Mechanika gruntow W 04

MECHANIKA GRUNTÓW
Wykład 4
Wykład 4
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
a) - naprężenia:
b) - położenie punktu M
� - (wypadkowe),
� - (wypadkowe),
�
�
�
�
�
�
c) - składowe tensora naprężeń
c) - składowe tensora naprężeń
�n - (normalne),
�
�
�
� - (styczne),
� - (styczne),
�
�
�
�
�
�
�f - opór ścinania.
�
�
�
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Dla każdego wektora p(p1, p2, p3) mamy związek:
p = � �" n
p = � �" n
i ji j
i ji j
pozwalający wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora naprężenia
pozwalający wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora naprężenia
przez składowe tensora naprężenia.
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Naprężenia spełniające równanie:
3 2
� - I �"� + I �"� - I = 0
1 2 3
gdzie:
gdzie:
I = � + � + � � , � , �
I = � + � + � � , � , �
1 11 22 33 11 12 13
1 11 22 33 11 12 13
I = � , � , �
� , � � , � � , �
3 21 22 23
11 12 22 23 11 13
I = + +
I = + +
2
2
� , � , �
� , � , �
� , � � , � � , �
� , � � , � � , �
31 32 33
21 22 32 33 31 33
nazywamy naprężeniami głównymi i oznaczamy je:
nazywamy naprężeniami głównymi i oznaczamy je:
� > � > �
1 2 3
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Niech w p. A będzie dany element powierzchni dA o normalnej
n(n ,n ,n )
1 2 3
Oznaczmy przez wektor naprężenia o składowej
Oznaczmy przez wektor naprężenia o składowej
p(p , p , p )
p(p , p , p )
1 2 3
�
normalnej oraz stycznej �
Mamy wtedy:
Mamy wtedy:
� = p n + p n + p n
� = p n + p n + p n
1 1 2 2 3 3
2
2
� = p - �
� = p - �
Dla cosinusów kierunkowych jest oczywiście:
2 2 2
2 2 2
n + n + n = 1
n + n + n = 1
1 2 3
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Przyjmując środek układu współrzędnych w punkcie A,
Przyjmując środek układu współrzędnych w punkcie A,
a jego osie równolegle do kierunków osi naprężeń głównych mamy:
i=1,2,3
i=1,2,3
p = � n
p = � n
i i i
Stąd:
2
2 2 2 2 2 2
p = � n + � n + � n
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
� + � = � n + � n + � n
� + � = � n + � n + � n
1 1 2 2 3 3
2 2 2
� = � n + � n + � n
� = � n + � n + � n
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Z otrzymanych równań można wyliczyć ni, dla i=1,2,3
Z otrzymanych równań można wyliczyć n , dla i=1,2,3
2
� + (� - � )(� - � )
2
2 3
n =
n =
1
( )( )
(� - � )(� - � )
1 2 1 3
2
� + (� -� )(� -� )
� + (� -� )(� -� )
2
2
1 3
n =
n =
2
(� -� )(� -� )
2 3 2 1
2
2
� + (� - � )(� -� )
� + (� - � )(� -� )
2
1 2
n =
3
(� - � )(� - � )
3 1 3 2
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Uwzględniając przyjęte uporządkowanie naprężeń głównych:
Uwzględniając przyjęte uporządkowanie naprężeń głównych:
� > � > �
1 2 3
mamy:
mamy:
2
� + (� -� )(� -� )e" 0
2 3
2 3
2
� + (� -� )(� -� )d" 0
1 3
2
� + (� -� )(� -� )e" 0
1 2
(� ,� )
Na płaszczyznie nierówności te wyznaczają obszar zawarty
pomiędzy okręgami o promieniach wyznaczonych przez wartości
naprężeń głównych
naprężeń głównych
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Ilustracja ta nosi nazwę koła Mohra
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Stąd wartość największego naprężenia stycznego (ścinającego:
Stąd wartość największego naprężenia stycznego (ścinającego:
� - �
1 3
� =
� =
max
2
i związane z nim naprężenie normalne:
i związane z nim naprężenie normalne:
� + �
1 3
� =
� =
sr
sr
2
2
Obliczone dla tych naprężeń cosinusy kierunkowe mają wartości:
2
n = n = ą
n = n = ą
n = 0
n = 0
1 3
1 3
2
2
2
2
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Dewiator naprężenia Tensor kulisty
naprężenia
1
� = (� + � + � )
iz x y z
3
3
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Płaski (2-wymiarowy) stan naprężenia:-
jest wywołany obciążeniami nie zmieniającymi się
wzdłuż określonego kierunku
Przyjmując układ współrzędnych tak, by oś x3 pokrywała się
Przyjmując układ współrzędnych tak, by oś x pokrywała się
z tym kierunkiem, otrzymuje się nie zmienny stan naprężeń
dla przekrojów x3 = const.
dla przekrojów x3 = const.
Naprężenia opisujące ten stan naprężeń są funkcjami x1 i x2.
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
Tensor naprężenia wystarczy pisać
� , � , 0
ńł �ł
11 12
� , �
� , �
ńł �ł
ńł �ł
11 12
11 12
�ł� �ł
�ł� , � , 0�ł
�ł żł
�ł� , � żł
�
�ł żł
21 22
ół �ł
21 22
�ł
�ł
0, 0, 0�ł
0, 0, 0�ł
ół �ł
ół �ł
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
Naprężenia główne wyliczamy z równania:
Naprężenia główne wyliczamy z równania:
2 2
� - (� + � )� + � � -� = 0
� - (� + � )� + � � -� = 0
11 22 11 22 12
i mają wartości:
2
�
�ł
1 � - �
�ł �ł
1
2
11 22
= (� + � )ą + �
= (� + � )ą + �
�ł �ł
�ł �ł
żł
żł
11 22 12
�
� 2 2
�ł łł
�ł
2
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
Składowe stanu naprężenia w funkcji naprężeń głównych:
Składowe stanu naprężenia w funkcji naprężeń głównych:
1 1
� = (� + � )+ (� - � )cos2�
� = (� + � )+ (� - � )cos2�
11 1 2 1 2
11 1 2 1 2
2 2
2 2
1 1
� = (� + � )- (� -� )cos 2�
� = (� + � )- (� -� )cos 2�
22 1 2 1 2
2 2
2 2
1
� = (� - � )sin 2�
� = (� - � )sin 2�
12 1 2
12 1 2
2
2
gdzie jest kątem odchylenia osi x3 od normalnej do płaszczyzny
gdzie jest kątem odchylenia osi x3 od normalnej do płaszczyzny
�
�
naprężeń głównych
� ,�
1 2
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
� -�
� -�
1 3
� = �"sin 2ą
2
� +� � -�
� +� � -�
1 3 1 3
� = + �"cos 2ą
n
2 2
STAN NAPRŻENIA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
W OŚRODKU GRUNTOWYM
Stan naprężenia w ośrodku gruntowym,
którego pory są wypełnione cieczą
spełnia warunek:
spełnia warunek:
s f
� = � + �
� = � + �
gdzie:
�
- naprężenie całkowite
s
- naprężenie w szkielecie gruntu
�
f
f
- ciśnienie w cieczy
�
�
Związek ten jest nazywany postulatem Terzaghiego
Związek ten jest nazywany postulatem Terzaghiego

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4semestr gleboznastwo praktyki z mechaniki gruntow
Teoria Drgań Mechanicznych Opracowanie 04
Mechanika gruntów Projekt Na 5
Mechanika Gruntów Pytania i Odpowiedzi 8 10
Osiadanie Mechanika Gruntów(1)
22 03 Mechanika gruntow
Zestawy badań laboratoryjnych z Mechaniki Gruntów
Monika Bartlewska,mechanika gruntów, Zadania
Mechanika gruntow W 02
Mechanika gruntów Ćwiczenie 4 Tabela
Mechanika gruntow W 03
Mechanika gruntów Ćwiczenie 5 Sprawozdanie 1
Mechanika Gruntów Pytania i Odpowiedzi 5 10

więcej podobnych podstron