InstrCw7 2016 odblokowany

WYDZIAA ETI PG
Katedra Systemów Elektroniki Morskiej
Technika obliczeniowa i symulacyjna
- laboratorium
MATLAB i SPICE jako narzędzia do obliczania
prądów, napięć i mocy
w obwodzie elektrycznym prądu sinusoidalnego
Numeryczne rozwiązywanie równań liniowych
Materiały do ćwiczenia nr 7
Opracował: Czesław Stefański
m. in na podstawie
materiałów dra W. Szkudlińskiego
Gdańsk 2015
C. Stefański 2/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
1. Wstęp
Niniejsze ćwiczenie jest ostatnim, które jest poświęcone wdrożeniu umiejętności obliczania prądów i napięć w ob-
wodzie przy wykorzystaniu narzędzia MATLAB z jego algorytmami numerycznego rozwiązywania układów równań linio-
wych oraz nabyciu sprawności w korzystaniu z symulacyjnego narzędzia Micro5CAP (jedna z odmian SPICE a)1. Jednak
tym razem będziemy starali się zastosować zdobyte już umiejętności do analizy obwodów pobudzanych przebiegami
sinusoidalnymi. Wykorzystamy w tym celu wszystkie dotąd stosowane podejścia, łącznie z metodą tableau z poprzed-
niego ćwiczenia2. Po raz ostatni przypominamy, że przy tworzeniu algorytmów analizy automatycznej (komputerowej) wygodnie
jest trzymać się zasady, że każdy dwójnik ma swój prąd i swoje napięcie, przeciwnie względem siebie zastrzałkowane (czyli sto-
sujemy tzw. strzałkowanie skojarzone). Przez to algorytmy stają się bardziej jednorodne i dzięki temu zwykle są szybsze mimo większej
niż przy strzałkowaniu chaotycznym liczby niewiadomych.
Przypominamy, że na rysunkach 1 mamy do czynienia z tzw. skojarzonym strzałkowaniem prądów i napięć polega ono na tym,
że zwrot spadku napięcia na każdym z elementów obwodu jest przeciwny do kierunku przepływającego przez ten element prądu.
u u
1 2
v�
u�
i i
1 2
i i J
R
R i 3 i 4 5
1 2 2 3
i i
0 1
u u u u u u u
0 2 3 1 3 4 5
E E
0 1
R R
3 4
i
5
R R
2 3
t
Rys. 1a. Prosty obwód prądu stałego Rys. 1b. Przykład strzałkowania skojarzonego
Dla obwodu z rys. 1a, opierając się na naszej dotychczasowej wiedzy dotyczącej analizy stałoprądowej otrzymujemy prądy oraz
napięcia:
5�8�
5�:�2 5�:�3
5�V�1 = ,
5�V�2 = �" 5�V�1 , 5�V�3 = �" 5�V�1, 5�V�0 = -5�V�1 ,
1
5�E�1 +
5�:�2 + 5�:�3 5�:�2 + 5�:�3
5�:�2+5�:�3 (1)
5�b�1 = 5�E�1 �" 5�V�1 , 5�b�2 = 5�E�2 �" 5�V�2 , 5�b�3 = 5�E�3 �" 5�V�3 , 5�b�0 = 5�8�,
gdzie
1 1
5�:�2 = i 5�:�3 = .
5�E�2 5�E�3
2. Poszukiwanie prądów, napięć i mocy w rozbudowanym obwodzie elektrycznym prądu zmiennego
i3(t) R3
I3 R3
UR3
u3(t)
I03
Es1
es1
e(t) =� Em cosw�et
io3(t)
es1=� r �� i4(t)
R2 2 R4
I4
1 3
R2 i2 (t) R4
. . .
I2
ź� ź�
U2 U4
u2 (t)
u4 (t)
UR1
R
1
I6
R1 u1(t) i5(t) i4 (t)
U6
I01 U5 I02 Z6
io1(t) io2 (t)
I1
u5(t)
e(t) Z5
L5 C6 u6 (t)
5
Em
I5
i1(t)
ź�
Rys. 2. Badany obwód prądu sinusoidalnie zmiennego
Rys. 3. Model obwodu z rys. 2 dla zespolonych ampli-
tud prądów i napięć3
Najpierw analizować będziemy obwód o strukturze jak na rysunku 2. Zmiana jego klasyfikacji nie polega jedynie na
tym, że mamy w nim cewkę indukcyjną i kondensator, ale wynika przede wszystkim z charakteru przebiegu napięcia
wytwarzanego przez jedyne w tym obwodzie zródło niezależne. W obwodzie prądu sinusoidalnego, znajdującego się
w stanie ustalonym, przedstawione w (1) związki między prądem i napięciem przyjmują postać wyrażeń wiążących wiel-
kości zespolone:
1
Narzędzie to, po narysowaniu obwodu w jego oknie graficznym przez użytkownika, potrafi automatycznie, acz bez ujawniania ich użytkownikowi,
utworzyć odpowiednie równania opisujące obwód, rozwiązać je (podobnymi jak MATLAB algorytmami) i udostępnić rozwiązania między innymi we
wspomnianym oknie z obwodem.
2
podejście z gałęzią uogólnioną, jako wymagające przekształcenia obwodu (dlaczego? ZNSP) pozostawiamy Czytelnikowi do samodzielnej realizacji,
natomiast tu, w dalszej części wykorzystamy pewną sztuczkę w postaci podejścia iteracyjnego
3
Węzły 4 i 5, dodatkowo zaznaczone, zostaną wykorzystane w metodzie tableau.
C. Stefański 3/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016

5�H�5�X� = 5�M�5�X� �" 5�<�5�X� lub równoważnie 5�<� = 5�L�5�X� �" 5�H�5�X� (2)
5�X�
gdzie
1
5�M�5�X� = 5�E�5�X� dla 5�X� = 1, 2, 3, 4, 5�M�5 = 5�#�5��5�R�5�?�5, 5�L�6 = 5�#�5��5�R�5�6�6, 5�L�5�X� = dla 5�X� = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5�M�5�X�
5�M�5 i 5�M�6 nazywamy impedancjami odpowiednio cewki 5�?�5 i kondensatora 5�6�6, w takim sensie 5�M�5�X� jest impedancją opornika
1
5�E�5�X� dla 5�X� = 1, 2, 3, 4. Natomiast 5�L�5�X� = jest admitancją elementu 5�X�. Jednostką impedancji jest om (�), a jednostką
5�M�5�X�
admitancji jest simens (S). Wielkości daszkowane są nazywane amplitudami zespolonymi przebiegów sinusoidalnych
lub wskazami tych przebiegów. Niosą one informację o amplitudzie (moduł wskazu) i fazie (argument wskazu) sinusoi-
dalnego przebiegu czasowego, z którym są spowinowacone . W dalszej części instrukcji, powodowani wygodą nota-
cyjną, pomijamy daszki nad oznaczeniami wskazów.
Zakładając, że w obwodzie występuje stan ustalony, możemy w miejsce rys. 2 wprowadzić do rozważań model dla
zespolonych amplitud prądów i napięć, przedstawiony na rys. 3.
Metoda oczkowa
Na podstawie rys. 3, można zapisać układ równań oczkowych dla wielkości zespolonych
5�E�1 + 5�E�2 + 5�M�5 -5�M�5 -5�E�2 5�<�5�\�1 5�8�5�Z�
[ -5�M�5 5�E�4 + 5�M�5 + 5�M�6 0 5�<�5�\�2
] �" [ ] = [ ] (3)
0
-5�E�2 5�_� 5�E�2 + 5�E�3 5�<�5�\�3
0
gdzie 5�<�5�\�1, 5�<�5�\�2, 5�<�5�\�3 to amplitudy zespolone sinusoidalnych prądów 5�V�5�\�1(5�a�), 5�V�5�\�2(5�a�), 5�V�5�\�3(5�a�).
Metoda potencjałów węzłowych1
W odniesieniu do analizy wskazowej klasyczna, niezmodyfikowana metoda potencjałów węzłowych nienawidzi
sytuacji, gdy w obwodzie występują inne elementy, niż w tym zdaniu wymienione, czyli: niezależne zródła prądowe,
zródła prądowe sterowane napięciem oraz impedancje. Wprowadzenie pojęcia gałęzi uogólnionych rozszerza zakres
stosowania tej metody o niezależne zródła napięciowe, o ile znajdą się w dobrym towarzystwie (sąsiedztwie).
Otóż uogólniona gałąz obwodu to grupa elementów tworząca strukturę dwójnik złożony pokazany na rysunku 4.
Taki dwójnik złożony utworzony jest w ogólności ze zródła prądu, zródła napięcia oraz elementu 5�5�5�X�. Jednak konkretna
uogólniona gałąz obwodu może równie dobrze składać się z trzech, dwóch lub tylko z jednego z elementów pokazanych
na rysunku 4. Gałąz uogólnioną stosujemy po to, by graf obwodu wskazowego, którego definicja, analogiczna do grafu
obwodu stałoprądowego, jest nieco dalej podana, zawierał mniej gałęzi, a macierze opisu sieci miały mniejsze rozmiary,
ale także po to, by bez dodatkowego przekształcania obwodu można było metodą węzłową analizować sieci zawie-
rające niezależne zródła napięciowe.
~
Uk
Ik
I
k
.
Bk
~
Uk
Jk Ek
.
Rys. 4. Uogólniony dwójnik (gałąz o numerze 5�Ś�) obwodu
Element 5�5�5�X� widoczny na rysunku 4, to na ogół po prostu impedancja 5�M�5�X�, ale może być to również zródło prądowe
5�<�5�X� = 5�f�5�X�5�Y� �" 5�H�5�Y� sterowane napięciem wskazowym 5�H�5�Y� występującym na elemencie 5�5�5�Y� gałęzi uogólnionej o numerze 5�Y�.
Wszystko jest analogiczne do przypadku stałoprądowego opisanego w instrukcjach do ćwiczeń 3 i 4, przeto tam
odsyła się Czytelnika.
Dla obwodu o 5�O� gałęziach uogólnionych oraz (5�[� + 1) węzłach węzły numerujemy tak, by węzeł odniesienia (masy)
miał numer zero, a pozostałe węzły numery od 1 do 5�[�. Wtedy napięcia (wskazowe) i prądy (wskazowe) w takich gałę-
ziach można przedstawić w formie następujących wektorów kolumnowych:

( ) ( )
5�|� = col(5�H�1, 5�H�2, & , 5�H�5�O�), 5�|� = col 5�H�1, 5�H�2, & , 5�H�5�O� , 5�l� = col 5�8�1, 5�8�2, & , 5�8�5�O�

(4)
( ) ( ) ( )
5�p� = col 5�<�1, 5�<�2, & , 5�<�5�O� , 5�p� = col 5�<�1, 5�<�2, & , 5�<�5�O� , 5�q� = col 5�=�1, 5�=�2, & , 5�=�5�O� ,
( )
5�}� = col 5�I�1, 5�I�2, & , 5�I�5�[� ,
gdzie 5�}�, to wektor potencjałów węzłowych czyli potencjałów 5�[� węzłów w odniesieniu do potencjału węzła odniesienia
(czyli węzła o numerze zero).
Do rozważań będzie nam potrzebna także kwadratowa macierz admitancji gałęziowych 5؀�5�O��5�O� wiążąca prądy 5�<�5�X� ele-
mentów 5�5�5�X� z napięciami 5�H�5�Y� elementów 5�5�5�Y� obwodu następującym równaniem:
1
Zagadnienie opracowane przez dra Witolda Szkudlińskiego na podstawie pracy L.O. Chua, Pen-Min Lin : Komputerowa analiza układów elektronicz-
nych, WNT 1981.
C. Stefański 4/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
5�p� = 5؀�5�O��5�O� �" 5�|� . (5a)
Ta macierz o wielu elementach zerowych ma wymiary macierzy 5�O��5�O� i zawiera na głównej przekątnej admitancje dwój-
ników 5�L�5�X� = 1/5�M�5�X� oraz poza główną przekątną, elementy 5�f�5�X�5�Y�, czyli parametry zródeł sterowanych. Przykładowo dla ob-
wodu z rysunku 3 mamy
5�:�1 0 0 0 0 0
0 5�:�2 0 0 0 0
0 0 5�:�3 0 0 0
5؀�6�6 = , (5b)
0 0 0 5�:�4 0 0
0 0 0 0 5�L�5 0
[ 0 0 0 0 0 5�L�6]
o ile do problemu podejdziemy iteracyjnie, to znaczy przyjmiemy, że zródło sterowane 5�8�5�`�1 w kolejnych krokach traktu-
[ ]
jemy jako niezależne, o wartości 5�8�5�`�1 5�X� = 5�_� �" 5�<�4[5�X� - 1], gdzie 5�X� jest numerem kroku obliczeniowego.
Zwykła obserwacja struktury z rysunku 4, prowadzi do następujących zapisów macierzowych dla całego obwodu złożo-
nego z 5�O� gałęzi (5�X� = 1, 2, & . , 5�O�):

5�|� = 5�|� - 5�l� , 5�p� = 5�p� - 5�q� . (6)
Wektory 5�l� oraz 5�q� dla przykładowego obwodu z rys. 2 (b=6) są następujące:

5�l�[5�X�] = col[5�8�1, 0, -5�_� �" 5�<�4[5�X� - 1], 0, 0, 0], (6a)
[ ] [ ]
5�q� 5�X� = col 0, 0, 0, 0, 0, 0 , (6b)

[ ]
bo, jak widać ze wzorów (6) i (6b), w każdym kroku 5�<�4 = 5�<�4. Ponadto założymy 5�<�4 0 = 0.
Pewne uproszczenie i jednocześnie ułatwienie spojrzenia na właściwości strukturalne obwodu daje nam przedstawienie struktury w
postaci grafu; graf obwodu z rys. 2 jest przedstawiony na rysunku 5 poniżej.
3
m
j k
l
4
7
3
l
2 4
k
j
1
2
1
5
6
n
5
6
8
ę$
ę$
Rys. 5. Graf prądowy obwodu z rys. 3 (przy gałęziach uogól-
Rys. 6. Graf prądowy obwodu z rys. 3 (bez gałęzi uo-
nionych)
gólnionych; 5�<�7 = 5�<�(5�8�5�`�1), 5�<�8 = 5�<�(5�8�5�Z�))
Graf ten odzwierciedla połączenie sześciu gałęzi (typu jak na rysunku 4) w czterech węzłach obwodu. Konkretny wierzchołek grafu
odpowiada wzajemnie jednoznacznie konkretnemu węzłowi obwodu, zaś konkretna krawędz grafu odpowiada wzajemnie jedno-
znacznie konkretnej uogólnionej gałęzi obwodu. Relacja incydencji wierzchołków i krawędzi grafu jest identyczna jak między ich od-

powiednikami w obwodzie. Wreszcie kierunki krawędzi grafu są identyczne jak przyjęte za dodatnie kierunki przepływu prądów 5�<�5�X�
przez gałęzie obwodu.
Grafy prądowe można przedstawiać graficznie, jak na rysunku 5, ale można też zapisywać je równoważnie w postaci macierzy incy-
dencji. Częściej wykorzystuje się tzw. zredukowaną macierz incydencji, którą otrzymuje się z pełnej macierzy incydencji przez skreśle-
nie jednego wiersza macierzy pełnej (w analizie obwodów ten skreślany wiersz odpowiada węzłowi odniesienia). Ze zredukowanej
macierzy incydencji można bez trudu odtworzyć macierz pełną (jak?), zatem obie macierze niosą tę samą informację o grafie prądo-
wym.
Graf z rysunku 5, przy założeniu, że węzeł i� obwodu jest węzłem odniesienia, stanowi podstawę do zapisania jego zredukowa-
nej macierzy incydencji 5�h� (dalej nazywanej krótko macierzą incydencji)
-1 -1 1 0 0 0
"A = [ 0 1 -1 1 1 0
] . (7)
0 0 0 -1 0 1
gdzie:
5�N�5�X�5�Y� = 1 w przypadku, gdy prąd w gałęzi o numerze 5�Y� wypływa z węzła 5�X� ,
5�N�5�X�5�Y� = -1 w przypadku, gdy prąd w gałęzi o numerze 5�Y� wpływa do węzła 5�X� ,
5�N�5�X�5�Y� = 0 w przypadku, gdy gałąz o numerze 5�Y� nie łączy się z węzłem 5�X� .
Jednocześnie, prądy i napięcia we wszystkich gałęziach obwodu złożonego z 5�O� gałęzi (na przykład o postaci jak na rysunku 4) oraz
5�[� węzłów niezależnych i węzła odniesienia, podlegają prawom Kirchhoffa, które można przedstawić za pomocą następujących zapi-
sów macierzowych

5�h� �" 5�p� = 5��
(8)

5�|� = 5�h�5�{� �" 5�}�
gdzie 5�h�5�{� to transponowana macierz incydencji .
Stosunkowo krótkie przekształcenia w obrębie wzorów (6-7) dają w efekcie
5؀�5�Ź��5�Ź� �" 5�}� = 5�q�5�Ź� (9)
gdzie:
C. Stefański 5/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
5؀�5�Ź��5�Ź� = 5�h� �" 5؀�5؃��5؃� �" 5�h�5�{�,
5�q�5�Ź� = 5�h� �" 5�q� - 5�h� �" 5؀�5؃��5؃� �" 5�l�.
Rozwiązaniem układu równań (9) są potencjały wszystkich (niezależnych) 5�[� węzłów obwodu i prądów dwójniko-
wych. Powrót do drugiego z równań (8) pozwala z kolei na otrzymanie wszystkich napięć na gałęziach uogólnionych
obwodu. Natomiast napięcia na elementach admitancyjnych (czyli na elementach typu 5�5�5�X�) obwodu uzyskamy na pod-
stawie równania (6).
Metoda tableau
W metodzie tableau przyjmujemy, że każdy dwójnik jest rozpięty pomiędzy parą węzłów (nie korzystamy z gałęzi
uogólnionych). Dlatego wykorzystamy numerację węzłów od zerowego (odniesienia/masy) do piątego z rysunku 3.
Wtedy graf prądowy dla sytuacji z tego rysunku może wyglądać jak na rysunku 6, pod warunkiem, że problemu podej-
dziemy iteracyjnie, to znaczy przyjmiemy, że zródło sterowane 5�8�5�`�1 (gałąz 7 grafu) w kolejnych krokach traktujemy
[ ]
jako niezależne, o wartości 5�8�5�`�1 5�X� = 5�_� �" 5�<�4[5�X� - 1], gdzie 5�X� jest numerem kroku obliczeniowego.
Graf z rysunku 6, przy założeniu, że węzeł i� obwodu jest węzłem odniesienia, stanowi podstawę do zapisania jego
zredukowanej macierzy incydencji 5�h� (dalej nazywanej krótko macierzą incydencji)
-1 -1 0 0 0 0 1 0
0 1 -1 1 1 0 0 0
"A = 0 0 0 -1 0 1 0 0
. (8)
0 0 1 0 0 0 1 0
[
1 0 0 0 0 0 0 1]
Dla obwodu o 5�O� gałęziach oraz (5�[� + 1) węzłach [dla obwodu z rysunku 3 mamy 5�O� = 8 i 5�[� = 5] węzły numerujemy
tak, by węzeł odniesienia (masy) miał numer zero, a pozostałe węzły numery od 1 do 5�[�. Wtedy napięcia i prądy w takich
gałęziach można przedstawić w formie następujących wektorów kolumnowych:
( )
5�|� = col 5�H�1, 5�H�2, & , 5�H�5�O� ,
( )
5�p� = col 5�<�1, 5�<�2, & , 5�<�5�O� , (9)
( )
5�}� = col 5�I�1, 5�I�2, & , 5�I�5�[� ,
gdzie 5�}�, to wektor potencjałów węzłowych czyli potencjałów 5�[� węzłów w odniesieniu do potencjału węzła odniesienia
(czyli węzła o numerze zero).
Prądy (wskazowe) i napięcia (wskazowe) we wszystkich gałęziach obwodu złożonego z 5�O� gałęzi (na przykład o po-
staci jak na rysunku 3) oraz 5�[� węzłów niezależnych i węzła odniesienia, podlegają prawom Kirchhoffa, które można
przedstawić za pomocą następujących zapisów macierzowych
5�h� �" 5�p� = 5��
(10)
5�|� = 5�h�5�{� �" 5�}�
gdzie 5�h�5�{� to transponowana macierz incydencji.
Do pełnego opisu obwodu brakuje równań opisujących zachowanie się elementów; dla oporników są to równania prawa
Ohma, dla niezależnych idealnych zródeł napięciowych równania postaci 5�H�5�8� = 5�8�, itd. Takich równań powinno być łącz-
nie 5�O�. W zapisie macierzowym można im nadać formę
5�t� �" 5�p� + 5�u� �" 5�|� = 5�l�5ؙ�5�"�, (11)
( )
gdzie 5�t� = [5�Z�5�V�5�W�]5�O��5�O�, 5�u� = [5�[�5�V�5�W�]5�O��5�O�, 5�l�5ؙ�5�"� = col 5�R�5�e�1, 5�R�5�e�2, & , 5�R�5�e�5�O� .
Na przykład, gdy element o numerze 5�X� jest opornikiem o oporze 5�E�5�X�, to 5�Z�5�X�5�X� = 5�E�5�X�, 5�[�5�X�5�X� = -1, 5�R�5�e�5�X� = 0, co odpo-
wiada (pod warunkiem, że 5�Z�5�X�5�W� = 5�[�5�X�5�W� = 0 dla 5�W� `" 5�X�) zapisowi prawa Ohma dla tego elementu w postaci
5�E�5�X� �" 5�<�5�X� - 5�H�5�X� = 0.
Podobnie, gdy element o numerze 5�Y� jest zródłem prądowym o SPM 5�=�5�Y�, to 5�Z�5�Y�5�Y� = 1, 5�[�5�Y�5�Y� = 0, 5�R�5�e�5�X� = 5�=�5�Y�, co odpowiada
(pod warunkiem, że 5�Z�5�Y�5�W� = 5�[�5�Y�5�W� = 0 dla 5�W� `" 5�Y�) zapisowi definicyjnego równania dla tego elementu w postaci
1 �" 5�<�5�Y� - 0 �" 5�H�5�Y� = 5�=�5�Y�
(założono, że strzałki 5�<�5�Y� oraz 5�=�5�Y� są zgodne).
Ponieważ mogą występować w analizie wskazowej impedancje indukcyjności oraz admitancje pojemności, więc rozsze-
rzamy zakres tego, co może się mieścić pod współczynnikami macierzy 5�t� oraz 5�u�.
Na przykład, gdy element o numerze 5�X� jest induktorem o impedancji 5�M�5�X�, to 5�Z�5�X�5�X� = 5�M�5�X�, 5�[�5�X�5�X� = -1, 5�R�5�e�5�X� = 0, co od-
powiada (pod warunkiem, że 5�Z�5�X�5�W� = 5�[�5�X�5�W� = 0 dla 5�W� `" 5�X�) zapisowi (na wskazach) prawa Ohma dla tego elementu w po-
staci
5�M�5�X� �" 5�<�5�X� - 5�H�5�X� = 0.
podobnie, gdy element o numerze 5�X� jest kondensatorem o admitancji 5�L�5�Y�, to 5�Z�5�Y�5�Y� = -1, 5�[�5�Y�5�Y� = 5�L�5�Y�, 5�R�5�e�5�X� = 0, co odpo-
wiada (pod warunkiem, że 5�Z�5�Y�5�W� = 5�[�5�Y�5�W� = 0 dla 5�W� `" 5�Y�) zapisowi (na wskazach) prawa Ohma dla tego elementu w postaci
5�L�5�Y� �" 5�H�5�Y� - 5�<�5�Y� = 0.
Powyższe równania macierzowe dają się zapisać w postaci
5�h� 5�� 5�� 5�p� 5��
[ ] �" [ ] = [ ] . (12)
5�� 5�h�5�G� -5�� 5�}� 5��
5�t� 5�� 5�u� 5�|� 5�l�5ؙ�5�"�
Macierz kwadratowa z ostatniego równania nosi nazwę macierzy tableau.
Powyższe równanie może być łatwo przekształcone do postaci
C. Stefański 6/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
[5�h� 5�� ] �" [5�p�] = [5�� ] . (13)
5�t� 5�u��"5�h�5�G� 5�}� 5�l�5ؙ�5�"�
Rozwiązaniem układu równań (13) są potencjały wszystkich (niezależnych) 5�[� węzłów obwodu i prądów dwójniko-
wych. Powrót do drugiego z równań (10) pozwala z kolei na otrzymanie wszystkich napięć na gałęziach obwodu.
Wbrew pozorom, procedury rozwiązywania układów równań postaci (3), (9), czy (13) nie różnią się w zasadniczy
sposób od przypomnianych w rozdziale 3 reguł postępowania wcześniej stosowanych dla układów równań ze współ-
czynnikami i zmiennymi rzeczywistymi. Przypomniano je w punkcie 3. Rezultatem rozwiązania będzie wektor liczb ze-
spolonych. Każda z tych liczb jest amplitudą zespoloną pewnego sygnału kosinusoidalnego. Każdą z otrzymanych zespo-
lonych amplitud wykorzystamy w ten sposób, że jej moduł będzie stanowił amplitudę kosinusoidalnego prądu o często-
tliwości kątowej (pulsacji) 5��5�R�, zaś faza jest jednocześnie przesunięciem fazowym kosinusoidy prądu w relacji do kosinu-
soidalnego napięcia 5�R�(5�a�).
Moc w obwodach prądu sinusoidalnego
Jeżeli w każdym elemencie obwodu natężenie prądu i napięcie są sinusoidalne o następującej ogólnej postaci:
( ) ( )
5�b� 5�a� = 5�H�5�Z� cos 5��5�a� + 5��5�b�
(14)
( ) ( )
5�V� 5�a� = 5�<�5�Z� cos 5��5�a� + 5��5�V�
to, jak wiemy, zapisane powyżej przebiegi mogą być reprezentowane przez następujące, niezależne od czasu, wielkości
zespolone zwane wskazami
5�H� = 5�H�5�Z�5��5�#�5��5�b�
(16)
5�<� = 5�<�5�Z�5��5�#�5��5�V�
Oprócz prądu i napięcia, z każdym elementem obwodu (o impedancji 5�M�) jest związane pojęcie mocy, które dla obwodu
sinusoidalnego można rozpisać na następujące składowe:
�� moc czynną 5�C�5�P�:
1 1
2 2
( ) ( ) ( )
5�C�5�P� = Re 5�C�5�g� = 5�<�5�Z� �" Re 5�M� = 5�H�5�Z� �" Re 5�L�" [W], (16)
2 2
�� moc bierną 5�C�5�O�:
1 1
2 2
( ) ( ) ( )
5�C�5�O� = Im 5�C�5�g� = 5�<�5�Z� �" Im 5�M� = 5�H�5�Z� �" Im 5�L�" [var], (16)
2 2
gdzie
5�C�5�g� oznacza moc zespoloną:
1
5�C�5�g� = 5�H� �" 5�<�" = 5�C�5�P� + 5�#�5�C�5�O� [VA]. (17)
2
Definiuje się też moc pozorną
2
(18)
5�C�5�]� = abs(5�C�5�g�) = "5�C�5�P�2 + 5�C�5�O� [VA]1.
Moc czynna jest równa mocy średniej za okres 5�G� sinusoidy napięcia , czy też prądu:
1 5�a�5�\�+5�G�

( ) ( )
5�C�5�P� = 5�]� 5�a� = 5�b� 5�a� �" 5�V�(5�a�). (19)
+"5�a�5�\�
5�G�
Warto też dodać, że występujące w żelazku zjawisko zamiany energii elektrycznej na ciepło jest wynikiem niezero-
wej mocy czynnej dla rezystancyjnej spirali grzejnej (idealne kondensatory i cewki indukcyjne się nie rozgrzewają).
Bilans mocy w obwodzie prądu sinusoidalnego
Spójrzmy na zagadnienie bilansu najpierw ogólnie, pamiętając, że dla prądów i napięć gałęzi obwodu wskazowego
mieliśmy zależności (patrz wzory (10)):
5�h� �" 5�p� = 5��, 5�|� = 5�h�5�{� �" 5�}�.
Wykorzystamy je w następujących rachunkach:
( )5�G� ( ) ( ) ( )"
2 �" "5�C�5�g� = 5�|�5�G� �" 5�p�" = 5�h�5�{� �" 5�}� �" 5�p�" = 5�}�5�{� �" 5�h� �" 5�p�" = 5�}�5�{� �" 5�h� �" 5�p�" = 5�}�5�{� �" 5�h� �" 5�p� = 5�}�5�{� �" 5��" = 0 , (20a)
( )
"5�C�5�g� = " 5�C�5�P� + 5�#�5�C�5�O� = "5�C�5�P� + 5�#�"5�C�5�O� = 0 �! "5�C�5�P� = 0 oraz "5�C�5�O� = 0. (20b)
Zatem w obwodzie prądu sinusoidalnego bilans mocy ma miejsce dla mocy czynnej, biernej i zespolonej. Nie ma podstaw
do bilansowania mocy pozornej.
Koncepcja zródeł zastępczych Thevenina i Nortona dla przypadku pobudzeń sinusoidalnych
Jeżeli nasze potrzeby ograniczają się do znalezienia prądu (napięcia, mocy) tylko w kilku tworzących dwójnik ele-
mentach obwodu (w skrajnym, ale i najczęstszym przypadku w jednym elemencie), to całą pozostałą część struktury
możemy zastąpić tzw. zródłem Thevenina lub zródłem Nortona. Przyjmując, że wybranym ważnym elementem jest im-
pedancja 5�M�5, możemy zgodnie z powyższą koncepcją wieloelementowy obwód wskazowy zredukować do jednej z przed-
stawionych na rys. 7 postaci.
1
Jednostka mocy pozornej [VA] jest identyczna jak jednostka mocy czynnej [W] i jednostka mocy biernej [var]. Każda z tych jednostek jest iloczynem
wolta i ampera. Różny jest jednak sens fizyczny każdej z tych wielkości. Nazwa war (wolt amper reaktancyjny) wywodzi się z angielskiego Volt Ampere
Reactive, gdzie reactive power oznacza moc bierną.
C. Stefański 7/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
a)
b)
5�M�5�G�
RT
I5 I5
(IN- I5
5�=�5�A� -� 5�<�5)
ET
5�=�5�A�N
I
5�M�5 5�M�5�A�
R5 RN R5 U5
5�M�5
U5
Rys. 7. Wskazowe obwody zastępcze: a) Thevenina, b) Nortona
Poza 5�M�5, parametry pozostałych elementów z rys. 7 muszą zostać dopiero obliczone na tej podstawie, że przez
dwójnik o impedancji 5�M�5 winien przepływać taki sam wskazowy prąd 5�<�5, jaki przepływał przez ten element w ramach
obwodu z rys. 3.
Wprowadzone przez Thevenina oraz Nortona definicje dają nam następujące zapisy, które odnoszą się do rysunku 3
i rysunków 7:
5�8�5�G�
5�8�5�G� = 5�H�5| 5�M�5" , 5�=�5�A� = 5�<�5| 5�M�5=0 , 5�M�5�G� = 5�M�5�A� = . (21)
5�=�5�A�
Rysunek 7 przedstawia sytuację w obwodzie wskazowym, będącym modelem obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego
dla amplitud zespolonych (analogicznie jak obwód z rysunku 3 jest takim modelem dla obwodu z rysunku 2). Oczywiście
zastąpienie w obwodzie wskazowym jego części zródłem zastępczym, np. zródłem Thevenina (wskazowym) może być
jednoznacznie skojarzone z zamianą odpowiedniej części obwodu prądu sinusoidalnego przez zródło Thevenina sinuso-
( )
idalne. Sinusoidalne zródło Thevenina złożone jest z idealnego generatora napięcia sinusoidalnego 5�R�5�G� 5�a� =
( )
5�8�5�G�5�Z� cos 5��5�a� + 5��5�G� [V] połączonego szeregowo ze strukturą elementów R, L, C, której impedancja na pulsacji 5�� wynosi
5�M�5�G�. Najczęściej wybieramy pośród struktur jak najprostszych, co prowadzi do tworu będącego szeregowym bądz rów-
noległym połączeniem opornika R i induktora L, albo opornika R i kondensatora C.
R
L
e (t)
T
ZT
( )
5�R�5�G�(5�a�) = |5�8�5�G�|cos(5��5�a� + arg 5�8�5�G� )
E
T
R
C
eT(t)
Rys 8. Realizacja zastępczego zródła Thevenina w strukturze szeregowej w obwodzie prądu sinusoidalnego
(prawa część rysunku) i odpowiadające mu wskazowe zródło Thevenina w obwodzie wskazowym (lewa
część rysunku)
3. Wspomagane programem MATLAB rozwiązywanie układu równań liniowych
Przypomnimy teraz krótko to, co zostało bardziej szczegółowo omówione w instrukcji do poprzednich ćwiczeń, a co dotyczyło rozwiązywania
układu równań liniowych wspomaganego narzędziami typu MATLAB (lub mu podobnymi, jak OCTAVE, czy SciLab). Układ równań można zapisywać
w formie klamrowej :
5�N�115�e�1 + 5�N�125�e�2 + �" 5�N�15�[�5�e�5�[� = 5�O�1
{5�N�215�e�1 + 5�N�225�e�2 + �" 5�N�25�[�5�e�5�[� = 5�O�2 (22)
& & & & & & & & & & .
5�N�5�[�15�e�1 + 5�N�5�[�25�e�2 + �" 5�N�5�[�5�[�5�e�5�[� = 5�O�5�[�
lub w postaci macierzowej
C. Stefański 8/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & . 5�N�15�A� 5�e�1 5�O�1
5�N�21 5�N�22 5�N�23 & . 5�N�25�A� 5�e�2 5�O�2
5�N�31 5�N�32 5�N�33 & 5�N�35�A� �" 5�e�3 = 5�O�3 . (23)
& & & & & &
&
[5�N�5�A�1 5�N�5�A�2 5�N�5�A�3 & 5�N�5�A�5�A�] [5�e�5�A�]
[5�O�5�A�]
Skrócony zapis (przy notacji bez nawiasów kwadratowych) równania (23) wygląda następująco:
5�h� " 5ؙ� = 5؃� (24)
W tym przypadku rozwiązanie jest w naszym zasięgu nawet bez wspomagania komputerowego, przy czym często korzystamy z przejrzystych
zapisów metody Cramera
5��5�� 5��5�� 5��5�Ń� 5��5��
5ؙ�5�� = , 5ؙ�5�� = , 5ؙ�5�Ń� = , 5ؙ�5�� = , 5�� `" 5�� . (25)
5�� 5�� 5�� 5��
gdzie " jest wyznacznikiem macierzy 5�h�, zaś każdy z "5�[� to wyznacznik macierzy powstałej z 5�h� przez zastąpienie w niej wektorem 5؃� kolumny o numerze
5�[�-tym .
Współcześnie, spośród wielu opracowanych metod numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych, duże znaczenie mają różne wa-
rianty metody eliminacji Gaussa. Algorytm tej metody dla równania (23) jest następujący (eliminacja niewiadomych w wyrażeniu (23) przebiega
następująco):
�� W pierwszym kroku od wierszy 2, 3, & . , 5�A� odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez taki współczynnik, który zapewnia jako
wynik odejmowania nowy wiersz nie zawierający już niewiadomej 5�e�1 Po pierwszym kroku (krok 5�`� = 1; ang.: step) otrzymujemy
.
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & 5�N�15�A� 5�O�1
5�e�1
(1) (1) (1)
0 5�N�22 5�N�23 & 5�N�25�A� 5�O�2
5�e�2 (1)
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�32 5�N�33 & 5�N�35�A� 5�e�3
5�O�3
�" = (26a)
& & & & & & &
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�5�A�2 5�N�5�A�3 & 5�N�5�A�5�A�] [5�O�5�A� ]
[ [5�e�5�A�]
gdzie
5�N�5�V�1
(1) (
5�N�5�V�5�X� = 5�N�5�V�5�X� - 5�Y�5�V�1 �" 5�N�15�X� , 5�O�5�V� 1) = 5�O�5�V� - 5�Y�5�V�1 �" 5�O�1, przy 5�Y�5�V�1 = oraz 5�V�, 5�X� = 2, 3, & , 5�A�
5�N�11
�� W drugim kroku od wierszy 3, 4, & . , 5�A� odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez taki współczynnik, który zapewnia jako wynik
odejmowania nowy wiersz nie zawierający już niewiadomej 5�e�2 Po drugim kroku (krok 5�`� = 2) otrzymujemy
.
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & 5�N�15�A� 5�O�1
5�e�1
(1) (1) (1)
0 5�N�22 5�N�23 & 5�N�25�A� 5�O�2
5�e�2 (1)
(2) (2)
(2)
0 0 5�N�33 & 5�N�35�A� 5�e�3 5�O�3
�" = (26b)
& & & & & & &
(2) (2)
(2)
0 0 5�N�5�A�3 & 5�N�5�A�5�A�] [5�O�5�A� ]
[ [5�e�5�A�]
gdzie
(1
(2) (1) ( ( ( ( 5�N�5�V�2)
1
5�N�5�V�5�X� = 5�N�5�V�5�X� - 5�Y�5�V�2 �" 5�N�25�X�) , 5�O�5�V� 2) = 5�O�5�V� 1) - 5�Y�5�V�2 �" 5�O�21), przy 5�Y�5�V�2 = oraz 5�V�, 5�X� = 3, 4, & , 5�A�
(1
5�N�22)
�� Powyższe postępowanie stosujemy do otrzymanego w drugim kroku równania (26b) i kolejno w następnych krokach do następnych
równań ze zwiększającą się ilością zer pod przekątną główną przetwarzanej macierzy; po (N-1) krokach otrzymujemy
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & 5�N�15�A� 5�e�1
5�O�1
(1) (1) (1)
0 5�N�22 5�N�23 & 5�N�25�A� 5�e�2 (1)
5�O�2
(2) (2)
(2)
0 0 5�N�33 & 5�N�35�A� 5�e�3 5�O�3
�" = (26)
& & & & & &
&
(5�A�-1)
(5�A�-1)
0 0 0 & 5�N�5�A�5�A� [5�e�5�A�]
[ ] 5�O�5�[�
[ ]
gdzie
( ( ( ( ( (
5�`� 5�`�-1 5�`�-1
5�N�5�V�5�X�) = 5�N�5�V�5�X� ) - 5�Y�5�V�5�`� �" 5�N�5�`�5�X� ) , 5�O�5�V� 5�`�) = 5�O�5�V� 5�`�-1) - 5�Y�5�V�5�`� �" 5�O�5�`�5�`�-1) ,
(
5�`�-1
5�N�5�V�5�`� )
(
0
przy 5�Y�5�V�5�`� = , 5�`� = 1, 2, & , 5�A�-1, 5�V� = 5�`�+1, 5�`�+2, & , 5�A�, 5�X� = 5�V�-1, 5�V�, & 5�A� (przy czym 5�N�5�]�5�^�) = 5�N�5�]�5�^�).
(
5�`�-1
5�N�5�`�5�`� )
Przykład obliczeń według tego algorytmu był podany w instrukcji do ćwiczenia drugiego warto z nim ponownie zapoznać się.
Poniżej przypominamy też pewien wariant metody Gaussa noszący nazwę metody LU. Polega ona na przyjęciu lewostronnej macierzy ze wzoru
(9) jako macierzy 5�|� (trójkątnej górnej) i utworzeniu dodatkowej macierzy 5�s� (trójkątnej dolnej) zbudowanej ze współczynników 5�Y�5�V�5�`�. Przykładowo dla
przypadku macierzy o wymiarach 4x4 (5�A� = 4) otrzymujemy
5�N�11 5�N�12 5�N�13 5�N�14
1 0 0 0
(1) (1) (1)
0 5�N�22 5�N�23 5�N�24 5�Y�21 1 0 0
5�|� = , 5�s� = (27)
(2) (2)
0 0 5�N�33 5�N�34 5�Y�31 5�Y�32 1 0
(3)
0 0 0 5�N�44 [5�Y�41 5�Y�42 5�Y�43 1]
[ ]
Macierze te, dla 5�A� e" 2, mają następujące pożyteczne właściwości
5�s� " 5�|� = 5�h�, |5�s�| = 1, |5�h�| = |5�|�| (28)
Wzory (27) i (28) wskazują na korzystniejszy od tradycyjnego sposób obliczania wyznacznika macierzy 5�h�; dodajmy, sposób wykorzystywany w
operacji det(A) MATLAB-a.
C. Stefański 9/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
Poszukiwanie wektora rozwiązań 5ؙ� możemy teraz przedstawić w postaci
5�s� " 5�|� " 5ؙ� = 5؃� ,
(29)
5ؚ� = 5�s�-5�� " 5؃� ,
5ؙ� = 5�|�-5�� " 5ؚ� ,
gdzie 5ؚ� to pomocniczy wektor kolumnowy w procedurze (29).
Eliminację Gaussa prowadzącą do otrzymania macierzy LU można także zastosować nie do oryginalnego układu równań (23), tylko do układu
równań z przestawionymi wierszami. Najbardziej oczywista potrzeba przestawienia wierszy może w ramach algorytmu eliminacji wynikać z potrzeby
ominięcia sytuacji dzielenia przez zero, ale możemy także w ten sposób zwiększać dokładność obliczeń.
Wspomnianą optymalizację dokładności obliczeń w odniesieniu do układu równań (23) otrzymujemy w MATLAB-ie po zastosowaniu do dekom-
pozycji funkcji lu MATLAB-a z argumentami wyjściowymi 5�s�, 5�|�, 5�w�:
[L,U,P] = lu(A). (30)
Funkcja ta w miejsce macierzy 5�h� zwraca nam trzy macierze, które możemy podstawić do równania (24). Po podstawieniu, zapis tego równania przyj-
muje postać
5�w� " 5�s� " 5�|� " 5ؙ� = 5؃� . (31)
Zawierająca informację o przestawieniach wierszy macierz 5�w� ma następujące właściwości
5�w� = 5�w�-5��, |5�w�| = 1 . (32)
Stąd rozwiązanie równania (24) możemy w tym przypadku uzyskać na podstawie wyrażenia
5�s� " 5�|� " 5ؙ� = 5؃�5�ę� (33)
gdzie
5؃�5�ę� = 5�w� " 5؃�.
Sposób zamiany kolejności wierszy daje się odczytać z macierzy 5�w�. Ściśle rzecz biorąc, niezerowy wyraz 5�]�5�V�5�W� = 1 tej macierzy informuje nas, że
nowym 5�V�-tym równaniem w zapisie (23) ma być stare 5�W�-te równanie tego zapisu.
Realizując poleceniem lu(A)opisaną powyżej procedurę stosujemy optymalizowaną dekompozycję [L, U, P] w sposób jawny, ale oprócz
tego dekompozycja taka jest automatycznie wykonywana niejawnie w ramach następujących poleceń Matlaba:
�� w przypadku równania postaci (24), gdy je rozwiązujemy poleceniem
x=A\b (34)
�� w przypadku obliczania wyznacznika macierzy A
DA = det(A) (35)
4. Pliki MATLABA do wspomagania analizy obwodów
function [x]=cramer(A,b)
%Metoda Cramera rozwiązywania układów równań liniowych
%Zapis układu równań A*x=y
N=rank(A);
for k=1:N
K=A(:,k); % Kolumna o numerze k w macierzy A na starcie
A(:,k)=b; % Macierze A , A ,& ,A
1 2 m
DK(k)=det(A); % Wyznaczniki D , D ,& ,D
1 2 m
A(:,k)=K; %Powrót do startowej postaci macierzy A
end
D=det(A); % Wyznacznik główny
x=DK./D; % Tablicowe dzielenie wyznaczników
%Koniec cramer.m
function [LA,UA]=dekompozycja(A)
% Dekompozycja (rozkład) macierzy A na dwie macierze
% trójkątną-dolną LA i trójkątną- górną UA
N=rank(A); % Określa liczbę niezależnych równań
el=eye(N); % Generuje macierz z "jedynkami" na głównej przekątnej
a=zeros(N); % Generuje macierz wypełnioną zerami
a=A; % Przepisuje elementy macierzy
for s=1:(N-1) % Litera s oznacza liczbę kroków w metodzie Gaussa
% Litery i oraz k oznaczają numery wiersza i kolumny
for i=n:N
el(i,s)=a(i,s)/a(s,s)
for k=1:N
a(i,k)=a(i,k)-el(i,s)*a(s,k);
end
end
end
LA=el; % Macierz trójkątna dolna
UA=a; % Macierz trójkątna górna
% Koniec dekompozycja.m
%Cw7_1.m
%***Obliczanie prądów oczkowych dla obwodu z rys. 2***
format short eng;
N=input('N=');
R1=100; R2=100; R3=100;R4=N;L5=N *1e-3; C6=N/10 *1e-6; r7=N/100; E8m=N; fe=N/10 *1e3;
Z5=j*2*pi*fe*L5;Z6=-j/(2*pi*fe*C6);
Zoo=[R1+R2+Z5, -Z5,-R2 ;
-Z5,R4+Z5+Z6, 0 ;
C. Stefański 10/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
-R2, r7, R2+R3];
E=[E8m,0,0]';
Io_cramer=cramer(Zoo,E).';
[LZoo,UZoo]=dekompozycja(Zoo);
y=(LZoo^(-1))*E;
Io_gauss_lu=(UZoo^(-1))*y;
Io_lup=Zoo\E;
[Io_cramer Io_gauss_lu Io_lup]
%Cw7_2.m
%***Program wspomagający poszukiwanie napięć węzłowych***
%
N=input('N=');N=abs(N)+(N==0);N;
LI=input('Podaj, ile wykonac iteracji - LI=');
format short eng;
R1=100; R2=100; R3=100;R4=N;L5=N *1e-3; C6=N/10 *1e-6; r7=5*N; E8m=N; fe=N/10 *1e3;
Z5=j*2*pi*fe*L5;Z6=-j/(2*pi*fe*C6);
Z=[R1, R2, R3, R4, Z5, Z6];E1=E8m; % dane
% obwodu (opory,zródła)
A= [ -1,-1, 1, 0, 0, 0;
0, 1, -1, 1, 1, 0;
0, 0, 0,-1, 0, 1];
Y=(1)./Z;
Ybb=diag([Y]);
J=zeros(6,1);
Ynn=A*Ybb*A';
E=zeros(6,1);E(1,1)=E1;E(3,1)=0;
for licznik=1:LI
Jn=A*J-A*Ybb*E;
V=Ynn\Jn;
Uu=(A')*V;U=Uu+E;
I=Ybb*U;
E(3,1)=-r7*I(4);
endfor
Modul_V=abs(V)
Faza_V=(180/pi)*angle(V)
PzB=1/2*U.*conj(I);display("PzB'=");display(PzB.');
sumPzB=sum(PzB)
PzE=-1/2*E.*conj(I);display("PzE'=");display(PzE.');
sumPzE=sum(PzE)
sumPz=sumPzB+sumPzEMod_V=abs(V)
5. Symulacja obwodu elektrycznego za pomocą programu SPICE
W programie SPICE poszukiwanie rozwiązania układu równań liniowych jest oparte na tej samej metodzie numerycznej LU, która
jest opisana w rozdziale 3. Jednak w odróżnieniu od właściwości programu MATLAB, nie ma w programie SPICE dla WINDOWS po-
trzeby zewnętrznego formułowania równań opisujących obwód. W edytorze programu tworzymy wirtualny obwód złożony: ze zródeł
niezależnych, zródeł sterowanych, rezystorów, cewek indukcyjnych i kondensatorów i w miarę potrzeby z innych elementów pocho-
dzących z banku elementów SPICE a. W ten sposób SPICE w zewnętrznym oglądzie raczej symuluje właściwości obwodu niż wspo-
maga poszukiwanie rozwiązań równań opisujących taki obwód.
Z wielu wariantów SPICE a w laboratorium jest do dyspozycji program Micro-Cap (MC). Obwód prądu stałego z rys. 2, wpro-
wadzony do MC wygląda jak na rys. 8.
Rysunki 2 i 8 różnią się przede wszystkim dodatkowymi fragmentami, które pojawiły się z tego względu, że w banku
elementów MC mamy rysunki zródeł sterowanych w postaci czwórnikowej. Edytor nie pozwala na wygodny sposób
określania kierunków odniesienia dla przepływu prądów w gałęziach oraz nadawania numerów porządkowych węzłów.
We wprowadzonym do edytora programu obwodzie można poprzez kliknięcie myszką w obrębie wybranego elementu
zmienić w otwierającym się wtedy okienku wartość liczbową parametru (E, J, g, R1, R2,& , R8) (na rys. 9 mamy przykła-
dowo R1=100[�], r= r7[�]1).
Jeżeli z kilku wariantów badania obwodu DC (prądu stałego) wybierzemy Dynamic DC otrzymamy napięcia węzłowe (V1,
V2, & , V5), czyli potencjały każdego z ponumerowanych węzłów względem napięcia odniesienia (masa, ziemia) oraz
prądy gałęziowe (I1, I2, & , I8).
Obwód prądu sinusoidalnie zmiennego z rys. 2 wprowadzony element po elemencie do edytora graficznego Mi-
cro"Cap-a i poddany analizie Dynamic AC jest przedstawiony na rys. 9.
1
r [�] to parametr zwany transrezystancją ZNSP oznaczonego na rysunku 3 przez Es1 rozpiętego między węzłami (3, 5) wejście i (2, 4) wyjście
(uwaga: węzeł 0, to węzeł masy).
C. Stefański 11/11 Ostatnia modyfikacja: maj 2016
.define N 50
.define fe N/10 *1k R3
115.692m,6.426m
100
.define r7 5*N Es1=r7*i(R4)
.define E8m N
r7
Es1
UWAGA. Pamiętać o ustawieniu
-115.692m,-6.426m
(sprawdzeniu) w polach parametrów
R2 100 -153.953m,-5.287m
analizy Dynamic AC częstotliwości fe
R4
-269.19m,-6.792m
R1
N
100
153.497m,365.421u
L5
-455.647u,-4.922m
C6
N*1m
N/10*1u
E8
AC {E8m} 0
Dane do programu EJRGZY (skasowac znak mnożenia
Rys. 9. Obwód prądu sinusoidalnie zmiennego poddany analizie Dynamic AC (5؇�5�ą� = 5�Ó� [kHz])
po wklejeniu do tabeli połączeń - np. zamiast 2*i ma być 2i):
R1=100.000000000
Na schemacie z rys. 9 uwidoczniono jednocześnie parametry sinusoidalnych prądów gałęziowych, otrzymane w wyniku
R2=100.000000000
analizy AC obwodu. Każda z pierwszych liczb zamieszczonych w prostokątnych obwódkach oznacza amplitudę sinusoi-
R3=100.000000000
dalnego prądu płynącego przez daną gałąz w stanie ustalonym. Druga z liczb jest dla danego prądu przesunięciem fazo-
R4=50.000000000
Z5=0.000000000+1570.796326795*i
wym (w stopniach) w odniesieniu do sinusoidy napięcia wytwarzanego w zródle E8.
Y6=0.000000000+0.157079633*i
E7=0.000000000
E8=50.000000000
Pytania kontrolne
1) Wymień znane Tobie metody bezpośredniego rozwiązywania układu równań liniowych. Omów jedną z nich.
Porównaj ją z pozostałymi (podając jej przewagi, bądz niedoskonałości w stosunku do pozostałych).
2) Co to jest macierz incydencji obwodu? Narysuj graf o zredukowanej macierzy incydencji
1 -1 -1 0 0 0
5�4� = [ ].
0 1 0 -1 1 0
0 0 1 1 0 1
3) Podaj cel i szczegóły tworzenia tzw. zródła Thevenina dla wieloelementowego obwodu liniowego (zilustruj
problem na niezbyt złożonym, ale też i nietrywialnym przykładzie).
4) Podaj cel i szczegóły tworzenia tzw. zródła Nortona dla wieloelementowego obwodu liniowego (zilustruj pro-
blem na niezbyt złożonym, ale też i nietrywialnym przykładzie).
5) Czym w ogólnym przypadku różni się tzw. obwód prądu stałego (DC) od obwodu typu AC?
6) Na liniowym dwójniku D, przy strzałkowaniu skojarzonym, prąd i napięcie są sinusoidalne oraz odpowiednio
( ) ( ) ( ) ( )
5�V� 5�a� = 5�<�5�Z� cos 5��5�a� [A] i 5�b� 5�a� = 5�H�5�Z� cos 5��5�a� + 5�� [V]. Oblicz moc czynną, bierną, pozorną i zespoloną na D
oraz podaj jednostki stosowane przy tych mocach. Ile wynosi impedancja i admitancja dwójnika D?
7) Na czym polega strzałkowanie skojarzone? Jakie są jego zalety? Czy Micro"Cap stosuje ten sposób strzałkowa-
nia?
8) Objaśnij działanie ciągu komend MATLAB-a: a=-5:-1; b=1:5; diag(a'.*b')-diag(a.*b);
ans. Podaj wynik (czyli zapisz, co zostanie wyświetlone na ekranie).
9) Objaśnij jak jest rozumiane MATLAB-owe dzielenie A\b oraz objaśnij czym są (macierze, wektory, wymiary)
poszczególne elementy (A, b, wynik) tego działania.
10) Opisz metodę tableau analizy obwodów. Porównaj ją (przewagi, niedostatki) z metodami: potencjałów węzło-
wych i prądów oczkowych.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
InstrukcjaDoCw5zLTOiS 16 odblokowany
Instr Cw6 16 odblokowany
Scenariusz 16 Rowerem do szkoły
r 1 nr 16 1386694464
16 narrator
16 MISJA
Fakty nieznane , bo niebyłe Nasz Dziennik, 2011 03 16
990904 16
16 (27)

więcej podobnych podstron