Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 2
Opis matematyczny układów liniowych
Linearyzacja układów nieliniowych
Rzeczywiste układy regulacji zazwyczaj są układami nieliniowymi, dla
Rzeczywiste układy regulacji zazwyczaj są układami nieliniowymi, dla
uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza siÄ™ ich
uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza siÄ™ ich
linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu
linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu
liniowego, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
liniowego, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej
nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).
nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).
F
U
L1 punkt pracy
dL1
A1 = F-Ä…12S12 2gL1
dt
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna
F =Ä…12S12 2gL1
F
Opis matematyczny układów liniowych
Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:
Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:
n n-1 m m-1
d y d y d u d u
an n + an-1 n-1 +K + a0 y = bm m + bm-1 m-1 + K + b0u
dt dt dt dt
gdzie: y- sygnał wyjściowy, x-sygnał wejściowy, ai, bi - współczynniki stałe
y, u  są odchyłkami od punktu pracy
ZASADA SUPERPOZYCJI
ZASADA SUPERPOZYCJI
y(u1+u2)=y(u1)+y(u2)
gdzie: y(ui) oznacza odpowiedz
układu y na wymuszenie ui;
oraz y(0)=0
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna układu  przedstawia zależność sygnału
Charakterystyka statyczna układu  przedstawia zależność sygnału
wyjściowego układu od sygnału wejściowego w stanie ustalonym
wyjściowego układu od sygnału wejściowego w stanie ustalonym
Stan ustalony układu  wszystkie pochodne sygnału wejściowego
Stan ustalony układu  wszystkie pochodne sygnału wejściowego
i sygnału wyjściowego są równe zero
i sygnału wyjściowego są równe zero
Postać charakterystyki statycznej układów liniowych i zlinearyzowanych:
Postać charakterystyki statycznej układów liniowych i zlinearyzowanych:
y
b0
y = u
a0
gdzie: u,y  wejście, wyjście z układu
u
Przekształcenie Laplace a
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową,
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową,
przejście z dziedziny czasu rzeczywistego na zmienną zespoloną
przejście z dziedziny czasu rzeczywistego na zmienną zespoloną
f (t) Ô! f (s)
s = c + jÉ
f (s) = L[ f (t)]
przekształcenie
"
Laplace a
f (s) = f (t)e-stdt
+"
0
f (t) = L-1[ f (s)]
odwrotne
c+ jÅ"É przeksztaÅ‚cenie
def
1
f (t) = Å" F(s)Å"esÅ"tds
Laplace a
+"
2Å" Ä„ Å" j
c- jÅ"É
Opis matematyczny układów liniowych
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową:
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową:
n n-1 m m-1
d y d y d u d u
an + an-1 + K + a0 y = bm + bm-1 m-1 + K + b0u
n n-1 m
dt dt dt dt
Å„Å‚dny
üÅ‚
LòÅ‚ = sn Å" y(s) - sn-1 Å" y(0+ ) -K- yn-1(0+ )
żł
dtn þÅ‚
ół
Å„Å‚dny
üÅ‚
przy zerowych warunkach
LòÅ‚ = sn Å" y(s)
żł
poczÄ…tkowych
dtn þÅ‚
ół
y(s) Å"(ansn + an-1sn-1 +K+ a0) = u(s) Å"(bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0)
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa: stosunek transformaty sygnału
Transmitancja operatorowa: stosunek transformaty sygnału
wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy
wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy
zerowych warunkach poczÄ…tkowych
zerowych warunkach poczÄ…tkowych
y(s) Å"(ansn + an-1sn-1 +K+ a0) = u(s) Å"(bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0)
y(s) bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0
G(s) = = , n e" m
u(s) ansn + an-1sn-1 +K+ a0
M (s) = bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0
M (s)
G(s) =
N(s)
N(s) = ansn + an-1sn-1 +K+ a0
Wyznaczanie transmitancji operatorowej
Przykład 1: Wyznaczyć transmitancję operatorową układu
Przykład 1: Wyznaczyć transmitancję operatorową układu
opisanego równaniem różniczkowym:
opisanego równaniem różniczkowym:
dy
2 Å" + y = 3u
dt
Wykorzystując operator różniczkowania s można
powyższe równanie zapisać w postaci
2s Å" y(s) + y(s) = 3u(s)
c
(2s +1)Å" y(s) = 3u(s)
c
y(s) 3
G(s) = =
u(s) 2s +1
Opis elementów na schematach blokowych
Obiekty o jednym wejściu i jednym wyjściu:
Obiekty o jednym wejściu i jednym wyjściu:
uy
y(s)
G(s) =
G(s)
u(s)
Obiekty wielowymiarowe:
G11(s) G12(s) K G1m (s)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚G (s) G22(s) K G2m (s)śł
21
ïÅ‚ śł
u1 y1
MG(s) =
ïÅ‚ śł
M M M M
u y
2 2
ïÅ‚ śł
MG(s)
(s) Gn2 (s) K Gnm (s)ûÅ‚
ðÅ‚Gn1
um ym
yi (s)
Gik (s) = , i = 1Kn, k = 1Km
uk (s)
...
...
Wyznaczenie charakterystyki statycznej
z transmitancji operatorowej
u0 = lim u(t), y0 = lim y(t),
t" t"
Na podstawie twierdzenia o wartości końcowej:
y0 = lim y(t) = lim s Å" y(s) = lim s Å" G(s)u(s)
t" s0 s0
1
u0 = const Ò! u(s) = u0
y0 = u0 limG(s)
s0
s
bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0
y0
G(s) =
= limG(s)
ansn + an-1sn-1 +K+ a0
u0 s0
Końcowe równanie charakterystyki statycznej:
b0
y0 = u0
a0
Własności układów
Właściwości dynamiczne  prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej
Właściwości dynamiczne  prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej
y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia u(t)
y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia u(t)
Postać charakterystyki w typowym układzie współrzędnych:
Postać charakterystyki w typowym układzie współrzędnych:
u y
Gdzie: u - sygnał wejściowy
y - sygnał wyjściowy
t - czas [s]
t
Metody wyznaczania odpowiedzi układu y(t)
n n-1 m m-1
d y d y d u d u
an + an-1 + K + a0 y = bm + bm-1 + K + b0u
n n-1 m m-1
dt dt dt dt
Klasyczna:
Klasyczna:
" " Założyć warunki początkowe
Założyć warunki początkowe
" " Rozwiiązać równanie różniczkowe
Rozw ązać równanie różniczkowe
Operatorowa:
Operatorowa:
f (t) = L-1[y(s)] = f (t) = L-1[G(s)u(s)]
Typowe wymuszenia
Skok jednostkowy
Skok jednostkowy
u
1(t)
dla t e" 0
1(t)
Å„Å‚
u(t) =
òÅ‚
0 dla t < 0
t
ół
Skok o wartość stałą
Skok o wartość stałą
u
dla t e" 0
ust Å"1(t)
Å„Å‚
ust
u(t) =
òÅ‚
0
t
ół dla t < 0
Typowe wymuszenia
Impuls jednostkowy  Delta Diraca
Impuls jednostkowy  Delta Diraca
u
dla t `" 0
0
Å„Å‚
"
u(t) = ´ (t) =
òÅ‚
dla t = 0
t
ół"
0
Wymuszenie liniowo narastajÄ…ce
Wymuszenie liniowo narastajÄ…ce
u
u(t) = a Å" t
t
Typowe wymuszenia
u
" Wymuszenie skokowe jednostkowe
1
1
u(s) =
t
u(t)=1(t)
s
u
" Wymuszenie skokowe o wartość stałą
1
ust
u(s) = us
t
u(t)=ust·1(t) s
u
" Wymuszenie w postaci impulsu
u(s) =1
t
u(t)=´(t) Delta Diraca
u
" Wymuszenie liniowo narastajÄ…ce
a
u(s) =
t
u(t)= a·t s2
Tablica transformat
Opis układów z użyciem współrzędnych stanu
W ogólnym opisie układów wielowymiarowych poszczególne wielkości
określone są w postaci wektorów i oznaczają:
u1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
Zbiór wszystkich możliwych
Zbiór wszystkich możliwych
ïÅ‚u (t)śł
2
ïÅ‚ śł
U (t) =
wartości wektora stanu X(t) w
wartości wektora stanu X(t) w
wektor wejść
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚ śł
chwilach t tworzy przestrzeń
chwilach t tworzy przestrzeń
(t)ûÅ‚
ðÅ‚un
stanów układu (przestrzeń
stanów układu (przestrzeń
x1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
fazowÄ…).
fazowÄ…).
ïÅ‚x (t)śł
2
ïÅ‚ śł
X (t) =
wektor stanu
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚ śł
(t)ûÅ‚
ðÅ‚xk Zbiór wartoÅ›ci wektora stanu
Zbiór wartości wektora stanu
układu w kolejnych chwilach
układu w kolejnych chwilach
y1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
czasu tworzy w tej przestrzeni
ïÅ‚y (t)śł
czasu tworzy w tej przestrzeni
2
ïÅ‚ śł
Y (t) =
wektor wyjść
krzywÄ…, zwanÄ…
krzywÄ…, zwanÄ…trajektoriÄ…
trajektoriÄ…
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚ śł
stanu układu (trajektorią
yl (t)ûÅ‚ stanu ukÅ‚adu (trajektoriÄ…
ðÅ‚
fazowÄ…).
fazowÄ…).
Równania stanu i wyjść
Ogólna postać równania stanu:
X (t) = F[X (t),U (t)]
X (t0 ) = X
z n warunkami poczÄ…tkowymi:
0
dx1(t)
Å„Å‚
= f1(x1, x2 ,K, xn ;u1,u2 ,K,uk ;t); x1(t0 ) = x10
ôÅ‚
dt
ôÅ‚
òÅ‚LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
ôÅ‚dx (t)
n
ôÅ‚
= fn (x1, x2 ,K, xn ;u1,u2 ,K,uk ;t); xn (t0 ) = xn0
dt
ół
Ogólna postać równania wyjść:
Y (t) = G[X (t),U (t)]
y1(t) = g1(x1, x2 ,K, xn ;u1,u2 ,K,uk ;t)
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚LLLLLLLLLLLLLLLL
ôÅ‚y (t) = gl (x1, x2 ,K, xn ;u1,u2 ,K,uk ;t)
l
ół
Zlinearyzowane równania stanu
Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego
punktu pracy), równania przyjmują wówczas postać:
dx1(t) "f1 "f1 "f1 "f1 "f1 "f1 "f1
= x1 + x2 + K + xn + u1 + u2 + K + uk + t
dt "x1 "x2 "xn "u1 "u2 "uk "t
...
"g1 "g1 "g1 "g1 "g1 "g1 "g1
y1 = x1 + x2 + K + xn + u1 + u2 + K + uk + t
"x1 "x2 "xn "u1 "u2 "uk "t
...
X (t) = A(t)X (t) + B(t)U (t)
Układ niestacjonarny
Y (t) = C(t)X (t) + D(t)U (t)
przy czym: A(t)  macierz ukÅ‚adu stopnia n×n
B(t)  macierz wejść stopnia n×k
C(t)  macierz wyjść stopnia l×n
D(t)  macierz transmisyjna ukÅ‚adu stopnia l×k
Równania stanu układów liniowych stacjonarnych
Układ stacjonarny - o parametrach niezależnych od czasu
W przypadku szczególnym, gdy układ jest liniowy stacjonarny,
pochodne cząstkowe względem zmiennych x1,& ,xn,& ,u1,& ,uk nie
zawierają czasu i pochodne cząstkowe względem czasu są równe
zeru. Elementy macierzy są wówczas stałe i równania stanu można
zapisać w postaci:
X (t) = AX (t) + BU (t)
Y (t) = CX (t) + DU (t)
Układy liniowe
Układ liniowy  układ, w którym zachowana jest zasada superpozycja.
Układ liniowy  układ, w którym zachowana jest zasada superpozycja.
Modele matematyczne układów liniowych są opisywane liniowymi
Modele matematyczne układów liniowych są opisywane liniowymi
równaniami algebraicznymi lub liniowymi równaniami
równaniami algebraicznymi lub liniowymi równaniami
różniczkowymi, np.:
różniczkowymi, np.:
.. . ..
2Å" y+ y+ 2Å" y = 0,5Å"u+ 2Å"u
Układ nieliniowy 
Układ nieliniowy  układy w których nie jest zachowana zasada
układy w których nie jest zachowana zasada
superpozycja. Układ, w którym y(0)`"0, np.:
superpozycja. Układ, w którym y(0)`"0, np.:
opisanym równaniem algebraicznym y=u+1.
opisanym równaniem algebraicznym y=u+1.
Pojęcia podstawowe
ZASADA SUPERPOZYCJI
ZASADA SUPERPOZYCJI
y(u1+u2)=y(u1)+y(u2)
gdzie: y(ui) oznacza odpowiedz
układu y na wymuszenie ui;
oraz y(0)=0
Postać ogólna:
Postać ogólna:
"y(u1+u2)= "y(u1)+ "y(u2)
gdzie: "y(u)= "y(u)+ "y(0) lub ogólnie "y(u)= "y(u+u0)+ "y(u0)