Styczna do wykresu funkcji.
Podstawy teoretyczne.
1. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej funkcji w
punkcie styczności: jeżeli punkt styczności ma współrzędne
P = (x0 ,y0), a styczna ma równanie y = ax + b , to a = f'(x0) .
= = + =
= = + =
= = + =
2. Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie P = (x0 ,y0) ma równanie:
=
=
=
y = f'(x0) Å" ( - x0)+ y0 .
= Å"(x - )+
= Å" ( - )+
= Å"( - )+
3. Punkt styczności należy zarówno do wykresu funkcji, jak i do
stycznej. Z tego prostego faktu korzysta się bardzo często.
Przykładowe zadania.
Zadanie 1.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x3 + x2 - 3x + 5 ,
= + - +
= + - +
= + - +
prostopadłej do prostej o równaniu x - 2y + 7 = 0
- + =
- + =
- + =
RozwiÄ…zanie.
1 7
x - 2y + 7 = 0 Ô! y = x +
- + = Ô! = +
- + = Ô! = +
- + = Ô! = +
2 2
Styczna ma być prostopadła do tej prostej, czyli musi mieć równanie
y = -2x + b .
= - +
= - +
= - +
Oznacza to, że jeśli punkt P = (x0 ,y0) jest punktem styczności, to f'(x0) = -2 .
= = -
= = -
= = -
f'(x) = 3x2 + 2x - 3
= + -
= + -
= + -
2
f'(x0) = 3x0 + 2x0 - 3 = -2
= + - = -
= + - = -
= + - = -
2
3x0 + 2x0 - 1 = 0
+ - =
+ - =
+ - =
" = 4 + 12 = 16
" = + =
" = + =
" = + =
- 2 - 4 - 2 + 4 1
- - - +
- - - +
- - - +
x0 = = -1 lub x0 = =
= = - = =
= = - = =
= = - = =
6 6 3
Punkt styczności należy do wykresu funkcji f (x) = x3 + x2 - 3x + 5 ; jego
= + - +
= + - +
= + - +
współrzędne spełniają równanie funkcji.
Jeżeli x0 = -1, to y0 = (-1)3 + (-1)2 - 3 Å" (-1) + 5 = 8.
= - = - + - - Å" - + =
= - = - + - - Å" - + =
= - = - + - - Å" - + =
3 2
1 1 1 1 1 1 112
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Jeżeli x0 = , to y0 = + - 3 Å" + 5 = + + 4 =
= = + - Å" + = + + =
= = + - Å" + = + + =
= = + - Å" + = + + =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3 3 27 9 27
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie ma dwa rozwiÄ…zania:
1. y = -2x + b , P1 = (-1,8) jest punktem styczności.
= - + = -
= - + = -
= - + = -
8 = 2 Å" (-1) + b Ô! b = 10
= Å" - + Ô! =
= Å" - + Ô! =
= Å" - + Ô! =
Pierwsza styczna ma równanie: y = -2x + 10
= - +
= - +
= - +
1 112
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2. y = -2x + b , P2 = , jest punktem styczności.
= - + =
= - + =
= - + =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 27
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
112 1 112 2 94
= 2 Å" + b Ô! b = - =
= Å" + Ô! = - =
= Å" + Ô! = - =
= Å" + Ô! = - =
27 3 27 3 27
94
Druga styczna ma równanie: y = -2x +
= - +
= - +
= - +
27
Zadanie 2.
Dana jest funkcja f(x) = x3 + x. Udowodnij, że dla dowolnego x0 `" 0, styczne
= + `"
= + `"
= + `"
do wykresu tej funkcji poprowadzone w punktach x0 i - x0 sÄ… prostymi
-
-
-
równoległymi.
RozwiÄ…zanie.
f'(x) = 3x2 + 1
= +
= +
= +
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie x0 jest równy:
2
a1 = f'(x0) = 3x0 + 1
= = +
= = +
= = +
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie - x0 jest równy:
-
-
-
2
a2 = f'(-x0) = 3(-x0)2 + 1 = 3x0 + 1
= - = - + = +
= - = - + = +
= - = - + = +
a1 = a2 , czyli styczne są prostymi równoległymi, co kończy dowód.
=
=
=
Zadanie 3.
4
f(x) = . Udowodnij, że pole trójkąta wyznaczonego przez punkty przecięcia
=
=
=
x
dowolnej stycznej do wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych, oraz
=
punkt S = (0,0) nie zależą od wyboru punktu styczności.
=
=
RozwiÄ…zanie.
4
f'(x) = - . Niech P = (x0,y0) , x0 `" 0 będzie punktem styczności.
= - = `"
= - = `"
= - = `"
x2
4
y0 = .
=
=
=
x0
Styczna do wykresu funkcji w punkcie P ma równanie:
y = f'(x0) Å" (x - x0) + y0
= Å" - +
= Å" - +
= Å" - +
4 4
y = - Å" (x - x0) +
= - Å" - +
= - Å" - +
= - Å" - +
2
x0 x0
4 4 4
y = - Å" x + Å" x0 +
= - Å" + Å" +
= - Å" + Å" +
= - Å" + Å" +
2 2
x0 x0 x0
4 8
y = - Å" x +
= - Å" +
= - Å" +
= - Å" +
2
x0 x0
Współrzędne punktów przecięcia stycznej z osiami układu współrzędnych:
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
8
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
a) z osiÄ… OY: A = ìÅ‚ ÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚
=
=
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0, x0 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4 8 4 8
b) z osiÄ… OX: 0 = - Å" x + Ô! Å" x = Ô! x = 2x0 . StÄ…d B = (2x0,0)
= - Å" + Ô! Å" = Ô! = =
= - Å" + Ô! Å" = Ô! = =
= - Å" + Ô! Å" = Ô! = =
2 2
x0 x0 x0 x0
=
Pole trójkąta ASB, gdzie S = (0,0) :
=
=
1 1 8 1 16x0
P = Å" SA Å" SB = Å" Å" 2x0 = Å" = 8, czyli pole nie zależy od wyboru
= Å" Å" = Å" Å" = Å" =
= Å" Å" = Å" Å" = Å" =
= Å" Å" = Å" Å" = Å" =
2 2 x0 2 x0
punktu styczności, co należało udowodnić.
Zadanie 4.
Znajdz
równanie wspólnej stycznej do wykresów funkcji f (x) = x2 + 4x + 8
= + +
= + +
= + +
oraz g(x) = x2 + 8x + 4 .
= + +
= + +
= + +
RozwiÄ…zanie.
Prosta y = ax + b ma być styczną do wykresów obydwu funkcji. Punkty
= +
= +
= +
styczności mogą być jednak różne.
Oznaczmy:
- punkt styczności do wykresu funkcji f: Pf = (m,m2 + 4m + 8)
= + +
= + +
= + +
- punkt styczności do wykresu funkcji g: Pg = (p,p2 + 8p + 4)
= + +
= + +
= + +
= =
Wiadomo, że a = f'(m) = g'(p)
= =
= =
f'(x) = 2x + 4 , f'(m) = 2m + 4
= + = +
= + = +
= + = +
g'(x) = 2x + 8 , g'(p) = 2p + 8
= + = +
= + = +
= + = +
Równanie stycznej w punkcie Pf :
y = f'(m) Å" (x - m) + f (m)
= Å" - +
= Å" - +
= Å" - +
y = (2m + 4)(x - m) + m2 + 4m + 8
= + - + + +
= + - + + +
= + - + + +
y = (2m + 4)x - 2m2 - 4m + m2 + 4m + 8
= + - - + + +
= + - - + + +
= + - - + + +
y = (2m + 4)x - m2 + 8
= + - +
= + - +
= + - +
Równanie stycznej w punkcie Pg :
y = g'(p) Å" (x - p) + g(p)
= Å" - +
= Å" - +
= Å" - +
y = (2p + 8)(x - p) + p2 + 8p + 4
= + - + + +
= + - + + +
= + - + + +
y = (2p + 8)x - 2p2 - 8p + p2 + 8p + 4
= + - - + + +
= + - - + + +
= + - - + + +
y = (2p + 8)x - p2 + 4
= + - +
= + - +
= + - +
Ponieważ obie styczne są tą samą prostą, musi być spełniony układ równań:
Å„Å‚ m = p + 2
Å„Å‚ = +
Å„Å‚ 2m + 4 = 2p + 8 = +
Å„Å‚ + = + Å„Å‚ = +
+ = +
+ = + Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
Ô!
Ô!
Ô!
òÅ‚ òÅ‚p2 - m2 + 4 = 0
òÅ‚ òÅ‚
òÅ‚- m2 + 8 = -p2 + 4 Ô! òÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
- + =
- + =
- + =
ół
ół
ół
ół
ół- + = - +
ół- + = - +
ół- + = - +
ół
p2 - (p + 2)2 + 4 = 0
- + + =
- + + =
- + + =
p2 - p2 - 4p - 4 + 4 = 0
- - - + =
- - - + =
- - - + =
p = 0
=
=
=
Szukane równanie stycznej: y = (2p + 8)x - p2 + 4 Ô! y = 8x + 4, co jest
= + - + Ô! = +
= + - + Ô! = +
= + - + Ô! = +
rozwiÄ…zaniem zadania.
Zadanie 5.
Ä„
Ä„
Ä„
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚0, öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Dla jakich wartości ą " wykres funkcji f (x) = x3 - x - cos2ą - siną + 3
Ä…" = - - Ä… - Ä… +
Ä… " = - - Ä… - Ä… +
Ä…" = - - Ä… - Ä… +
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
=
jest styczny do prostej y = 2x ?
=
=
RozwiÄ…zanie.
Jeżeli P oznacza punkt styczności, to ma on współrzędne P = (p,2p) .
=
=
=
f'(x) = 3x2 - 1 .
= -
= -
= -
Wiemy, że f'(p) = 2, czyli 3p2 - 1 = 2 Ô! p2 = 1 Ô! (p1 = -1 ,p2 = 1)
= - = Ô! = Ô! = - =
= - = Ô! = Ô! = - =
= - = Ô! = Ô! = - =
Mamy dwa punkty styczności:
P1 = (- 1,-2) , P2 = (1,2)
= (- - ) =
= (- - ) =
= (- - ) =
a) Punkt P1 = (- 1,-2) należy do wykresu funkcji f, czyli:
= (- - )
= (- - )
= (- - )
3
(- 1) - (- 1)- cos2Ä… - sinÄ… + 3 = -2
(- ) - (- )- Ä… - Ä… + = -
(- ) - (- )- Ä… - Ä… + = -
(- ) - (- )- Ä… - Ä… + = -
- cos2Ä… - sinÄ… + 5 = 0
- Ä… - Ä… + =
- Ä… - Ä… + =
- Ä… - Ä… + =
- (1 - 2sin2 Ä…) - sinÄ… + 5 = 0
- - Ä… - Ä… + =
- - Ä… - Ä… + =
- - Ä… - Ä… + =
2sin2 Ä… - sinÄ… + 4 = 0
Ä… - Ä… + =
Ä… - Ä… + =
Ä… - Ä… + =
Pomocnicza niewiadoma : t = sinÄ…
= Ä…
= Ä…
= Ä…
2t2 - t + 4 = 0
- + =
- + =
- + =
" = 1 - 4 Å" 2 Å" 4 < 0 - równanie nie ma rozw.
" = - Å" Å" < -
" = - Å" Å" < -
" = - Å" Å" < -
b) Punkt P2 = (1,2) należy do wykresu funkcji f, czyli:
=
=
=
13 - 1 - cos2Ä… - sinÄ… + 3 = 2
- - Ä… - Ä… + =
- - Ä… - Ä… + =
- - Ä… - Ä… + =
- ( - 2sin2 Ä…)- sinÄ… + 1 = 0
- ( - Ä…)- Ä… + =
- (1 - Ä…)- Ä… + =
- ( - Ä…)- Ä… + =
2sin2 Ä… - sinÄ… = 0
Ä… - Ä… =
Ä… - Ä… =
Ä… - Ä… =
sinÄ…(2sinÄ… - 1) = 0
Ä… Ä… - =
Ä… Ä… - =
Ä… Ä… - =
1
sinÄ… = 0 (" sinÄ… =
Ä… = (" Ä… =
Ä… = (" Ä… =
Ä… = (" Ä… =
2
Ä„
Ä„
Ä„
Ä„
ëÅ‚0, öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Ponieważ ą " , więc rozwiązaniem równania, a zarazem i całego
Ä… "ëÅ‚ öÅ‚
Ä… " ìÅ‚ ÷Å‚
Ä… "ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
Ä„
Ä„
Ä„
zadania jest Ä… = .
Ä… =
Ä… =
Ä… =
6