą m, może się obracać wokół osi O ( z
reguły os tę stanowi pozioma  nić torsyjna ).
Na skutek zmiany przyśpieszenia siły
ciężkości dz
wignia wykonuje pewien obrót
wokół osi O. Za pomocą sprężyny pomiarowej
można doprowadzić dz
wignię do wyjściowego
położenia poziomego. Następuje to w
większości konstrukcji poprzez pochylenie
systemu mierzącego grawimetru.
Schemat systemu mierzącego grawimetru
Śruba mikrometryczna, połączona ze sprężyną pomiarową, umożliwia pomiar przemieszenia
dz
wigni, będącego funkcją kata obrotu dz
wigni (nachylenie systemu mierzącego). Taka
metoda pomiaru (odczytywania grawimetru), polegająca na doprowadzeniu systemu
mierzącego do pozycji wyjściowej (poziomej) poprzez nachylanie, nosi nazwę odczytu przez
zerowanie (metoda zerowania). Na ogół w pewnym zakresie zmian przyspieszenia istnieje
prawie liniowa zależność pomiędzy katem obrotu dz
wigni i zmianą przyspieszenia.
Równanie równowagi statycznej systemu przedstawionego na rysunku ma postać:
mgacosa� =�t�(�w� +�a�)�
Związek ten wyraża równość momentu siły mg o ramieniu a i momentu skręcającego nici
torsyjnej, przy czym t� jest stałym współczynnikiem skręcenia nici torsyjnej, w� -
wyjściowym katem skręcenia nici, zaś a� to kąt wychylenia dz
wigni. Na podstawie tego
równania uzyskuje się związek pomiędzy d�g i d�a�, który jest liniowy dla a� bliskich zera.
t� g
d�g =� d�a =� d�a�
ma w�
Równania te mają w mniejszym bądz
większym stopniu zastosowanie do wszystkich
typów grawimetrów statycznych.
Sprężyny metalowe, zazwyczaj inwarowe, wymagają dobrej izolacji termicznej grawimetru
(ą0,001�C), cechują się małym współczynnikiem termoelastycznym (0�ą0,05x10-6/1 �C),
małą tzw. elastycznością wtórną, natomiast znaczną liniową rozszerzalnością termiczną.
Sprężyny kwarcowe mają duży współczynnik termoelastyczny, zaś bardzo małą liniową
rozszerzalność termiczną, są niemagnetyczne, mają własności higroskopijne, są lekkie mało
podatne na zjawisko histerezy oraz odkształcenia elastyczne na skutek zmian ciśnienia.
W efekcie takich własności grawimetry ze sprężynami metalowymi wymagają, oprócz
termostatów, także szczelnych obudów, chroniących systemy pomiarowe przed zmianami
ciśnienia, a także osłon antymagnetycznych. W związku z tym bywają stosunkowo ciężkie.
Jednakże za ich pomocą osiąga się wysokie dokładności pomiaru, z reguły lepsze niż ą0,02
mgala. Ponadto grawimetry metalowe mają bardzo małe dryfty.
Schemat różnych systemów mierzących grawimetrów
Grawimetry kwarcowe są bardzo lekkie i niewielkiego rozmiaru,a więc wygodne w
użyciu. Niestety charakteryzują się znacznymi wielkościami dryftu, co czyni pomiary
bardziej uciążliwymi. Muszą być bardzo dobrze zabezpieczone przed wpływami
wilgotności. Mniej wrażliwe na wpływy zmian temperatury mogą nie być wyposażone w
termostaty utrzymujące z dużą dokładnością temperaturę wewnętrzną. Są z reguły
wyposażone w bimetaliczne kompensatory temperatury. Zapewniają nieco niższe
dokładności pomiarów niż grawimetry ze sprężynami metalowymi (około ą0,05mgala).
Zasady astatyzacji. Przez astatyzację systemu mierzącego grawimetru rozumie się pewien
mechaniczny zabieg powodujący zwiększenie czułości tego systemu. Reakcja systemu
mierzącego, z poziomą dz
wignią o długości a, na zmiany przyśpieszenia jest określona w
równaniu równowagi iloczynem mga z jednej strony, zaś parametrami sprężyny t� i g� z
drugiej strony.Z wzajemnej relacji tych wielkości wynika określona wielkość reakcji
urządzenia na zmiany przyśpieszenia, czyli czułość grawimetru. Jeśli do układu będącego
w równowadze, zostanie wprowadzony dodatkowy element, np.. w postaci dodatkowego
momentu obrotowego (dodatniego bądz
ujemnego), reakcja urządzenia na zmiany
przyspieszenia okaże się zmieniona. W procesie astatyzacji chodzi o takie zakłócenie
pierwotnego stanu równowagi, aby uzyskać możliwie największą czułość urządzenia, nie
doprowadzając go jednakże do stanu równowagi chwiejnej ani obojętnej. I tak na
przykład systemy mierzące z pionową lub ukośna sprężyną i poziomą dz
wignią astatyzuje
się poprzez odpowiedni dobór parametrów geometrycznych systemu mierzącego.
W przypadku systemu przedstawionego schematycznie na rysunku równanie równowagi
przy poziomej dz
wigni ma postać:
mga =� k(�l -�l0)�nsing�0
Wyrażenie nsing�0 to ramię siły k(l-l0). Po
wychyleniu dz
wigni o kąt d�b� równanie to
zmieni się na
mgacosd�b� =� k(�l -�l0)�nsing�
Zmieniając sing�0 i sin g� przez odpowiednie funkcje b� i b� +d�b�, można łatwo dojść do
dg
następującej relacji
dd�b� =� tan b�
g
z której wynika, że największą czułość grawimetru (d�b�max) osiągniemy, gdy b�=90�. Zatem
w konstrukcjach, działających na zasadzie zilustrowanej schematem przedstawionym na
rysunku. Astatyzację można uzyskać poprzez taki dobór punktów zaczepienia sprężyny i
dz
wigni, aby kat b� był zbliżony do kąta prostego.
Schemat systemu mierzącego grawimetru Wordena
1. sprężyna pomiarowa (główna), 2  sprężyna i śruba odczytu,3-sprężyna i śruba zmian
zakresu pomiarowego, 4-dz
wignia pozioma obciążona masą, 5-nić torsyjna, 6-wskaz
nik
położenia dz
wigni, 7-lunetka odczytowa
Relative Spring Gravimeters
Advantages
" Simple To Operate
" Small/Lightweight
" Inexpensive
Problems
" Drifts
" Tares
" Calibration
Cechowanie grawimetrów
Najpowszechniej stosuje się dwie metody cechowania grawimetrów statycznych:
1.) za pomocą baz grawimetrycznych
2.) metoda nachylania
Dryft grawimetrów
działanie grawimetrów statycznych, polegające na odkształceniu elementów
sprężystych, można objaśnić na podstawach teorii elastyczności i reologii. Zjawisko
dryftu systemów mierzących grawimetrów jest efektem nakładania się dwóch efektów:
odstępstwa w zachowaniu się materiału,z którego sporządzono system mierzący, od
zasad teorii Hooka i pewnych zjawisk reologicznych, takich jak pełzanie i płynięcie
materiału.
Wpływ zmiany temperatury na rozszerzalność liniową
l =� l0(�1+�a�D�t)�
Wpływ mian temperatury na zmianę współczynnika elastyczności sprężyny m�
(właściwe zjawiska termoelastyczne)
m� =� m�0(�1+�e�D�t)�
Różne sposoby pomiaru grawimetrami
sposób łańcuchowy
sposób profilowy
sposób gwiazdowy
Poprawki do pomierzonych wartości przyspieszenia siły ciężkości
1. Poprawka ze względu na zmiany przyspieszenia siły ciężkości spowodowana
przyciąganiem Księżyca i Słońca.
Poprawka spowodowana jest zjawiskiem pływów skorupy ziemskiej. Zjawisko pływów i
jego wpływ na pomiary geodezyjne zostaną omówione w dalszej części wykładów.
3 �� 1 1 ��
ć�1-� k +� h����0,0825ć�cos 2zk +� �� ��
D�gp =� +� 0,0379ć�cos 2zs +� [�mgal]�
�� �� �� �� �� ��
ż�
2 3ł� 3ł���
Ł� ł� Ł� Ł�
��
gdzie: "gp  poprawka pływowa do pomierzonej wartości przyspieszenia siły ciężkości
k, h  liczby Love a
zk  topocentryczna odległość zenitalna Księżyca
zs  topocentryczna odległość zenitalna Słońca
3
ć�1-� +� h��
d� =� =� (�1,15 ��1,19)�
�� ��
2
Ł� ł�
2. Poprawka ze względu na dryft grawimetru
Pomiar grawimetryczny wykonany  tam i  z powrotem
d�D�g =� D�gAB -� D�gBA
Chód: d�D�g d�D�g
n =�
t t P P t P
(�TB -�TA)�-�(�TA -�TB )�=� D�tAB -� D�tAB
gdzie:
t t t
TB -�TA =� D�tAB
P P P
TA -�TB =� D�tBA
gipopr =� gipom -� h(�Ti -�TA)�
Powyższe dwie poprawki do pomierzonych wartości przyspieszenia są najbardziej istotne.
Przy pomiarach o dokładności rzędu 1źgal wprowadzamy szereg innych poprawek między
innymi spowodowanych zmianami ciśnienia atmosferycznego, zmianami poziomu wody
gruntowej, wilgotności gruntu itp..