LISTA 1.
Elementy logiki
1.1. Zdanie logiczne. Forma zdaniowa. Kwantyfikatory.
Dla zdań, będących zdaniami logicznymi, podać ich wartość logiczną.
" " "
1 1 1
(a) 5 - 3 = 2, (d) x2 - 7 < 0, (g) = + ,
x + 2 x 2
x"R x"R-{0,-2}

6 3
(b) , (e) x2 - 7 < 0, (h) x2 - y2 = 0,
4 2
x"R x"R y"R

1 1 1
(c) x2 - 7 < 0, (f) = + , (i) xy = 0.
x + 2 x 2
x"R-{0,-2} x"R y"R
1.2. Negacja. Równoważność. Prawa de Morgana dla koniunkcji i alternatywy. Działania na zbiorach.
Zapisać przy użyciu spójników logicznych  i ,  lub rozwiązania równań oraz nierówności. Zazna-
czyć na płaszczyz
nie zbiory punktów, których współrzędne spełniają podane warunki.
(a) (x + 3)(y - 2) = 0, (b) (x + 3)(y - 2) = 0, (c) (x + 3)(y - 2) > 0, (d) x2 - 4y2 < 0,

a + b a + 2 2a + b a2 + b
(e) = 0, (f) > 0, (g) 0, (h) 0.
a - b a - b + 1 a + b a2 + b2 + 3
1.3. Implikacja. Twierdzenie. Prawo kontrapozycji.
(A) Prawdziwe jest twierdzenie:
Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 12, to jest podzielna przez 3.
Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia.
Na podstawie powyższego twierdzenia podać:
(a) warunek wystarczający podzielności przez 3. Dlaczego nie jest to warunek konieczny?
(b) warunek konieczny podzielności przez 12. Dlaczego nie jest to warunek wystarczający?
(c) Liczba naturalna nie jest podzielna przez 12. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek
o podzielności tej liczby przez 3?
(d) Liczba naturalna jest podzielna przez 3. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o po-
dzielności tej liczby przez 12?
(e) Liczba naturalna nie jest podzielna przez 3. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o po-
dzielności tej liczby przez 12?
(f) Sformułować warunek konieczny i wystarczający podzielności przez 3.
(B) George Bernard Shaw twierdził:
Przekłady są jak kochanki - wierne nie są piękne, piękne nie są wierne.
Czy wg Bernarda Shaw
(a) przekład wierny nie jest piękny,
(b) jeśli przekład nie jest piękny, to jest wierny,
(c) jeśli przekład jest piękny, to nie jest wierny,
(d) jeśli przekład nie jest wierny, to jest piękny,
(e) żaden przekład nie może być zarazem wierny i piękny?
(C) Niech x, y " R. Prawdziwa jest implikacja:
(x > 0 i y > 0) =Ò! (xy > 0) .
Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia.
(a) Wiadomo, że Ä… > 1 i ² > -1. Czy twierdzenie pozwala wyciÄ…gnąć wniosek o znaku iloczynu
(Ä… - 1) · (² + 1)? A o znaku iloczynu Ä… · ²? Podać przykÅ‚ady.
(b) Wiadomo, że ab > 0. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczby a? Podać
przykłady.
(c) Wiadomo, że uv 0. Jaki wniosek o liczbach u i v pozwala wyciagnąć twierdzenie?
1.4. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
Zapisać w równoważnej postaci zdania:
ëÅ‚ öÅ‚

íÅ‚ Å‚Å‚
(a) Ź 2x = 2-x ,
x"R

(b) Ź x2 = x4 ,
ëÅ‚x<0 öÅ‚

n2 + 1
íÅ‚
(c) Ź < Młł,
n
ëÅ‚M"R n"N öÅ‚


n
íÅ‚ Å‚Å‚
(d) Ź (n > n0) =Ò! < .
n + 5
>0 n0"N n"N
Zagadnienia dotyczące podstaw logiki, a także praw działań algebraicznych, funkcji elementarnych,
rozwiązywania równań i nierówności, można powtórzyć korzystając z jednego z podręczników:
1. M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wy-
dawnicza GiS, Wrocław 2009.
2. W. Żakowski, Algebra i analiza matematyczna dla licealistów, WNT, Warszawa 1999.
Jolanta Sulkowska, zad.1.3B Marek Zakrzewski