InstrukcjaDoCw5zLTOiS 2016 odblokowany

Wydział ETI PG
Katedra Systemów Elektroniki Morskiej
Przybliżone rozwiązywanie
równań nieliniowych
- wykorzystanie programów MATLAB i SPICE
w stałoprądowej analizie i symulacji
obwodu z tranzystorem bipolarnym
Opracował: Czesław Stefański
Gdańsk, 2015
~ 2 ~
Wstęp
Podstawy teoretyczne potrzebne do wykonania ćwiczenia pt. Przybliżone rozwiązywanie (układów)
równań nieliniowych - wykorzystanie programów MATLAB i SPICE w stałoprądowej analizie i symulacji
obwodów z tranzystorem bipolarnym są obszerne. Obejmują zarówno zagadnienia z dziedziny metod
numerycznych, czy podstawową umiejętność użycia programów MATLAB i SPICE, jak i wybraną wiedzę
dotyczącą modeli tranzystora npn, czy wreszcie podstawy analizy obwodów (w szczególności topologiczne
podejście do tworzenia węzłowych równań opisu sieci). Najpierw bardzo krótko przedstawimy lub
przypomnimy te podstawy (wyjątkiem użycie MATLAB-a; o nim wspomnimy na końcu), by w efekcie
sformułować i rozwiązać możliwie prosty przykład przybliżonego wyznaczania pierwiastków układu równań
nieliniowych. Jednym z zadań studentów wykonujących ćwiczenie będzie zapis przedstawionych przykładów
dla konkretnych danych, rozwiązanie ich sposobem inżynierskim , przy użyciu przedstawionych procedur
i programu MATLAB oraz w programie symulacyjnym SPICE, a także porównanie uzyskanych rozwiązań.
Niektóre zagadnienia (przedstawione zmniejszoną czcionką), były już prezentowane w materiale do
poprzednich ćwiczeń, ale są tu powtórzone dla porządku wywodu oraz wygody Czytelnika.
1. Metody przybliżonego rozwiązywania układów równań nieliniowych. Omówienie
metody Newtona-Raphsona
Jak już wiemy, wzory dokładne na rozwiązania równań, bądz układów równań istnieją tylko dla bardzo szczególnych
typów równań, na przykład dla układów równań liniowych czy dla równań algebraicznych do stopnia czwartego włącznie
(dla przypadku ogólnego)[1]. Co więcej, w bardzo wielu zagadnieniach napotykamy na równania bądz układy równań
nieliniowych, dla których potrafimy znalezć tylko rozwiązania przybliżone. Różne sposoby przybliżonego rozwiązywania
równań nieliniowych omówiono w skrypcie[2]. Tu tylko nadmieniamy, że omówiono tam metody bisekcji, siecznych, regula
falsi i stycznych oraz sugerujemy zapoznanie się z opisem tych metod. Warto wspomnieć, że metody graficzne też bywają
przydatne.
Dla układów równań nieliniowych podstawową rolę w wyznaczaniu rozwiązań przybliżonych odgrywa algorytm
(metoda) iteracji prostej[2]. Ze względu na swoje zalety jest on stosowany bardzo często. Metoda Newtona-Raphsona
może być przedstawiana z jednej strony jako szczególny przypadek metody iteracji prostej (punktu stałego[3]), a z drugiej
strony jako uogólnienie, na przypadek układu równań nieliniowych, metody stycznych. Poniżej krótko zostanie omówiony
rodowód algorytmu Newtona-Raphsona.
1.1. Algorytm Newtona-Raphsona (N-R)
1.1.1. Przypadek pojedynczego równania (ujęcie intuicyjne; przypomnienie)
Chcemy rozwiązać równanie
5�S�(5�e�)
( )
5�S� 5�e� = 0, (1.1) Rysunek 1.1.1
przy czym o funkcji 5�S�(5�e�) zakładamy, że jest ciągła
i wielokrotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu 5�e�",
f(x(0))
będacego rozwiązaniem badanego równania.
Niech 5�e�(5�W�) będzie wartością 5�e� w j-tym kroku
5؇�(5ؙ�(5��))-5�� 5؇�(5ؙ�(5��))
=5؇�2 (5ؙ�(5��)) ł'5ؙ�(5��)=5ؙ�(5��)-
iteracji (możemy założyć, że 5�e�(5�W�) nie jest
5ؙ�(5��)-5ؙ�(5��) 5؇�2 (5ؙ�(5��))
rozwiązaniem; gdyby było, nasze zadanie byłoby
zakończone). Rozwińmy funkcję 5�S�(5�e�) w szereg
Taylora wokół punktu 5�e� = 5�e�(5�W�):
5�Q�5�S�(5�e�)
( )
5�S� 5�e� = 5�S�(5�e�(5�W�)) + |5�e�=5�e�(5�W�)(5�e� - 5�e�(5�W�)) +
5�Q�5�e�
f(x(1))
2
5�Q�25�S�(5�e�)
|5�e�=5�e�(5�W�)(5�e� - 5�e�(5�W�)) + & .
5�Q�5�e�2
Jeśli 5�e� = 5�e�(5�W�+1) będzie następną wartością 5�e� (w
f(x(2))
5�e�
kolejnej iteracji), powyższe równanie przyjmie postać:
5�Q�5�S�(5�e�)
5�S�(5�e�(5�W�+1)) = 5�S�(5�e�(5�W�)) + |5�e�=5�e�(5�W�)(5�e�(5�W�+1) - 5�e�(5�W�)) +
5�Q�5�e� x* x(2) x(1) x(0)
2
5�Q�25�S�(5�e�)
|5�e�=5�e�(5�W�)(5�e�(5�W�+1) - 5�e�(5�W�)) + & .
5�Q�5�e�2
Gdyby wartość początkowa 5�e� = 5�e�(0) została
przyjęta dostatecznie blisko rozwiązania dokładnego 5�e�", to niechybnie 5�e�(5�W�+1) - 5�e�(5�W�) byłoby małe, a to pozwoliłoby
pominąć pochodne wyższych rzędów w ostatniej równości i przyjąć przybliżenia:
5�Q�5�S�(5�e�)
0 H" 5�S�(5�e�(5�W�+1)) H" 5�S�(5�e�(5�W�)) + |5�e�=5�e�(5�W�)(5�e�(5�W�+1) - 5�e�(5�W�)),
5�Q�5�e�
[1]
Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka
Wirtualna Nauki
[2]
Andrzej Szatkowski, Jacek Cichosz: Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne. WPG, Gdańsk 2002
[3]
Leon O. Chua, Pen-Min Lin: Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe. WNT Warszawa 1981.
~ 3 ~
skąd już uzyskalibyśmy regułę iteracyjną:
1
5�e�(5�W�+1) = 5�e�(5�W�) - 5�S�(5�e�(5�W�)) . (1.2)
5�Q�5�S�(5�e�)
|
5�Q�5�e�
5�e�=5�e�(5�W�)
Interpretację tej reguły iteracyjnej dla j=2 pokazano na rysunku 1.1.1 (metoda N-R w przypadku jednowymiarowym
jest często nazywana metodą stycznych, a ostatni rysunek stanowi przekonujące uzasadnienie dla takiej nazwy).
1.1.2. Przypadek układu równań (ujęcie intuicyjne)
Chcemy rozwiązać następujący układ 5�[� równań nieliniowych z 5�[� niewiadomymi
( )
5�S�5�V� 5�e�1, 5�e�2, & , 5�e�5�[� = 0, 5�V� = 1,2, & , 5�[�. (1.3)
( ( (
Niech 5ؙ�(5�W�) = 5�P�5�\�5�Y�(5�e�15�W�), 5�e�25�W�) , & , 5�e�5�[�5�W�)) będzie wartością 5ؙ� = 5�P�5�\�5�Y�(5�e�1, 5�e�2 , & , 5�e�5�[�) w j-tym kroku iteracji.
Rozwińmy funkcje 5�S�5�V�(5ؙ�), 5�V� = 1, 2, & , 5�[� (są to funkcje wielu zmiennych) w szereg Taylora wokół punktu 5ؙ�(5�W�):
( ( (
( )
5�S�5�V� 5�e�1, 5�e�2 , & , 5�e�5�[� = 5�S�5�V� (5�e�15�W�), 5�e�25�W�) , & , 5�e�5�[�5�W�)) +
( ) ( ) ( )
5��5�S� 5ؙ� ( 5��5�S� 5ؙ� ( 5��5�S� 5ؙ� (
| (5�e�1 - 5�e�15�W�)) + | (5�e�2 - 5�e�25�W�)) + & + | (5�e�5�[� - 5�e�5�[�5�W�)) +
5��5�e�1 5ؙ�=5ؙ�(5�W�) 5��5�e�2 5ؙ�=5ؙ�(5�W�) 5��5�e�5�[� 5ؙ�=5ؙ�(5�W�)
5�Z�
(5�W�)
+wyrazy wyższych rzędów zawierające czynniki (5�e�5�V� - 5�e�5�V� ) , 5�Z� > 1, 5�V� = 1, 2, & , 5�[�.
( )
Niech 5ؙ� = 5ؙ�(5�W�+1) będzie wartością 5ؙ� w 5�W� + 1 iteracji; wstawiając je do powyższego równania otrzymujemy
( ( ( ( ( (
5�S�5�V� (5�e�15�W�+1), 5�e�25�W�+1) , & , 5�e�5�[�5�W�+1)) = 5�S�5�V� (5�e�15�W�), 5�e�25�W�) , & , 5�e�5�[�5�W�)) +
( ) ( ) ( )
5��5�S� 5ؙ� ( ( 5��5�S� 5ؙ� ( ( 5��5�S� 5ؙ� ( (
| (5�e�15�W�+1) - 5�e�15�W�)) + | (5�e�25�W�+1) - 5�e�25�W�)) + & + | (5�e�5�[�5�W�+1) - 5�e�5�[�5�W�)) +
5��5�e�1 5ؙ�=5ؙ�(5�W�) 5��5�e�2 5ؙ�=5ؙ�(5�W�) 5��5�e�5�[� 5ؙ�=5ؙ�(5�W�)
5�Z�
( (5�W�)
+wyrazy wyższych rzędów zawierające czynniki (5�e�5�V� 5�W�+1) - 5�e�5�V� ) , 5�Z� > 1, 5�V� = 1, 2, & , 5�[�.
Oczywiście, jak w przypadku jednowymiarowym zakładamy, że punkty 5ؙ�(5�W�) wyznaczane w kolejnych iteracjach
są bliskie rozwiązaniu 5ؙ�", przeto każda składowa wektora 5ؙ�(5�W�+1) - 5ؙ�(5�W�) jest mała i możemy pominąć
w ostatnim wzorze wyrazy rzędu wyższego niż pierwszy. Ponadto ponieważ 5ؙ�(5�W�+1) jest, w naszym mniemaniu
( ) ( ) ( ) ( )
bliskie 5ؙ�", więc 5؇�(5ؙ�(5�W�+1)) H" 5؇� 5ؙ�" = 5�� , gdzie 5؇� 5ؙ� = 5�P�5�\�5�Y�(5�S�1 5ؙ� , & , 5�S�5�[� 5ؙ� ) . W efekcie możemy napisać:
( )
5��5�S� 5ؙ� ( (
5�S�5�V�(5ؙ�(5�W�)) + | (5�e�15�W�+1) - 5�e�15�W�)) +
5��5�e�1 5ؙ�=5ؙ�(5�W�)
( ) ( )
5��5�S�5�V� 5ؙ� ( ( 5��5�S�5�V� 5ؙ� ( (
+ | (5�e�25�W�+1) - 5�e�25�W�)) + & + | (5�e�5�[�5�W�+1) - 5�e�5�[�5�W�)) = 0, 5�V� = 1,2, & , 5�[�
5��5�e�2 5ؙ�=5ؙ�(5�W�) 5��5�e�5�[� 5ؙ�=5ؙ�(5�W�)
Ten układ równań może być zapisany w postaci macierzowej następująco:
5�t�5�q�(5ؙ�(5�W�))(5ؙ�(5�W�+1) - 5ؙ�(5�W�)) = -5؇�(5ؙ�(5�W�)),
( ) ( )
gdzie macierz Jacobiego 5�t�5�q� 5ؙ� funkcji 5؇� 5ؙ� jest liczona w punkcie 5ؙ�(5�W�):
5��5�S�5�X�(5ؙ�)
5�X�5�Y� 5�X�5�Y�
5�t�5�q�(5ؙ�(5�W�)) = [5�@�5�q� (5ؙ�(5�W�))]5�[��5�[� i 5�@�5�q� (5ؙ�(5�W�)) = | . (1.4)
5��5�e�5�Y�
5ؙ�=5ؙ�(5�W�)
( )
Ostatecznie uzyskujemy wzór rekurencyjny algorytmu N-R dla przypadku układu równań 5؇� 5ؙ� = 5��:
5ؙ�(5�W�+1) = 5ؙ�(5�W�) - 5�V�5�[�5�c� (5�t�5�q�(5ؙ�(5�W�))) " 5؇�(5ؙ�(5�W�)), (1.5)
( )
przy czym 5�V�5�[�5�c� 5�t� oznacza macierz odwrotną do 5�t�.
Podobnie, jak dla przypadku jednowymiarowego wykazuje się, że jeśli punkt startowy 5ؙ�(0) algorytmu leży
dostatecznie blisko rozwiązania 5ؙ�", to algorytm jest zbieżny. Wybór właściwego punktu startowego może
stanowić osobny problem w praktyce obliczeniowej.
2. Model tranzystora bipolarnego npn
Wprowadzenie modelu obwodowego tranzystora jest niezbędne, aby zrozumieć przedstawiony w dalszej
części instrukcji matematyczny opis przykładowego obwodu nieliniowego z tranzystorem. Ograniczymy się do
stałoprądowych modeli Ebersa-Molla tego elementu[3]. W pewnych sytuacjach w obliczeniach zgrubnych,
[3] Leon O. Chua, Pen-Min Lin: Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe. WNT Warszawa 1981.
~ 4 ~
ręcznych, elektronicy wykorzystują dużo prostszy model tranzystora. Ten prostszy model też objaśnimy nieco
dalej i od razu tam wykorzystamy przy obliczaniu punktu startowego algorytmu rozwiązania przykładowego
obwodu z tranzystorem.
2.1. Stałoprądowy model tranzystora bipolarnego npn
Na rysunku 2.2.1 pokazano pewien stałoprądowy model
tranzystora bipolarnego npn. Występuje w nim siedem
R
C
b� (1+b� )-1 I
F F EF
elementów. Oto ich opis:
R C
B
R
dc
B I
CF
R rezystancja kontaktów i objętościowa emitera
E
I
EF
U
(typowa wartość: 0E
R rezystancja kontaktów, objętościowa i rozproszona
B C
U
1E
bazy (typowa wartość: 0B
B
R
de
R rezystancja kontaktów i objętościowa kolektora
C
R
E
(typowa wartość: 0C
E
E
� (�1�+� )�-�1�I� zródło prądowe sterowane prądem kolektora
R R CF
(przy czym: �
R parametr beta układu wspólnej bazy w połączeniu inwersyjnym (typowa
wartość: � =1), I prąd złącza kolektorowego),
R CF
� (�1�+� )�-�1�I zródło prądowe sterowane prądem emitera (przy czym: �
F F EF F parametr beta układu wspólnej
bazy w połączeniu normalnym (typowa wartość: � =100), I prąd złącza emiterowego),
F EF
R nieliniowa rezystancja złącza emiter-baza opisana zależnością
de
5�<�5�8�5�9� = 5�<�5�F�5�8�(1 + 5�ż�5�9�) (exp(5�^�5�R� 5�H�15�8�) - 1) (2.2)
5�A�5�8�5�X�5�G�
(przy czym: I prąd nasycenia złącza emiter-baza (typowa wartość: 10-17< I < 10-9A dla krzemu
SE SE
i 10-11< I < 10-5A dla germanu), q ładunek elektronu=1.6"10-19C, k stała Boltzmanna=
SE e
1.38"10-23J/K, T temperatura bezwzględna złącz w kelwinach, N stała emisji złącza emiter-baza
E
(współczynnik korekcji zwiększający rezystancję dynamiczną emitera i napięcie złącza w porównaniu
do wartości idealnych określonych przez q U /kT; typowa wartość: 1< N <2.5 ) ),
e 1E E
R nieliniowa rezystancja złącza kolektor-baza opisana zależnością
dc
5�<�5�6�5�9� = 5�<�5�F�5�6�(1 + 5�ż�5�E�) (exp (5�^�5�R� 5�H�25�6�) - 1) (2.3)
5�A�5�6�5�X�5�G�
5�ż� 1+5�ż�
(przy czym: I prąd nasycenia złącza kolektor-baza (I H"I " 5�ż�5�9� " 1+5�ż�5�E�), N stała emisji złącza kolektor-
SC SC SE C
5�E� 5�9�
baza (współczynnik korekcji zwiększający rezystancję dynamiczną kolektora i napięcie złącza
w porównaniu do wartości idealnych określonych przez q U /kT; typowa wartość: 1< N <2.5 )).
e 2C C
Ten model jest nieco uproszczonym1 modelem Ebersa-Molla tranzystora npn.
3. Topologiczne podejście do macierzowego opisu z potencjałami węzłowymi
Podobnie jak w poprzednim ćwiczeniu z diodą, znowu zamierzamy wykorzystać pewien zalgorytmizowany
sposób tworzenia opisu sieci w prezentowanym dalej przykładowym obwodzie nieliniowym. Dlatego
konieczne jest krótkie przypomnienie tego sposobu.
3.1. Macierz incydencji, a prądowe równania Kirchhoffa
Przypominamy, że struktura obwodu może być wizualizowana poprzez graf strukturalny. Gdy przyporządkujemy krawędziom
grafu orientację zgodną z założonym zwrotem prądów w obwodzie, uzyskamy graf prądowy. Graf ten możemy nie tylko narysować, ale
również zakodować w wygodnej dla komputera postaci macierzy zwanej (zredukowaną) macierzą incydencji, najczęściej oznaczanej
jako 5�h�.
Załóżmy, że wierzchołki grafu oznaczono liczbami 1, 2, .., 5�[�, a krawędzie liczbami 1, 2, & , 5�O�. Pełną macierz incydencji tego grafu 5�h�5؂�
definiujemy następująco:
[ ]5�[��5�O�
5�h�5؂� = 5�N�5�X�5�Y� , (3.1)
przy czym:
5�N�5�X�5�Z� = 0, gdy krawędz k-ta nie jest incydentna2 z m-tym wierzchołkiem,
5�N�5�X�5�Z� = 1, gdy krawędz k-ta jest incydentna z m-tym wierzchołkiem i skierowana od tego wierzchołka,
5�N�5�X�5�Z� = -1, gdy krawędz k-ta jest incydentna z m-tym wierzchołkiem i skierowana do tego wierzchołka.
Zredukowaną macierz incydencji uzyskamy z macierzy incydencji poprzez usunięcie dowolnego z jej wierszy.
Na rysunku 3.1.1 pokazano przykładowy graf (prądowy). Gdyby w tym grafie wybrać jako wierzchołek odniesienia wierzchołek m�
i w związku z tym usunąć czwarty wiersz pełnej macierzy incydencji, to uzyskalibyśmy następującą (zredukowaną) macierz incydencji:
0 -1 -1 -1 1 0 0 0 0
5�h� = [ ].
1 0 0 0 -1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1
1
Nie jest to model globalny, gdyż nie uwzględniono upływności złącz BE i BC; w modelu globalnym te upływności są modelowane pr zez rezystory
o megaomowych rezystancjach podłączone równolegle do R i R .
de dc
2
krawędz k jest incydentna z wierzchołkiem m wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołek m jest jednym z końców krawędzi k
-1
(1+
)
I
R
R
CF
Rys. 2.2.1
~ 5 ~
6
Oznaczamy prąd gałęzi obwodu odpowiadającej krawędzi 5�X�-tej grafu przez 5�V� . Te prądy
5�X�
m�

gałęziowe tworzą wektor prądów 5�V� = 5�P�5�\�5�Y�(5�V�1, 5�V� , & , 5�V� ). Wtedy zapis 7
2 5�O�
l�
5�h� " 5؊� = 5�� (3.2)
1
jest macierzowym zapisem pełnego układu niezależnych równań PPK rozważanego obwodu (są
8
3
4
to równania PPK zapisane dla 5�[�-1 (spośród 5�[�) węzłów obwodu).
2
Graf napięciowy sieci dwójnikowej może być uzyskany z grafu prądowego przez zmianę

zwrotów wszystkich krawędzi. Niech 5�b�5�X� oznacza napięcie gałęzi sieci odpowiadającej krawędzi
j�
9
5

5�X� grafu napięciowego. Ponadto niech 5�
� = 5�P�5�\�5�Y�(5�b�1, 5�b�2, & , 5�b�5�O�).
Przyjmijmy, że w sieci (o grafie prądowym z rysunku powyżej) przyjęto węzeł 4 jako węzeł
k�
odniesienia i potencjały węzłowe węzłów 1, 2 i 3 względem węzła 4 wynoszą 5�c�1, 5�c�2 i 5�c�3. Możemy
napisać, że
Rys. 3.1.1.

5�b�1 = 5�c�2, 5�b�2 = -5�c�1, 5�b�3 = -5�c�1, 5�b�4 = -5�c�1, 5�b�5 = 5�c�1 - 5�c�2, 5�b�6 = -5�c�3, 5�b�7 = -5�c�3, 5�b�8 =

-5�c�3, 5�b�9 = 5�c�2 - 5�c�3.
Gdybyśmy oznaczyli przez 5�� wektor potencjałów węzłowych 5�c�1, 5�c�2 i 5�c�3 (tzn. 5�� = 5�P�5�\�5�Y�(5�c�1,5�c�2, 5�c�3) ) i napisali

5�
� = 5�h�5�G� " 5��, (3.3)

to byłby to macierzowy zapis wcześniejszych wyrażeń na napięcia 5�b�5�X�, 5�X� = 1,2, & 9.
Przypominamy, że ostatnia równość jest słuszna w przypadku dowolnej sieci dwójnikowej i nosi nazwę transformacji węzłowej.
3.2. Tworzenie równań węzłowych dla sieci rezystancyjnych
Warto po raz kolejny prześledzić, w jaki sposób można wykorzystać komputer do
utworzenia układu równań węzłowych dla sieci liniowych i nieliniowych. W tym
5�V�
5�X�
i
k
celu dogodnie jest przyjąć, że każda krawędz grafu sieci reprezentuje gałąz złożoną
sieci pokazaną na rysunku 3.2.1. Gałąz złożona może się składać ze zródeł nieza-
b
k 5�b�5�X�
leżnych: prądowego 5�=�5�X� i napięciowego 5�8�5�X� oraz elementu 5�O�5�X� może nim być
5�b�5�X�

5�b�5�X�

uzależniony napięciowo1 rezystor 5�E�5�X�, bądz zródło prądowe sterowane napięciem
5�V�
5�X�
z innego elementu z grupy 5�O�5�X� . Uprasza się o zwrócenie uwagi (bo to ważne) na
J
k
założone wzajemne usytuowanie zwrotów prądów i napięć elementów gałęzi
E
k
złożonej.
Rozważmy teraz sieć o grafie 5�[� wierzchołkowym i 5�O� krawędziowym. Załóżmy
numerację krawędzi od 1 do 5�O�, a numerację węzłów albo od 0 do 5�[�-1, albo od 1 do
Rys. 3.2.1.
5�[�. Nie tracąc nic z ogólności możemy założyć, że wierzchołkiem odniesienia jest
wierzchołek oznaczony numerem spoza zbioru {1, & , 5�[�-1} (przy numeracji wierzchołków od 0 do 5�[�-1 będzie to wierzchołek 0, a przy
numeracji od 1 do 5�[� będzie nim wierzchołek 5�[�). Zdefiniujmy wektory napięć i prądów:

5�
� = 5�P�5�\�5�Y�(5�b�1, . . , 5�b�5�O�) , 5�
� = 5�P�5�\�5�Y�(5�b�1, . . , 5�b�5�O�), 5�l� = 5�P�5�\�5�Y�(5�8�1, & , 5�8�5�O�),

5؊� = 5�P�5�\�5�Y�(5�V�1, . . , 5�V� ) , 5؊� = 5�P�5�\�5�Y�(5�V�1, . . , 5�V�5�O�), 5�q� = 5�P�5�\�5�Y�(5�=�1, & , 5�=�5�O�). (3.4)
5�O�
Z rysunku 3.2.1 widać, że

5�
� = 5�
� - 5�l�, 5؊� = 5؊� - 5�q�. (3.5)
Prąd 5�V�5�X� zależy albo od napięcia 5�b�5�X� (rezystor), albo od napięcia powiedzmy 5�b�5�W� (zródło sterowane). Zatem możemy napisać:
5؊� = 5؈�(5�
�) = 5�P�5�\�5�Y� (5�T�1(5�b�5�]�1), 5�T�2(5�b�5�]�2), & , 5�T�5�O�(5�b�5�]�5�O�)), (3.6)
gdzie {5�]�1,5�]�2, & , 5�]�5�O�} �" {1, 2, & , 5�O�}.
(Widać, że 5�O�5�X� nie może być zwarciem, bo prąd elementu 5�O�5�X� ma być uzależniony od napięcia.)
W przypadku liniowym zachodzi oczywiście 5�T�5�W� (5�b�5�]�5�W�) = 5�T� �" 5�b�5�]�5�W� (5�T� jest konduktancją lub transkonduktancją i jest mierzone w simensach) i wtedy
j
5�W�
( )
zapis 5؊� = 5؈� 5�
� można przedstawić jako 5؊� = 5�n�5�O��5�O� �" 5�
�, gdzie macierz 5�n�5�O��5�O� nosi nazwę macierzy konduktancji gałęziowych (jest to inna macierz, niż
macierz konduktancji węzłowych!!!).
Wcześniej już zapisaliśmy, że 5�h� �" 5؊� = 5�� i 5؊� = 5؊� - 5�q�. Stąd i z zależności 5؊� = 5؈�(5�
�) wynika, że
5�h� �" 5؈�(5�
�) = 5�h� �" 5�q�.

Ponadto skoro 5�
� = 5�
� - 5�l� i 5�
� = 5�h�5�G�5��, to
5�
� = 5�h�5�G� " 5�� + 5�l�.
Zatem
5�h� �" 5؈�(5�h�5�G� " 5�� + 5�l�) = 5�h� �" 5�q�. (3.7)
W przypadku liniowym ostatnia zależność przekształca się następująco:
5�h� �" 5�n�5�O��5�O� " (5�h�5�G� " 5�� + 5�l�) = 5�h� �" 5�q�,
(5�h� �" 5�n�5�O��5�O� " 5�h�5�G�) " 5�� = 5�h� �" (5�q� - 5�n�5�O��5�O� " 5�l�),
5�n�5�[� " 5�� = 5�q�5�[�.
Ostatnie równanie jest macierzowym zapisem równań węzłowych. Widać, że zarówno macierz konduktancji węzłowych 5�n�5�[�, jak i wektor
węzłowych wydajności prądowych 5�q�5�[� mogą być łatwo wyznaczone w programie komputerowym na podstawie macierzy incydencji A, macierzy
konduktancji gałęziowych 5�n�5�O��5�O� i wektorów zródeł niezależnych J i E.
Wykorzystanie zależności 5�h� �" 5؈�(5�h�5�G� " 5�� + 5�l�) = 5�h� �" 5�q� do automatyzacji tworzenia matematycznego opisu sieci
zilustrujemy w przykładzie obwodu z tranzystorem.
4. Przykładowe stałoprądowe obwody nieliniowe i ich rozwiązywanie metodami
przybliżonymi
4.1. Układ z jednym tranzystorem bipolarnym wyznaczenie punktu pracy
Układ, w którym zamierzamy wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego (tranzystora) ma postać jak
na rysunku 4.1a). Przy wyznaczaniu punktu pracy interesują nas tylko prądy i napięcia stałe. Dzięki kondensa-
1
Jeżeli prąd rezystora jest funkcją napięcia na tym rezystorze, to mówimy, że ten rezystor jest uzależniony napięciowo
~ 6 ~
torom prąd stały nie popłynie przez nieopisane elementy układu. Do analizy stałoprądowej pozostaje zaciem-
niony fragment układu równoważny układowi pokazanemu na rysunku 4.1b). yródło napięciowe można
przesunąć, a następnie układ dalej przekształcić (żadne z tych przekształceń nie zmieni napięć między
końcówkami tranzystora). Ciąg tych przekształceń jest pokazany na rysunkach 4.1c-f).
UCC UCC UCC UCC UCC
UCC
Rys. 4.1a)
R11 R13
R11 R13
UCC
C
C
B
B
R11 R13 R11 R13
E UCC
E
C C
R12 R14 B B
R12 R14
e(t)
E E
R12 R14 R14
R12
Gdy w schemacie 4.1f) zastąpimy tranzystor jego modelem dla prądów stałych, uzyskamy obwód
pokazany na rysunku 4.1g). Gdybyśmy znali napięcia U i U , potrafilibyśmy z obwodu 4.1g) wyznaczyć
1E 2C
pozostałe prądy i napięcia, dlatego ustalimy uwagę na wyznaczeniu tych napięć.
Dla ułatwienia zapisów
C
Rys. 4.1f)
B uprościmy oznaczenia,
Rys. 4.1g)
R13
b� (1+b� )-1 I
R11||R12 E F F EF
tak jak zostało pokazane
R ||R
11 12 R
B
UCC
B
I
CF
R na schemacie 4.1h).
dc
R14
I
EF
Przyjęto nadto, że węzeł
5�H�5�6�5�6�5�E� 5�E�12
+5�E�12
11
U R
2C C
wskazany przez groty
C
U
1E
napięć U i U będzie
1E 2C
C
R
Rys. 4.1e) R 13
de
B
węzłem odniesienia. Je-
R13
5�H�5�6�5�6�5�E� 5�E�12
R11
E
+5�E�12 E E
11 go graf prądowy, przy
R
U
CC
UCC
R założeniu, że wykorzy-
14
R12 R14
UCC
stujemy gałęzie złożone,
ma postać pokazaną na
rysunku 4.1i).
Na tej podstawie piszemy macierze i wektory: incydencji A,
b� (1+b� )-1I
F F 3
potencjałów węzłowych V, SPM J, SEM E, napięć dwójnikowych u,
Rys. 4.1h)
prądów dwójnikowych i:
R
R 6
1
5�c�1 I
6
0 1 -1 1 0 0 0
l�
5�h� = [ ], 5�}� = [5�c� ],
1 0 0 -1 0 0 1 2
I
3
U
2C
5�c�3
0 0 0 0 1 -1 -1
U
1E
5�q� = 5��, 5�l� = 5�P�5�\�5�Y�(5�8�1, 0,0,0,0,0, 5�8�7),
R
7
R
3
5�
� = 5�P�5�\�5�Y�(5�b�1, & , 5�b�7)=5�h�5�G�5�}� + 5�l�
j�
E
1
E
( ) 7
=5�P�5�\�5�Y� 5�c�2 + 5�8�1, 5�c�1, -5�c�1, 5�c�1 - 5�c�2, 5�c�3, -5�c�3, 5�c�2 - 5�c�3 + 5�8�7 ,
R
4
( ) ( )
5؊� = 5�P�5�\�5�Y� 5�V�1, & , 5�V�7 = 5؈� 5�
�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )),
= 5�P�5�\�5�Y�(5�T�1 5�b�1 , 5�T�2 5�b�6 , 5�T�3 5�b�3 , 5�T�4 5�b�4 , 5�T�5 5�b�3 , 5�T�6 5�b�6 , 5�T�7 5�b�7 k�
gdzie:
5�E�12 5�E�115�E�12
5
5�8�1 = 5�H�5�6�5�6� " , 5�8�7 = 5�H�5�6�5�6�, 5�E�1 = + 5�E�5�5�, 5�E�4 = 5�E�14 + 5�E�5�8�, 5�E�7 = 5�E�13 + 5�E�5�6�,
5�E�11+5�E�12 5�E�11+5�E�12
Rys. 4.1i)
t�
5�^�
( ) ( )
5�T�5�X� 5�b�5�X� = 5�b�5�X�/5�E�5�X� dla 5�X� " {1,4,7}, 5�T�3 5�b�3 = 5�<�5�F�5�8�(1 + 5�ż�5�9�) (exp(5�@�5�R� 5�b�3) - 1), l�
5�8�5�X�5�G�
1
5�^� 5�ż�5�E�
6
( ) ( ) ( ) ( )
5�T�6 5�b�6 = 5�<�5�F�5�6�(1 + 5�ż�5�E�) (exp(5�@�5�R� 5�b�6) - 1), 5�T�2 5�b�6 = 5�T�6 5�b�6 , 5�T�5 5�b�3 =
1+5�ż�5�E�
5�6�5�X�5�G�
2 3
5�ż�5�9�
( )
5�T�3 5�b�3 .
1+5�ż�5�9�
Ponieważ dla 5�X�-tej gałęzi złożonej zachodzi
j�
5�V� = 5�V�5�X� - 5�=�5�X� 4
5�X�
7
(macierzowo 5؊� = 5؊� - 5�q�; w naszym przykładzie dodatkowo 5�q� = 5��) oraz zapisane
k�
macierzowo równania PPK dla prądów 5�V� gałęzi złożonych mają postać
5�X�
5�h� " 5؊� = 0, więc możemy napisać, że
( )
5�h�5؊� = 5�h�5�q� = 5��, czyli 5�h�5؈� 5�
� = 5��, (4.1)
albo w formie równoważnego układu równań:
( ) ( ) ( )
5�T�2 5�b�6 - 5�T�3 5�b�3 + 5�T�4 5�b�4 = 0
( ) ( ) ( )
{5�T�1 5�b�1 - 5�T�4 5�b�4 + 5�T�7 5�b�7 = 0
( ) ( ) ( )
5�T�5 5�b�3 - 5�T�6 5�b�6 - 5�T�7 5�b�7 = 0
Rys. 4.1b)
Rys. 4.1d)
Rys. 4.1c)
-1
(1+
)
I
R
R
CF
-1
(1+
)
I
R
R
6
~ 7 ~
Uwzględnienie wcześniejszych wyrażeń na 5؊�, 5�
�, 5�l� w ostatnim układzie równań prowadzi do układu równań1:
5�c�1
5�<�5�F�5�6�5�ż�5�E� (exp(-5�^�5�R�5�c�3) - 1) - 5�<�5�F�5�8�(1 + 5�ż�5�9�) (exp (-5�^�5�R� 5�c�1) - 1) + 5�E�14-5�c�2 = 0
5�@�5�6�5�X�5�G� 5�@�5�8�5�X�5�G� +5�E�5�8�
5�E�12
5�c�2+5�H�5�6�5�6�"
5�E�11+5�E�12
- 5�E�5�c�1-5�c�2 + 5�c�2-5�c�3+5�H�5�6�5�6� = 0
(4.1a)
5�E�115�E�12
+5�E�5�8� 5�E�13+5�E�5�6�
14
5�E�11+5�E�12+5�E�5�5�
5�<�5�F�5�6�(1 + 5�ż�5�E�) (exp (-5�^�5�R�5�c�3) - 1) - 5�c�2-5�c�3+5�H�5�6�5�6� = 0
5�9� 5�@�5�8�5�X�5�G� 5�@�5�6�5�X�5�G�
{5�<�5�F�5�8�5�ż� (exp(-5�^�5�R� 5�c�1) - 1) -
5�E�13+5�E�5�6�
Uzyskaliśmy równanie
( )
5؇� 5�}� = 5��, (4.2)
przy czym
( )
5�S�1 5�c�1, 5�c�2, 5�c�3
( ) ( ) ( )
5؇� 5�}� = 5؇� 5�P�5�\�5�Y�(5�c�1, 5�c�2, 5�c�3) = [5�S�2 5�c�1, 5�c�2, 5�c�3 ]=
( )
5�S�3 5�c�1, 5�c�2, 5�c�3
5�c�1-5�c�2
5�<�5�F�5�6�5�ż�5�E� (exp(-5�^�5�R�5�c�3) - 1) - 5�<�5�F�5�8�(1 + 5�ż�5�9�) (exp (-5�^�5�R� 5�c�1) - 1) +
5�@�5�6�5�X�5�G� 5�@�5�8�5�X�5�G� 5�E�14+5�E�5�8�
5�E�12
5�c�2+5�H�5�6�5�6�"
5�c�1-5�c�2 5�c�2-5�c�3+5�H�5�6�5�6�
5�E�11+5�E�12
- +
= . (4.2a)
5�E�115�E�12
5�E�14+5�E�5�8� 5�E�13+5�E�5�6�
5�E�11+5�E�12+5�E�5�5�
5�c�2-5�c�3+5�H�5�6�5�6�
5�@�5�8�5�X�5�G� 5�@�5�6�5�X�5�G�
[5�<�5�F�5�8�5�ż�5�9� (exp(-5�^�5�R� 5�c�1) - 1) - 5�<�5�F�5�6�(1 + 5�ż�5�E�) (exp (-5�^�5�R�5�c�3) - 1) - 5�E�13+5�E�5�6� ]
Równanie to rozwiążemy metodą Newtona-Raphsona, czyli wyliczając 5�}� w kolejnych krokach według
algorytmu (por. wzór 1.5):
-1
5�}�(5�W�+1) = 5�}�(5�W�) - [5�t�5�q�(5�}�(5�W�))] 5؇�(5�}�(5�W�)); (4.3)
tak naprawdę szybciej będzie rozwiązywać następujący równoważny układ równań liniowych z niewiadomą
5�}�(5�W�+1) metodą Gaussa (unikamy odwracania macierzy Jacobiego 5�t�5�q�(5�}�(5�W�))):
5�t�5�q�(5�}�(5�W�)) " 5�}�(5�W�+1) = 5�t�5�q�(5�}�(5�W�)) " 5�}�(5�W�) - 5؇�(5�}�(5�W�)) (4.3a)
5�Q�
5�S�1 5�Q� 5�Q�
5�Q�5�c�1 5�Q�5�c�25�S�1 5�Q�5�c�35�S�1
5�Q� 5�Q� 5�Q�
( ) 5�S�2
Pozostała do wyznaczenia macierz Jacobiego 5�t�5�q� 5�}� = [5�Q�5�c�1 5�Q�5�c�25�S�2 5�Q�5�c�35�S�2]. Elementarne obliczenia dają:
5�Q� 5�Q� 5�Q�
5�Q�5�c�15�S�3 5�Q�5�c�25�S�3 5�Q�5�c�35�S�3
(1+5�ż�5�9�)5�^�5�R�5�<�5�F�5�8� -5�^�5�R� 5�c�1 1
5�ż�5�E�5�^�5�R�5�<�5�F�5�6� -5�^�5�R� 5�c�3
1
exp( )+5�E� - - exp( )
5�@�5�6�5�X�5�G� 5�@�5�6�5�X�5�G�
5�@�5�8�5�X�5�G� 5�@�5�8�5�X�5�G�
14+5�E� 5�E�14+5�E�5�8�
5�8�
1 1 1 1 1
-
5�E�14+5�E�5�8� 5�E�115�E�12 +5�E�13+5�E�5�6�+5�E�14+5�E�5�8� -5�E�13+5�E�5�6�
( )
5�t�5�q� 5�}� = . (4.3b)
5�E�11+5�E�12+5�E�5�5�
5�ż�5�9�5�^�5�R�5�<�5�F�5�8� -5�^�5�R� 5�c�1 (1+5�ż�5�E�)5�^�5�R�5�<�5�F�5�6� -5�^�5�R� 5�c�3 1
1
exp( ) - exp( )+5�E�
[- 5�@�5�8�5�X�5�G� 5�@�5�8�5�X�5�G� 5�E�13+5�E�5�6� 5�@�5�6�5�X�5�G� 5�@�5�6�5�X�5�G� ]
13+5�E�
5�6�
Aby uzyskać zbieżność algorytmu trzeba trafnie obrać punkt startowy algorytmu.
UCC
Wskazówką może być inżynierskie podejście do wyznaczania punktu pracy
R11 R13
tranzystora. Zakłada się w obliczeniach zgrubnych, że w warunkach przewodzenia
C
I =0 B
B
tranzystora napięcie emiter-baza wynosi (około) 0,7V oraz, że prąd bazy jest
praktycznie zerowy (czyli prąd kolektora E" prąd emitera: 5�<�5�E�13 E" 5�<�5�E�14). Wtedy (por.
v E
B
v
C
rys. 4.1j):
R12 R14
5�E�12 5�c�5�8�
5�c�5�5� = 5�H�5�6�5�6� 5�E�11+5�E�12 , 5�c�5�8� E" 5�c�5�5� - 0.7, 5�c�5�6� E" 5�H�5�6�5�6� - "5�E�13 (4.4)
5�E�14
v
E
5�E�12 5�E�
(oraz 5�H�5�6�5�8� E" 5�H�5�6�5�6� - (5�H�5�6�5�6�5�E�11+5�E�12 - 0,7) (1+5�E�13)).
14
Jeżeli uwzględnimy, że w przybliżeniu
5�E�5�5� E" 0, 5�E�5�6� E" 0, 5�E�5�8� E" 0,
czyli
5�H�5�E�5�5� E" 0, 5�H�5�E�5�6� E" 0, 5�H�5�E�5�8� E" 0,
to (porównaj rys. 4.1k):
5�E�12
5�c�1 E" 5�c�5�8� - 5�c�5�5� E" -0.7V, 5�c�2 E" -5�c�5�5� E" -5�H�5�6�5�6�5�E�11+5�E�12, 5�c�3 E" 5�c�5�6� - 5�c�5�5� E" 0.75�E�13 + 5�H�5�6�5�6�5�E�115�E�14-5�E�125�E�13.
5�E�14 (5�E�11+5�E�12)5�E�14
(4.5)
( ( (
Taką właśnie będziemy zakładać wartość startowego wektora 5�}�(0) = 5�P�5�\�5�Y�(5�c�10), 5�c�20), 5�c�30)).
1
Czytelnik łatwo zauważy, że te trzy równania bilansu prądów dla węzłów 1, 2 i 3 można napisać od ręki , bez przedstawionej tu procedury. Niestety
komputer schematu nie widzi , więc zadajemy mu problem stosownie do jego możliwości, a on odwdzięcza się automatycznym tworzeniem równań
oraz ich rozwiązywaniem.
Rys. 4.1j)
~ 8 ~
Gdy już wyznaczymy wektor potencjałów węzłowych 5�}�, możemy
v
3
Rys. 4.1k)
przystąpić do wyznaczania potencjałów v , v i v liczonych
E B C
b� (1+b� )-1 I
F F EF
względem dolnego węzła. Z rysunku 4.1k odczytujemy
R11||R12 B RB
Rdc ICF
(zakładamy zwroty prądów w prawo i ku dołowi):
IEF
5�E�12
U2C RC 5�c�2+5�H�5�6�5�6�"
5�c�1-5�c�2
5�c�3-5�c�2-5�H�5�6�5�6�
5�E�11+5�E�12
5�<�5�E�5�6� = , 5�<�5�E�5�8� = , 5�<�5�E� 5�5� = ,
5�E�115�E�12
5�E�5�6�+5�E�13
5�E�5�8�+5�E�14
U1E C 5�E�5�5�+5�E�
Rde R13
11+5�E�12
( )
5�c�3-5�c�2 5�E�13+5�H�5�6�5�6�5�E�5�6�
5�H�5�6�5�6�5�E� 5�E�12 5�c�5�6� = 5�c�3 - 5�c�2 - 5�<�5�E� 5�6�5�E�5�6� =
,
+5�E�12 E
11
5�E�5�6�+5�E�13
RE
UCC
v
1
( )
5�c�1-5�c�2 5�E�14
R14
v v
B 2 5�c�5�8� = 5�c�1 - 5�c�2 - 5�<�5�E�5�8�5�E�5�8� = ,
v (4.6)
E
5�E�5�8� +5�E�14
v
C
-1
5�H�5�6�5�6�5�E�11 5�E�5�5�-5�c�2
5�c�5�5� = -5�c�2 + 5�<�5�E�5�8�5�E�5�5� =
.
-1 -1
(5�E�11 +5�E�12 )5�E�5�5�+1
Po wyznaczeniu wartości potencjałów bazy, emitera i kolektora możemy wyznaczyć
R11 R13
napięcia i prądy na elementach układu polaryzującego tranzystor. Wynoszą one
C
UCC (prądy strzałkowane ku dołowi; rys. 4.1l):
B
v
C
E
5�H�5�E�11 = 5�H�5�6� - 5�c�5�5�, 5�<�5�E�11 = 5�H�5�E�11/5�E�11, 5�H�5�E�12 = 5�c�5�5�, 5�<�5�E�12 = 5�H�5�E�12/5�E�12,
v
B
R12
R14
v
E
5�H�5�E�13 = 5�H�5�6� - 5�c�5�6�, 5�<�5�E�13 = 5�H�5�E�13/5�E�13, 5�H�5�E�14 = 5�c�5�8�, 5�<�5�E�14 = 5�H�5�E�14/5�E�14,
5�<�5�H� 5�6�5�6� = -(5�<�5�E�11 + 5�<�5�E�13). (4.7)
Rys. 4.1l)
Wyznaczymy jeszcze moce, jakie są wydzielane na elementach obwodu. Uzyskujemy:
( ) ( )
5�C�5�E�5�W� = 5�H� 5�<� , 5�C�5�H�5�6�5�6� = 5�H�5�H�5�6�5�6�5�<�5�H�5�6�5�6�, 5�C�tranz = 5�c�5�5� - 5�c�5�8� 5�<�5�E�14 + 5�c�5�6� - 5�c�5�5� 5�<�5�E�13. (4.8)
5�E�5�W� 5�E�5�W�
5. Rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych - wybrane narzędzia
MATLAB-a. Zapewnienie zbieżności w programie SPICE
W tym punkcie zarysujemy podstawy wykorzystania MATLAB-a do rozwiązywania nieliniowych równań
algebraicznych jednej bądz wielu zmiennych i bardzo krótko skomentujemy, jak radzi sobie z ewentualną
niezbieżnością algorytmu Newtona-Raphsona program SPICE. Niekiedy jest to powtórzenie lub rozszerzenie
tego, co zawierała instrukcja do poprzedniego ćwiczenia.
5.1. Definiowanie funkcji w MATLAB-ie
Warto rozpocząć od sposobów definiowania funkcji matematycznych w MATLAB-ie. Oprócz funkcji wbudowanych,
można korzystać z funkcji definiowanych przez Użytkownika. Te ostatnie zazwyczaj tworzy się albo wykorzystując
polecenie inline, albo poprzez utworzenie m-pliku w edytorze MATLAB-a [5].
5.1.1. Polecenie inline
Dla prostych przypadków, szczególnie dla funkcji jednolinijkowych, tworzenie funkcji poleceniem inline jest po
( ) ( )
prostu wygodne. Na przykład, aby utworzyć funkcję 5�S� 5�e� = 2 cos3 5�e� + 55�e�2 - 5�e� + 2 wystarczy napisać (po znaku
zachęty; tu cs>> ):
cs>> f=inline( 2*(cos(x))^3+5*x^2-x+2 )
Od tego momentu można korzystać ze zdefiniowanej funkcji, na przykład wyznaczyć jej wartość w punkcie x=Ą .
5.1.2. M-plik. Użycie edytora MATLAB-a do tworzenia funkcji
Dzięki edytorowi użytkownik może pisać funkcje dowolnej złożoności/długości. Wskazane jest postępować
następująco:
1. ustawić bieżący folder roboczy na swój zasób dyskowy (np. na D:\ZasobyStudenckie, poprzez
cd D:\ZasobyStudenckie)
2. a) wpisać polecenie edit fun.m w linii zachęty, albo
b) wybrać File , New , M-File
i wpisać:
function y=fun(x)
y=2*(cos(x))^3+5*x^2-x+2
endfunction
3. zapisać plik w folderze roboczym pod nazwą fun.m.
[5] Salamon R.: MATLAB. Podstawy i zastosowania. PG WETI KSEM Gdańsk 2008
-1
(1+
)
I
R
R
CF
~ 9 ~
Uwaga. Ponieważ nazwa funkcji i m-pliku, w którym ta funkcja jest zapisana muszą być identyczne, ważne jest, by
edytowaną zawartość zapisać pod nazwą nazwa_funkcji.m (czyli w powyższym przykładzie pod nazwą fun.m).
5.2. Wyznaczanie rozwiązań równań w MATLAB-ie
5.2.1. Funkcja fzero MATLAB-a
Można wykorzystać funkcję fzero do równania nieliniowego o postaci f(x)=0. Lewa strona równania musi być
wpierw zapisana jako funkcja (inline lub m-plik).
Oto jak wyglądałoby rozwiązanie równania 2*(cos(x))^3+5*x^2-x+2=0 przy użyciu inline i fzero:
cs>> f=inline( 2*(cos(x))^3+5*x^2-x+2 );
cs>> fzero(f,4)
ans =
0.22919
cs>>
To samo przy użyciu m-pliku definiującego funkcję fun wyglądałoby następująco:
cs>>x=fzero(fun,4)
x=
0.22919
cs>>
Funkcja fzero wykorzystuje podejście podziału przedziału w celu lokalizacji pierwiastków.
5.2.2. Funkcja roots MATLAB-a
Jeżeli układ nieliniowych równań algebraicznych składa się z równań wielomianowych, można użyć procedury
( )
roots w celu znalezienia zer wielomianu. Rozważmy wielomian 5�d� 5�e� = 5�e�3 - 55�e�2 - 5�e� + 2. Użytkownik
powinien utworzyć wektor współczynników wielomianu (w kolejności malejących potęg zmiennej), a
następnie użyć polecenia roots:
cs>>w=[1 -5 -1 2]; roots(w)
ans=
5.1190
-0.6874
0.5684
cs>>
Jeszcze tylko sprawdzimy, czy te liczby są pierwiastkami rozważanego wielomianu:
cs>> p=inline('w(1)*x.^3+w(2)*x.^2+w(3)*x+w(4)'); p(roots(w))
ans=
3.7303e-014
-4.4409e-016
4.4409e-016
cs>>
Widać, że przybliżonymi pierwiastkami są.
Uwaga. Przy zapisywaniu wektora współczynników wielomianu należy wpisywać wszystkie (również
( )
zerowe!!!) współczynniki (np., gdy 5�d� 5�e� = 5�e�4 + 35�e�2 + 1, to w=[1 0 3 0 1])
5.2.3. Funkcja fsolve MATLAB-a
Do rozwiązywania układów równań nieliniowych stosuje się w MATLAB-ie procedurę fsolve wykorzystującą
metody quasi-Newtona [6]. Zadaniem Użytkownika jest dostarczenie procedury wyznaczania (wektora
wartości) funkcji. Dla przykładu rozwiążmy następujący układ równań
( )
5�S�1 5�e�1, 5�e�2 = 0
{
( )
5�S�2 5�e�1, 5�e�2 = 0
z niewiadomymi 5�e�1 i 5�e�2 i wyrażeniami po lewych stronach równości:
2 2
( ) ( ) ( )
5�S�1 5�e�1, 5�e�2 = 5�e�1 - 105�e�2 + cos 5�e�1 + 5�e�2 , 5�S�2 5�e�1, 5�e�2 = 5�e�1 + 55�e�1 + exp(5�e�1 - 5�e�2)
M-plik i funkcję MATLAB-a realizującą wyżej przedstawione wyrażenia nazwiemy Funef.m i Funef:
function f=Funef(x)
f(1)=x(1)-10*x(2)*x(2)+cos(x(1)+x(2));
f(2)=x(1)+5*x(2)*x(2)+exp(x(1)-x(2));
endfunction
(Oczywiście powyższy skrypt funkcji zapisujemy w pliku Funef.m.) Przyjmiemy punkt startowy algorytmu
x0=[0;0] (wektor kolumnowy) i uruchamiamy obliczenia. Zapis w MATLAB-ie i wyniki są następujące:
cs>>x0=[0;0];
cs>>fsolve('Funef',x0)
ans =
-0.63683
-0.10140
[6] http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/optim/
~ 10 ~
5.2.3.1. Funkcja fsolve z pakietu OCTAVE
W pakiecie GNU Octave, który jest w wysokim stopniu zgodnym odpowiednikiem MATLAB-a, ale jest
rozpowszechniany w ramach powszechnej licencji publicznej (GNU), także dostępne są procedury
rozwiązywania układów równań. Ich nazwy są na ogół identyczne jak w MATLABIE, zaś stosowanie i działanie
podobne. Tu ograniczymy się do przedstawienia funkcji fsolve.
Oto opis funkcji fsolve z pakietu OCTAVE:
- sposób wywołania:
[x, fval, info] = fsolve (fcn, x0);
- oznaczenia:
fcn - nazwa funkcji postaci f(x)
x0 - warunek początkowy.
- komentarz:
jeżeli fcn jest dwuelementową tablicą łańcuchów lub dwuelementową macierzą klatkową zawierającą
albo nazwę funkcji albo inline lub uchwyt do funkcji, to pierwszy element nazywa funkcję, a drugi nazywa
(definiuje) jakobian j(x) postaci
5��
( )
5؋� 5ؙ� = [5�W�5�X�5�Y�(5ؙ�)] , gdzie 5�W�5�X�5�Y�(5ؙ�) = 5�S�5�X�(5ؙ�).
5��5�e�5�Y�
W Octave jest również dostępna funkcja
fsolve_options (opt, val).
Ta funkcja, gdy jest wywoływana z dwoma parametrami, pozwala ustawić wartości opcji dla funkcji fsolve,
a gdy z jednym wtedy odczytuje odpowiednią opcję, wreszcie gdy zostanie wywołana bez parametrów,
wtedy wyświetla dostępne opcje i ich aktualne wartości.
Jedną z opcji jest
tolerance
określająca nieujemną tolerancję względną.
Oto pełny przykład użycia funkcji fsolve z pakietu Octave. Aby rozwiązać układ równań:
-25�e�2 + 35�e�5�f� + 4 5�`�5�V�5�[�(5�f�) = 6
35�e�2 - 25�e�5�f�2 + 3 5�P�5�\�5�`�(5�e�) = -4
najpierw musimy napisać m-funkcję, która oblicza wartości danej funkcji matematycznej. Tu na przykład
mógłby to być następujący zapis:
function y = f(x)
y(1) = -2*x(1)^2 + 3*x(1)*x(2) + 4*sin(x(2)) - 6;
y(2) = 3*x(1)^2 - 2*x(1)*x(2)^2 + 3*cos(x(1)) + 4;
endfunction
Następnie wywołujemy fsolve z warunkiem początkowym, aby znalezć pierwiastki układu równań. Dla
wyżej zdefiniowanej funkcji f mogłoby to wyglądać następująco:
[x, info] = fsolve(@f, [1; 2])
W efekcie takiego wywołania uzyskalibyśmy:
x =
0.57983
2.54621
info = 1
Komunikat info = 1 oznacza, że proces iteracyjny był zbieżny.
Jeżeli w danych nie podano macierzy Jacobiego (tak jak w powyższym przykładzie), to jest ona przybliżana
numerycznie. Wymaga to wielu obliczeń wartości funkcji i spowalnia proces rozwiązania układu równań.
W powyższym przykładzie można było obliczyć macierz Jacobiego analitycznie. Efekt obliczeń zapisano w
postaci m-funkcji:
function MJ = JacobiMatrix(x)
MJ(1,1) = 3*x(2) - 4*x(1);
MJ(1,2) = 4*cos(x(2)) + 3*x(1);
MJ(2,1) = -2*x(2)^2 - 3*sin(x(1)) + 6*x(1);
MJ(2,2) = -4*x(1)*x(2);
endfunction
Użycie tej macierzy Jacobiego w funkcji fsolve wygląda następująco:
[x, info] = fsolve({@f,@JacobiMatrix},[1;2]);
Rezultat tego użycia funkcji fsolve jest identyczny z wcześniejszym.
5.3. Uwagi. Inne przydatne procedury
Podsumujmy - w MATLAB-ie (i w Octave) możemy rozwiązać układ równań nieliniowych postaci
~ 11 ~
( )
5؇� 5ؙ� = 5��
używając funkcji fsolve. Funkcja ta wykorzystuje techniki iteracyjne, przeto wymaga podania punktu
startowego obliczeń, a to ma również czasem i taki skutek, że wystąpi rozbieżność algorytmu, mimo istnienia
rozwiązania układu równań. O zbieżności algorytmu mówi trzeci parametr wyniku wywołania funkcji fsolve.
Ponadto przy znajdowaniu rozwiązań układów równań nieliniowych mogą być pomocne inne procedury
MATLAB-a, na przykład: polyder, która umożliwia wyznaczenie pochodnej wielomianu, polyval umożli-
wiająca wyznaczenie wartości wielomianu w podanym punkcie, feval wyznaczająca wartość funkcji w
punkcie, fminsearch znajdująca minimum funkcji wielu zmiennych, fminbnd umożliwiająca wyznaczenie
wartości argumentu funkcji jednej zmiennej, dla którego ta funkcja osiąga minimum, fplot , która konstruuje
wykres, ezplot konstruująca wykres funkcji dwóch zmiennych, czy optimset pozwalająca utworzyć lub
zmodyfikować strukturę opcji optymalizacji to polecenie wykorzystywane jest jako argument wejściowy
funkcji: fsolve, fminbnd, fminsearch, fzero, lsqnonneg. W razie potrzeby Czytelnik znajdzie opis
tych procedur w literaturze, bądz bezpośrednio w pomocy MATLAB-a.
5.4. Środki zaradcze w programie SPICE na wypadek niezbieżności algorytmu Newtona-Raphsona
Gdy w programie Micro-Cap 9 (jedna z wersji SPICE-a) wybierzemy Analysis - Dynamic AC, a następnie
Dynamic AC Operating Point Methods, to pojawi się okienko z dostępnymi metodami wyznaczania punktu
pracy (Standard Newton-Raphson, Diagonal Gmin Stepping, Junction Gmin Stepping, Source Stepping,
Pseudo Transient). Pierwsza z nich to omawiana wcześniej metoda Newtona-Raphsona. Jest ona niezawodna,
ale tylko wtedy, gdy punkt startowy algorytmu leży dostatecznie blisko rozwiązania dokładnego. Niestety
bywa, że nie leży i proces staje się rozbieżny. Wobec niezbieżności obliczeń mających na celu znalezienie
statycznego punktu pracy układu klasyczną metodą Newtona-Raphsona stosuje się specjalną procedurę
obliczeń. Jej idea jest następująca: w układzie, w którym wszystkie niezależne zródła napięciowe i prądowe
mają wydajność równą zeru wszystkie potencjały węzłowe również są równe zeru. Jeżeli powiększymy
wydajność zródeł do kilku procent ich wydajności nominalnej to należy się spodziewać, że stosując zwykły
algorytm Newtona-Raphsona i zaczynając iteracje od zerowych wartości potencjałów węzłowych łatwo
znajdziemy punkt pracy układu. Otrzymany punkt pracy może posłużyć dalej jako punkt początkowy do
obliczania punktu pracy po dalszym powiększeniu wydajności zródeł. Jeżeli na każdym etapie tej procedury
jesteśmy w stanie znalezć statyczny punkt pracy to w momencie, gdy zródła osiągną swoją wydajność
nominalną obliczony punkt pracy jest właściwym punktem pracy układu. Ta metoda kroczących zródeł
nazywana jest przez Izydorczyka [7] metodą parametryzacji zródeł, a przez Porębskiego i Korohodę [8] metodą
kontynuacji (ang.: source stepping). Jest to sztuczka , która w istotny sposób polepsza zbieżność obliczeń
statycznego punktu pracy układu i w wielu przypadkach jest bardzo użyteczna. Czytelnika zainteresowanego
pozostałymi sztuczkami zachęcamy do samodzielnych poszukiwań.
Pytania kontrolne
2 3
1. Co to jest macierz Jacobiego? Oblicz macierz Jacobiego 5�=�(5�e�1, 5�e�2) dla funkcji 5؇�(5�e�1, 5�e�2) = 5�P�5�\�5�Y�(5�S�1, 5�S�2) = 5�P�5�\�5�Y�(5�e�1 , 5�e�2) .
2. Wzór rekurencyjny algorytmu N-R dla układu równań 5؇�(5ؙ�) = 5�� ma postać 5ؙ�(5�W�+1) = 5ؙ�(5�W�) - 5�V�5�[�5�c� (5�t�5�q�(5ؙ�(5�W�))) " 5؇�(5ؙ�(5�W�)). Objaśnij
oznaczenia występujące w tym wzorze. Rozszyfruj skrót N-R. Co wiesz o zbieżności algorytmu N-R?
3. Z ilu elementów składa się - przedstawiony w tej instrukcji - nieco uproszczony stałoprądowy model Ebersa-Molla tranzystora
npn? Jaką rolę spełniają w tym modelu stałe emisji M i M ?
E C
1 0 -1].
4. Co to jest macierz incydencji grafu? Narysuj graf o (zredukowanej) macierzy incydencji 5�h� = [
-1 1 0
5. Zapisz i objaśnij równość nazywaną transformacją węzłową (w szczególności objaśnij użyte w tej równości oznaczenia).
6. Co to jest gałąz złożona sieci dwójnikowej? Narysuj ją i objaśnij, dlaczego idealne zródło napięciowe nie może być samodzielnie
reprezentowane taką gałęzią, a idealne zródło prądowe może.
7. Dla sieci dwójnikowej utworzono graf prądowy wykorzystując koncepcję gałęzi złożonych. Macierz incydencji tego grafu to
1 0 -1], wektor napięć zródłowych sieci wynosi 5�l� = 5�P�5�\�5�Y�(5�8�1, 0,0), a wektor prądów zródłowych to
5�h� = [
-1 1 0
5�q� = 5�P�5�\�5�Y�(0,0, 5�=�3), wreszcie prądy uzależnionych napięciowo dwójników 5�T�5�X� sieci są zdefiniowane następująco:
5؊� = 5�P�5�\�5�Y�(5�:�15�b�1, 5�:�25�b�2, 5�T�3(5�b�3)). Zapisz równania węzłowe tej sieci oraz narysuj ją.
8. Podaj twierdzenie Thevenina bądz Nortona i skonstruuj prosty przykład objaśniający zastosowanie podanego przez Ciebie
twierdzenia.
9. Na czym polega uproszczone, inżynierskie podejście do wyznaczania punktu pracy tranzystora?
10. Podaj przykład definiowania funkcji przy pomocy polecenia inline.
11. Podaj ciąg poleceń MATLAB-a , dzięki którym, przy wykorzystaniu procedury roots, zostaną obliczone pierwiastki funkcji
5�e�6 - 25�e�3 + 5�e� + 1.
12. Opisz krótko sztuczkę wykorzystywaną w programie SPICE w celu zaradzenia możliwej niezbieżności algorytmu N-R przy
wyznaczaniu polaryzacji w układzie z elementami nieliniowymi.
~ 12 ~
Literatura
[1]Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 10.
Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
[2] Andrzej Szatkowski, Jacek Cichosz: Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne. WPG, Gdańsk 2002
[3] Leon O. Chua, Pen-Min Lin: Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe. WNT
Warszawa 1981.
[4] Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin: Podstawy teorii obwodów, WNT Warszawa
[5]Roman Salamon: MATLAB. Podstawy i zastosowania. PG WETI KSEM Gdańsk 2008
[6] http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/optim/
[7] Jacek Izydorczyk: PSpice komputerowa symulacja układów elektronicznych. Wydawnictwo Helion 1993
Zob. też wersja elektroniczna na http://ftp.pei.prz.rzeszow.pl/PSpice-Izydorczyk/
[8] Jan Porębski J., Przemysław Korohoda: SPICE program analizy nieliniowej układów elektronicznych. PWN
Warszawa 1993

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
InstrCw7 16 odblokowany
Instrukcja instalacj i odblokowania Garmina i map (peĂ…â€šna)
Instrukcja 16
instrukcja (16)
Instr Cw6 16 odblokowany
Instrukcja odblokowania Garmina i map
Instrukcja do ćw 16 Jednostka pozycjonująca
Odblokowanie i instrukcja instalacji Clarion MAP780
Instrukcja drzwi zewnetrzne 16 12 08
Instrukcja odblokowania Navia nV35
Instrukcja Weizenbock 16 blg
32 bit forms of 16 bit instructions
Instrukcja Odblokowania
Instrukcja BHP piła pozioma panelowa, typ FM 16 4200
TomTom odblokowanie instrukcja

więcej podobnych podstron