ÿþB o h d a n M O C H N A C K I , J ó z e f S . S U C H Y
M A T E M A T Y C Z N Y O P I S
K R Z E P N I C I A I S T Y G N I C I A
O D L E W U W F O R M I E
K A T E D R A M O D E L O W A N I A P R O C E S Ó W O D L E W N I C Z Y C H
K r a k ó w 2 0 0 3
A U T O R Z Y :
p r o f . d r h a b . B o g d a n M O C H N A C K I p r o f e s o r z w y c z a j n y P o l i t e c h n i k i C z s t o c h o w s k i e j ,
d y r e k t o r I n s t y t u t u M a t e m a t y k i i I n f o r m a t y k i
p r o f . d r h a b . i n |. J ó z e f S z c z e p a n S U C H Y p r o f e s o r z w y c z a j n y A k a d e m i i G ó r n i c z o
H u t n i c z e j w K r a k o w i e , k i e r o w n i k K a t e d r y
M o d e l o w a n i a P r o c e s ó w O d l e w n i c z y c h W y d z i a Bu
O d l e w n i c t w a
S P I S T R E ZC I
3
1 . W p r o w a d z e n i e
4
2 . M a t e m a t y c z n y o p i s k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a m e t a l u w f o r m i e
4
2 . 1 . O p i s p r o c e s u
5
2 . 2 . P o d s t a w y m a t e m a t y c z n e o p i s u k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a
5
2 . 2 . 1 . R ó w n a n i e e n e r g i i
1 0
2 . 2 . 2 . P o c h o d n a m a t e r i a l n a
1 2
2 . 2 . 3 . N i e s t a c j o n a r n e zr ó d Bo w e p o l e t e m p e r a t u r y
1 3
2 . 2 . 4 . R ó w n a n i e e n e r g i i d l a s t r e f y d w u f a z o w e j
1 5
2 . 2 . 5 . D o b ó r z a s t p c z e j p o j e m n o [c i c i e p l n e j
1 8
2 . 2 . 6 . P r z e s t r z e n n e zr ó d Bo w e i b e z zr ó d Bo w e p o l a t e m p e r a t u r y
2 1
2 . 2 . 7 . W a r u n k i b r z e g o w e p o c z t k o w e
2 8
2 . 2 . 8 . P r o b l e m S t e f a n a w a r u n e k b r z e g o w y S t e f a n a
3 2
2 . 2 . 9 . O p i s m a t e m a t y c z n y k r z e p n i c i a o d l e w u w f o r m i e
3 4
2 . 2 . 1 0 . M o d e l p r o c e s u c i g Be g o o d l e w a n i a
3 9
2 . 2 . 1 1 . K o n w e n c j a e n t a l p o w a
4 3
2 . 2 . 1 2 . T e m p e r a t u r a K i r c h h o f f a
4 6
2 . 2 . 1 3 . T r a n s p o r t m a s y
1 . W P R O W A D Z E N I E
K r z e p n i c i e o d l e w ó w i m o |l i w o [ s t e r o w a n i a t y m p r o c e s e m t o n a j i s t o t n i e j s z y e t a p
p r o c e s u w y t w ó r c z e g o . N i c w i c d z i w n e g o , |e j e d n y m z n a j w a |n i e j s z y c h n a r z d z i d o
n o w o c z e s n e g o p r z y g o t o w a n i a p r o d u k c j i s p r o g r a m y k o m p u t e r o w e s y m u l u j c e p r z e b i e g
k r z e p n i c i a .
A b y k o m p e t e n t n i e p o s Bu g i w a s i t y m i p r o g r a m a m i , n a l e |y z n a , p r z y n a j m n i e j w
z a r y s i e , m o d e l e m a t e m a t y c z n e s Bu |c e d o i c h b u d o w a n i a .
N i n i e j s z y s k r y p t j e s t o p r a c o w a n y n a b a z i e k s i |k i t y c h s a m y c h a u t o r ó w M o d e l o w a n i e
i s y m u l a c j a p r o c e s ó w k r z e p n i c i a o d l e w ó w w y d a n e j p r z e z P W N w r o k u 1 9 9 3 .
Z a w i e r a o n a s z e r e g i n f o r m a c j i n a t e m a t b u d o w y a l g o r y t m ó w s y m u l a c y j n y c h .
Z a w a r t y w s k r y p c i e m a t e r i a B m a p o m ó c s t u d e n t o m w o p a n o w a n i u p r z e d m i o t u
k r z e p n i c i e i z a s i l a n i e o d l e w ó w .
2 . M A T E M A T Y C Z N Y O P I S K R Z E P N I C I A I S T Y G N I C I A
M E T A L U W F O R M I E
2 . 1 . O p i s p r o c e s u
R o z w a |a n y s y s t e m r z e c z y w i s t y o b e j m u j e k r z e p n c y o d l e w w r a z z f o r m o d l e w n i c z ,
o t o c z e n i e m i i n n y m i o d d z i a By w a n i a m i z e w n t r z n y m i . O b s e r w o w a n y p r o c e s r o z p o c z y n a s i o d
w p r o w a d z e n i a c i e k Be g o m e t a l u d o k a n a Bó w u k Ba d u w l e w o w e g o i w y p e Bn i a n i a w n k i f o r m y .
Z w i z a n e j e s t t o z k o n t a k t e m c i e k Be g o m e t a l u z a t m o s f e r , a n a s t p n i e [c i a n k a m i f o r m y .
P o d c z a s w y p e Bn i a n i a w n k i f o r m y n a s t p u j e w y m i a n a c i e p Ba p o m i d z y p o w i e r z c h n i m e t a l u a
[c i a n k a m i f o r m y ( p r o m i e n i o w a n i e , p r z e w o d z e n i e ) , c o w p r a k t y c e m o |e p r o w a d z i d o s p k a n i a
f o r m y , a n a s t p n i e p o w s t a n i a w a d p o w i e r z c h n i o d l e w u . W t e j f a z i e p r o c e s u d u |e z n a c z e n i e
m a j w a r u n k i h y d r o d y n a m i c z n e . Z a l e | o n e o d s a m e g o m e t a l u ( j e g o l e p k o [c i ) , a t a k |e o d
u k Ba d u w l e w o w e g o ( p r d k o [ p r z e p By w u , o p o r y ) . W t y m c z a s i e w o b j t o [c i o d l e w u i f o r m y
g e n e r u j e s i p s e u d o p o c z t k o w e p o l e t e m p e r a t u r y , k t ó r e m a i s t o t n e z n a c z e n i e d l a w y p e Bn i e n i a
w n k i f o r m y ( m o g p o w s t a w a n p . n i e d o l e w y ) , a t a k |e d a l s z e g o s t y g n i c i a i k r z e p n i c i a
o d l e w u .
P o c a Bk o w i t y m w y p e Bn i e n i u w n k i f o r m y z a n i k a k o n w e k c j a w y m u s z o n a w c i e k By m
m e t a l u , a u k Ba d s t y g n i e n a d a l , o d p r o w a d z a j c d o o t o c z e n i a c i e p Bo - w t y m w y p a d k u c i e p Bo
( e n t a l p i ) p r z e g r z a n i a i u t a j o n e c i e p Bo k r y s t a l i z a c j i . W c i e k Be j c z [c i o d l e w u n a d a l w y s t p u j e
k o n w e k c j a ( n a t u r a l n a ) , s p o w o d o w a n a p r z e z z n a c z n e z a z w y c z a j n a t y m e t a p i e k r z e p n i c i a
g r a d i e n t y t e m p e r a t u r y . D e c y d u j c r o l z a c z y n a o d g r y w a k r z e p n i c i e o d l e w u , k t ó r e g o
p r z e b i e g z a l e |n y j e s t o d s k Ba d u c h e m i c z n e g o s t o p u i i n t e n s y w n o [c i p r z e j m o w a n i a c i e p Ba p r z e z
f o r m . Z m i e n i a s i g e o m e t r i a z a k r z e p Be j c z [c i o d l e w u i p o d o b s z a r u c i e c z y o r a z p o l e
t e m p e r a t u r y , a w w y n i k u p r o c e s ó w s e g r e g a c j i p o l e s t |e D s k Ba d n i k ó w s t o p u . G e n e r u j e s i t a k |e
w k r z e p n c y m o d l e w i e p o l e n a p r |e D ( c i e p l n y c h , f a z o w y c h i s k u r c z o w y c h ) . K r z e p n i c i e
p o l e g a w i c n a p r z e c h o d z e n i u o d l e w u z e s t a n u c i e k Be g o w s t a n s t a By z o d p r o w a d z e n i e m c i e p Ba
k r y s t a l i z a c j i i e n t a l p i i p r z e g r z a n i a . G r a n i c a m i d z y p o d o b s z a r a m i c i e c z y i c i a Ba s t a Be g o
s p r o w a d z a s i d o j e d n e j l u b d w ó c h p o w i e r z c h n i . W t y m d r u g i m p r z y p a d k u p r o c e s k r z e p n i c i a
z a c h o d z i w s t r e f i e d w u f a z o w e j , c z y l i w o b s z a r z e z a w a r t y m m i d z y i z o t e r m a m i g r a n i c z n y m i
l i k w i d u s u i s o l i d u s u .
K r z e p n i c i u o d l e w u t o w a r z y s z y p r o c e s k r y s t a l i z a c j i , c z y l i t w o r z e n i a s i s t r u k t u r y
p i e r w o t n e j o d l e w u . P o l e g a o n n a p o w s t a w a n i u z a r o d k ó w k r y s t a l i z a c j i , i c h w z r o [c i e ,
t o w a r z y s z c e j t e m u s e g r e g a c j i , p o w s t a w a n i u d e f e k t ó w s t r u k t u r y i t d . D e c y d u j c y m p a r a m e t r e m
j e s t t u t a j s t o p i e D p r z e c h Bo d z e n i a c i e k Be g o m e t a l u , b d c y s i l p d n p r o c e s u k r y s t a l i z a c j i . W
w y n i k u p r z e d s t a w i o n y c h t u p r o c e s ó w p o w s t a j e o d l e w o o k r e [l o n e j s t r u k t u r z e , a p o n a d t o w
w y n i k u s k u r c z u m e t a l u g e n e r u j s i j a m y s k u r c z o w e , m i k r o - i m a k r o r z a d z i z n y , p o w s t a j t e |
p c h e r z e g a z o w e i w t r c e n i a n i e m e t a l i c z n e .
P o c a Bk o w i t y m z a k r z e p n i c i u o d l e w u s t y g n i e o n j e s z c z e p r z e z p e w i e n c z a s w f o r m i e .
T o w a r z y s z t e m u p r z e m i a n y f a z o w e w s t a n i e s t a By m , p o w o d u j c e d a l s z e p r z e k s z t a Bc e n i e
s t r u k t u r y o d l e w u .
P e w n e s p e c y f i c z n e z j a w i s k a z w i z a n e z p r o c e s e m p r z e p By w u c i e p Ba w u k Ba d z i e o d l e w u i
f o r m y w i | s i z k o l e i z r ó |n i c a m i m i d z y r ó |n y m i t e c h n o l o g i a m i o d l e w a n i a . I t a k w
p r z y p a d k u k r z e p n i c i a o d l e w u w k o k i l i m i d z y o d l e w e m i f o r m g e n e r u j e s i s z c z e l i n a
g a z o w a , i s t o t n i e z m i e n i a j c a w a r u n k i p r z e p By w u c i e p Ba n a z e w n t r z n e j p o w i e r z c h n i o d l e w u , a
n p . a n a l i z u j c p r o c e s o d l e w a n i a o d [r o d k o w e g o c z y t e | o d l e w a n i a w p o l u m a g n e t y c z n y m ,
n a l e |y u w z g l d n i d z i a Ba n i e z e w n t r z n e g o p o l a s i B.
N a j b a r d z i e j i s t o t n y m p r o c e s e m d e t e r m i n u j c y m p r o c e s f o r m o w a n i a o d l e w u j e s t t r a n s p o r t
c i e p Ba . J a k p o w s z e c h n i e w i a d o m o , i s t n i e j t r z y p o d s t a w o w e r o d z a j e p r z e p By w u c i e p Ba :
p r z e w o d z e n i e , k o n w e k c j a , i p r o m i e n i o w a n i e . W z a d a n i a c h t e r m o d y n a m i k i p r o c e s ó w
o d l e w n i c z y c h n a j c z [c i e j m a m y d o c z y n i e n i a z e z Bo |o n y m p r z e p By w e m e n e r g i i ( n p .
p r z e w o d z e n i e i k o n w e k c j a w c i e k Be j c z [c i o d l e w u , p r o m i e n i o w a n i e i k o n w e k c j a n a
z e w n t r z n y c h p o w i e r z c h n i a c h o d l e w u i f o r m y i t d . ) .
T r a n s p o r t o w i c i e p Ba w o b s z a r z e k r z e p n c e g o i s t y g n c e g o m e t a l u t o w a r z y s z p r o c e s y
t r a n s p o r t u m a s y . Z j a w i s k a z w i z a n e z r u c h e m m a s y ( d y f u z j a ) o d g r y w a j i s t o t n r o l
w k s z t a Bt o w a n i u w Ba [c i w o [c i u |y t k o w y c h o d l e w u . T a k w i c b a r d z i e j p r e c y z y j n e m o d e l e
m a t e m a t y c z n e , o p i s u j c e k r z e p n i e c i e m e t a l u , d o t y c z n i e t y l k o p r o c e s ó w c i e p l n y c h , a l e
r ó w n i e | d y f u z j i m a s y i w z a j e m n y c h s p r z |e D m i d z y t y m i z j a w i s k a m i .
K o l e j n y m e l e m e n t e m , t o w a r z y s z c y m p r o c e s o w i k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a , s z j a w i s k a
s k u r c z o w e . S k u r c z o d l e w n i c z y p o w o d u j e z m i a n w y m i a r ó w l i n i o w y c h o d l e w u w s t o s u n k u d o
o d p o w i e d n i c h w y m i a r ó w m o d e l u , w e d Bu g k t ó r e g o w y k o n a n o f o r m . S k u r c z t e n m o |e b y
s w o b o d n y l u b h a m o w a n y w s k u t e k o p o r ó w f o r m y o r a z n i e r ó w n o m i e r n e g o s t y g n i c i a o d l e w u .
N a l e |y t a k |e o d r ó |n i s k u r c z z w i z a n y z e s t y g n i c i e m c i e k Be g o m e t a l u , s k u r c z p r z y k r z e p n i c i u
o r a z s k u r c z w s t a n i e s t a By m . K a |d y o d l e w k r z e p n i e i s t y g n i e w f o r m i e o p e w n y c h
w Ba [c i w o [c i a c h m e c h a n i c z n y c h . W p By w a t o n a z m i a n y w y m i a r o w e o d l e w u s p o w o d o w a n e
s k u r c z e m o d l e w n i c z y m .
W a |n y m e l e m e n t e m r o z p a t r y w a n e g o p r o c e s u s t e | n a p r |e n i a p o w s t a j c e w c z a s i e
s t y g n i c i a o d l e w u , a b d c e w y p a d k o w y m i n a p r |e D c i e p l n y c h , f a z o w y c h i s k u r c z o w y c h .
N a p r |e n i a c i e p l n e w y n i k a j z r ó |n i c s z y b k o [c i s t y g n i c i a p o s z c z e g ó l n y c h c z [c i o d l e w u .
N a p r |e n i a f a z o w e w y n i k a j z e z m i a n o b j t o [c i p o d c z a s p r z e m i a n f a z o w y c h , a p r z y k Ba d e m m o |e
b y g r a f i t y z a c j a |e l i w a l u b p r z e m i a n a |e l a z a ³ w |e l a z o a . W r e s z c i e n a p r |e n i a s k u r c z o w e
w y n i k a j z e w s p o m n i a n e g o m e c h a n i c z n e g o h a m o w a n i a s k u r c z u w s k u t e k o p o r u c z [c i f o r m y
o d l e w n i c z e j . J e |e l i w y g e n e r o w a n e w t e n s p o s ó b n a p r |e n i a p r z e k r o c z w k t ó r y m [ m i e j s c u
o d l e w u w y t r z y m a Bo [ s t o p u , w ó w c z a s p r o w a d z i t o d o p o w s t a n i a r y s i p k n i , o b n i |a j c y c h
w a r t o [ u |y t k o w w y t w o r u .
I n |y n i e r p r o j e k t u j c y o k r e [l o n t e c h n o l o g i w y t w a r z a n i a o d l e w u d y s p o n u j e p e w n y m i
m o |l i w o [c i a m i i n g e r e n c j i w p r z e b i e g p r o c e s u k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a o d l e w u - m i d z y i n n y m i
p r z e z w Ba [c i w e z a p r o j e k t o w a n i e n a d d a t k ó w t e c h n o l o g i c z n y c h , o c h Ba d z a l n i k ó w w e w n t r z n y c h i
z e w n t r z n y c h , r o z m i e s z c z e n i e i w i e l k o [ n a d l e w ó w , p r z y j c i e o p t y m a l n e j t e m p e r a t u r y
z a l e w a n i a i s k Ba d u c h e m i c z n e g o s t o p u i w r e s z c i e p r z e z o d p o w i e d n i d o b ó r m a s y f o r m i e r s k i e j .
P r o c e s p r o j e k t o w a n i a t e c h n o l o g i i w y t w a r z a n i a o d l e w u m o |e b y i s t o t n i e r o z s z e r z o n y ,
u n o w o c z e [n i o n y i u l e p s z o n y p o p r z e z w y k o r z y s t a n i e m o |l i w o [c i , j a k i e s t w a r z a
w p r o w a d z e n i e m e t o d n u m e r y c z n y c h d o o b l i c z e D k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a m e t a l u w f o r m i e .
2 . 2 . P o d s t a w y m a t e m a t y c z n e o p i s u k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a
P i e r w s z y m e t a p e m p r a c z w i z a n y c h z p r z y b l i |o n y m i ( l u b d o k Ba d n y m i ) o b l i c z e n i a m i
p r z e b i e g u k r z e p n i c i a m e t a l u w f o r m i e j e s t p r z y j c i e o k r e [l o n e g o o p i s u m a t e m a t y c z n e g o t e g o
p r o c e s u . B a z t a k i e g o o p i s u s r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e z w y c z a j n e l u b c z s t k o w e u z u p e Bn i o n e
o d p o w i e d n i m i w a r u n k a m i j e d n o z n a c z n o [c i . T a k w i c p r o b l e m y w y m i a n y c i e p Ba i m a s y w
n i e j e d n o r o d n y m u k Ba d z i e o d l e w f o r m a t r a k t u j e m y j a k o z a d a n i a b r z e g o w e - p o c z t k o w e z
r u c h o m y m i g r a n i c a m i . R o z r ó |n i a p r z y t y m b d z i e m y d w a p o d s t a w o w e m o d e l e , a
m i a n o w i c i e :
- k r z e p n i c i e m e t a l u w s t a Be j t e m p e r a t u r z e ,
- k r z e p n i c i e m e t a l u w i n t e r w a l e t e m p e r a t u r y ,
p r z y c z y m p r o b l e m y z w i z a n e z o p i s e m m a t e m a t y c z n y m k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a
p r z e d s t a w i m y d o [ s z c z e g ó Bo w o .
2 . 2 . 1 . R ó w n a n i e e n e r g i i
W n i n i e j s z y m p o d r o z d z i a l e w y p r o w a d z i m y f u n d a m e n t a l n e w d z i e d z i n i e p r z e p By w u c i e p l a
r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e n a z y w a n e r ó w n a n i e m e n e r g i i , r ó w n a n i e m p r z e w o d n i c t w a , r ó w n a n i e m
d y f u z j i c z y t e | r ó w n a n i e m F o u r i e r a - K i r c h h o f f a . R ó w n a n i e t o o p i s u j e n i e s t a c j o n a r n e l u b
s t a c j o n a r n e p o l a t e m p e r a t u r y w p e w n y m o b s z a r z e &!, w k t ó r y m c i e p Bo p r z e n o s z o n e j e s t p r z e z
p r z e w o d z e n i e ( l u b w b a r d z i e j o g ó l n y m p r z y p a d k u r ó w n i e | p o p r z e z k o n w e k c j ) . A b y o p i s
m a t e m a t y c z n y p r z e p By w u c i e p Ba w o b s z a r z e &! b y B p e Bn y , r ó w n a n i e e n e r g i i n a l e |y u z u p e Bn i t z w .
w a r u n k a m i j e d n o z n a c z n o [c i ( w a r u n k i b r z e g o w e , p o c z t k o w e , g e o m e t r y c z n e i f i z y c z n e ) ,
p r o b l e m y t e o m ó w i m y w d a l s z e j c z [c i r o z d z i a Bu 2 .
N a l e |y j e s z c z e p o d k r e [l i , |e r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e o p i s u j c e p r o c e s y d y f u z y j n e ( n p . r u c h
m a s y ) s b a r d z o p o d o b n e d o r ó w n a n i a e n e r g i i - p o d o b n e s r ó w n i e | s p o s o b y i c h
w y p r o w a d z a n i a .
C z y s t u d i o w a n i e s z c z e g ó Bo w y c h r o z w a |a D z w i z a n y c h z d o c h o d z e n i e m d o o s t a t e c z n e j
p o s t a c i r ó w n a n i a e n e r g i i j e s t d l a C z y t e l n i k a t e j k s i |k i n i e z b d n e ? O t ó | w y d a j e s i , |e t a k . O d
s t r o n y f i z y c z n e j w s z y s t k i e s k Ba d n i k i t e g o r ó w n a n i a z a r ó w n o d l a b e z zr ó d Bo w y c h p ó l t e m p e r a t u r y
( n p . o b s z a r f o r m y o d l e w n i c z e j ) , j a k i d l a p ó l zr ó d Bo w y c h ( n p . o b s z a r k r z e p n c e g o m e t a l u ) d a j
s i Ba t w o i n t e r p r e t o w a , r ó w n a n i e e n e r g i i j e s t n i c z y m i n n y m j a k r ó |n i c z k o w p o s t a c i b i l a n s u
e n e r g i i ( I z a s a d y t e r m o d y n a m i k i ) , n a t o m i a s t e t a p y p o [r e d n i e s p r o w a d z a j s i d o b i l a n s o w a n i a
o d p o w i e d n i o w y b r a n y c h e l e m e n t a r n y c h o b j t o [c i w y r ó |n i o n y c h w &! i s t a n o w i p r a w i e g o t o w e
w z o r y d o o b l i c z e D n u m e r y c z n y c h z w y k o r z y s t a n i e m t z w . m e t o d y b i l a n s ó w e l e m e n t a r n y c h .
A b y u Ba t w i C z y t e l n i k o w i [l e d z e n i e w y w o d ó w , b d c y c h p r z e d m i o t e m n i n i e j s z e g o
r o z d z i a Bu , p r z y p o m n i m y p o d s t a w o w e p r a w a d o t y c z c e p r z e w o d z e n i a c i e p Ba .
P r a w o F o u r i e r a . P r z e w o d z e n i e c i e p Ba j e s t j e d n y m z t r z e c h s p o s o b ó w j e g o t r a n s p o r t u
( o b o k k o n w e k c j i i p r o m i e n i o w a n i a ) . P o l e g a o n o n a p r z e k a z y w a n i u e n e r g i i p r z e z d r o b i n y l u b
a t o m y b e z p o [r e d n i o s t y k a j c e s i z e s o b . P r z e w o d z e n i e c i e p Ba w y s t p u j e w c i a Ba c h s t a By c h , a
r ó w n i e | w c i e c z a c h i g a z a c h , z t y m , |e d l a c i e c z y i g a z ó w Bc z y s i o n o z i n n y m i s p o s o b a m i
t r a n s p o r t u c i e p Ba . P o d s t a w o w y m p r a w e m o p i s u j c y m p r o c e s p r z e w o d z e n i a c i e p Ba w o b s z a r z e &!
j e s t p r a w o F o u r i e r a
q ( X , t ) = - » g r a d T ( X , t ) . ( 2 . 1 )
C h w i l o w y l o k a l n y s t r u m i e D c i e p Ba q ( W / m 2 ) j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o l o k a l n e g o g r a d i e n t u
t e m p e r a t u r y w p u n k c i e X " &! i w c h w i l i t . W s p ó Bc z y n n i k p r o p o r c j o n a l n o [c i » ( W / m K )
n a z y w a s i w s p ó Bc z y n n i k i e m p r z e w o d z e n i a c i e p Ba ( p r z e w o d n o [c i c i e p l n ) i z m i e n i a s i o n
w b a r d z o s z e r o k i c h g r a n i c a c h . I t a k d l a m e t a l i »= 3 0 - 5 0 ( s t a l i w o , |e l i w o ) , »= 3 0 0 - 4 0 0 ( m i e d z,
s r e b r o ) . D l a t y p o w y c h m a s f o r m i e r s k i c h »= 0 , 6 - 2 , 5 , d l a g a z ó w j e s t w i e l k o [c i r z d u 1 0 - 2 .
W s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a c i e p Ba j e s t z r e g u By f u n k c j t e m p e r a t u r y , c h o c i a | f a k t t e n
c z s t o p o m i j a m y , b i o r c w a r t o [c i [r e d n i e w o k r e [l o n y m i n t e r w a l e , n a t o m i a s t d l a c i a B
a n i z o t r o p o w y c h p r z e w o d n o [ c i e p l n a j e s t t e n s o r e m ( j e s t r ó |n a w r ó |n y c h k i e r u n k a c h ) . T e o r i e
p r z e w o d z e n i a c i e p Ba d l a p r z y p a d k u c i a B a n i z o t r o p o w y c h m o |n a z n a l e z w l i t e r a t u r z e , n a t o m i a s t
d l a n a s z y c h p o t r z e b p o d e j [c i e t a k i e n i e j e s t p o t r z e b n e m . i n . z t e j o c z y w i s t e j p r z y c z y n y , |e
w l i t e r a t u r z e b r a k j e s t d a n y c h l i c z b o w y c h u m o |l i w i a j c y c h o b l i c z e n i a k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a
m e t a l i t r a k t o w a n y c h j a k o c i a Ba a n i z o t r o p o w e .
G r a d i e n t t e m p e r a t u r y ( K / m ) w p u n k c i e X " &! j e s t w e k t o r e m s k i e r o w a n y m n o r m a l n i e
( p r o s t o p a d l e ) d o p o w i e r z c h n i i z o t e r m i c z n e j , j a k n a r y s . 2 . 1 . D Bu g o [ g r a d i e n t u ( m o d u B) j e s t
t y m w i k s z a i m w i k s z a ( b a r d z i e j s t r o m a ) j e s t z m i a n a t e m p e r a t u r y w o t o c z e n i u p u n k t u X .
T 1 > T 2 > T 3
R y s . 2 . 1 . G r a d i e n t t e m p e r a t u r y i s t r u m i e D c i e p Ba
G r a d i e n t m a z w r o t o d t e m p e r a t u r y n i |s z e j d o w y |s z e j . P o n i e w a | c i e p Bo s a m o i s t n i e p By n i e o d
t e m p e r a t u r y w y |s z e j d o n i |s z e j , w i c z n a k , , m i n u s " w r ó w n a n i u ( 2 . 1 ) j e s t o c z y w i s t y .
S t r u m i e D c i e p Ba o k r e [l o n y w z o r e m ( 2 . 1 ) j e s t w i e l k o [c i w e k t o r o w . J e |e l i o b s z a r &!
z o r i e n t o w a n o w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h p r o s t o k t n y c h X = { x , y , z } , t o g r a d i e n t t e m p e r a t u r y
T = T ( x , y , z ) w c h w i l i t f i w p u n k c i e P 0 ( ; r 0 , y 0 , z 0 ) j e s t w e k t o r e m o s k Ba d o w y c h
îøëø "T öø f ëø "T öø f "T öø f ùø
ïø , ìø ÷ø , ëø úø .
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
"z
íø øøP ûø
ïø úø
0 0
ðøíø "x øøP íø "y øøP 0
f
f f
îø ùø
"T ëø öø "T
"T
öø öø
a s t r u m i e D c i e p Ba w e k t o r e m q = - ïøëø- » , ìø- » ÷ø , ëø- » úø .
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
"z
íø øøP ûø
ïø úø
0 0
ðøíø "x øøP íø "y øøP 0
" " P r z y k Ba d . Z a Bó |m y , |e w o b s z a r z e p Ba s k i m 0 d"x e" l s t a c j o n a r n e p o l e t e m p e r a t u r y T = T ( x , y )
o p i s u j e r ó w n a n i e T = 1 0 0 x 2 + 2 0 0 ) ' 2 + 1 0 x + 5 ) ' + 3 0 . W s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a » j e s t s t a By
i w y n o s i 2 0 ( W / m K ) . O b l i c z y g r a d i e n t t e m p e r a t u r y i s t r u m i e D c i e p Ba w [r o d k u p By t y . M a m y
"T / "x = 2 0 0 x + 1 0 , "T / "y = 4 0 0 y + 5 , c z y l i ( "T / "x ) p = 1 1 0 , ( d T / d y ) p = 2 0 5 , a w i c g r a d T = [ l 1 0 ,
2 0 5 ] , q = [ - 2 2 0 0 , - 4 1 0 0 ] , n a t o m i a s t | q | = 4 6 5 3 ( W / m 2 ) j e s t w i e l k o [c i s t r u m i e n i a p r z e w o d z o n e g o
w t y m p u n k c i e .
S p o s ó b o b l i c z a n i a g r a d i e n t u t e m p e r a t u r y w i n n y c h n i | p r o s t o k t n y u k Ba d a c h w s p ó B-
r z d n y c h z o s t a n i e o m ó w i o n y w d a l s z e j c z [c i n i n i e j s z e g o r o z d z i a Bu .
W o p i s i e m a t e m a t y c z n y m p r o c e s ó w w y m i a n y c i e p Ba w u k Ba d z i e o d l e w - f o r m a
( w s z c z e g ó l n o [c i w w a r u n k a c h b r z e g o w y c h ) p o j a w i a s i r ó w n i e | p o j c i e s t r u m i e D c i e p Ba
n o r m a l n y d o b r z e g u o b s z a r u ( p o r . r y s . 2 . 2 ) . W i e l k o [ t a w i |e s i b e z p o [r e d n i o z e z n a n y m z
k u r s u a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j p o j c i e m p o c h o d n e j k i e r u n k o w e j .
R y s . 2 . 2 . S t r u m i e D c i e p Ba n o r m a l n y d o b r z e g u
J a k o p r z y k Ba d w y j a [n i a j c y p o j c i e p o c h o d n e j k i e r u n k o w e j r o z w a |m y d w u w y m i a r o w e
p o l e t e m p e r a t u r y . O b r a z e m g e o m e t r y c z n y m t e g o p o l a j e s t p o w i e r z c h n i a o k r e [l o n a i c i g Ba
w o b s z a r z e &! r o z c i g n i t a n a d t y m o b s z a r e m . J e |e l i w w y b r a n y m p u n k c i e P 0 ( x 0 , y 0 )
p o p r o w a d z i m y p Ba s z c z y z n s t y c z n d o p o w i e r z c h n i T ( x , y ) , t o p o c h o d n e c z s t k o w e
"T x ( P 0 ) , "T y ( P 0 ) s w s p ó Bc z y n n i k a m i k i e r u n k o w y m i p r o s t y c h p r z e c h o d z c y c h p r z e z P 0 ,
l e |c y c h n a p Ba s z c z y zn i e r ó w n o l e g By c h d o o s i x i y o d p o w i e d n i o . P o c h o d n a k i e r u n k o w a
n a t o m i a s t j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m k i e r u n k o w y m p r o s t e j p r z e c h o d z c e j p r z e z P 0 i l e |c e j
w p Ba s z c z y zn i e , a p r z y t y m t w o r z c e j z o s i a m i u k Ba d u k t y ±, ² ( l u b w p r z e s t r z e n i ±, ², ³) .
d T
ëø öø
O z n a c z y m y t p o c h o d n s y m b o l e m
ìø ÷ø
d n
íø øøP
0
R y s . 2 . 3 . C o s i n u s y k i e r u n k o w e w e k t o r a n
N a r y s u n k u 2 . 3 p o k a z a n o d w a l e |c e b l i s k o s i e b i e p u n k t y n a p o w i e r z c h n i T ( x , y ) , k t y ± i
² o r a z o d l e g Bo [c i "x , "y . P o c h o d n a t e m p e r a t u r y w p u n k c i e P 0 w k i e r u n k u n j e s t g r a n i c
i l o r a z u r ó |n i c o w e g o [ r ó |n i c o w e g o [ T ( x 1 , y 1 ) - T ( x 0 , y 0 ) ] / "n p r z y x 1 ’!x 0 , y 1 ’!y 0 ( "n ’!0 ) . I l o r a z
t e n p r z e k s z t a Bc i m y w s p o s ó b n a s t p u j c y
T ( x 1 , y 1 ) - T ( x 0 , y 0 ) T ( x 1 , y 1 ) - T ( x 1 , y 0 ) + T ( x 1 , y 0 ) - T ( x 0 , y 0 )
I n = = =
"n "n
T ( x 1 , y 0 ) - T ( x 0 , y 0 ) T ( x 1 , y 1 ) - T ( x 1 , y 0 ) "y
"x
= + = ( 2 . 2 )
"n "n "y "n
T ( x 1 , y 0 ) - T ( x 0 , y 0 ) T ( x 1 , y 1 ) - T ( x 1 , y 0 )
= c o s ±0 + c o s ²0 .
"x "y
W g r a n i c y x 1 ’!x 0 , y 1 ’!y 0 o t r z y m u j e m y
d T "T "T
ëø öø ëø öø ëø öø
= c o s ±0 + c o s ²0 = n ( g r a d T ) P , ( 2 . 3 )
ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø
0
d n "x "x
íø øøP íø øøP íø øøP
0 0 0
g d z i e n = [ c o s ±0 , c o s ²0 ] j e s t w e r s o r e m ( w e k t o r e m j e d n o s t k o w y m ) w k i e r u n k u n , n ( g r a d T ) Á0
i l o c z y n e m s k a l a r n y m w e r s o r a n i g r a d i e n t u t e m p e r a t u r y w p u n k c i e P 0 " &! .
Z p r z e d s t a w i o n y c h w y |e j r o z w a |a D w y n i k a , |e s t r u m i e D c i e p Ba w k i e r u n k u n j e s t
w i e l k o [c i s k a l a r n i w y n o s i
q n ( X , t ) = - »n g r a d T ( X , t ) . ( 2 . 4 )
G d y s t r u m i e D c i e p Ba q n ( X , t ) j e s t j e d n a k o w y n a c a Be j r o z p a t r y w a n e j p o w i e r z c h n i , k t ó r e j p o l e
w y n o s i "F , t o
Q n = - »n g r a d T "F ( W ) , ( 2 . 5 )
n a t o m i a s t i l o [ c i e p Ba , j a k a p r z e p By n i e p r z e z p o w i e r z c h n i "F w c z a s i e "t , w y n o s i
Q n = - »n g r a d T "F "t ( J ) . ( 2 - 6 )
N i e s t a c j o n a r n e b e z zr ó d Bo w e p r z e w o d z e n i e c i e p Ba w y s t p u j e w p o d o b s z a r a c h f o r m y
o d l e w n i c z e j , w z a k r z e p Be j c z [c i o d l e w u ( j e |e l i p o m i n p r z e m i a n y f a z o w e w s t a n i e s t a By m ) ,
w p o d o b s z a r z e c i e k Be g o m e t a l u ( j e |e l i p o m i n k o n w e k c y j n e m i e s z a n i e c i e c z y ) .
N i |e j r o z w a |a b d z i e m y z a d a n i e j e d n o w y m i a r o w e . P o l e t e m p e r a t u r y j e s t f u n k c j d w ó c h
z m i e n n y c h T = T ( x , t ) .
R y s . 2 . 4 . S k Ba d n i k i b i l a n s u e n e r g i i d l a e l e m e n t u "x .
N a r y s u n k u 2 . 4 p o k a z a n o w a r s t e w k o s z e r o k o [c i "x w y c i t , z o b s z a r u &!. W s k a zn i k a m i d
i , , w " w y r ó |n i o n o c i e p Bo d o p r o w a d z o n e i o d p r o w a d z o n e z w a r s t e w k i w c z a s i e "t .
Z g o d n i e z I z a s a d t e r m o d y n a m i k i m o |n a z a p i s a :
Q d = Q w + "E u , ( 2 . 7 )
g d z i e "E u j e s t p r z y r o s t e m e n e r g i i w e w n t r z n e j w a r s t w y . Z r ó w n a n i a ( 2 . 6 ) w y n i k a , |e
"T ( x , t )
Q d = - » "F "t , ( 2 . 8 )
"x
n a t o m i a s t
"T ( x , t ) " "T ( x , t )
îø»
Q w = - » "F "t - "F ùø"t "x . ( 2 . 9 )
ïø úø
"x "x "x
ðø ûø
Z a u w a |m y , |e o s t a t n i e r ó w n a n i e j e s t r o z w i n i c i e m f u n k c j i T ( x , t ) w s z e r e g T a y l o r a w o t o c z e n i u
p u n k t u x w z g l d e m w s p ó Br z d n e j p r z e s t r z e n n e j z d o k Ba d n o [c i d o p i e r w s z y c h d w ó c h w y r a z ó w
f ( x + "x , t ) = f ( x , t ) + d f ( x , t ) . P r z y r o s t e n e r g i i u k Ba d u w y n o s i
"E u = c Á[ T ( x t + "t ) - T ( x , t ) ] "V , ( 2 . 1 0 )
g d z i e c , Á - c i e p Bo w Ba [c i w e i g s t o [ m a s y , "V - o b j t o [ w a r s t e w k i o s z e r o k o [c i "x ,
w y r a |e n i e w n a w i a s i e j e s t z m i a n t e m p e r a t u r y w a r s t e w k i w c z a s i e "t . W y k o r z y s t u j c
z a l e |n o [c i ( 2 . 7 ) - ( 2 . 1 0 ) , o t r z y m u j e m y
T ( x , t + "t ) - T ( x , t ) "V = " "T ( x , t )
îø»"F ùø"x
c Á
. ( 2 . 1 1 )
ïø úø
"t "x "x
ðø ûø
G d y "t ’!0 , t o
"T ( x , t ) "V = " "T ( x , t )
îø»"F ùø"x . ( 2 . 1 2 )
c Á
ïø úø
"t "x "x
ðø ûø
R o z w a |m y t r z y n a s t p u j c e p r z y p a d k i .
1 . P By t a n i e s k o Dc z o n a . W t y m p r z y p a d k u "F ( p o r . r y s . 2 . 4 ) j e s t s t a Be , n a t o m i a s t
"V = "F "x . W y r ó |n i o n p o w i e r z c h n i "F m o |e m y w y Bc z y p r z e d o p e r a t o r
r ó |n i c z k o w a n i a p o p r a w e j s t r o n i e r ó w n a n i a e n e r g i i i o s t a t e c z n i e
"T ( x , t ) " "T ( x , t )
îø» ùø
c " = . ( 2 . 1 3 )
ïø úø
"t "x "x
ðø ûø
Z a u w a |m y , |e d l a s t a By c h w a r t o [c i p a r a m e t r ó w t e r m o f i z y c z n y c h c , ", » o t r z y m u j e s i
"T ( x , t ) "2 T ( x , t )
= a
, ( 2 . 1 4 )
"t "x 2
g d z i e a = »/ c Á j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m d y f u z j i c i e p Ba ( w s p ó Bc z y n n i k i e m p r z e w o d z e n i a
t e m p e r a t u r y ) .
2 . W a l e c n i e s k o Dc z o n y . D l a w a l c a n i e s k o Dc z o n e g o "F = 2 Àx h , "V = À[ ( x + "x ) 2 - x 2 ] h ,
g d z i e h j e s t a r b i t r a l n i e w y r ó |n i o n y m w y m i a r e m w z d Bu | o s i w a l c a n i e s k o Dc z o n e g o ,
m a m y
"T ( x , t ) " "T ( x , t )
îø»2 Àx h ùø"x . ( 2 . 1 5 )
c Á ( 2 x "x + "x 2 ) Àh =
ïø úø
"t "x "x
ðø ûø
O d r z u c a j c "x 2 j a k o w i e l k o [ n i e s k o Dc z e n i e m a B d r u g i e g o r z d u i d z i e l c o s t a t n i e
r ó w n a n i e p r z e z 2 Àh "x , o t r z y m u j e m y
"T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø»x ùø
c Á = . ( 2 . 1 6 )
ïø úø
"t x "x "x
ðø ûø
3 . P o w Bo k a k u l i s t a . D l a p o w Bo k i k u l i s t e j "F = 4 Àx 2
3
3
"V = À[ ( x + "x ) - x 3 ] = 4 À( x 2 "x + x "x 2 ) ,
4
c z y l i
"T ( x , t ) 4 À + x "x 2 ) = " "T ( x , t )
îø»4 Àx 2 ùø"x . ( 2 . 1 7 )
c Á ( x 2 "x
ïø úø
"t "x "x
ðø ûø
O d r z u c a m y "x 2 , d z i e l i m y p r z e z 4 À "x i o s t a t e c z n i e
"T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø»x 2 ùø
c Á = . ( 2 . 1 8 )
ïø úø
"t x 2 "x "x
ðø ûø
M o |e m y z a u w a |y , |e r ó w n a n i a ( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 6 ) , ( 2 . 1 8 ) s p r o w a d z a j s i d o p o s t a c i
"T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø»x m ùø
c Á = c Á ( 2 . 1 9 )
ïø úø
"t x m "x "x
ðø ûø
g d z i e m = 0 , l , 2 d o t y c z y o d p o w i e d n i o g e o m e t r i i p By t y , w a l c a i k u l i . D l a s t a By c h
p a r a m e t r ó w c , Á, » o s t a t n i e r ó w n a n i e s p r o w a d z a s i d o
"T ( x , t ) a " "T ( x , t )
îø»x m ùø
c Á = c Á . ( 2 . 2 0 )
ïø úø
"t x m "x "x
ðø ûø
J e d n o w y m i a r o w e r ó w n a n i a e n e r g i i m a j d u |e z n a c z e n i e w t e r m o d y n a m i c e p r o c e s ó w
o d l e w n i c z y c h , p o n i e w a | w i e l e o d l e w ó w o t y p o w y c h k s z t a Bt a c h m o |n a z d u | d o k Ba d n o [c i
a p r o k s y m o w a b r y Ba m i t y p u p By t a , w a l e c , k u l a , p r z y c z y m f a k t , |e [c i a n k a o d l e w u n i e j e s t
p By t n i e s k o Dc z o n , a n a d l e w w a l c o w y m a w y m i a r y s k o Dc z o n e , n i e m a - m i m o p o z o r ó w -
d u |e g o z n a c z e n i a . W y n i k i d o t y c z c e n p . o b l i c z e D c z a s u k r z e p n i c i a [c i a n k i c z y t e | w a l c a
s k o Dc z o n e g o p r z y z a Bo |e n i u i c h n i e s k o Dc z o n y c h w y m i a r ó w s w y s t a r c z a j c o d o k Ba d n e d l a
p o t r z e b p r a k t y c z n y c h , j e |e l i t y l k o j e d e n z w y m i a r ó w r ó |n i s i i s t o t n i e o d p o z o s t a By c h ( n p .
g r u b o [ p By t y j e s t c z t e r o - p i c i o k r o t n i e m n i e j s z a o d s z e r o k o [c i i w y s o k o [c i ) . M o |n a w t y m
m i e j s c u o d w o Ba s i r ó w n i e | d o z n a n y c h m o d e l i S t e f a n a i S c h w a r z a , k t ó r e d o t y c z
p ó Bp r z e s t r z e n i , a p e w n e w n i o s k i w y n i k a j c e z r o z w i z a D t y c h z a d a D m a j i s t o t n e z n a c z e n i e
d l a p r a k t y k i .
2 . 2 . 2 . P o c h o d n a m a t e r i a l n a
Z a Bó |m y , |e d l a w a r s t w y "X , p r z e z k t ó r c i e p Bo j e s t p r z e w o d z o n e ( z a d a n i e 1 D ) , d o p By w a
z p r d k o [c i k= [ u , 0 , 0 ] s t r u m i e D m a t e r i a Bu , k t ó r y m w y p e Bn i o n y j e s t o b s z a r &! ( n p . c i e k By
m e t a l - p o r . r y s . 2 . 5 ) .
R y s . 2 . 5 . S k Ba d n i k i b i l a n s u e n e r g i i d l a w a r s t w y "x
D o u k Ba d u d o p By w a w i c d o d a t k o w o s t r u m i e D e n t a l p i i w i l o [c i
Q l = c Áu T ( x , t ) "F "t . ( 2 . 2 1 )
d
C i e p Bo o d p r o w a d z o n e z e s t r u m i e n i e m c z y n n i k a w y n o s i
Q l = c Áu T ( x , t ) "F "t + "x "t . ( 2 . 2 2 )
d
Z w a r u n k u c i g Bo [c i p r z e p By w u u "F = i d e m , c z y l i
Q l = c Áu T ( x , t ) "F "t + "x "t . ( 2 . 2 3 )
d
U z u p e Bn i a j c l e w i p r a w s t r o n b i l a n s u ( 2 . 7 ) s k Ba d n i k a m i k o n d u k c y j n y m i i b i o r c " t ’! O
o t r z y m u j e m y
"T ( x , t ) "V + u "F "T ( x , t ) "x = " "T ( x , t )
ùø îø»"F ùø"x . ( 2 . 2 4 )
c Áîø
ïø úø ïø úø
"t "x "x "x
ðø ûø ðø ûø
P o s t p u j c a n a l o g i c z n i e j a k p o p r z e d n i o , d o c h o d z i m y d o n a s t p u j c y c h r ó w n a D:
- d l a p By t y
"T ( x , t ) "T ( x , t ) " "T ( x , t )
ùø îø» ùø
c Áîø + u = ( 2 . 2 5 )
ïø úø ïø úø
"t "x "x "x
ðø ûø ðø ûø
- d l a w a l c a
"T ( x , t ) "T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
ùø îø»x ùø
c Áîø + u = ( 2 . 2 6 )
ïø úø ïø úø
"t "x x "x "x
ðø ûø ðø ûø
- d l a k u l i
"T ( x , t ) "T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
ùø îø»x 2 ùø
c Áîø + u = . ( 2 . 2 7 )
ïø úø ïø úø
"t "x x 2 "x "x
ðø ûø ðø ûø
W y s t p u j c e w o s t a t n i c h t r z e c h r ó w n a n i a c h w y r a |e n i e "T t + "T x n a z y w a s i p o c h o d n
m a t e r i a l n i n a j c z [c i e j o z n a c z a n e j e s t s y m b o l e m D T ( X , t ) / D t . M o |n a s t o s u n k o w o p r o s t o
p o k a z a , |e w o g ó l n y m p r z y p a d k u
D T ( X , t ) "T ( X , t )
= + u g r a d T ( X , t ) . ( 2 . 2 8 )
D t "t
I t a k w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h p r o s t o k t n y c h X = { x , y , z ] , j e [l i k= [ u x , , u y , u z ]
D T ( X , t ) "T ( X , t ) "T ( X , t ) "T ( X , t ) "T ( X , t )
= + u x + u y + u z . ( 2 . 2 9 )
D t "t "x "y "z
J a k w s p o m n i a n o p o p r z e d n i o , r ó w n a n i a t y p u ( 2 . 2 5 ) , ( 2 . 2 6 ) , ( 2 . 2 7 ) o p i s u j p r o c e s y p r z e p By w u
c i e p Ba w c i e k By m m e t a l u ( c i e k By m j d r z e k r z e p n c e g o o d l e w u , w l e w k a l u b w l e w k a c i g Be g o ) .
Z p u n k t u w i d z e n i a z a s t o s o w a n i a m e t o d n u m e r y c z n y c h ( n u m e r y c z n y c h a n a l o g o n ó w r ó w n a D
r ó |n i c z k o w y c h ) n i e m a i s t o t n y c h t r u d n o [c i z i c h p r z y b l i |o n y m r o z w i z y w a n i e m . P o j a w i a s i
t u j e d n a k p e w i e n d o d a t k o w y p r o b l e m , a m i a n o w i c i e w y z n a c z e n i e p o l a p r d k o [c i k w c i e k Be j
c z [c i o d l e w u . W c h o d z i m y t u n a g r u n t r ó w n a l i h y d r o d y n a m i k i ( r ó w n a n i a N a v i e r a S t o k e s a ,
r ó w n a n i a c i g Bo [c i , o d p o w i e d n i c h w a r u n k ó w b r z e g o w o p o c z t k o w y c h ) . Z a g a d n i e n i a t e
w y k r a c z a j z d e c y d o w a n i e p o z a r a m y p r o b l e m a t y k i , n a d k t ó r z a m i e r z a m y s i s k o n c e n t r o w a
i p r z e d s t a w i C z y t e l n i k o w i w m i a r p r z y s t p n e j i z r o z u m i a Be j f o r m i e .
I s t n i e j e s z e r e g p r o b l e m ó w i n |y n i e r s k i c h , g d z i e r o z w i z a n i e s p r z |o n e g o m o d e l u
o p i s a n e g o r ó w n a n i a m i e n e r g i i i h y d r o m e c h a n i k i m a z n a c z e n i e f u n d a m e n t a l n e ( n p . a n a l i z a
p r o c e s ó w c i e p l n y c h i h y d r a u l i c z n y c h w m a s z y n a c h p r z e p By w o w y c h ) . W t e r m o d y n a m i c e
p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h ( p o m i j a j c p e w n e w y s o k o z a a w a n s o w a n e b a d a n i a p o d s t a w o w e ) , a w
s z c z e g ó l n o [c i p r z y o b l i c z e n i a c h k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a o d l e w ó w , z a g a d n i e n i e t o n i e j e s t
n a j w a |n i e j s z e , m o |n a z r e s z t p o d a k i l k a z n a n y c h z l i t e r a t u r y s p o s o b ó w o m i n i c i a t r u d n o [c i
z r o z w i z y w a n i e m m o d e l u s p r z |o n e g o .
J e d n z t a k i c h m o |l i w o [c i j e s t p r z y j c i e w r ó w n a n i u p r z e w o d n i c t w a d l a o b s z a r u
c i e k Be g o m e t a l u t z w . e f e k t y w n e g o w s p ó Bc z y n n i k a p r z e w o d z e n i a c i e p Ba . W l i t e r a t u r z e d o m i n u j e
p o g l d , |e w s p ó Bc z y n n i k z a s t p c z y »e f » 7 »L , g d z i e »L j e s t p r z e w o d n o [c i c i e p l n c i e k Be g o
m e t a l u . C z y t a k i w s p ó Bc z y n n i k o b o w i z u j e d l a c a Be g o p o d o b s z a r u c i e k Be g o m e t a l u ?
I n t u i c y j n i e w y d a j e s i , |e n i e . W o b j t o [c i m a s y w n y c h o d l e w ó w ( w l e w k ó w l u b w l e w k ó w
c i g By c h ) m o |n a z p e w n o [c i w y r ó |n i p o d o b s z a r y s i l n e g o i s Ba b e g o m i e s z a n i a c i e c z y .
U z u p e Bn i e n i e o p i s u m a t e m a t y c z n e g o d o d a t k o w y m r ó w n a n i e m e n e r g i i d l a p o d o b s z a r u
w y r ó |n i o n e g o w c i e k By m j d r z e n i e k o m p l i k u j e i s t o t n i e a l g o r y t m u s y m u l a c j i n u m e r y c z n e j ,
p r o b l e m e m j e s t n a t o m i a s t o k r e [l e n i e k s z t a Bt u i w y m i a r ó w o b s z a r u i n t e n s y w n e g o m i e s z a n i a .
P r o b l e m o b l i c z e D c i e p l n y c h p r o c e s u c i g Be g o o d l e w a n i a s t a l i - C O S ( i i n n y c h m e t a l i )
t y m s i r ó |n i o d m o d e l o w a n i a i n n y c h t e c h n o l o g i i o d l e w n i c z y c h , |e w o p i s i e m a t e m a t y c z n y m
C O S n i e m o |n a p o m i n p o c h o d n e j m a t e r i a l n e j . P o l e p r d k o [c i k, j e |e l i n a w e t p o m i n
k o n w e k c j , i s t n i e j e r e a l n i e i w y n i k a z p r z e m i e s z c z a n i a s i w l e w k a p r z e z u r z d z e n i e d o
c i g Be g o o d l e w a n i a . J e s t t o j e d n a k p o l e j e d n o z n a c z n i e o k r e [l o n e p r z e z p a r a m e t r y
t e c h n o l o g i c z n e p r o c e s u . P r o b l e m o m m o d e l o w a n i a p r o c e s u o d l e w a n i a c i g Be g o p o [w i c i m y
o s o b n y p o d r o z d z i a B.
W y j a [n i e n i a w y m a g a w r e s z c i e s p r a w a o b l i c z e D c i e p l n y c h d o t y c z c y c h p r z e p By w u
c i e k Be g o m e t a l u w k a n a Ba c h d o p r o w a d z a j c y c h m e t a l d o f o r m y ( w l e w g Bó w n y , w l e w y
r o z p r o w a d z a j c e , w l e w y d o p r o w a d z a j c e ) . S t o p r o b l e m y , k t ó r e w z a s a d z i e o p i s u j e s i w
s p o s ó b p r o s t s z y b e z p o t r z e b y w p r o w a d z a n i a d o r o z w a |a D r ó w n a D f i z y k i m a t e m a t y c z n e j .
S p o s o b y o b l i c z e D i n |y n i e r s k i c h d l a z a d a D t y p u , , p r z e p By w c z y n n i k a w k a n a l e " , n a w e t j e |e l i w
c z a s i e p r z e p By w u n a r a s t a ( z g o d n i e z p e w n y m p r a w e m ) w a r s t w a z a k r z e p Ba p r z y [c i a n c e
k a n a Bu , s e l e m e n t a r n e , i i n f o r m a c j e z a w a r t e w d o s t p n y c h p o d r c z n i k a c h w p e Bn i w y s t a r c z
d o s a m o d z i e l n y c h o b l i c z e D u k Ba d ó w w l e w o w y c h .
2 . 2 . 3 . N i e s t a c j o n a r n e zr ó d Bo w e p o l e t e m p e r a t u r y
J e |e l i w o b s z a r z e &!, w k t ó r y m z a c h o d z i p r o c e s p r z e p By w u c i e p Ba , w y s t p u j p u n k t o w e ,
l i n i o w e , p o w i e r z c h n i o w e l u b o b j t o [c i o w e zr ó d Ba c i e p Ba ( d o d a t n i e l u b u j e m n e ) , t o p o l e
t e m p e r a t u r y w t y m o b s z a r z e n a z y w a s i p o l e m zr ó d Bo w y m . T y p o w y m p r z y k Ba d e m o b s z a r u
zr ó d Bo w e g o m o |e b y p r t p a l i w o w y r e a k t o r a j d r o w e g o l u b - a b y n i e s z u k a t a k d a l e k o
p r z e w o d n i k p r z e z , k t ó r y p By n i e p r d . W t e r m o d y n a m i c e p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h r ó w n a n i a d l a
p ó l zr ó d Bo w y c h s j e d n z c e c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h o p i s u m a t e m a t y c z n e g o , p r z y c z y m
r o z w a |a s i zr ó d Ba o b j t o [c i o w e ( w p r z y p a d k u m e t a l i k r z e p n c y c h w i n t e r w a l e t e m p e r a t u r y )
l u b zr ó d Ba p o w i e r z c h n i o w e ( d l a c z y s t y c h m e t a l i l u b s t o p ó w k r z e p n c y c h w s t a Be j
t e m p e r a t u r z e ) . W o b u p r z y p a d k a c h o b e c n o [ zr ó d e B w i |e s i z w y d z i e l a n i e m u t a j o n e g o
c i e p Ba k r z e p n i c i a .
W z a l e |n o [c i o d p o t r z e b c i e p Bo u t a j o n e b d z i e m y o d n o s i d o j e d n o s t k i m a s y L ( J / k g ) l u b
o b j t o [c i L v ( J / m 3 ) .
N i |e j b d z i e m y z a j m o w a s i zr ó d Ba m i o b j t o [c i o w y m i q v , p r o b l e m zr ó d e B p o w i e r z -
c h n i o w y c h z o s t a n i e p r z e d s t a w i o n y w p o d r o z d z i a l e p o [w i c o n y m z a g a d n i e n i u S t e f a n a .
W r ó c i m y z n o w u d o j e d n o w y m i a r o w e g o p r o b l e m u p r z e w o d z e n i a c i e p Ba , t z n . b i l a n s u
e n e r g i i d l a w a r s t e w k i o s z e r o k o [c i "X . C i e p Bo d o p r o w a d z o n e i o d p r o w a d z o n e o d w a r s t e w k i
o p i s u j j a k p o p r z e d n i o z a l e |n o [c i ( 2 . 8 ) i ( 2 . 9 ) . Z m i a n a e n e r g i i w e w n t r z n e j u k Ba d u j e s t s u m
s p a d k u e n t a l p i i z w i z a n e g o z e s t y g n i c i e m m a t e r i a Bu i c i e p Ba w y n i k a j c e g o z d z i a Ba n i a zr ó d e B
w e w n t r z n y c h , c z y l i
"E u = c Á[ T ( x , t + "t ) - T ( x , t ) ] "V - q v "V "t . ( 2 . 3 0 )
Z n a k p l u s l u b m i n u s p r z y s k Ba d n i k u q v "V "t ( J ) j e s t s p r a w d o p e w n e g o s t o p n i a u m o w n .
T u t a j z a Bo |o n o , |e r o z p a t r u j e m y w y d z i e l a n i e s i c i e p Ba u t a j o n e g o p r z y p r z e j [c i u o d s t a n u
c i e k Be g o d o s t a n u s t a Be g o . P i e r w s z y s k Ba d n i k , t z n . c p "T "V ( J ) , j e s t p r z y s t y g n i c i u u j e m n y .
P o n i e w a | z w a r s t e w k i n a l e |y o d p r o w a d z i c i e p Bo , z w i z a n e z a r ó w n o z e s t y g n i c i e m j a k i
k r z e p n i c i e m m e t a l u , w i c o b a s k Ba d n i k i m u s z s i s u m o w a ( b y t e g o s a m e g o z n a k u ) .
B i l a n s e n e r g i i w p o s t a c i
T ( x , t + "t ) - T ( x , t ) " "T ( x , t )
îø»"F ùø"x + q v "V , ( 2 . 3 1 )
c Á "V =
ïø úø
"t "x "x
ðø ûø
p r z y "t ’!0 o r a z o d p o w i e d n i o ( j a k n a r y s . 2 . 4 ) p r z y j t y c h "V i "F p r o w a d z i d o r ó w n a n i a
r ó |n i c z k o w e g o
"T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø»x m ùø
c Á = + q v . ( 2 . 3 2 )
ïø úø
"t x m "x "x
ðø ûø
P r o b l e m y t e o r i i c i e p l n e j p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h r ó |n i s i o d t y p o w y c h z a d a D d o t y c z c y c h
zr ó d Bo w y c h p ó l t e m p e r a t u r y p r z e d e w s z y s t k i m z a s a d n i c z y m d l a t e o r i i i p r a k t y k i
o b l i c z e n i o w e j f a k t e m p r z e m i e s z c z a n i a s i zr ó d e B ( p o w i e r z c h n i o w y c h l u b o b j t o [c i o w y c h )
w r a z z u p By w e m c z a s u . W c h o d z i m y z a t e m w z a k r e s z a d a D b r z e g o w o p o c z t k o w y c h o
r u c h o m y c h g r a n i c a c h ( m o v i n g b o u n d a r y p r o b l e m s ) , k t ó r e s n i e s t e t y d u |o t r u d n i e j s z e o d
z a d a D k l a s y c z n y c h . N i e n a l e |y w i c s i d z i w i , |e p i e r w s z e e f e k t y w n e r o z w i z a n i e
a n a l i t y c z n e p r o b l e m u k r z e p n i c i a u z y s k a n o d o p i e r o p o d k o n i e c X I X w i e k u , r o z w i z a n i a
n u m e r y c z n e w l a t a c h p i d z i e s i t y c h ( E y r e s , S c h n i e w i n d ) , a n p . p r a c e d o t y c z c e
w y k o r z y s t a n i a m e t o d y b r z e g o w y c h r ó w n a D c a Bk o w y c h d o s y m u l a c j i k r z e p n i c i a p o j a w i By s i
w l a t a c h o s i e m d z i e s i t y c h .
J a k w s p o m n i a n o w y |e j , w t y m m i e j s c u z a j m u j e m y s i o b j t o [c i o w y m i zr ó d Ba m i c i e p Ba , a
w i c p r o b l e m a m i o p i s u k r z e p n i c i a m e t a l u , k t ó r e g o s t a n c i e k By o d p o w i a d a t e m p e r a t u r o m T >
T L , s t a n s t a By t e m p e r a t u r o m T < T S . W p r z e d z i a l e { T L , , T S } o d p o w i a d a j c y m s t r e f i e
d w u f a z o w e j z a c h o d z i p r o c e s k r z e p n i c i a i w y d z i e l a s i u t a j o n e c i e p Bo k r y s t a l i z a c j i .
2 . 2 . 4 . R ó w n a n i e e n e r g i i d l a s t r e f y d w u f a z o w e j
W n i e k t ó r y c h p r a c a c h ( k i e r u j e m y t u C z y t e l n i k a d o p u b l i k a c j i W . L o n g i i z e s p o Bu
z W y d z i a Bu O d l e w n i c t w a A G H ) r o z w a |a s i r ó w n a n i e e n e r g i i w p o s t a c i ( 2 . 3 2 ) . S k Ba d n i k q ,
n a z y w a n y j e s t f u n k c j zr ó d Ba i w Ba [c i w y j e j d o b ó r d e c y d u j e o p o p r a w n y m i z g o d n y m z
r z e c z y w i s t y m p r z e b i e g i e m p r o c e s u r o z w i z a n i e m z a g a d n i e n i a k r z e p n i c i a o k r e [l o n e g o
o d l e w u . W p r o w a d z e n i e d o r o z w a |a D t e j f u n k c j i p o z w a l a r ó w n i e | a n a l i z o w a p r o c e s y c i e p l n e
i d y f u z y j n e n a p o z i o m i e m i k r o s k o p o w y m ( k r y s t a l i z a c j a ) , c o m a i s t o t n e z n a c z e n i e w
n i e k t ó r y c h b a d a n i a c h p o d s t a w o w y c h i s t o s o w a n y c h .
A u t o r z y p r o p o n u j n i e c o i n n e p o d e j [c i e , k t ó r e w y d a j e s i n a m b a r d z i e j d o g o d n e ( w
s e n s i e k o n s t r u k c j i a l g o r y t m ó w i p r o c e d u r n u m e r y c z n y c h d l a t y p o w y c h z a d a D z w i z a n y c h z
p r o j e k t o w a n i e m t e c h n o l o g i i o d l e w n i c z y c h ) i k t ó r e p r o w a d z i d o p o j a w i e n i a s i w r ó w n a n i u
e n e r g i i n o w e g o p a r a m e t r u t e r m o f i z y c z n e g o n a z y w a n e g o z a s t p c z p o j e m n o [c i c i e p l n s t r e f y
d w u f a z o w e j .
Z a Bó |m y , |e w w a r s t e w c e "x , k t ó r e j o b j t o [ w y n o s i "V ( r y s . 2 . 6 ) z a k r z e p Ba w c z a s i e "t
o b j t o [ m e t a l u , k t ó r o z n a c z y m y "V S .
I l o [ c i e p Ba , k t ó r e w y d z i e l i Bo s i n a s k u t e k t e g o p r o c e s u w y n o s i L Á"V S . T a k w i c b i l a n s
e n e r g i i , w k t ó r y m
s
"E u = c Á[ T ( x , t + "t ) - T ( x , t ) ] "V - L Á"V
p r o w a d z i d o n a s t p u j c e g o r ó w n a n i a
T ( x , t + "t ) - T ( x , t ) " "T ( x , t ) "V
îø»"F ùø"x + L Á s
c Á "V = . ( 2 . 3 3 )
ïø úø
"t "x "x "t
ðø ûø
D z i e l i m y o s t a t n i e r ó w n a n i e p r z e z "V i o z n a c z a m y "V S / "V = S , c z y l i S j e s t u d z i a Be m
o b j t o [c i o w y m c i a Ba s t a Be g o w w a r s t e w c e "x s t r e f y d w u f a z o w e j . Z d e f i n i c j i u d z i a Bu
o b j t o [c i o w e g o f a z y s t a Be j w o t o c z e n i u p e w n e g o p u n k t u z o b s z a r u s t r e f y d w u f a z o w e j w y n i k a
n a t y c h m i a s t , |e d l a T = T L u d z i a B t e n w y n o s i 0 , z a [ d l a T = T S u d z i a B f a z y s t a Be j w y n o s i l . W
i n t e r w a l e t e m p e r a t u r k r z e p n i c i a f u n k c j a S z m i e n i a s i w p e w i e n s p o s ó b o d w a r t o [c i S = 0 d o
S = 1 .
R y s . 2 . 6 . S c h e m a t s t r e f y d w u f a z o w e j
P o w y k o r z y s t a n i u w z o r ó w o k r e [l a j c y c h "V i "F d l a r o z w a |a n y c h g e o m e t r i i o t r z y m u j e m y
p r z y "t ’!0
"T ( x , t ) 1 " "T ( x , t ) "S ( x , t )
îø»x ùø
m
c Á = + L Á . ( 2 . 3 4 )
ïø úø
"t x m "x "x "t
ðø ûø
I n t u i c y j n i e j e s t r z e c z o c z y w i s t a , |e S m u s i b y f u n k c j t e m p e r a t u r y : S = f ( T ) . P o n i e w a |
"S ( x , t ) d S ( T ) "T ( x , t )
= , ( 2 . 3 5 )
"t d T "t
w i c
d S ( T ) "T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø ùøÁ îø»x m ùø
= . ( 2 . 3 6 )
ïøc - L úø ïø úø
d T "t x m "x "x
ðø ûø ðø ûø
P a r a m e t r C = c L d S / d T ( ] / k g - K ) n a z y w a s i z a s t p c z p o j e m n o [c i c i e p l n s t r e f y
d w u f a z o w e j . N a t o m i a s t r ó w n a n i e ( 2 . 3 6 ) m o |n a z a p i s a w p o s t a c i
"T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø»x m ùø
C Á = ( 2 . 3 7 )
ïø úø
"x x m "x "x
ðø ûø
F o r m a l n i e r z e c z b i o r c , o s t a t n i e r ó w n a n i e j e s t b e z zr ó d Bo w e zr ó d Ba z o s t a By u w z g l d n i o n e w
z a s t p c z e j p o j e m n o [c i c i e p l n e j . P r z e d s t a w i o n e w y |e j r o z w a |a n i a m o |n a j e s z c z e u [c i [l i ,
j e |e l i o d r ó |n i m y [r e d n i g s t o [ s t r e f y d w u f a z o w e j Á o d g s t o [c i ÁS k r z e p n c e g o m e t a l u ,
w ó w c z a s
d S ( T ) "T ( x , t ) 1 " "T ( x , t )
îø ùø îø»x m ùø
s
= , ( 2 . 3 8 )
ïøc Á - Á L úø ïø úø
d T "t x m "x "x
ðø ûø ðø ûø
p r z y c z y m w i e l k o [ w n a w i a s i e j e s t p o j e m n o [c i z a s t p c z o d n i e s i o n d o j e d n o s t k i o b j t o [c i .
2 . 2 . 5 . D o b ó r z a s t p c z e j p o j e m n o [c i c i e p l n e j
W p o d r o z d z i a l e n i n i e j s z y m p r z e d s t a w i m y k i l k a h i p o t e z d o t y c z c y c h f u n k c j i o p i s u j c y c h
z a s t p c z p o j e m n o [ c i e p l n s t r e f y d w u f a z o w e j . A u t o r z y k s i |k i n i e s w s t a n i e w s p o s ó b
j e d n o z n a c z n y o d p o w i e d z i e n a p y t a n i e , k t ó r e z o p i s a n y c h w l i t e r a t u r z e z a l e |n o [c i s l e p s z e , a
k t ó r e g o r s z e . W w i e l u w y k o n a n y c h p r z e z n a s z z e s p ó B p r a c a c h t e s t o w a l i [m y r ó |n e h i p o t e z y
( s z c z e g ó l n i e d l a s t a l i w a ) i m o |e m y s t w i e r d z i , |e w y n i k i o b l i c z e D n u m e r y c z n y c h n i e r ó |n i
s i i s t o t n i e m i d z y s o b .
1 ° . O f u n k c j i S ( T ) w i a d o m o z c a B p e w n o [c i , |e S ( T L ) = 0 o r a z S ( T S ) = 1 . Z a Bó |m y , |e n a
o d c i n k u ( T S , T L ) u d z i a B o b j t o [c i o w y c i a Ba s t a Be g o w s t r e f i e d w u f a z o w e j z m i e n i a s i l i n i o w o
o d l d o 0 :
T L - T
S ( T ) = .
T L - T S
P o n i e w a | d S / d T = - 1 / ( T L - T S ) , w i c
L
C = c + . ( 2 . 3 9 )
T L - T S
J a k w i d a , p r z y j c i e z a Bo |e n i a ( 2 . 3 8 ) p r o w a d z i d o s t a Be j w a r t o [c i p o j e m n o [c i z a s t p c z e j .
S k Ba d n i k L / ( T L - T S ) b y w a n a z y w a n y s p e k t r a l n y m c i e p Be m k r z e p n i c i a ( W i e j n i k , L o n g a ) .
J e |e l i n p . d l a o k r e [l o n e g o g a t u n k u s t a l i w a c = 7 3 5 J / k g K ( w a r t o [ [r e d n i a c i e p Ba w Ba [c i w e g o
c i e c z y i c i e p Ba w Ba [c i w e g o c i a Ba s t a Be g o ) , T L = 1 5 0 5 o C , T S = 1 4 7 0 ° C , L = 2 7 0 0 0 0 J / k g , t o
C = 8 4 5 0 J / k g K i j e s t o r z d w y |s z e n i | c i e p Bo w Ba [c i w e p o z o s t a By c h o b s z a r ó w o d l e w u ( r y s .
2 . 7 ) . S k o k o w e z m i a n y p o j e m n o [c i c i e p l n e j w p o b l i |u i z o t e r m g r a n i c z n y c h m o g s t a n o w i
i s t o t n y p r o b l e m w p r z y p a d k u p o d e j m o w a n i a p r ó b z n a l e z i e n i a r o z w i z a D a n a l i t y c z n y c h ,
n a t o m i a s t z p u n k t u w i d z e n i a p r a k t y k i m e t o d n u m e r y c z n y c h t a k i e n i e c i g Bo [c i n i e m a j
w i k s z e g o z n a c z e n i a .
2 ° . Z a Bó |m y , |e z a s t p c z a p o j e m n o [ c i e p l n a z m i e n i a s i l i n i o w o z t e m p e r a t u r ( p o r . r y s .
2 . 8 ) , c z y l i
T - T s
C = c s + ( c m a x - c s ) , ( 2 . 4 0 )
T L - T s
g d z i e c s , c i e p Bo w Ba [c i w e s o l i d u s u , c m a x j a k n a r y s u n k u 2 . 8 . C i e p Bo o d d a n e p r z y
k r z e p n i c i u i s t y g n i c i u j e d n o s t k i m a s y s t r e f y d w u f a z o w e j :
T L
Q L = , ( 2 . 4 1 )
+"C d T
T s
a z d r u g i e j s t r o n y t o s a m o c i e p Bo w y n o s i c ( T L - T s ) + L . P o r ó w n u j c z e s o b z d e f i n i o w a n e w
t e n s p o s ó b e f e k t y c i e p l n e , o t r z y m u j e m y
T L
îø T - T S ùø
ïø S úød T
+"ðøc + ( c m a x - c S ) T L - T S ûø = c ( T L - T S ) + L , ( 2 . 4 2 )
T S
c z y l i p a r a m e t r c m a x m o |n a o b l i c z y z r ó w n a n i a
1
( T L - T S ) ( c m a x + c S ) = c ( T L - T S ) + L . ( 2 . 4 3 )
2
" " P r z y k Ba d . J e |e l i c s = 6 5 0 , c l = 7 3 5 , T L = 1 5 0 5 , T S = 1 4 7 0 , L = 2 7 0 0 0 0 , t o c m a x = 1 6 2 5 0 , n a t o m i a s t
c = 6 5 0 + 4 4 5 , 6 7 ( T - 1 4 7 0 ) . M o |n a s p r a w d z i , |e [r e d n i a c a Bk o w a p o j e m n o [ z a s t p c z a ( w
p r z y p a d k u f u n k c j i l i n i o w e j r ó w n a z r e s z t [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j ) w y n o s i 8 4 5 0 i j e s t
d o k Ba d n i e t a k a s a m a j a k p o j e m n o [ o b l i c z o n a n a p o d s t a w i e h i p o t e z y 1 ° w e d Bu g r ó w n a n i a
2 . 3 9 .
R y s . 2 . 7 . R o z k Ba d C ( T ) d l a h i p o t e z y 1 °
R y s . 2 . 8 . R o z k Ba d C ( T ) d l a h i p o t e z y 2 "
W z ó r ( 2 . 4 0 ) , j a k s p r a w d z i l i [m y , d a j e d o b r e w y n i k i p r z y s y m u l a c j i k r z e p n i c i a s t a l i w a ,
a b i o r c p o d u w a g n a s z e o s t a t n i e d o [w i a d c z e n i a z i d e n t y f i k a c j a p o j e m n o [c i z a s t p c z e j
n i e k t ó r y c h s t o p ó w m e t a l i n i e |e l a z n y c h , r a d z i m y o g r a n i c z y j e g o z a s t o s o w a n i e d o o b l i c z e D
k r z e p n i c i a o d l e w ó w w l e w k ó w s t a l i w n y c h .
3 ° . Z a Bó |m y , |e z a s t p c z p o j e m n o [ c i e p l n o p i s z e m y p a r a b o l s t o p n i a p ( r y s . 2 . 9 )
P
C = c + a ( T - T ) . ( 2 . 4 4 )
s S
Z a u w a |m y , |e p o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o , d l a T = T S j e s t C = c S , . Z w a r u n k u
T L
P
[ c s + a ( T - T S ) ] d T = c ( T L - T S ) + L ( 2 . 4 5 )
+"
T S
o t r z y m u j e m y
( p + 1 ) ( c + c s p - c S )
a = , ( 2 . 4 6 )
P
( T L - T S )
g d z i e c s p j e s t s p e k t r a l n y m c i e p Be m k r z e p n i c i a ( p o r ó w n a j 1 ° ) i o s t a t e c z n i e
P
ìø ÷ø
C = c S + ( p + 1 ) ( c + c s p - c S ) ëø T - T S öø . ( 2 . 4 7 )
ìø
T L - T S ÷ø
íø øø
" " P r z y k Ba d . D l a c S = 6 5 0 , c L = 7 3 5 , T L = 1 5 0 5 , T S = 1 4 7 0 , L = 2 7 0 0 0 0 ( d a n e i d e n t y c z n e j a k w
p o p r z e d n i m p r z y k Ba d z i e ) , m a m y :
P
T - 1 4 7 0
öø
C = 6 5 0 + ( p + 1 ) 7 8 0 0 ëø .
ìø ÷ø
3 5
íø øø
P o z o s t a j e d o w y j a [n i e n i a p r o b l e m w a r t o [c i l i c z b o w e j p a r a m e t r u p .
R y s . 2 . 9 . R o z k Ba d C ( T ) d l a h i p o t e z y 3 °
W y n i k i b a d a D, p o l e g a j c y c h n a p o r ó w n a n i u k r z y w y c h s t y g n i c i a z m i e r z o n y c h w
w y b r a n y c h p u n k t a c h s t a l i w n e g o o d l e w u z w y n i k a m i s y m u l a c j i n u m e r y c z n e j p r o c e s u
k r z e p n i c i a i d e n t y c z n e g o o b i e k t u , w s k a z u j n a j l e p s z z g o d n o [ w i e l k o [c i m i e r z o n y c h i
o b l i c z o n y c h d l a p = 5 - 7 .
P o d k r e [l a m y : w y n i k i t e u z y s k a n o d l a s t a l i w a w g l o w e g o i n i e m a p o d s t a w , a b y
p r z e n o s i j e n a i n n e m a t e r i a By .
O b l i c z y m y j e s z c z e [r e d n i c a Bk o w p o j e m n o [ c i e p l n , j a k a w y n i k a z p r z y j t e j
h i p o t e z y
T L
1
C s r =
+"C d T . ( 2 . 4 8 )
T L - T S T S
P o d s t a w i a j c ( T - T s ) / ( T L - T s ) = q , m a m y d T = ( T L - T s ) d q , w i c
T L
1
1
P
[ ( p + 1 ) ( c + c s p - c S ) q ] d q = c + c s p , ( 2 . 4 9 )
+"C d T = +"
T L - T S T S
0
c z y l i o t r z y m u j e m y d o k Ba d n i e t a k p o j e m n o [ z a s t p c z , j a k t o w y n i k a z h i p o t e z y 1 ° .
J a k w i a d o m o , o p e r o w a n i e w o b l i c z e n i a c h c i e p l n y c h [r e d n i m i c a Bk o w y m i p a r a m e t r ó w
t e r m o f i z y c z n y c h d a j e w y n i k i d o k Ba d n e ; d o d a t k o w o t a k z d e f i n i o w a n e w s p ó Bc z y n n i k i
l i n e a r y z u j w z o r y , k t ó r e n a l e |y s t o s o w a . Z g o d n o [ [r e d n i c h p o j e m n o [c i z a s t p c z y c h
w h i p o t e z a c h 1 ° , 2 ° , 3 ° j e s t p o w o d e m , |e o b l i c z e n i a n u m e r y c z n e n i e s i s t o t n i e c z u Be n a
p r z y j t h i p o t e z . C z y w i c h i p o t e z a l ° j a k o n a j p r o s t s z a j e s t n a j l e p s z a ? N i e z u p e Bn i e .
G w a Bt o w n e s k o k i p o j e m n o [c i c i e p l n e j w p o b l i |u i z o t e r m g r a n i c z n y c h p o w o d u j o k r e [l o n e
k o m p l i k a c j e a l g o r y t m u n u m e r y c z n e g o . W h i p o t e z i e 1 ° m u s i m y u w z g l d n i d w i e t a k i e
n i e c i g Bo [c i , n a t o m i a s t w p r z y p a d k a c h 2 ° i 3 ° m a m y d o c z y n i e n i a t y l k o z n i e c i g Bo [c i w
p o b l i |u i z o t e r m y T L .
2 . 2 . 6 . P r z e s t r z e n n e zr ó d Bo w e i b e z zr ó d Bo w e p o l a t e m p e r a t u r y
W p o d r o z d z i a Ba c h 2 . 2 . l i 2 . 2 . 3 w y p r o w a d z i l i [m y r ó w n a n i a e n e r g i i d l a j e d n o -
w y m i a r o w y c h ( p By t a , w a l e c , k u l a ) zr ó d Bo w y c h i b e z zr ó d Bo w y c h p ó l t e m p e r a t u r y .
N i |e j p o d a m y b a r d z i e j o g ó l n p o s t a t y c h r ó w n a D, w s z c z e g ó l n o [c i i c h r o z s z e r z e n i e n a
z a d a n i a d w u - i t r ó j w y m i a r o w e ( 2 D i 3 D ) . K o r z y s t a b d z i e m y z t w i e r d z e n i a d o t y c z c e g o
z a m i a n y c a Bk i p o w i e r z c h n i o w e j s k i e r o w a n e j n a c a Bk o b j t o [c i o w . Z a l e |n o [ t a n a z y w a n a
t w i e r d z e n i e m G a u s s a - O s t r o g r a d s k i e g o j e s t n a s t p u j c a :
N ( X ) d s = N d s =
+"+" +"+"n +"+"+"d i v N ( X ) d V , ( 2 . 5 0 )
“ “ &!
g d z i e N ( X ) = [ P ( X ) , Q ( X ) , R ( X ) ] j e s t p o l e m w e k t o r o w y m , d \ = [ d s · c o s ±, d s · c o s ², d s · c o s ³]
w e k t o r e m n o r m a l n y m d o p o w i e r z c h n i w p u n k c i e X ¬ “ s k i e r o w a n y m n a z e w n t r z , d i v ( · ) -
o p e r a t o r e m d y w e r g e n c j i . W u k Ba d z i e p r o s t o k t n y m X = { x , y , z ]
"P ( X ) "Q ( X ) "R ( X )
d i v N ( X ) = + + . ( 2 . 5 1 )
"x "y "z
" " P r z y k Ba d . O b l i c z y d s g d z i e N = [ x , y , z ] , n a t o m i a s t “ j e s t z e w n t r z n p o w i e r z c h n i
+"+"N
“
s z e [c i a n u 0 d"x d"1 , 0 d"y d"1 , 0 d"z d"1 . M a m y : P ( X ) = J C , Q ( X ) = y , R ( X ) = z , "P x = "Q y , "R z = 1 ,
c z y l i d s =
+"+"N +"+"+"3 d V = 3 .
“ &!
R o z w a |a b d z i e m y o b s z a r &! o g r a n i c z o n y b r z e g i e m “ - r y s . 2 . 1 0 . C i e p Bo o d d a n e d o
o t o c z e n i a ( l u b i n n e g o o b s z a r u ) p r z e z e l e m e n t p o w i e r z c h n i "s w y n o s i
"Q 1 = - »n g r a d T ( X , t ) "s "t , ( 2 . 5 2 )
n a t o m i a s t c a Be c i e p Bo o d d a n e p r z e z p o w i e r z c h n i “
Q 1 = - "t g r a d T ( X , t ) d s = - "t
+"+"»n +"+"+"d i v [ »g r a d T ( X , t ) ] d V . ( 2 . 5 3 )
“ &!
J a k w i d a , w y k o r z y s t a l i [m y w t y m m i e j s c u t w i e r d z e n i e G a u s s a O s t r o g r a d s k i e g o .
R y s . 2 . 1 0 . O b s z a r &! c i a Ba s t a Be g o o g r a n i c z o n y p o w i e r z c h n i “
Z m i a n a e n e r g i i w e l e m e n t a r n e j o b j t o [c i "V , w k t ó r e j w y d z i e l a s i c i e p Bo q v ( W / m 2 ) , j e s t
s u m s p a d k u e n t a l p i i z w i z a n e j z e s t y g n i c i e m i d z i a Ba n i e m " zr ó d e B
"Q u = c Á[ T ( X , t + "t ) - T ( X , t ) ] "V - q v "V "t . ( 2 . 5 4 )
Z m i a n e n e r g i i w e w n t r z n e j o b s z a r u &! o b l i c z a m y , c a Bk u j c ( 2 . 5 4 ) p o c a Be j o b j t o [c i
Q u =
+"+"+"{ c Á[ T ( X , t + "t ) - T ( X , t ) ] - q v "t } d V . ( 2 . 5 5 )
&!
Z b i l a n s u e n e r g i i o t r z y m u j e m y
T ( X , t + "t ) - T ( X , t )
îø
- d i v [ »g r a d T ( X , t ) ] - q v ùød V = 0 , ( 2 . 5 6 )
+"+"+"ðøc Á úø
ïø
"t
ûø
&!
s k d w g r a n i c y p r z y "t ’!0
"T ( X , t )
X " &! : c Á = d i v [ »g r a d T ( X , t ) ] + q v . ( 2 . 5 7 )
"t
O s t a t n i e r ó w n a n i e o p i s u j e zr ó d Bo w e p o l a t e m p e r a t u r y w o b s z a r z e p r z e s t r z e n n y m ,
i z o b a r y c z n y m , w k t ó r y m c i e p Bo p r z e n o s z o n e j e s t t y l k o p r z e z p r z e w o d z e n i e . J e |e l i n a t o m i a s t
c i [n i e n i e p o w o b s z a r z e &! j e s t f u n k c j w s p ó Br z d n y c h i c z a s u o r a z m a m y d o c z y n i e n i a
r ó w n i e | z p r z e p By w e m m a t e r i i , t o
"T ( X , t )
îø
c Á + u g r a d T ( X , t ) ùø =
ïø úø
"t
ðø ûø
X " &! : ( 2 . 5 8 )
"p 0 ( X , t )
d i v [ » g r a d T ( X , t ) ] + q v + + u g r a d p 0 ( X , t )
"t
J e s t t o j e d n o z n a j b a r d z i e j o g ó l n y c h p r a w t e r m o k i n e t y k i ( r ó w n a n i e F o u r i e r a - K i r c h h o f f a ) .
R ó w n a n i e e n e r g i i d l a s t r e f y p r z e j [c i o w e j . W b i l a n s i e e n e r g i i s k Ba d n i k "Q u
p r z e k s z t a Bc a m y n a s t p u j c o
S
"Q u = c Á[ T ( X , t + "t ) - T ( X , t ) ] "V - ÁL "V =
S
"V
= c Á[ T ( X , t + "t ) - T ( X , t ) ] "V - ÁL "V = ( 2 . 5 9 )
"V
= [ c Á"T ( X , t ) - ÁL "S ( X , t ) ] "V ,
s k d
"T ( X , t ) "S ( X , t )
îø
+"+"+"ðøc Á "t - ÁL "t - d i v »g r a d T ( X , t ) ùød V = 0 . ( 2 . 6 0 )
ïø úø
ûø
&!
W o s t a t n i m r ó w n a n i u , p o d o b n i e j a k w p o d r o z d z i a l e 2 . 2 . 4 , w y k o r z y s t a n o I z a s a d
t e r m o d y n a m i k i , s k Ba d n i k a m i b i l a n s u s : c i e p Bo o d d a n e p r z e z p o w i e r z c h n i o r a z z m i a n a
e n t a l p i i z w i z a n a z k r z e p n i c i e m i s t y g n i c i e m . P o p r z y r ó w n a n i u d o z e r a f u n k c j i
p o d c a Bk o w e j p r z y "t ’!0
"T ( X , t ) "S ( X , t )
c Á = d i v [ »g r a d T ( X , t ) ] + ÁL , ( 2 . 6 1 )
"t "t
c o j a k w i a d o m o z p o d r o z d z i a Bó w p o p r z e d n i c h , m o |n a z a p i s a w p o s t a c i
d S ( T ) "T ( X , t )
îø ùøÁ
= d i v [ »g r a d T ( X , t ) ] . ( 2 . 6 2 )
ïøc - L úø
d T "t
ðø ûø
G r a d i e n t i d y w e r g e n c j a w t y p o w y c h u k Ba d a c h w s p ó Br z d n y c h .
l . U k Ba d w s p ó Br z d n y c h p r o s t o k t n y c h X = { x , y , z } ( r y s . 2 . 1 1 )
"T "T "T
g r a d T = e 1 + e 2 e 3 ,
"x "y "z
g d z i e e 1 , e 2 , e 3 o r t o n o r m a l n a b a z a w e k t o r ó w j e d n o s t k o w y c h .
"P "Q "R
d i v N = + + .
"x "y "z
D l a s t a Be j w a r t o [c i »:
ëø öø
"2 T "2 T "2 T
ìø ÷ø
»d i v ( g r a d T ) = »ìø + + .
2 ÷ø
"x 2 "y 2 "z
íø øø
D l a z m i e n n e j w a r t o [c i »:
ëø öø
" "T " "T " "T
ëø» öø ëø» öø
d i v ( »g r a d T ) = + ìø» ÷ø + .
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
"x "x "y "y "z "z
íø øø íø øø
íø øø
2 . U k Ba d w s p ó Br z d n y c h w a l c o w y c h X = { Ä, Æ, z } r y s . 2 . 1 1 .
"T 1 "T "T
g r a d T = e 1 + e 2 e 3
"r r "Õ "z
îø
1 "( r P ) "Q "R ùø
d i v N = + + .
ïø úø
r "r "Õ "z
ðø ûø
D l a s t a Be j w a r t o [c i »:
îø ùø
1 " "T 1 "2 T "2 T
öø
»d i v ( g r a d T ) = »ïø ëør + + .
ìø ÷ø
úø
2 2 2
ðør "r íø "r øø r "Õ "z ûø
D l a z m i e n n e j w a r t o [c i »:
ëø öø
1 " "T 1 " "T " "T
ëø öø ëø» öø
d i v ( »g r a d T ) = r » + ìø» ÷ø + .
ìø ÷ø ìø ÷ø
2 ìø ÷ø
r "r "r r "Õ "Õ "z "z
íø øø íø øø
íø øø
3 . U k Ba d w s p ó Br z d n y c h s f e r y c z n y c h X = { Ä, Æ, Å} r y s . 2 . 1 1 .
"T 1 "T 1 "T
g r a d T = e 1 + e 2 + e 3
"r r s i n Õ "Õ r "Ñ
2
îø ùø
1 s i n Ñ "( r P ) + "Q "( R s i n Ñ)
d i v N = + .
ïø úø
s i n Ñ r "r "Õ "Ñ
ðø ûø
D l a s t a Be j w a r t o [c i »:
îø
1 " "T 1 "2 T 1 " "T
öø ëøs i n Ñ öøùø
2
»d i v ( g r a d T ) = »ïø 2 ëør + + .
ìø ÷ø ìø ÷øúø
2 2 2 2
ðør "r íø "r øø r s i n Ñ "Õ r s i n Ñ "Ñ íø "Ñ øøûø
D l a z m i e n n e j w a r t o [c i »:
ëø öø
1 " "T 1 " "T 1 " "T
ëø»r 2 öø ëø» s i n Ñ öø
d i v ( »g r a d T ) = + ìø» ÷ø + .
ìø ÷ø ìø ÷ø
2 2 2 ìø ÷ø 2
r "r "r r s i n Ñ "Õ "Õ r s i n Ñ "Ñ "Ñ
íø øø íø øø
íø øø
R y s . 2 . 1 1 . T y p o w e u k Ba d y w s p ó Br z d n y c h
Z e b r a n e w y |e j w z o r y b d w y k o r z y s t y w a n e p r z y k o n s t r u k c j i a l g o r y t m ó w n u m e r y c z n y c h
p r z y b l i |o n e g o r o z w i z y w a n i a z a d a D b r z e g o w o - p o c z t k o w y c h d l a o b s z a r ó w z o r i e n t o w a n y c h
w r ó |n y c h u k Ba d a c h w s p ó Br z d n y c h .
2 . 2 . 7 . W a r u n k i b r z e g o w e p o c z t k o w e
J a k j u | w s p o m n i a n o , p e Bn y o p i s m a t e m a t y c z n y p r z e p By w u c i e p Ba w o b s z a r z e &! w y m a g a
u z u p e Bn i e n i a r ó w n a n i a e n e r g i i ( l u b u k Ba d u t y c h r ó w n a D) t a k z w a n y m i w a r u n k a m i j e d n o -
z n a c z n o [c i .
1 . W a r u n k i g e o m e t r y c z n e . P r z e z p o j e c i e t o r o z u m i e m y g e o m e t r i r o z p a t r y w a n e g o o b i e k t u ,
p o d z i a B o b s z a r u n i e j e d n o r o d n e g o n a p o d o b s z a r y , p o d z i a B b r z e g u o b s z a r u n a e l e m e n t y , k t ó r y m
p r z y p o r z d k o w u j e s i o k r e [l o n e w a r u n k i b r z e g o w e , o r i e n t a c j o b i e k t u w o d p o w i e d n i m
u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h .
2 . W a r u n k i f i z y c z n e . W a r u n k i f i z y c z n e w z a g a d n i e n i a c h p r z e p By w u c i e p Ba t o z b i ó r
p a r a m e t r ó w t e r m o f i z y c z n y c h p o d o b s z a r ó w ( c , Á, ») , k t ó r e m o g b y s t a Be l u b b y f u n k c j a m i
t e m p e r a t u r y , j a k r ó w n i e | z a s t p c z a p o j e m n o [ c i e p l n a s t r e f y d w u f a z o w e j , t e m p e r a t u r y
g r a n i c z n e i t p .
3 . W a r u n k i p o c z t k o w e . W a r u n k i p o c z t k o w e o p i s u j p o l e t e m p e r a t u r y w p o d o b s z a r a c h
u k Ba d u w c h w i l i p r z y j t e j j a k o t = 0 . W t y p o w y c h z a d a n i a c h t e r m o d y n a m i k i p r o c e s ó w
o d l e w n i c z y c h z r e g u By p r z y j m u j e s i , |e t e m p e r a t u r a m e t a l u w y p e Bn i a j c e g o f o r m T ( X t ) = T z a l
a t e m p e r a t u r a f o r m y T ( X t ) = T F , g d z i e T z a l , T F - t e m p e r a t u r a z a l e w a n i a , t e m p e r a t u r a
p o c z t k o w a f o r m y .
4 . W a r u n k i b r z e g o w e . N a r y s u n k u 2 . 1 2 p o k a z a n o n i e j e d n o r o d n y o b s z a r &!= &!0 U &!F ( n p . o d l e w
- f o r m a ) , n a k t ó r e g o b r z e g u w y r ó |n i o n o f r a g m e n t y "“I , "“I I , "“I I I "“I V .
R y s . 2 . 1 2 . B r z e g o b s z a r u i j e g o p o d z i a B
J e |e l i n a b r z e g u "“I z a d a n a j e s t t e m p e r a t u r a
X " "“I , : T ( X , t ) = T I ( X , t ) . ( 2 . 6 3 )
t o w a r u n e k b r z e g o w y w p o s t a c i ( 2 . 6 3 ) n a z y w a n y j e s t w a r u n k i e m b r z e g o w y m I r o d z a j u .
P r z y j c i e o k r e [l o n e j t e m p e r a t u r y n a b r z e g u j e s t z p u n k t u w i d z e n i a t e o r i i z a Bo |e n i e m b a r d z o
w y g o d n y m , n a t o m i a s t z p u n k t u w i d z e n i a p r a k t y k i r a c z e j s z t u c z n y m .
J e |e l i n a b r z e g u "“I I d a n y j e s t s t r u m i e D c i e p Ba n o r m a l n y d o b r z e g u ( p o r . w z ó r ( 2 . 4 ) )
X " "“I I : - »n g r a d T ( X , t ) = q n ( X , t ) , ( 2 . 6 4 )
t o n a r o z w a |a n y m f r a g m e n c i e b r z e g u p r z y j t o w a r u n e k b r z e g o w y I I r o d z a j u .
W s z c z e g ó l n o [c i w o s i a c h ( n a p o w i e r z c h n i a c h ) s y m e t r i i c i e p l n e j p r z y j m u j e s i q n ( X , t ) = 0 .
Z a n i m p r z e j d z i e m y d o o m ó w i e n i a i n n y c h t y p ó w w a r u n k ó w b r z e g o w y c h , n a l e |y
p r z y p o m n i e k i l k a p r a w d e t e r m i n u j c y c h p r z e p By w c i e p Ba n a g r a n i c y o b s z a r o t o c z e n i e .
P r a w o N e w t o n a . P r a w o N e w t o n a o k r e [l a w i e l k o [ s t r u m i e n i a c i e p Ba o d d a w a n e g o o d
p o w i e r z c h n i c i a Ba d o o t o c z e n i a ( p By n u o m y w a j c e g o p o w i e r z c h n i ) . J e d n o s t k o w y s t r u m i e D
j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o r ó |n i c y t e m p e r a t u r m i d z y p o w i e r z c h n i a p By n e m
"
q = ±( T - T ) , ( 2 . 6 5 )
g d z i e T " j e s t t e m p e r a t u r o t o c z e n i a . W s p ó Bc z y n n i k p r o p o r c j o n a l n o [c i ± ( W / m 2 K ) n a z y w a s i
w s p ó Bc z y n n i k i e m w n i k a n i a c i e p Ba . W s p ó Bc z y n n i k w n i k a n i a m o |e s i z m i e n i a w b a r d z o
s z e r o k i c h g r a n i c a c h , w z a l e |n o [c i o d r o d z a j u p r z e p By w u p By n u , p a r a m e t r ó w t e r m o f i z y c z n y c h
i t d .
W t e o r i i c i e p l n e j p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h m a m y n a j c z [c i e j d o c z y n i e n i a z e z j a w i s k i e m
w n i k a n i a c i e p Ba o d z e w n t r z n e j p o w i e r z c h n i f o r m y o r a z o d z e w n t r z n y c h , p o z o s t a j c y c h w
k o n t a k c i e z o t o c z e n i e m , f r a g m e n t ó w o d l e w u ( n p . b o c z n a i g ó r n a p o w i e r z c h n i a w l e w n i c y i
n a d s t a w k i o r a z g Bo w a w l e w k a ) . W a r u n k i k o n w e k c y j n e j w y m i a n y c i e p Ba o d p o w i a d a j t u z
r e g u By w a r u n k o m k o n w e k c j i s w o b o d n e j . R ó w n a n i e k r y t e r i a l n e , p o z w a l a j c e o b l i c z y
k o n w e k c y j n y w s p ó Bc z y n n i k w n i k a n i a c i e p Ba m a w t a k i m p r z y p a d k u p o s t a
A
N u = C ( G r P r ) ( 2 . 6 6 )
g d z i e G r - l i c z b a G r a s h o f a , P r - l i c z b a P r a n d t l a , N u - l i c z b a N u s s e l t a . L i c z b y k r y t e r i a l n e
o b l i c z a m y z n a s t p u j c y c h z a l e |n o [c i :
g l 3 ²¸ v ±l
G r = , P r = , N u = , ( 2 . 6 7 )
v 2 a »
g d z i e : l - w y m i a r c h a r a k t e r y s t y c z n y ( m ) , ²= l / T m - [r e d n i a t e m p e r a t u r a [c i a n k i i p By n u ( K ) ,
¸= T - T "- r ó |n i c a t e m p e r a t u r p o w i e r z c h n i [c i a n k i i p By n u , g = 9 , 8 1 ( m / s 2 ) , v - w s p ó Bc z y n n i k
l e p k o [c i k i n e m a t y c z n e j p By n u ( m 2 / s ) , a = »/ Ác - w s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a t e m p e r a t u r y d l a
p By n u ( m 2 / s ) , ± - k o n w e k c y j n y w s p ó Bc z y n n i k w n i k a n i a ( W / m 2 · K ) . P a r a m e t r y p By n u o k r e [l a s i
d l a t e m p e r a t u r y T m . S t a Be C i A w r ó w n a n i u k r y t e r i a l n y m ( 2 . 6 6 ) w y n o s z :
G r P r < 5 · 1 0 2 C = 1 , 1 8 A = 0 , 1 2 5
5 · 1 0 2 d" G r P r d" 2 · 1 0 7 C = 0 , 5 4 A = 0 , 2 5
G r P r d" 2 · 1 0 7 C = 0 , 1 3 5 A = 0 , 3 3
" " P r z y k Ba d . W l e w e k p o s t r i p e r o w a n i u ( p o u s u n i c i u w l e w n i c y ) s t y g n i e w p o w i e t r z u o
t e m p e r a t u r z e 3 0 0 K . Zr e d n i a t e m p e r a t u r a p o w i e r z c h n i w l e w k a w y n o s i 5 0 0 K . W y s o k o [
w l e w k a H = 2 . O b l i c z y [r e d n i w s p ó Bc z y n n i k w n i k a n i a . Z a w y m i a r c h a r a k t e r y s t y c z n y
p r z y j m u j e s i w y s o k o [ p i o n o w e j p By t y , c z y l i l = 2 . D l a t e m p e r a t u r y T m = 4 0 0 K z n a j d u j e m y w
t a b l i c a c h P r = 0 , 6 8 5 , »= 0 , 0 3 4 , ½= 2 6 , 4 · 1 0 - 6 , G r P r = 9 , 8 1 · 8 · 2 0 0 · 0 , 6 8 5 / 4 0 0 ( 2 6 , 4 " 1 0 - 6 ) 2 = 3 8 , 6 · 1 0 9 .
D l a C = 0 , 1 3 5 , A = 0 , 3 3 : N u = 4 5 5 , n a t o m i a s t ±= 7 , 7 3 . Z a u w a |m y , |e d l a A = 1 / 3 w y m i a r l i n i o w y
l n i e m a w p By w u n a w a r t o [ ±.
W y |s z e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a w n i k a n i a w y s t p u j w p r o c e s i e o d l e w a n i a c i g Be g o .
P o w i e r z c h n i a w l e w k a w s t r e f i e c h Bo d z e n i a w t ó r n e g o o m y w a n a j e s t w o d d o p r o w a d z a n
s y s t e m e m d y s z u m i e s z c z o n y c h m i d z y r o l k a m i d o c i s k o w y m i i p r o w a d z c y m i .
W s p ó Bc z y n n i k i w n i k a n i a ( w t y m r ó w n i e | z a s t p c z y w s p ó Bc z y n n i k w s t r e f i e c h Bo d z e n i a
p i e r w o t n e g o , c z y l i w k r y s t a l i z a t o r z e ) s r z d u 1 0 3 .
P r o m i e n i s t y w s p ó Bc z y n n i k w y m i a n y c i e p l a . J e |e l i u k Ba d &! o d d a j e c i e p Bo b e z p o [r e d n i o d o
o t o c z e n i a i n i e j e s t o p r o m i e n i o w y w a n y p r z e z i n n e c i a Ba , t o s t r u m i e D c i e p Ba o d d a n e g o p r z e z
r a d i a c j d o o t o c z e n i a w y n o s i
îøëø T öø4 ëø T " öø4 ùø
±r = µC c ïø úø , ( 2 . 6 8 )
ìø ÷ø - ìø ÷ø
ìø1 0 0 ÷ø
ïø
ðøíø1 0 0 øø íø øø úø
ûø
g d z i e µ - e m i s y j n o [ p o w i e r z c h n i , C c - s t a Ba p r o m i e n i o w a n i a c i a Ba d o s k o n a l e c z a r n e g o :
C c = 5 , 6 7 ( W / m 2 K 4 ) . J e |e l i p r z y j z d e f i n i c j i q = ±r ( T - T ") , t o p r o m i e n i s t y w s p ó Bc z y n n i k
w y m i a n y c i e p Ba w y n o s i
4
4
"
ëø öø
T T
ëø öø
ìø ÷ø - ìø ÷ø
ìø1 0 0 ÷ø
íø1 0 0 øø
íø øø
±r = µC c ( 2 . 6 9 )
"
T - T
l u b p o p r z e k s z t a Bc e n i a c h
2
2
"
îø ùø
ëø öø
T T
"
ìø ÷ø
± = 1 0 - 4 µC c ( T + T ) ïøëø öø + úø . ( 2 . 7 0 )
ìø ÷ø
r
ìø1 0 0 ÷ø
ïø
ðøíø1 0 0 øø íø øø úø
ûø
" " P r z y k Ba d . W s p ó Bc z y n n i k r a d i a c y j n y d l a u k Ba d u w l e w e k - o t o c z e n i e p r z y T = 5 0 0 K ,
T "= 3 0 0 K , µ= 0 , 8 w y n o s i ±r = 1 0 - 4 · 0 , 8 · 5 , 6 7 · 8 0 0 · ( 5 2 + 3 2 ) = 1 2 , 3 4 .
Z a s t p c z y w s p ó Bc z y n n i k w y m i a n y c i e p Ba j e s t s u m s k Ba d o w e j k o n w e k c y j n e j
i r a d i a c y j n e j :
Æ
± = ±+ ±r , n a t o m i a s t c i e p Bo o d d a n e p r z e z p r o m i e n i o w a n i e i k o n w e k c j o d j e d n o s t k i
p o w i e r z c h n i c i a Ba O d o o t o c z e n i a w y n o s i
"
Æ
q = ±( T - T ) . ( 2 . 7 0 )
N a l e |y t u p o d k r e [l i , |e w s p ó Bc z y n n i k p r o m i e n i s t y r o [n i e s i l n i e z t e m p e r a t u r
p o w i e r z c h n i i n p . w p r o c e s i e w y m i a n y c i e p Ba m i d z y p o w i e r z c h n i w l e w n i c y i o t o c z e n i e m
z a c z y n a w p e w n y m m o m e n c i e d o m i n o w a .
P r o b l e m o b l i c z e D s t r u m i e n i a c i e p Ba q w y e m i t o w a n e g o l u b z a a b s o r b o w a n e g o p r z e z
o b s z a r &! z a c z y n a s i k o m p l i k o w a w p r z y p a d k u p o w i e r z c h n i w y m i e n i a j c y c h c i e p Bo p r z e z
p r o m i e n i o w a n i e ( n p . u k Ba d k i l k u w l e w n i c n a j e d n e j p By c i e ) . N a l e |y w ó w c z a s ( w o g ó l n y m
p r z y p a d k u ) s p o r z d z i t z w . b i l a n s j a s n o [c i d l a u k Ba d u w i e l o p o w i e r z c h n i o w e g o , a n a s t p n i e z
w z o r u E c k e r t a o b l i c z y c i e p Bo p o b r a n e p r z e z e l e m e n t p o w i e r z c h n i "s L , o b s z a r u &!L .
S z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m ( k t ó r y z r e s z t c z s t o z d a r z a s i w p r a k t y c e ) j e s t p r o m i e n i s t a
w y m i a n a c i e p Ba w u k Ba d z i e d w ó c h p o w i e r z c h n i . T y p o w y m p r z y k Ba d e m m o |e b y t u p r z e p By w
c i e p Ba m i d z y z e w n t r z n p o w i e r z c h n i w l e w k a i w e w n t r z n p o w i e r z c h n i w l e w n i c y p o
w y g e n e r o w a n i u s i s z c z e l i n y g a z o w e j . M o |n a w y k a z a , |e w t a k i m p r z y p a d k u o b o w i z u j e
w z ó r ( 2 . 6 8 ) i w y n i k a j c e z n i e g o z a l e |n o [c i ( 2 . 6 9 ) , ( 2 . 7 0 ) , z t y m , |e w m i e j s c e e m i s y j n o [c i µ
w p r o w a d z a s i e m i s y j n o [ z a s t p c z u k Ba d u d w u p o w i e r z c h n i o w e g o : µ1 - 2 , n a t o m i a s t T " j e s t
t e m p e r a t u r w e w n t r z n e j p o w i e r z c h n i w l e w n i c y . W u k Ba d z i e d w ó c h r ó w n o l e g By c h
p Ba s z c z y z n w a r t o [ µ1 - 2 ; o k r e [l o n a j e s t w z o r e m
1 1 1
= + - 1 ( 2 . 7 2 )
µ1 - 2 µ1 µ2
i c h o c i a | w z a s a d z i e u k Ba d o d l e w - s z c z e l i n a f o r m a j e s t r a c z e j t z w . u k Ba d e m C h r i s t i a n s e n a
( n p . d w a w s p ó B[r o d k o w e w a l c e ) , t o p o n i e w a | p o w i e r z c h n i a z e w n t r z n a o d l e w u i w e w n t r z n a
f o r m y s p r a k t y c z n i e t a k i e s a m e , w i c w z ó r ( 2 . 7 1 ) j e s t w y s t a r c z a j c o d o k Ba d n y . N a
z a k o Dc z e n i e c h c e m y p o d k r e [l i , |e p r o b l e m o b l i c z e D w y m i a n y c i e p Ba m i d z y b r z e g i e m
o b s z a r u i o t o c z e n i e m j e s t z a d a n i e m n i e l i n i o w y m , a w i c o d p o w i e d n i w a r u n e k b r z e g o w y , d o
k t ó r e g o n i e d Bu g o d o j d z i e m y , j e s t t e | n i e l i n i o w y . T a k w i c z a d a n i a b r z e g o w e p o c z t k o w e w
t e r m o d y n a m i c e p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h s n i e l i n i o w e n i e t y l k o z p o w o d u z m i e n n y c h
p a r a m e t r ó w t e r m o f i z y c z n y c h w r ó w n a n i a c h r ó |n i c z k o w y c h i r u c h o m y c h g r a n i c ( t z w .
n i e l i n i o w o [c i r ó w n a D) s r ó w n i e | n i e l i n i o w e z p u n k t u w i d z e n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h .
M a t o o k r e [l o n e k o n s e k w e n c j e d l a m e t o d r o z w i z y w a n i a t y c h z a d a D, p o n i e w a | w t a k i c h
p r z y p a d k a c h m e t o d y a n a l i t y c z n e o k a z u j s i n i e s k u t e c z n e . T a k w i c c o r a z p o w s z e c h n i e j s z e
w y k o r z y s t a n i e m e t o d n u m e r y c z n y c h w n a u k a c h t e c h n i c z n y c h n i e j e s t p r z e j [c i o w m o d , a l e
j e d y n d r o g p r o w a d z c d o u z y s k a n i a e f e k t y w n y c h r o z w i z a D w i e l u p r o b l e m ó w p r a k t y k i
i n |y n i e r s k i e j .
O p ó r c i e p l n y p r z e w o d z e n i a , o p ó r p r z e n i k a n i a c i e p Ba . J e d n o w y m i a r o w e s t a c j o n a r n e i
b e z zr ó d Bo w e p o l e t e m p e r a t u r y w p By c i e o g r u b o [c i L o p i s u j e r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e w p o s t a c i
d [ ( »d T / d x ) ] = 0 ( p o r . n p . w z ó r ( 2 . 1 3 ) ) . P r z y j m i j m y n a s t p u j c e w a r u n k i b r z e g o w e x = 0 :
T = T 1 , x = L , T = T 2 ( w a r u n k i I r o d z a j u ) - r y s . 2 . 1 3 . P o d w u k r o t n y m s c a Bk o w a n i u o t r z y m u j e m y
»T = C x + C 1 , ( 2 . 7 3 )
g d z i e » j e s t [r e d n i m c a Bk o w y m w s p ó Bc z y n n i k i e m p r z e w o d z e n i a w p r z e d z i a l e ( T 1 , T 2 ) l u b p o
p r o s t u p r z e w o d n o [c i c i e p l n ( g d y »= i d e m ) .
S t a Be C i C 1 w y z n a c z a m y z w a r u n k ó w b r z e g o w y c h : C 1 = »T 1 , C = »( T 1 - T 2 ) / L s t r u m i e D
c i e p Ba q = »d T / d x m o |n a o b l i c z y , w s t a w i a j c s t a Be c a Bk o w a n i a d o o s t a t n i e g o r ó w n a n i a .
P o z r ó |n i c z k o w a n i u t e m p e r a t u r y w z g l d e m w s p ó Br z d n e j o t r z y m u j e m y o g ó l n i e z n a n
z a l e |n o [ d l a [c i a n k i p Ba s k i e j w p o s t a c i
T 1 - T 2 T 1 - T 2
q = » = , ( 2 . 7 4 )
L R
g d z i e R = L / » j e s t o p o r e m p r z e w o d z e n i a c i e p Ba . Z a u w a |m y , |e o s t a t n i e r ó w n a n i e j e s t
a n a l o g i c z n e d o p r a w a O h m a .
R y s . 2 . 1 3 . S t a c j o n a r n e p o l e t e m p e r a t u r y w p By c i e
R y s . 2 . 1 4 . P r z e g r o d a d w u w a r s t w o w a
J e |e l i o b s z a r &! j e s t n i e j e d n o r o d n y i s k Ba d a s i n p . z d w ó c h w a r s t w o p r z e w o d n o [c i a c h »1 , » 2
i g r u b o [c i a c h L 1 , L 2 ( r y s . 2 . 1 4 ) , t o z w a r u n k u c i g Bo [c i s t r u m i e n i a c i e p Ba m a m y
T 1 - T x T x - T 2
q = , q = ,
R 1 R 2
c z y l i
q R 1 = T 1 - T x , q R 2 = T x - T 2 ,
p r z y c z y m p o d o b n e r o z u m o w a n i e m o |n a p r z e p r o w a d z i d l a n w a r s t w . P o d o d a n i u o s t a t n i c h
d w ó c h r ó w n a D
T 1 - T 2
q R = T 1 - T 2 , q = , R = R 1 + R 2 . ( 2 . 7 5 )
R
T a k w i c d l a p By t y w i e l o w a r s t w o w e j i p r z e p By w u c i e p Ba p r o s t o p a d Be g o d o w a r s t w
o b o w i z u j e r e g u Ba s z e r e g o w e g o Bc z e n i a o p o r ó w c i e p l n y c h . M o |n a r ó w n i e | Ba t w o w y k a z a
( c o d l a n a s z y c h r o z w a |a D n i e m a i s t o t n e g o z n a c z e n i a ) , |e z a s t p c z y o p ó r c i e p l n y d l a t y c h
s a m y c h w a r s t w , g d y b y c i e p Bo p By n Bo w z d Bu | p By t y , o b l i c z a m y i d e n t y c z n i e j a k d l a p o Bc z e n i a
r ó w n o l e g Be g o .
S t r u m i e D c i e p Ba o d d a n y o d p o w i e r z c h n i o b s z a r u &! d o o t o c z e n i a w y n i k a z p r a w a
N e w t o n a q = ±( T - T ") = ( T - T ") / R ±, g d z i e R ±= 1 / ± j e s t o p o r e m c i e p l n y m w n i k a n i a .
R o z u m u j c i d e n t y c z n i e j a k p o p r z e d n i o , t z n . q = ( T 1 T 2 ) / R 1 , q = ( T 2 - T ") / R ±, d o c h o d z i m y d o
p o j c i a o p o r u p r z e n i k a n i a R z = R + R ± i q = ( T 1 T 2 ) / R z .
W a r u n e k b r z e g o w y I I I r o d z a j u . W a r u n k i I V r o d z a j u . W a r u n e k I I I r o d z a j u j e s t n a j b a r d z i e j
n a t u r a l n y m w a r u n k i e m , j a k i m o |n a p r z y j n a f r a g m e n t a c h "“I I I , o b s z a r u &! s s i a d u j c y c h z
o t o c z e n i e m . W a r u n e k b r z e g o w y I I I r o d z a j u j e s t m a t e m a t y c z n p o s t a c i z a p i s u c i g Bo [c i
s t r u m i e n i a c i e p Ba p r z y p r z e n i k a n i u p r z e z "“I I I ( a n a l o g i c z n i e j a k r ó w n a n i e , k t ó r e
w y k o r z y s t y w a n o w p u n k c i e p o p r z e d n i m ) , a m i a n o w i c i e
"
Æ
X " "“I I I : - »n g r a d T ( X , t ) = ±( T - T ) ( 2 . 7 6 )
l u b
"
T - T
X " "“I I I : - »n g r a d T ( X , t ) = . ( 2 . 7 7 )
R ±
J e |e l i o b s z a r &! n i e j e s t j e d n o r o d n y ( n p . z Bo |e n i e p o d o b s z a r ó w &!0 U &!F , n a r y s u n k u 2 . 1 2 ) , t o
n a b r z e g u "“I V z a d a j e s i t z w . w a r u n e k b r z e g o w y I V r o d z a j u w p o s t a c i :
T 1 ( X , t ) - T 2 ( X , t )
X " "“I V : - »1 n g r a d T 1 ( X , t ) = = - »2 n g r a d T 2 ( X , t ) , ( 2 . 7 8 )
R S ( X , t )
k t ó r y j e s t r ó w n i e | w a r u n k i e m c i g Bo [c i s t r u m i e n i a c i e p Ba , n a t o m i a s t R s , j e s t o p o r e m c i e p l n y m
s t y k u . G d y R s = 0 ( k o n t a k t i d e a l n y ) , t o m u s i b y T 1 = T 2 ; i w t e d y
ñø- »1 n g r a d T 1 ( X , t ) = - »2 n g r a d T 2 ( X , t )
X " "“I V : . ( 2 . 7 9 )
òø
( X , t ) = T 2 ( X , t )
óøT 1
W p r z y p a d k u w a r u n k u z k o n t a k t e m i d e a l n y m p o l e t e m p e r a t u r y j e s t c i g Be n a g r a n i c y
p o d o b s z a r ó w .
R y s . 2 . 1 5 . P o d o b s z a r c i e c z y , s t r e f y d w u f a z o w e j i c i a Ba s t a Be g o w k r z e p n c y m o d l e w i e
T e o r e t y c z n i e r z e c z b i o r c , n a w e t b a r d z o g Ba d k i e p o w i e r z c h n i e p o Bc z o n e z e s o b i p o d d a n e
d u |y m c i [n i e n i o m n i e p o z o s t a j w i d e a l n y m k o n t a k c i e c i e p l n y m , w p r a k t y c e j e d n a k w a r u n e k
( 2 . 7 9 ) p r z y j m u j e s i d o [ c z s t o - m . i n . p r z y o b l i c z e n i a c h k r z e p n i c i a o d l e w ó w w m a s a c h
f o r m i e r s k i c h , m i d z y p o d o b s z a r a m i f o r m y , w p o c z t k o w y c h e t a p a c h k r z e p n i c i a w l e w k a w e
w l e w n i c y l u b o d l e w u w k o k i l i ( d o c h w i l i n a z y w a n e j , , c z a s e m o d e j [c i a " ) .
J e |e l i “1 2 ( t ) , “2 3 ( t ) s c h w i l o w y m i p o Bo |e n i a m i i z o t e r m l i k w i d u s u i s o l i d u s u w o b s z a r z e
o d l e w u ( r y s . 2 . 1 5 ) , c z y l i g r a n i c a m i m i d z y c i e c z i s t r e f d w u f a z o w o r a z s t r e f d w u f a z o w i
z a k r z e p B c z [c i o d l e w u , t o p r z e p By w c i e p Ba p r z e z t e p o w i e r z c h n i e o p i s u j e w a r u n e k z
k o n t a k t e m i d e a l n y m ( t u w a r u n e k t e n j e s t [c i s By )
ñø- »1 n g r a d T 1 ( X , t ) = - »2 n g r a d T 2 ( X , t )
X " “1 2 ( t ) : ( 2 . 8 0 )
òø
( X , t ) = T 2 ( X , t ) = T L
óøT 1
o r a z
ñø- »2 n g r a d T 2 ( X , t ) = - »3 n g r a d T 3 ( X , t )
X " “2 3 ( t ) : . ( 2 . 8 1 )
òø
( X , t ) = T 3 ( X , t ) = T S
óøT 2
N a r y s u n k u 2 . 1 6 p o k a z a n o r o z w i z a n i e n u m e r y c z n e ( m e t o d a e l e m e n t ó w b r z e g o w y c h )
d o t y c z c e k r z e p n i c i a w l e w k a w e w l e w n i c y . C z a s o d e j [c i a w l e w n i c y o d w l e w k a p r z y j t o
2 0 0 s . W i d a , |e j e s z c z e d l a c z a s u t = 1 8 0 s p o l e t e m p e r a t u r y w u k Ba d z i e j e s t f u n k c j c i g B,
n a t o m i a s t d l a c z a s ó w w i k s z y c h p o j a w i a s i s k o k o w a z m i a n a t e m p e r a t u r y n a g r a n i c y w l e w e k
- w l e w n i c a . J e s t t o e f e k t e m p o j a w i e n i a s i s z c z e l i n y g a z o w e j i z m i a n y w a r u n k u ( 2 . 7 9 ) n a
( 2 . 7 8 ) .
W y k o r z y s t u j c p r e z e n t o w a n e w y n i k i , m o |e m y j e s z c z e w y k o n a n a s t p u j c e
o b l i c z e n i a . P o c z a s i e 1 5 m i n t e m p e r a t u r y p o w i e r z c h n i w l e w k a i w l e w n i c y w y n o s i By 1 3 7 3 K i
7 7 3 K o d p o w i e d n i o , n a t o m i a s t p o c z a s i e 9 0 m i n : 1 4 5 0 K i 9 5 0 K . W s p ó Bc z y n n i k w y m i a n y
c i e p Ba o b l i c z o n y z z a l e |n o [c i ( 2 . 7 0 ) w y n o s i ±( 1 5 m i n ) = 2 1 1 , ±( 9 0 m i n ) = 2 8 5 . W s p ó Bc z y n n i k
k o n w e k c y j n y w d o [ w s k i e j s z c z e l i n i e m o |e m y p o m i n . T a k w i c s t r u m i e D c i e p Ba o d d a n y
o d w l e w k a d o w l e w n i c y : q ( l 5 m i n ) = 1 2 6 , 6 k W / m 2 , q ( 9 0 m i n ) = 1 4 2 , 5 k W / m 2 . R ó w n o c z e [n i e
c i e p Bo o d d a w a n e j e s t p r z e z p r z e w o d z e n i e . W s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a p o w i e t r z a w
r o z p a t r y w a n y c h p r z e d z i a Ba c h t e m p e r a t u r y j e s t r z d u 0 , 0 6 5 - 0 , 0 7 5 , s z e r o k o [ s z c z e l i n y p o
c z a s i e 1 5 m i n s = l 8 m m , p o c z a s i e 9 0 m i n s = 7 , 5 - 5 0 m m . Zc i s Be o b l i c z e n i a c z a s u o d e j [c i a
i k i n e t y k i n a r a s t a n i a s z c z e l i n y s b a r d z o t r u d n e . P r z y j m i j m y o r i e n t a c y j n i e , |e s ( 1 5 m i n )
= 0 , 0 0 4 m , s ( 9 0 m i n ) = 0 , 0 2 5 m , w t e d y c i e p Bo p r z e w o d z o n e d l a r = 1 5 m i n w y n o s i q = 1 0 , 5
k W / m 2 , a d l a t = 9 0 m i n , q = 1 , 4 k W / m 2 . J a k w i d a z t e g o p r z y k Ba d u , s k Ba d o w a k o n d u k c y j n a
p r z e p By w u c i e p Ba p r z e z s z c z e l i n j e s t i s t o t n i e m n i e j s z a o d s k Ba d o w e j k o n w e k c y j n e j i
r a d i a c y j n e j . J e s t t o z p u n k t u w i d z e n i a o b l i c z e D c i e p l n y c h z j a w i s k o n i e z w y k l e k o r z y s t n e ,
p o n i e w a | p r z y o b l i c z a n i u o p o r u c i e p l n e g o s z c z e l i n y ( m o d e l o w a n i u w a r u n k u b r z e g o w e g o I V
r o d z a j u z o p o r e m ) n a l e |y t y l k o z a p a m i t a s a m f a k t i s t n i e n i a s z c z e l i n y , n a t o m i a s t j e j
p a r a m e t r y g e o m e t r y c z n e ( l o k a l n a g r u b o [) n i e m a j d l a o b l i c z e D c i e p l n y c h w i k s z e g o
z n a c z e n i a .
P o d s u m o w u j c i n f o r m a c j e z a w a r t e w t y m p o d r o z d z i a l e p r z y p o m i n a m y , |e p r z y
o b l i c z e n i a c h c i e p l n y c h d o t y c z c y c h k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a o d l e w u w f o r m i e m a m y d o
c z y n i e n i a z c z t e r e m a t y p a m i w a r u n k ó w b r z e g o w y c h . Z n a j o m o [ t e m p e r a t u r y l u b s t r u m i e n i a
c i e p Ba n a b r z e g u o b s z a r u ( p r o b l e m D i r i c h l e t a i N e u m a n n a ) o d p o w i a d a w a r u n k o m I , I I
r o d z a j u , r ó w n a n i a c i g Bo [c i s t r u m i e n i a c i e p Ba n a g r a n i c y o b s z a r - o t o c z e n i e l u b o b s z a r o b s z a r
t o w a r u n k i I I I r o d z a j u ( N e w t o n a ) i I V r o d z a j u . W t y m o s t a t n i m p r z y p a d k u o d r ó |n i a m y
k o n t a k t i d e a l n y l u b k o n t a k t z o p o r e m c i e p l n y m n a s t y k u p o d o b s z a r ó w .
R y s . 2 . 1 6 . P r z y k Ba d r o z w i z a n i a n u m e r y c z n e g o z w a r u n k i e m I V r o d z a j u
2 . 2 . 8 . P r o b l e m S t e f a n a w a r u n e k b r z e g o w y S t e f a n a
W d r u g i e j p o Bo w i e X I X w i e k u p o d j t o ( u d a n e z r e s z t ) p r ó b y a n a l i t y c z n e g o r o z w i z a n i a
p r o b l e m u i d e n t y f i k a c j i n i e s t a c j o n a r n e g o p o l a t e m p e r a t u r y w o b s z a r a c h z r u c h o m y m i
b r z e g a m i ( N e u m a n n , L a m é , C l a p e y r o n , S t e f a n ) .
P r z e d m i o t e m r o z w a |a D b y B o b s z a r &! ( p ó Bp r z e s t r z e D) o g r a n i c z o n y p Ba s z c z y z n , n a k t ó r e j
p r z y j t o w a r u n e k b r z e g o w y I r o d z a j u T ( 0 , t ) = T B < T k r , g d z i e T k r j e s t t e m p e r a t u r p r z e m i a n y
f a z o w e j ( n p . k r z e p n i c i a ) . J e s t t o z a d a n i e z t z w . o s t r y m f r o n t e m k r z e p n i c i a .
W c h w i l i t > 0 w o b s z a r z e &! m o |n a w y r ó |n i d w a z m i e n n e w c z a s i e p o d o b s z a r y : &!l ( t ) - c i e c z
o r a z &!2 ( t ) - c i a Bo s t a Be . N i e s t a c j o n a r n e p o l e t e m p e r a t u r y w p o d o b s z a r a c h o p i s a n o u k Ba d e m
l i n i o w y c h r ó w n a D p a r a b o l i c z n y c h
"2 T 1 ( x , t )
"T 1 ( x , t )
x " &!1 ( t ) : = a 1
"t "x 2
( 2 . 8 2 )
"2 T 2 ( x , t )
"T 2 ( x , t )
x " &!2 ( t ) : = a 2 .
"t "x 2
W c h w i l i t = 0 t e m p e r a t u r a w o b s z a r z e &! = &!1 ( 0 ) w y n o s i T z a l e"T k r , r ó w n o c z e [n i e T ( ",
t ) = T z a l .
N a g r a n i c y r o z d z i a Bu f a z x = ¾ p r z y j m u j e s i n a s t p u j c y w a r u n e k b r z e g o w y
"T 1 ( x , t ) "T 2 ( x , t )
ñø d x ( t )
ôø- »1 = - »2 + L Á2
x = ¾ : , ( 2 . 8 3 )
òø
"x "x d t
ôø
( x , t ) = T 2 ( x , t ) = T k r
óøT 1
b d c y r ó |n i c z k o w p o s t a c i b i l a n s u e n e r g i i d l a k r z e p n c e j w c z a s i e d t w a r s t e w k i
r o z w a |a n e g o o b s z a r u . N a r y s u n k u 2 . 1 7 p o k a z a n o c h w i l o w e p o Bo |e n i e p o d o b s z a r ó w &!1 ( t ) i
&!2 ( t ) , n a k t ó r y c h s t y k u w y d z i e l a s i c i e p Bo p r z e m i a n y f a z o w e j .
R y s . 2 . 1 7 . M o d e l S t e f a n a
I l o [ c i e p Ba d o p r o w a d z o n a o d s t r o n y c i e c z y d o p o w i e r z c h n i r o z d z i a Bu f a z p r z e z
p o w i e r z c h n i "F p r o s t o p a d Ba d o k i e r u n k u x w y n o s i
"T 1 ( x , t ) "t . ( 2 . 8 4 )
Q d = - »1 "F
"x
Z k o l e i c i e p Bo o d p r o w a d z o n e o d p o w i e r z c h n i r o z d z i a Bu d o o b s z a r u c i a Ba s t a Be g o
"T 2 ( x , t ) "t . ( 2 . 8 5 )
Q w = - »2 "F
"x
Z m i a n a e n e r g i i u k Ba d u z w i z a n a z z a k r z e p n i c i e m w a r s t e w k i o s z e r o k o [c i "x
"E u = "F "x Á2 L . ( 2 . 8 6 )
T a k w i c z b i l a n s u e n e r g i i o t r z y m u j e m y n a s t p u j c z a l e |n o [
"T 1 ( x , t ) "t = - »2 "F "T 2 ( x , t ) "t + "F "x Á2 L . ( 2 . 8 7 )
- »1 "F
"x "x
P o p o d z i e l e n i u o s t a t n i e g o r ó w n a n i a p r z e z "F "r , w g r a n i c y "t ’!0 o t r z y m u j e s i w a r u n e k
( 2 . 8 3 ) n a z y w a n y w a r u n k i e m S t e f a n a .
P r z y j Bo s i r ó w n i e |, |e z a d a n i a z w i z a n e z o b l i c z e n i a m i p r o c e s u k r z e p n i c i a z a l i c z a s i d o
g r u p y z a d a D ( p r o b l e m ó w ) S t e f a n a .
Z a d a n i e o p i s a n e r ó w n a n i a m i ( 2 . 8 2 ) i ( 2 . 8 3 ) m o |e b y r o z w i z a n e m e t o d a m i a n a l i -
t y c z n y m i . N i e s t a c j o n a r n e p o l e t e m p e r a t u r y w p o d o b s z a r a c h u k Ba d u o p i s a n e j e s t f u n k c j a m i
G a u s s a e r f ( z ) ( e r r o r f u n c t i o n s ) .
M i m o b a r d z o d u |y c h u p r o s z c z e D g e o m e t r y c z n y c h i f i z y c z n y c h r o z w i z a n i e S t e f a n a
m a p e w n e z n a c z e n i e p r a k t y c z n e . P r z e d e w s z y s t k i m j e d n o z n a j b a r d z i e j z n a n y c h i n a j s z e r z e j
s t o s o w a n y c h w o d l e w n i c t w i e p r a w , t z w . p r a w o p i e r w i a s t k o w e ¾= K 1 / 2 ( ¾ g r u b o [ w a r s t w y
z a k r z e p Be j , K - s t a Ba k r z e p n i c i a ) , w y n i k a b e z p o [r e d n i o z r o z w i z a n i a a n a l i t y c z n e g o z a d a n i a
S t e f a n a .
U o g ó l n i e n i e m r o z w i z a n i a p r o b l e m u k r z e p n i c i a p ó Bp r z e s t r z e n i j e s t r o z w i z a n i e
S c h w a r z a . U k Ba d r ó w n a D ( 2 . 8 2 ) u z u p e Bn i o n o a n a l o g i c z n y m r ó w n a n i e m d o t y c z c y m
p ó Bn i e s k o Dc z o n e j f o r m y , k t ó r a s t y k a s i z p ó Bn i e s k o Dc z o n y m p Ba s k i m o d l e w e m . D l a x = 0 w
m i e j s c e w a r u n k u T ( 0 , t ) = T B < T k r . p r z y j t o w a r u n e k i d e a l n e g o k o n t a k t u ( 2 . 7 9 ) . U d a Bo s i
r ó w n i e | w s p o s ó b [c i s By r o z w i z a z a d a n i e , d l a k t ó r e g o p r z y j t o w a r u n e k o d p o w i a d a j c y
k o n t a k t o w i n i e i d e a l n e m u ( o p ó r c i e p l n y m i d z y o b s z a r a m i o d l e w u i f o r m y m u s i z m i e n i a s i
j e d n a k w [c i [l e o k r e [l o n y s p o s ó b ) . M o d e l S c h w a r z a s t a n o w i i s t o t n e r o z s z e r z e n i e m o d e l u
S t e f a n a , m i m o i | d o t y c z y n a d a l z a d a D j e d n o w y m i a r o w y c h i o b s z a r ó w p ó Bn i e s k o Dc z o n y c h .
C z y t e l n i k ó w b a r d z i e j z a i n t e r e s o w a n y c h t y m i p r o b l e m a m i o d s y Ba m y d o k s i |e k W . L o n g i , w
k t ó r y c h p r z e d s t a w i o n o b a r d z o s z c z e g ó Bo w e o m ó w i e n i e m e t o d a n a l i t y c z n y c h .
M o |l i w o [c i p e w n e j i l o [c i o w e j a n a l i z y k r z e p n i c i a o d l e w ó w , c z y t o n a p o d s t a w i e
r o z w i z a D S t e f a n a , S c h w a r z a , c z y t e | W i e j n i k a , d o t y c z w z a s a d z i e z a d a D z o s t r y m f r o n t e m
( n p . k r z e p n i c i e c z y s t y c h m e t a l i ) . F a k t t e n s p o w o d o w a B, |e p r o b l e m y d o t y c z c e k r z e p n i c i a
m e t a l u w i n t e r w a l e t e m p e r a t u r y s t a r a n o s i s p r o w a d z i d o z a d a D z w a r u n k i e m S t e f a n a .
J e d n y m z e s p o s o b ó w u c i e c z k i p r z e d t r u d n o [c i a m i a d a p t a c j i r o z w i z a D a n a l i t y c z n y c h d l a
p r z y p a d k u t y p o w y c h s t o p ó w k r z e p n c y c h w p r z e d z i a l e t e m p e r a t u r y j e s t w p r o w a d z e n i e d o
r o z w a |a D t z w . z a s t p c z e j t e m p e r a t u r y k r y s t a l i z a c j i . W i e l k o [ t a w y n i k a z n a s t p u j c y c h
r o z w a |a D. C a Bk i l o c z y n u t e m p e r a t u r y i z a s t p c z e j p o j e m n o [c i c i e p l n e j s t r e f y d w u f a z o w e j w
g r a n i c a c h ( T S , T L ) m o |n a n a p o d s t a w i e u o g ó l n i o n e g o t w i e r d z e n i a o w a r t o [c i [r e d n i e j z a p i s a
w p o s t a c i
T L T L
Æ Æ
+"C ( T ) T d T = T +"C ( T ) d T = T [ c ( T L - T S ) + L ] , ( 2 . 8 8 )
T S T S
g d z i e T - t e m p e r a t u r a [r e d n i a , k t ó r a n a z w i e m y z a s t p c z t e m p e r a t u r k r z e p n i c i a , n a t o m i a s t
o s t a t n i a r ó w n o [ w y n i k a z w z o r u ( 2 . 4 1 ) . P o p o d z i e l e n i u p r z e z c ( T L - T s ) + L o t r z y m u j e m y
T L
+"C ( T ) T d T
T S
Æ
T = ( 2 . 8 8 )
c ( T L - T S ) + L
" " P r z y k Ba d . D l a h i p o t e z y ( 2 . 3 9 ) : C = c + L / ( T L - T S ) o t r z y m u j e m y
L
ëø öøT T L 2 1
L T d T 1 - T S 2
Æ
ìø
T = + ( T S )
+"
ìøc - T S ÷ø - T S L = 2 T L - T S = 2 + T L
T L ÷ø c ( T L ) +
íø øø
T S
c z y l i t e m p e r a t u r a z a s t p c z a j e s t [r e d n i a r y t m e t y c z n t e m p e r a t u r T S i T L .
W a r u n e k b r z e g o w y S t e f a n a m o |n a u o g ó l n i n a z a d a n i a d w u i t r ó j w y m i a r o w e . W
t a k i m p r z y p a d k u b i l a n s e n e r g i i s p o r z d z o n y d l a k r z e p n c e j w a r s t e w k i p r o w a d z i d o b a r d z i e j
o g ó l n e j p o s t a c i w a r u n k u ( 2 . 8 3 ) , a m i a n o w i c i e
ñø- »1 n g r a d T 1 ( X , t ) = - »2 n g r a d T 2 ( X , t ) + L Á2 v n
X " “1 2 ( t ) : , ( 2 . 9 0 )
òø
( X , t ) = T 2 ( X , t ) = T k r
óøT 1
g d z i e ½n j e s t l o k a l n p r d k o [c i p r z y r o s t u w a r s t w y z a k r z e p Be j w k i e r u n k u n o r m a l n y m d o
g r a n i c y r o z d z i a Bu f a z “1 2 ( t ) .
W l i t e r a t u r z e d o t y c z c e j z a d a D b r z e g o w o - p o c z t k o w y c h o r u c h o m y c h g r a n i c a c h ( M o v i n g
B o u n d a r y P r o b l e m s ) r o z w a |a s i r ó w n i e | p r o c e s n a d t a p i a n i a . Z a Bó |m y , |e p o w i e r z c h n i a c i a Ba
s t a Be g o p o z o s t a j e w k o n t a k c i e z o t o c z e n i e m , k t ó r e g o t e m p e r a t u r a j e s t w y |s z a o d t e m p e r a t u r y
t o p n i e n i a c i a Ba . W t a k i m p r z y p a d k u ( r y s . 2 . 1 8 ) n a r u c h o m y m b r z e g u ¾ f o r m u Bu j e s i w a r u n e k
b r z e g o w y b d c y p e w n o d m i a n k l a s y c z n e g o w a r u n k u S t e f a n a . S k Ba d n i k i b i l a n s u e n e r g i i s
w t a k i m p r z y p a d k u n a s t p u j c e :
"
Q d = ±[ T - T 2 ( x , t ) ] "F "t
"T 2 ( x , t ) "t ( 2 . 9 1 )
Q w = - »2 "F
"x
"E u = "F "x Á2 L .
P i e r w s z y z e s k Ba d n i k ó w j e s t c i e p Be m w y m i e n i a n y m m i d z y p o w i e r z c h n i a n a d t a p i a n e g o
o b s z a r u i c i e c z ( n p . k u l k a z l o d u z a n u r z o n a w w o d z i e o t e m p e r a t u r z e w y |s z e j n i | 0 ° C , p r z y
c z y m w p r o w a d z e n i e w m i e j s c e w o d y i n n e g o p By n u n i e z m i e n i a p i e r w s z e g o z r ó w n a D ( 2 . 9 1 ) ) .
D r u g i s k Ba d n i k t o c i e p Bo p r z e w o d z o n e o d b i l a n s o w a n e j w a r s t e w k i d o w n t r z a o b s z a r u , a
t r z e c i - z m i a n a j e j e n e r g i i w e w n t r z n e j . W g r a n i c y "t ’!0 o t r z y m u j e m y
"T 2 ( x , t ) d x ( t )
ñø± " - T 2 ( x , t ) ] = - »2
ôø [ T + L Á2
x = ¾ : . ( 2 . 9 2 )
òø
"x d t
ôø
T 2 ( x , t ) = T k r
óø
J e |e l i u w z g l d n i d o d a t k o w o s k Ba d o w r a d i a c y j n p r z e p By w u c i e p Ba m i d z y o t o c z e n i e m o r a z
o b s z a r e m &!2 ( t ) ( w n i e k t ó r y c h p r z y p a d k a c h j e s t t o n i e z b d n e ) , t o
îøëø T " öø4 ëø T 2 ( x , t ) ÷ø4 ùø
öø
"
ìø ÷ø úø =
±[ T - T 2 ( x , t ) ] + µC c ïøìø ÷ø - ìø
ïø
ðøíø1 0 0 øø íø 1 0 0 øø úø
ûø
"T 2 ( x , t ) d x ( t )
x = ¾ : = - » + L Á2 ( 2 . 9 3 )
"x d t
T 2 ( x , t ) = T k r .
R y s . 2 . 1 8 . M o d e l p r o c e s u n a d t a p i a n i a
W n i e k t ó r y c h p r a c a c h c y t u j e s i w a r u n e k b r z e g o w y d l a p r z y p a d k u , g d y p r z e p By w c i e p Ba
m i d z y c i e c z a n a m a r z a j c y m c i a Be m s t a By m z a c h o d z i i p r z e z p r z e w o d z e n i e , i p r z e z
k o n w e k c j e ( r u c h m a s y ) . W ó w c z a s
"
- »1 n g r a d T 1 ( x , t ) + ±[ T - T 2 ( x , t ) ] =
X " “1 2 ( t ) : = - »2 n g r a d T 2 ( x , t ) + L Á2 v n ( 2 . 9 4 )
T 1 ( X , t ) = T 2 ( X , t ) = T k r .
U w z g l d n i e n i e p r o c e s u s e g r e g a c j i w p o b l i |u f r o n t u k r z e p n i c i a w y m a g a d a l s z e j m o d y f i k a c j i
w a r u n k u S t e f a n a , a l e m a o n a z n a c z e n i e r a c z e j f o r m a l n e .
2 . 2 . 9 . O p i s m a t e m a t y c z n y k r z e p n i c i a o d l e w u w f o r m i e
J e |e l i f o r m w y p e Bn i a m e t a l k r z e p n c y w i n t e r w a l e t e m p e r a t u r y , t o o b s z a r k r z e p n c e g o
o d l e w u &!0 j e s t z Bo |e n i e m t r z e c h z m i e n i a j c y c h s i w c z a s i e p o d o b s z a r ó w &!m ( t ) , m = 1 , 2 , 3
c i e c z , s t r e f a d w u f a z o w a , c i a Bo s t a Be .
W p r o w a d z a m y f u n k c j S ( X , t ) i d e n t y f i k u j c p o d o b s z a r y u k Ba d u ( p o r . r y s . 2 . 1 7 ) w c h w i l i t
0 T > T L
ñø
ôøS T S d" T d" T L
( T ) 0 d" S ( T ) d" 1
ôø
S ( X , t ) = . ( 2 . 9 5 )
òø
1 T < T S
ôø
ôø
m m > 3 d l a p o d o b s z a r ó w &!m f o r m y &!F .
óø
J a k w i d a , w o b s z a r z e o d l e w u S j e s t j a k p o p r z e d n i o u d z i a Be m o b j t o [c i o w y m c i a Ba s t a Be g o w
o t o c z e n i u p u n k t u X " &!0 . D l a p o d o b s z a r ó w o d l e w u i f o r m y w p r o w a d z i m y p o j c i e
z a s t p c z e j p o j e m n o [c i c i e p l n e j o k r e [l o n e j w z o r e m C m = c m - L d S / d T ( j a k ( 2 . 3 6 ) ) . P o n i e w a |
d S / d T = 0 d l a m `"2 , w i c
c 1 T > T L
ñø
ôø
/
C m = - L S T T S d" T d" T L . ( 2 . 9 6 )
òøc
2
ôø
c m m e" 3
óø
T a k w i c p o l e t e m p e r a t u r y w u k Ba d z i e &!0 U &!F , p r z y z a Bo |e n i u , |e p o d o b s z a r y s i z o b a r y c z n e ,
i z o t r o p o w e i p o m i j a m y k o n w e k c j w c i e k By m m e t a l u , o p i s u j e n a s t p u j c y u k Ba d r ó w n a D
r ó |n i c z k o w y c h :
"T ( X , t )
C m Ám = d i v [ »m g r a d T ( X , t ) ] , m = 1 , 2 , 3 . . . , M ( 2 . 9 7 )
"t
u z u p e Bn i o n y w a r u n k a m i b r z e g o w y m i w p o s t a c i
- w a r u n k ó w ( 2 . 8 0 ) i ( 2 . 8 1 ) n a r u c h o m y c h b r z e g a c h “1 2 ( t ) , “2 3 ( t ) ,
- w a r u n k ó w ( 2 . 7 8 ) l u b ( 2 . 7 9 ) n a p o w i e r z c h n i g r a n i c z n e j o d l e w - f o r m a ,
- w a r u n k u ( 2 . 7 6 ) n a z e w n t r z n y c h p o w i e r z c h n i a c h o d l e w u i f o r m y p o z o s t a j c y c h w
k o n t a k c i e z o t o c z e n i e m ,
- w a r u n k u ( 2 . 7 9 ) m i d z y p o d o b s z a r a m i f o r m y
o r a z w a r u n k i e m p o c z t k o w y m T ( X , t ) = T z a l d l a X " &!0 , T ( X , t ) = T F d l a X " &!F .
W n i e k t ó r y c h p r z y p a d k a c h w o p i s i e m o g p o j a w i s i w a r u n k i I r o d z a j u ( n p . n a
p e r y f e r i a c h f o r m y , g d y m o |e m y p r z y j , |e j e j t e m p e r a t u r a w c z a s i e t r w a n i a p r o c e s u
p r a k t y c z n i e n i e z m i e n i a s i i b d z i e r ó w n a T F ) l u b I I r o d z a j u ( w s z c z e g ó l n o [c i w p o s t a c i q n = 0
n a l i n i a c h l u b p o w i e r z c h n i a c h s y m e t r i i c i e p l n e j ) .
M o d y f i k a c j a o p i s u p o d s t a w o w e g o . P r z e d s t a w i o n y w y |e j o p i s m a t e m a t y c z n y m i m o
p r z y j t y c h u p r o s z c z e D o r a z p o m i n i c i a p r o c e s ó w p r z e p By w u m a s y ( s e g r e g a c j a
m a k r o s k o p o w a ) , n i e u m o |l i w i a r o z w i z a n i a m e t o d a m i a n a l i t y c z n y m i . N i e j e s t o n t e | Ba t w y
d o r o z w i z a n i a m e t o d a m i n u m e r y c z n y m i , p r z y c z y m p o d s t a w o w t r u d n o [ s t a n o w i s p r a w a
i d e n t y f i k a c j i p o d o b s z a r ó w , t z n . z n a j d o w a n i e d o k Ba d n e g o p r z e b i e g u p o w i e r z c h n i g r a n i c z n y c h
T S i T L , w c h w i l i t . Z n a j o m o [ c h w i l o w y c h p o Bo |e D t y c h p o w i e r z c h n i ( z a d a n i e 3 D , c z y l i
z a d a n i e t r ó j w y m i a r o w e ) l u b c z [c i e j l i n i i ( z a d a n i e 2 D c z y l i d w u w y m i a r o w e ) j e s t n i e z b d n a
d o p o p r a w n e j a p r o k s y m a c j i w a r u n k ó w ( 2 . 8 0 ) i ( 2 . 8 1 ) . D o k Ba d n a i d e n t y f i k a c j a c h w i l o w y c h
p o Bo |e D t y c h p o w i e r z c h n i j e s t w z a s a d z i e m o |l i w a . W l i t e r a t u r z e p o d a j e s i k i l k a a l g o r y t m ó w
i d e n t y f i k u j c y c h l e p i e j l u b g o r z e j p o Bo |e n i a l i n i i g r a n i c z n y c h , a l e s t o z r e g u By a l g o r y t m y
b a r d z o s k o m p l i k o w a n e i c z s t o n i e z b y t p r z e k o n y w a j c e , c o w i c e j , w e d Bu g n a s z e g o
r o z e z n a n i a z b d n e z p u n k t u w i d z e n i a p o t r z e b p r a k t y k i ( z w y j t k i e m b y m o |e p e w n y c h
s p e c j a l n i e u k i e r u n k o w a n y c h b a d a D p o d s t a w o w y c h ) .
M o d y f i k a c j a o p i s u m a t e m a t y c z n e g o p r o c e s ó w p r z e p By w u c i e p Ba w k r z e p n c y m i
s t y g n c y m m e t a l u , k t ó r a p r z e d s t a w i m y n i |e j , n i e w y m a g a d o k Ba d n e g o o k r e [l a n i a p o Bo |e D
i z o t e r m s o l i d u s u i l i k w i d u s u , p r z e z c o w y d a j e s i b a r d z o d o g o d n a i e f e k t y w n a p r z y
k o n s t r u k c j i s t o s u n k o w o p r o s t y c h a l g o r y t m ó w n u m e r y c z n y c h s y m u l u j c y c h p r o c e s
k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a o d l e w u .
Z a Bó |m y , |e i l o c z y n C 0 Á0 o r a z w s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a »0 m e t a l u w y p e Bn i a j c e g o
f o r m b d z i e m y d e f i n i o w a n a s t p u j c o
c 1 Á1 »1 T > T L
ñø ñø
ôø ôø
/
C 0 Á0 = ( c 2 - S T L ) Á2 , »0 = T S d" T d" T L , ( 2 . 9 8 )
òø òø»
2
ôø ôø» T < T S
c 3 Á3
óø óø 3
o r a z |e C 0 Á0 j a k r ó w n i e | »0 s f u n k c j a m i c i g By m i . Z a Bo |e n i e t o w y m a g a o c z y w i [c i e
o k r e [l o n e g o w y g Ba d z e n i a ( s m o o t h i n g ) p a r a m e t r ó w t e r m o f i z y c z n y c h , a w s z c z e g ó l n o [c i
i l o c z y n u C 0 Á0 , k t ó r y z m i e n i a s i b a r d z o i s t o t n i e w p o b l i |u i z o t e r m s o l i d u s u i l i k w i d u s u . D w a
s p o s o b y w y g Ba d z e n i a t e g o p a r a m e t r u p o k a z a n o n a r y s u n k u 2 . 1 9 .
W s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a z d e f i n i o w a n y n a s t p u j c o :
»1 T > T L
ñø
ôø
»0 = ( 1 - S ) »1 + S »3 T S d" T d" T L ( 2 . 9 9 )
òø
ôø
»3 T < T S
óø
j e s t o c z y w i [c i e f u n k c j c i g B.
C i g Bo [ p a r a m e t r ó w C 0 Á0 i »0 w a n a l i z o w a n y m p r z e d z i a l e t e m p e r a t u r y ( t z n . t e m p e r a t u r a
z a l e w a n i a - t e m p e r a t u r a o t o c z e n i a ) z m a t e m a t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a o z n a c z a f o r m a l n e
u j e d n o r o d n i e n i e w i e l o f a z o w e g o o b s z a r u o d l e w u ( c i e c z , s t r e f a d w u f a z o w a , c i a Bo s t a Be ) .
R y s . 2 . 1 9 . W y g Ba d z a n i e z a s t p c z e j p o j e m n o [c i w p o b l i |u i z o t e r m g r a n i c z n y c h
R o z p a t r u j e m y w i c p e w i e n h o m o g e n i c z n y o b s z a r o o k r e [l o n y c h p a r a m e t r a c h t e r m o f i -
f i z y c z n y c h i z a m i a s t u k Ba d u r ó w n a D o k r e [l a j c y c h p r o c e s y c i e p l n e w c i e c z y , s t r e f i e
d w u f a z o w e j i c z [c i z a k r z e p Be j m a m y j e d n o r ó w n a n i e , a m i a n o w i c i e
"T ( X , t )
X " &!0 : C 0 Á0 = d i v [ »0 g r a d T ( X , t ) ] ( 2 . 1 0 0 )
"t
b e z p o t r z e b y w p r o w a d z a n i a w a r u n k ó w n a p o w i e r z c h n i a c h “1 2 ( t ) i T 2 3 ( t ) .
W o b l i c z e n i a c h n u m e r y c z n y c h m o |n a u z y s k a e f e k t y w n e r o z w i z a n i e r ó w n i e | b e z
w y g Ba d z a n i a p a r a m e t r ó w p o d o b s z a r ó w i w y s t a r c z y , a b y t e p a r a m e t r y ( c i e p Bo w Ba [c i w e ,
g s t o [ m a s y i p r z e w o d n o [ c i e p l n a ) b y By o k r e [l o n e i o g r a n i c z o n e w p r z e d z i a l e t e m p e r a t u r a
z a l e w a n i a - t e m p e r a t u r a o t o c z e n i a .
P r z e d s t a w i o n y w y |e j s p o s ó b f o r m a l n e g o u j e d n o r o d n i e n i a o b s z a r u o d l e w u n i e j e s t ,
n i e s t e t y , m o |l i w y w p r z y p a d k u z a d a D z o s t r g r a n i c r o z d z i a Bu f a z ( w a r u n k i e m S t e f a n a ) . O p i s
m a t e m a t y c z n y p r z e p By w u c i e p Ba s p r o w a d z a s i w t y m p r z y p a d k u d o u k Ba d u d w ó c h r ó w n a D
p r z e w o d n i c t w a d l a p o d o b s z a r ó w c i e c z y i c i a Ba s t a Be g o
"T ( X , t )
c m Ám = d i v [ »m g r a d T ( X , t ) ] , m = 1 , 2 , ( 2 . 1 0 1 )
"t
w a r u n k u ( 2 . 8 3 ) o r a z w y n i k a j c y c h z c e c h g e o m e t r y c z n y c h i c i e p l n y c h o k r e [l o n e j t e c h n o l o g i i
o d l e w n i c z e j p o z o s t a By c h w a r u n k ó w j e d n o z n a c z n o [c i .
T a k w i c r o z w i z a n i e n u m e r y c z n e z a d a n i a p r o s t s z e g o ( t y l k o d w a p o d o b s z a r y i j e d n a
r u c h o m a g r a n i c a ) j e s t w s u m i e t r u d n i e j s z e , n i | z a d a n i a z t r z e m a p o d o b s z a r a m i i d w o m a
g r a n i c a m i . N a l e |y j e d n a k p o d k r e [l i , |e r ó w n i e | d l a z a d a D z o s t r g r a n i c r o z d z i a Bu f a z
o p r a c o w a n o k i l k a b a r d z o p o m y s Bo w y c h a l g o r y t m ó w , k t ó r e p r z e d s t a w i o n o w p o d r c z n i k u
M o d e l o w a n i e i s y m u l a c j a k r z e p n i c i a o d l e w ó w .
2 . 2 . 1 0 . M o d e l p r o c e s u c i g Be g o o d l e w a n i a
O p i s m a t e m a t y c z n y p r o c e s u c i g Be g o o d l e w a n i a r ó |n i s i o d m o d e l u o m ó w i o n e g o w
p u n k c i e p o p r z e d n i m p r z e d e w s z y s t k i m d o d a t k o w y m i s k Ba d n i k a m i w r ó w n a n i a c h e n e r g i i ,
k t ó r e w y n i k a j z f a k t u p r z e m i e s z c z a n i a s i w l e w k a p r z e z u r z d z e n i e d o c i g Be g o o d l e w a n i a .
D l a p r z y k Ba d u b d z i e m y r o z p a t r y w a w l e w e k p r o s t o k t n y , o d l e w a n y n a u r z d z e n i u
p i o n o w y m . W l e w e k p r z e m i e s z c z a s i w k i e r u n k u o s i z z p r d k o [c i u ( [c i [l e j p o l e p r d k o [c i )
w o b s z a r z e : k= [ 0 , O , u ] - r y s . 2 . 2 0 .
Z a Bó |m y d o d a t k o w o , |e r o z w a |a n y w l e w e k w y t w a r z a n y j e s t z m e t a l u k r z e p n c e g o w
i n t e r w a l e t e m p e r a t u r y i |e s t o s u j e m y k o n w e n c j f o r m a l n e g o u j e d n o r o d n i e n i a o b s z a r u &!0 .
R ó w n a n i e e n e r g i i , o p i s u j c e p r o c e s w y m i a n y c i e p Ba w o b j t o [c i w l e w k a , j e s t r ó w n a n i e m
p r z e w o d n i c t w a z p o c h o d n m a t e r i a l n
"T ( X , t ) "T ( X , t )
ùø
C 0 Á0 îø + u =
ïø úø
"t "z
ðø ûø
. ( 2 . 1 0 2 )
îø ùø
" "T ( X , t ) " "T ( X , t ) " "T ( X , t )
îø» ùø îø» ùø
= + +
0 0 0
ïø» "y úø
ïø úø ïø úø
"x "x "y "z "z
ðø ûø ðø ûø
ðø ûø
g d z i e X = { x , y , z } , n a t o m i a s t w a r u n k i b r z e g o w e n a b o c z n e j p o w i e r z c h n i w l e w k a p r z y j m u j e
s i w p o s t a c i w a r u n k ó w I I l u b I I I r o d z a j u .
N a g ó r n e j p o w i e r z c h n i w l e w k a ( z w i e r c i a d Bo c i e k Be g o m e t a l u ) m o |n a p r z y j w a r u n e k
b r z e g o w y I r o d z a j u ( t e m p e r a t u r z a l e w a n i a ) l u b I I I r o d z a j u ( z e w s p ó Bc z y n n i k i e m ±
o b l i c z a n y m j a k w p k t . 2 . 2 . 7 ) . N a a r b i t r a l n i e p r z y j t e j d o l n e j p o w i e r z c h n i o g r a n i c z a j c e j
o b s z a r &!0 ( w r e j o n i e s t r e f y c h Bo d z e n i a k o Dc o w e g o ) z a k Ba d a s i q n = 0 , c z y l i w a r u n e k
a d i a b a t y c z n o [c i .
R y s . 2 . 2 0 . P r o s t o k t n y w l e w e k c i g By
W a r u n e k p o c z t k o w y s p r o w a d z a s i d o p r z y p o r z d k o w a n i a t e m p e r a t u r y z a l e w a n i a p e w n e j
w a r s t w i e c i e k Be g o m e t a l u b e z p o [r e d n i o n a d d r g i e m r o z r u c h o w y m z a m y k a j c y m o d d o Bu
k r y s t a l i z a t o r w c z a s i e r o z r u c h u i n s t a l a c j i . M o |n a t e | z a Bo |y , |e c a Be m u o b s z a r o w i w l e w k a
c i g Be g o w c h w i l i t = 0 p r z y p o r z d k o w u j e s i t e m p e r a t u r z a l e w a n i a ( c o o c z y w i [c i e z t e c h -
n o l o g i c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a j e s t k o m p l e t n f i k c j ) , a l e b i o r c p o d u w a g , |e w z a d a n i a c h
d o t y c z c y c h o d l e w a n i a c i g Be g o z r e g u By p o s z u k u j e s i r o z w i z a D g r a n i c z n y c h d o t y c z c y c h
p ó l p s e u d o u s t a l o n y c h , z a Bo |e n i e t a k i e j e s t m o |l i w e d o p r z y j c i a . J a k b o w i e m w i a d o m o ,
r o z w i z a n i e g r a n i c z n e n i e z a l e |y o d w a r u n k u p o c z t k o w e g o , a t y l k o o d z a Bo |o n y c h
w a r u n k ó w g e o m e t r y c z n y c h i b r z e g o w y c h .
W w a r u n k a c h n i e z a k Bó c o n e j p r a c y u r z d z e n i a d o c i g Be g o o d l e w a n i a , a w i c p r z y s t a Be j
p r d k o [c i w y c i g a n i a , s t a Be j t e m p e r a t u r z e z a l e w a n i a i u s t a l o n y c h w a r u n k a c h w y m i a n y c i e p Ba
n a b o c z n e j p o w i e r z c h n i w l e w k a w r o z w a |a n y m o b s z a r z e g e n e r u j e s i p s e u d o s t a c j o n a r n e
p o l e t e m p e r a t u r y , t z n . t e m p e r a t u r a w p u n k c i e X " &!0 j e s t t y l k o f u n k c j w s p ó Br z d n e j
g e o m e t r y c z n e j i m i m o |e w l e w e k p r z e m i e s z c z a s i p r z e z u r z d z e n i e , t o i z o t e r m y ,
p o w i e r z c h n i e r o z d z i a Bu f a z , p o l a s t |e D i t d . p o z o s t a j d l a o b s e r w a t o r a n i e r u c h o m e .
P o d s u m o w u j c , n a l e |y s t w i e r d z i , |e r o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( 2 . 1 0 2 ) z o d p o w i e d n i m i
w a r u n k a m i b r z e g o w y m i b d z i e a s y m p t o t y c z n i e ( a p r a k t y c z n i e d o [ s z y b k o ) z m i e r z a d o
r o z w i z a n i a p s e u d o u s t a l o n e g o b e z w z g l d u n a w a r u n e k p o c z t k o w y , j a k i z a Bo |y m y d l a
c h w i l i t = 0 .
W y n i k a s t d r ó w n i e | m o |l i w o [ z a s t p i e n i a r ó w n a n i a ( 2 . 1 0 2 ) r ó w n a n i e m p r o s t s z y m :
îø ùø
"T ( X ) " "T ( X ) " "T ( X ) " "T ( X )
îø» ùø îø» ùø
u C 0 Á0 = + + , ( 2 . 1 0 3 )
0 0 0
ïø» úø
ïø úø ïø úø
"z "x "x "y "y "z "z
ðø ûø ðø ûø
ðø ûø
k t ó r e w y n i k a z p o p r z e d n i e g o , j e |e l i z a Bo |y "T / "t = 0 .
L i c z n e b a d a n i a d o [w i a d c z a l n e w y k a z u j , |e s k Ba d o w a k o n d u k c y j n a p r z e p By w u c i e p Ba
w k i e r u n k u r u c h u w l e w k a j e s t p o m i j a l n i e m a Ba ( c i e p Bo p r z e w o d z o n e w z d Bu | o s i w l e w k a
c i g Be g o s t a n o w i o k . 5 % c i e p Ba p r z e w o d z o n e g o o d o s i w l e w k a d o p o w i e r z c h n i b o c z n y c h ) ,
c z y l i o s t a t n i e r ó w n a n i e m o |n a b e z z b y t n i e g o u s z c z e r b k u d l a d o k Ba d n o [c i m o d e l u
m a t e m a t y c z n e g o u p r o [c i d o p o s t a c i
îø ùø
"T ( X ) " "T ( X ) " "T ( X )
îø» ùø
u C 0 "0 = + . ( 2 . 1 0 4 )
0 0
ïø» úø
ïø úø
"z "x "x "y "y
ðø ûø
ðø ûø
O t r z y m u j e m y w t e n s p o s ó b r ó w n a n i e p a r a b o l i c z n e t y p o w e d l a n i e u s t a l o n e g o p r z e p By w u
c i e p Ba , w k t ó r y m r o l c z a s u p r z e j m u j e w s p ó Br z d n a z , n a t o m i a s t i l o c z y n p o j e m n o [c i c i e p l n e j i
g s t o [c i p r z e m n o |o n y j e s t p r z e z p r d k o [ w y c i g a n i a u .
D o s y c i e k a w y m i e f e k t y w n y m w s y m u l a c j i n u m e r y c z n e j w a r i a n t e m m o d e l u p r o c e s u
c i g Be g o o d l e w a n i a j e s t m e t o d a w d r u j c e g o p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o .
Z a p i s z m y m i a n o w i c i e r ó w n a n i e ( 2 . 1 0 2 ) w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h z w i z a n y c h z
p r z e m i e s z c z a j c y m s i w l e w k i e m : x ' = x , y ' = y , z ' = z - u t . Z a k Ba d a m y j a k p o p r z e d n i o , |e
p r z e w o d z e n i e c i e p Ba w k i e r u n k u r u c h u w l e w k a m o |n a p o m i n . J a k Ba t w o s p r a w d z i w
n o w y m r ó w n a n i u r ó |n i c z k o w y m g u b i m y s k Ba d n i k z a w i e r a j c y p o c h o d n t e m p e r a t u r y p o
w s p ó Br z d n e j
/ / /
îø ùø îø ùø
"T ( X , t ) " "T ( X , t ) úø + " "T ( X , t ) úø , ( 2 . 1 0 5 )
C 0 Á0 =
"t "x / ïø»0 "x / ûø "y / ïø»0 "y / ûø
ðø ðø
a w i c s k Ba d n i k t y p o w y d l a p o c h o d n e j m a t e r i a l n e j , a r ó w n a n i e ( 2 . 1 0 4 ) j e s t r ó w n a n i e m
p r z e w o d n i c t w a d l a o b s z a r ó w 2 D z o r i e n t o w a n y c h w p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h .
N a l e |y j e r o z w i z a p r z y w a r u n k u p o c z t k o w y m T ( X ' , 0 ) = T z a l , n a t o m i a s t w a r u n k i
b r z e g o w e n a o b w o d z i e p r z e k r o j u w l e w k a s f u n k c j c z a s u . J e |e l i "t 1 j e s t c z a s e m
p r z e b y w a n i a p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o w k r y s t a l i z a t o r z e , t o d l a 0 d"t d""t 1 n a j e g o o b w o d z i e
o b o w i z u j w a r u n k i c h a r a k t e r y z u j c e p r z e p By w c i e p Ba w k r y s t a l i z a t o r z e ( n p . o d p o w i e d n i e
s t r u m i e n i e c i e p Ba ) . D l a k o l e j n e g o i n t e r w a Bu "t 2 , o d p o w i a d a j c e g o c z a s o w i p r z e b y w a n i a
p r z e k r o j u w l e w k a w p i e r w s z y m s e k t o r z e s t r e f y c h Bo d z e n i a w t ó r n e g o n a l e |y p r z y j w a r u n k i
d l a p i e r w s z e g o s e k t o r a i t d .
F o r m a l n i e r z e c z b i o r c , w y r ó |n i o n y p r z e k r ó j w l e w k a z o s t a B z a t r z y m a n y , n a t o m i a s t
z m i e n n e w c z a s i e w a r u n k i b r z e g o w e n a j e g o o b w o d z i e s y m u l u j p r z e m i e s z c z a n i e s i
p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r z e z u r z d z e n i e . M o |e m y j e s z c z e z a u w a |y , |e r o z w i z u j c z a d a n i e
2 D o t r z y m u j e m y t r ó j w y m i a r o w e p o l e t e m p e r a t u r y i a n a l o g i c z n i e d l a z a d a n i a
j e d n o w y m i a r o w e g o ( n p . o [ x o r i e n t u j e m y p r o s t o p a d l e d o k r ó t s z e g o b o k u w l e w k a ) d o s t a j e m y
p o l e t e m p e r a t u r y w p Ba s z c z y zn i e { x , z } k a |d e m u w y r ó |n i o n e m u c z a s o w i t m o |e m y
b o w i e m p r z y p o r z d k o w a o d p o w i e d n i w s p ó Br z d n z = u t .
W s z y s t k i e o m ó w i o n e w y |e j r ó w n a n i a d o t y c z y By p r o s t o k t n y c h w l e w k ó w w y t w a r z a n y c h
n a u r z d z e n i a c h p i o n o w y c h ( p r z y o d p o w i e d n i m , , o b r ó c e n i u " u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h r ó w n i e |
w l e w k ó w o d l e w a n y c h p o z i o m o ) . O p i s m a t e m a t y c z n y p r z e p By w u c i e p Ba w o b j t o [c i
p i o n o w e g o w l e w k a o k r g Be g o j e s t a n a l o g i c z n y d o p r z e d s t a w i o n e g o w y |e j - n a l e |y t y l k o
o p e r a t o r d i v ( »g r a d T ) z a p i s a w e w s p ó Br z d n y c h w a l c o w y c h .
J e |e l i n a t o m i a s t r o z p a t r u j e m y w l e w k i p r o s t o k t n e w y t w a r z a n e n a u r z d z e n i a c h
r a d i a l n y c h ( j e s t t o j e d n a z n a j b a r d z i e j p o p u l a r n y c h t e c h n o l o g i i w y t w a r z a n i a
w i e l k o g a b a r y t o w y c h w l e w k ó w s t a l o w y c h , t o w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h z o r i e n t o w a n y m j a k
n a r y s u n k u 2 . 2 1 r ó w n a n i e e n e r g i i j e s t n a s t p u j c e :
îø ùø
"T ( X , t ) "T ( X , t ) 1 " "T ( X , t )
îø ùø
C + 0 Á0 ïø + É = +
úø
ïør »0 "r úø
"t "Õ r "r
ðø ûø
ðø ûø
( 2 . 1 0 6 )
îø ùø
1 " "T ( X , t ) " "T ( X , t )
îø» ùø
+ +
0 0
ïø» úø
2
ïø úø.
r "Õ "Õ "z "z
ðø ûø
ðø ûø
p r z y c z y m É= u / R , n a t o m i a s t R j e s t p r o m i e n i e m k r z y w i z n y o s i w l e w k a .
W u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h r ' = r , Æ = Æ- Ét , z ' = z o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e b e z s k Ba d n i k a "T Æ
( w d r u j c y p r z e k r ó j ) .
W l e w k i o k r g Be o d l e w a n e n a u r z d z e n i a c h Bu k o w y c h n a l e |y o r i e n t o w a w
t o r o i d a l n y m ( a w i c r a c z e j n i e t y p o w y m ) u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h , r y s . 2 . 2 2 .
O p i s m a t e m a t y c z n y c i g Be g o o d l e w a n i a c z y s t y c h m e t a l i ( n p . m i e d z l u b a l u m i n i u m ) w y m a g a
j a k w i a d o m o w p r o w a d z e n i a w a r u n k u b r z e g o w e g o S t e f a n a , k t ó r y w t y m p r z y p a d k u m a n i e c o
i n n w s t o s u n k u d o k l a s y c z n e g o p o s t a .
N a r y s u n k u 2 . 2 3 p o k a z a n o p r z e k r ó j p o d Bu |n y w l e w k a c i g Be g o z z a z n a c z o n i z o t e r m T k r .
P r d k o [ w y c i g a n i a o z n a c z o n o u , j e j r z u t n a k i e r u n e k n o r m a l n y d o p o w i e r z c h n i r o z d z i a Bu
f a z w p u n k c i e X o z n a c z o n o l i t e r ½, n a t o m i a s t p r d k o [ p r z y r o s t u f r o n t u k r z e p n i c i a w
k i e r u n k u n o r m a l n y m l i t e r w . W a r u n e k b r z e g o w y S t e f a n a w p r o c e s i e o d l e w a n i a c i g Be g o m a
p o s t a n a s t p u j c :
R y s . 2 . 2 1 . P r o s t o k t n y Bu k o w y w l e w e k c i g By
R y s . 2 . 2 2 . O k r g By Bu k o w y w l e w e k c i g By
ñø- »1 n g r a d T 1 ( X , t ) = - »2 n g r a d T 2 ( X , t ) + Á2 L ( w - v )
X " “1 2 ( t ) : ( 2 . 1 0 7 )
òø
T 1 ( X , t ) = T 2 ( X , t ) = T k r .
óø
Z a u w a |m y , |e g d y b y w l e w e k z a t r z y m a , t o w o b e c u = 0 m a m y ½= 0 i o t r z y m u j e m y w a r u n e k
( 2 . 8 3 ) .
R y s . 2 . 2 3 . G r a n i c a r o z d z i a Bu f a z w o b s z a r z e w l e w k a c i g Be g o
J e |e l i m o d e l s c a l o n y z b u d o w a n o n a p o d s t a w i e m e t o d y w d r u j c e g o p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o ,
t o w o b e c z a Bo |e n i a o b a r d z o m a By m s t r u m i e n i u c i e p Ba p r z e w o d z o n e g o w k i e r u n k u p r z e s u w u
w l e w k a , d o c h o d z i m y d o k l a s y c z n e g o w a r u n k u S t e f a n a d l a z a d a n i a 2 D , a m i a n o w i c i e ( p o r .
r y s . 2 . 2 3 b )
ñø- »1 n g r a d T 1 ( X , t ) = - »2 n g r a d T 2 ( X , t ) + Á2 L v n
ôø
îø
X " “1 2 ( t ) : "T "T ùø
, ( 2 . 1 0 8 )
òø
T 1 ( X , t ) = T 2 ( X , t ) = T k r , g r a d T = ,
ïø úø
ôø
"x "y
ðø ûø
óø
z t y m , |e n o w e p o Bo |e n i e f r o n t u “1 2 ( t + "t ) o d p o w i a d a d e f a c t o p r z e k r o j o w i p o p r z e c z n e m u
l e |c e m u o "z = w "t n i |e j n i | w y j [c i o w y .
D l a z a d a n i a p s e u d o u s t a l o n e g o ( t u r ó w n i e | p o m i j a l i [m y p r z e w o d z e n i e c i e p Ba w k i e r u n k u
p r z e s u w u w l e w k a ) :
d F ( z )
ñø- »1 n g r a d T 1 ( X = - »2 n g r a d T 2 ( X u Á2 L
) ) +
ôø
ôø
d z
X " “1 2 : , ( 2 . 1 0 9 )
òø
( X ) )
ôøT 1 = T 2 ( X = T k r
ôø
óø
g d z i e r = F ( z ) j e s t r ó w n a n i e m p o w i e r z c h n i ( l i n i i ) o p i s u j c e j p o Bo |e n i e f r o n t u k r z e p n i c i a w
o b j t o [c i ( p r z e k r o j u p o d Bu |n y m ) w l e w k a - r y s . 2 . 2 4 .
R y s . 2 . 2 4 . P o d z i a B b r z e g u i p o d o b s z a r y w l e w k a ( z a d a n i e p s e u d o s t a c j o n a r n e )
" " P r z y k Ba d . M o d e l m a t e m a t y c z n y d l a m i e d z i a n e g o o k r g Be g o w l e w k a p i o n o w e g o ( z a d a n i e
o s i o w o s y m e t r y c z n e j a k n a r y s . 2 . 2 4 ) , p r z y z a d a n y m s t r u m i e n i u c i e p Ba w k r y s t a l i z a t o r z e
q = q I ( z ) i w s p ó Bc z y n n i k u w y m i a n y c i e p Ba n a p o w i e r z c h n i p o d k r y s t a l i z a t o r e m ±= ±I I ( z ) , p r z y
o c z y w i s t y m z a Bo |e n i u , |e T z a l > T k r , o r a z |e r o z p a t r u j e m y z a d a n i e p s e u d o s t a c j o n a r n e , j e s t
n a s t p u j c y :
"T ( r , z ) 1 " "T ( r , z )
îø ùø
X " &!m : c m Ám u = , m = 1 , 2 ,
ïør »m "r úø
"z r "r
ðø ûø
"T 1 ( r , z ) "T 2 ( r , z ) d F
ñø
ôø
»1 - »2 = u Á2 L
X " “1 2 :
òø
"r "r d z
ôø
T 1 ( r , z ) = T 2 ( r , z ) = T k r
óø
"T ( r , z )
X " “0 : T 1 ( r , z ) = T k r , X " “ " : = 0
"z
"T 2 ( r , z )
X " “I : - »2 = q I
"r
"T 2 ( r , z )
"
X " “I I : - »2 = ± ( z ) [ T 2 ( r , z ) - T ] ,
I I
"r
"T ( r , z )
X " “s y m : = 0
"r
2 . 2 . 1 1 . K o n w e n c j a e n t a l p o w a
K o n w e n c j a e n t a l p o w a ( e n t h a l p y c o n v e n t i o n ) p o l e g a n a t a k i m p r z e k s z t a Bc e n i u r ó w n a n i a
e n e r g i i o r a z o d p o w i e d n i c h d l a r o z p a t r y w a n e g o z a d a n i a w a r u n k ó w j e d n o z n a c z n o [c i , |e w
o p i s i e m a t e m a t y c z n y m p r o c e s ó w c i e p l n y c h w m i e j s c e t e m p e r a t u r y p o j a w i a s i p a r a m e t r
k a l o r y c z n y n a z y w a n y e n t a l p i a . P o d e j [c i e t a k i e s t o s o w a n e b y Bo w i e l o k r o t n i e w p r a c a c h
z w i z a n y c h z k l a s y c z n y m i z a d a n i a m i p r z e p By w u c i e p Ba , j e s t o n o r ó w n i e | d o [ p o p u l a r n e w
t e r m o d y n a m i c e p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h . H i s t o r y c z n i e r z e c z b i o r c , w p r o w a d z e n i e e n t a l p i i d o
o b l i c z e D k r z e p n i c i a i s t y g n i c i a m e t a l u w f o r m i e w i |e s i z n a z w i s k a m i S a j r a n t a i S l a c k a . Z
n o w s z y c h p r a c n a s z c z e g ó l n e w y r ó |n i e n i e z a s Bu g u j e c y k l a r t y k u Bó w B e r g e r a , C i m e n t a i
R o g e r s a , w k t ó r y c h n a p o d s t a w i e o p i s u k r z e p n i c i a w k o n w e n c j i e n t a l p o w e j p r z e d s t a w i o n o
b a r d z o e f e k t y w n y a l g o r y t m o b l i c z e D n a z w a n y p r z e z A u t o r ó w m e t o d p r z e m i e n n e j f a z y
( A l t e m a t i n g P h a s e T r u n c a t i o n M e t h o d ) .
E n t a l p i f i z y c z n o d n i e s i o n d o j e d n o s t k i o b j t o [c i d e f i n i u j e m y j a k o
T
H ( T ) =
+"c ( µ ) Á( µ ) d µ , ( 2 . 1 1 0 )
T o d
g d z i e T o d j e s t d o w o l n i e p r z y j t y m p o z i o m e m o d n i e s i e n i a ( n p . T o d = 0 ) . G d y c i Á s s t a Be , t o
H ( T ) = c Á ( T - T o d ) . P o n i e w a |
"H ( X , t ) d H ( T ) "T ( X , t ) "T ( X , t )
= = c Á , ( 2 . 1 1 1 ) '
"t d T "t "t
w i c l e w a s t r o n a r ó w n a n i a e n e r g i i z a p i s a n a w k o n w e n c j i e n t a l p o w e j m a p o s t a "H / "t l u b
D H / D t . Z k o l e i k a |d y z e s k Ba d n i k ó w r ó w n a n i a F o u r i e r a m o |e m y p r z e k s z t a Bc i j a k n i |e j :
" "T " d T "H " "H
îø» ùø îø» Å" ùø îø ùø
= = , ( 2 . 1 1 2 )
ïø úø ïø úø ïøa úø
"x "x "x d H "x "x "x
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
W y k o r z y s t a n o t u t w i e r d z e n i e o p o c h o d n e j f u n k c j i o d w r o t n e j : d T / d H = 1 / c Á, o z n a c z o n o
»/ c Á= a , p r z y c z y m w r o z w a |a n y m p r z y p a d k u a = a ( T ) = a ( H ) . O s t a t e c z n i e r ó w n a n i e e n e r g i i
z a p i s a n e w k o n w e n c j i e n t a l p o w e j m a p o s t a
"H ( X , t )
+ u g r a d H ( X , t ) = d i v [ a Å" g r a d H ( X , t ) ] ( 2 . 1 1 3 )
"t
i w s e n s i e f o r m a l n y m j e s t t a k i e s a m o j a k r ó w n a n i e F o u r i e r a . T a k w i c n u m e r y c z n e a s p e k t y
r o z w i z y w a n i a z a d a D w y k o r z y s t u j c y c h e n t a l p i s p o d o b n e j a k w r ó w n a n i a c h k l a s y c z n y c h .
J a k Ba t w o s p r a w d z i , s t r u m i e D q n , n o r m a l n y d o b r z e g u w y n o s i
q n = - a n Å" g r a d H ( X , t ) . W z w i z k u z p o w y |s z y m t y p o w e w a r u n k i b r z e g o w e w k o n w e n c j i
e n t a l p o w e j ( p o r . r y s . 2 . 1 2 ) s n a s t p u j c e :
X " "“I : H ( X , t ) = H 1 ( X , t ) ( 2 . 1 1 4 )
X " "“I I : - a n g r a d H ( X , t ) = q n ( X , t ) ( 2 . 1 1 5 )
"
X " "“I I I : - a n g r a d H ( X , t ) = ±[ T ( H ) - T ] ( 2 . 1 1 6 )
W a r u n e k b r z e g o w y I I I r o d z a j u s t a n o w i w p e w n y m s t o p n i u p i t A c h i l l e s a k o n w e n c j i
e n t a l p o w e j . J e |e l i i l o c z y n c Á j e s t w a r t o [c i s t a B, t o w o b e c
"
T T
" "
H - H = c Ád T - ] ( 2 . 1 1 7 )
+" +"c Ád T = c Á[ T - T
T 0 d T o d
m a m y T - T "= ( H - H ") / c Á, c z y l i
"
- a n g r a d H ( X , t ) = ± ( H - H ) , ( 2 . 1 1 8 )
H
g d z i e ±H = ±/ c Á i o t r z y m u j e m y w z ó r a n a l o g i c z n y d o ( 2 . 7 6 ) .
J e |e l i j e d n a k i l o c z y n u c Á n i e m o |e m y w y Bc z y p r z e d c a Bk , t o s p r a w a s i k o m p l i k u j e . Z
( 2 . 1 1 7 ) w y n i k a , |e
T
" "
Æ
H - H = ) , ( 2 . 1 1 9 )
+"c Ád T = Á( T - T
"
T
p r z y c z y m Á j e s t [r e d n i m c a Bk o w y m i l o c z y n e m c i e p Ba w Ba [c i w e g o i g s t o [c i w p r z e d z i a l e
"
T , T . W w a r u n k u b r z e g o w y m
±
"
- a n g r a d H ( X , t ) = ( H - H ) ( 2 . 1 2 0 )
Æ
Á
p o j a w i a s i d o d a t k o w a n i e l i n i o w o [, k t ó r a w r e a l i z a c j i n u m e r y c z n e j w y m a g a z a s t o s o w a n i a
p e w n y c h p r o c e d u r i t e r a c y j n y c h .
B a r d z i e j e f e k t y w n e w y d a j e s i i n n e p o d e j [c i e . Z a c h o w a j m y w w a r u n k u I I I r o d z a j u
t e m p e r a t u r o t o c z e n i a , a t e m p e r a t u r T z a s t p m y e n t a l p i . P o n i e w a | H ( T ) j e s t f u n k c j [c i [l e
m o n o t o n i c z n , c o w y n i k a z j e j d e f i n i c j i , w i c i s t n i e j e f u n k c j a d o n i e j o d w r o t n a T = T ( H ) .
D a l s z y s p o s ó b k o n s t r u k c j i w a r u n k u I I I r o d z a j u p r z e d s t a w i m y n a p r z y k Ba d z i e .
" " P r z y k Ba d . P r z y j m i j m y , |e ±= 1 0 , T "= 2 0 , n a t o m i a s t c Á= 1 6 " 1 0 5 d l a 1 0 0 < T < 2 0 0 o r a z
c Á= 2 0 " 1 0 5 d l a 1 0 0 < T < 2 0 0 . J a k o p o z i o m o d n i e s i e n i a z a Bo |y m y T o d = 0 ( t e m p e r a t u r a w
s t o p n i a c h C e l s j u s z a ) , p r z y j m i j m y r ó w n i e |, |e t e m p e r a t u r a p o w i e r z c h n i n i e p r z e k r a c z a 2 0 0 ° C .
D l a p o w y |s z y c h d a n y c h
ñø
1 6 Å"1 0 5 T 0 d" T d" 1 0 0
H ( T ) =
òø
óø2 0 Å"1 0 5 T - 4 Å"1 0 7 T > 1 0 0
W y z n a c z y m y t e r a z f u n k c j o d w r o t n d o f u n k c j i H ( T ) , k t ó r a b d z i e r ó w n i e | f u n k c j o k r e [l o n
p r z e d z i a Ba m i . Z p u n k t u w i d z e n i a r a c h u n k o w e g o j e s t t o o p e r a c j a b a r d z o p r o s t a , n a l e |y
b o w i e m z o s t a t n i e g o r ó w n a n i a o b l i c z y t e m p e r a t u r i o k r e [l i g r a n i c e p r z e d z i a Bó w e n t a l p i i
o d p o w i a d a j c y c h p r z e d z i a Bo m t e m p e r a t u r y o d 0 d o 1 0 0 o r a z T > 1 0 0 . W o m a w i a n y m
p r z y k Ba d z i e
ñø
6 , 2 5 Å"1 0 - 7 H 0 d" H d" 1 6 Å"1 0 7
H ( T ) =
òø
óø5 Å"1 0 - 7 H + 2 0 H > 1 6 Å"1 0 7
W a r u n e k ( 2 . 1 1 5 ) p r z y j m u j e w i c p o s t a
ñø
1 0 ( 6 , 2 5 Å"1 0 - 7 H - 2 0 ) 0 d" H d" 1 6 Å"1 0 7
- a n g r a d H ( X , t ) =
òø
5 Å"1 0 - 6 H H > 1 6 Å"1 0 7
óø
i j e s t a n a l o g o n e m ( c z y l i o d p o w i e d n i k i e m ) t y p o w e g o w a r u n k u I I I r o d z a j u .
K o n w e n c j a e n t a l p o w a d l a o b s z a r ó w n i e j e d n o r o d n y c h z w a r u n k a m i I V r o d z a j u n i e j e s t
r a c z e j s t o s o w a n a , z d e c y d o w a n i e p r o s t s z e s a l g o r y t m y b a z u j c e n a z a p i s i e m i e s z a n y m , t z n .
e n t a l p o w o - t e m p e r a t u r o w y m .
O s t a t n i m e l e m e n t e m m o d e l u s c a l o n e g o z a p i s a n e g o w k o n w e n c j i e n t a l p o w e j j e s t f u n k c j a
p r z y p o r z d k o w u j c a o b l i c z o n y m w a r t o [c i o m e n t a l p i i o d p o w i e d n i e t e m p e r a t u r y ( j a k w
o s t a t n i m p r z y k Ba d z i e ) . P r z e j d z i e m y w i c d o o m ó w i e n i a z a l e |n o [c i H = H ( T ) d l a z a d a D
z w i z a n y c h z k r z e p n i c i e m i s t y g n i c i e m m e t a l u w f o r m i e .
K r z e p n i e c i e m e t a l u w i n t e r w a l e t e m p e r a t u r y . W r ó c i m y j e s z c z e r a z d o d e f i n i c j i
p o j e m n o [c i c i e p l n e j o d n i e s i o n e j d o j e d n o s t k i o b j t o [c i m e t a l u
c 1 Á1
ñø
T > T L
ôø
d S
ôøÁ ëø öøT d" T d" T L . ( 2 . 1 2 1 )
C 0 Á0 = c 2 - L
ìø ÷ø
òø
2 S
d T
íø øø
ôø
T < T S
ôø c 3 Á3
óø
E n t a l p i k r z e p n c e g o i s t y g n c e g o m e t a l u o d n i e s i o n , d o j e d n o s t k i o b j t o [c i o k r e [l a m y j a k o
T
H ( T ) = ( µ ) Á0 ( µ ) d µ . ( 2 . 1 2 2 )
0
+"c
T o d
" " P r z y k Ba d . P r z y j m i j m y , |e d l a s t a l i w g l o w e j 0 , 3 5 % C T S = 1 4 7 0 , T L = 1 5 0 0 , c 1 Á1 = 5 9 0 0 0 0 0 ,
c 3 Á3 = 4 9 0 0 0 0 0 , c 2 = 7 5 0 , p 2 = 7 3 0 0 , L = 2 7 0 0 0 0 d l a s t r e f y d w u f a z o w e j o b o w i z u j e h i p o t e z a
o p i s a n a w z o r e m ( 2 . 3 9 ) , a w i c C 2 Á2 = 7 1 , 1 7 5 · 1 0 7 ( J / m ' ) . Z a Bó |m y j e s z c z e , |e o b l i c z e n i a
b d z i e m y p r o w a d z i w u k Ba d z i e j e d n o s t e k [ k J , d m , 0 C , s ] , w ó w c z a s
5 , 9 T > 1 5 0 0
ñø
ôø
c 0 Á0 =
òø7 1 , 1 3 5 1 4 7 0 d" T d" 1 5 0 0
ôø
4 , 9 T < 1 4 7 0
óø
E n t a l p i k r z e p n c e g o s t a l i w a ( r y s . 2 . 2 7 ) o p i s u j e l i n i a Ba m a n a ( p r z y j t o T o d = 0 ) , n a t o m i a s t
w s p ó Bc z y n n i k ±( T ) j e s t p r z e d z i a Ba m i s t a By ( w s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a d l a w s z y s t k i c h
p o d o b s z a r ó w o d l e w u p r z y j m i e m y t a k i s a m i r ó w n y 3 5 ( W / m · K ) ) . W r o z w a |a n y m p r z y k Ba d z i e
4 , 9 T 0 , 0 0 0 5 9 T < 1 4 7 0
ñø ñø
ôø ôø
H ( T ) =
òø7 1 , 1 7 5 T - 9 7 4 2 7 , a ( T ) = òø0 , 0 0 0 0 5 , 1 4 7 0 d" T d" 1 5 0 0
ôø ôø0 , 0 0 0 7 1 T > 1 5 0 0
5 , 9 T + 4 8 8 , 5
óø óø
O t r z y m a n e w y |e j z a l e |n o [c i m o |n a , j a k w s p o m n i a n o p o p r z e d n i o , w o d p o w i e d n i s p o s ó b
w y g Ba d z i
1 4 7 0 1 5 0 0
R y s . 2 . 2 5 . W y k r e s e n t a l p i a - t e m p e r a t u r a ( k r z e p n i c i e w p r z e d z i a l e t e m p e r a t u r y )
K r z e p n i e c i e m e t a l u w s t a Be j t e m p e r a t u r z e . W t a k i m p r z y p a d k u e n t a l p i a o d n i e s i o n a d o
j e d n o s t k i o b j t o [c i w y n o s i
T
H ( T ) =
+"c ( µ ) Á( µ ) d µ + ·( T ) L v , ( 2 . 1 2 3 )
T o d
g d z i e ·( T ) = 0 d l a T < T k r , ·( T ) = 1 d l a T > T k r L ½( J / m 3 ) - u t a j o n e c i e p Bo k r z e p n i c i a ( p o r . r y s .
2 . 2 6 ) .
R y s . 2 . 2 6 . W y k r e s e n t a l p i a - t e m p e r a t u r a ( k r z e p n i c i e w s t a Be j t e m p e r a t u r z e )
M o d e l s c a l o n y d l a p r o b l e m u S t e f a n a s p r o w a d z a s i d o u k Ba d u d w ó c h r ó w n a D e n e r g i i
( 2 . 1 1 3 ) d l a c i e c z y i c i a Ba s t a Be g o , w a r u n k ó w b r z e g o w y c h n a z e w n t r z n e j p o w i e r z c h n i
o d l e w u , w a r u n k u p o c z t k o w e g o i w a r u n k u n a r u c h o m e j g r a n i c y r o z d z i a Bu f a z
ñø- a 1 n g r a d H 1 ( X , t ) = - a 2 n g r a d H 2 ( X , t ) + L v v n
X " “1 2 ( t ) : , ( 2 . 1 2 4 )
òø
A 1 = A 2 + L v
óø
g d z i e A 1 , A 2 s p r a w o s t r o n n i l e w o s t r o n n g r a n i c e n t a l p i i w p u n k c i e T k r .
N a z a k o Dc z e n i e t e j c z [c i r o z w a |a D p r z e d s t a w i m y z a k s i |k J . S z a r g u t a O b l i c z e n i a c i e p l n e
p i e c ó w p r z e m y s Bo w y c h w y k r e s e n t a l p i a - s k Ba d c h e m i c z n y ( r y s . 2 . 2 7 ) d l a s t o p ó w F e C
( s t a l i w o , |e l i w o ) . D l a o k r e [l o n e j z a w a r t o [c i w g l a m o |n a n a p o d s t a w i e t e g o w y k r e s u w
p r o s t y s p o s ó b z n a l e z r e l a c j e m i d z y e n t a l p i i t e m p e r a t u r , k t ó r a j e s t n i e o d z o w n a p r z y
f o r m u Bo w a n i u e n t a l p o w e g o m o d e l u p r o c e s ó w c i e p l n y c h w o d l e w i e .
R y s . 2 . 2 7 . W y k r e s e n t a l p o w y d l a s t o p ó w F e - C
2 . 2 . 1 2 . T e m p e r a t u r a K i r c h h o f f a
T e m p e r a t u r a K i r c h h o f f a ( K i r c h h o f f s T e m p e r a t u r e ) n a z y w a m y f u n k c j U ( T ) z d e f i n i o w a n
n a s t p u j c o
T
U ( T ) =
+"»( µ ) d µ ( 2 . 1 2 5 )
T o d
W y n i k a s t d , |e »( T ) = d U ( T ) / d T . T y p o w y s k Ba d n i k p r a w e j s t r o n y r ó w n a n i a e n e r g i i m o |n a
z a p i s a w p o s t a c i
1 " "T ( X , t ) 1 " d U "T ( X , t ) 1 " "U ( X , t )
îø ùø îø ùø îø ùø
m m m
= = ( 2 . 1 2 6 )
ïøx » "t úø ïøx Å" úø ïøx "x úø
x m "x x m "x d T "x x m "x
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
i w y r a |e n i e d i v ( » g r a d T ) s p r o w a d z a s i d o d i v ( g r a d U ) .
T a k w i c w p r o w a d z e n i e f u n k c j i U ( T ) z l i n e a r y z u j e o p e r a t o r d i v ( » g r a d T ) r ó w n a n i e
o p i s u j c e s t a c j o n a r n e p o l e t e m p e r a t u r y s t a j e s i r ó w n a n i e m l i n i o w y m . S t d t e | t e m p e r a t u r a
K i r c h h o f f a j e s t p o j c i e m b a r d z o u |y t e c z n y m w p r z y p a d k u o b l i c z e D u s t a l o n y c h p ó l
t e m p e r a t u r . M o |n a t e | j w y k o r z y s t a d o o p i s u m a t e m a t y c z n e g o s t a n ó w n i e s t a c j o n a r n y c h ,
w t y m p r o b l e m ó w k r z e p n i c i a .
R o z p a t r y w a b d z i e m y p r o c e s y c i e p l n e w o b j t o [c i k r z e p n c e g o w p r z e d z i a l e ( T S T L , )
m e t a l u o p i s a n e r ó w n a n i e m f o r m a l n i e u j e d n o r o d n i a j c y m C 0 Á0 "T t = d i v ( »0 g r a d T ) - l e w s t r o n
t e g o r ó w n a n i a z a p i s z e m y w k o n w e n c j i e n t a l p o w e j , a p r a w z w y k o r z y s t a n i e m t e m p e r a t u r y
K i r c h h o f f a :
"H ( H , t )
= d i v [ g r a d U ( X , t ) ] . ( 2 . 1 2 6 )
"t
P o n i e w a | H = H ( T ) o r a z U = U ( T ) s f u n k c j a m i t e m p e r a t u r y , p r z y c z y m z a r ó w n o H j a k i U s
f u n k c j a m i [c i s Be m o n o t o n i c z n y m i , m o |n a w i c w s p o s ó b j e d n o z n a c z n y o k r e [l i z a l e |n o [
H = ¨( U ) - c o w y j a [n i m y n a n a s t p u j c y m p r z y k Ba d z i e .
" " P r z y k Ba d . N i e c h
1 , 6 T 0 d" T < 1 0 0
ñø
H ( T ) = ,
òø
óø2 T - 4 0 T e" 1 0 0
g d z i e H ( k J / d m 3 ) , T ( ° C ) , n a t o m i a s t »( T ) = 0 , 0 0 3 + 1 0 - 6 T ( k W / d m - K ) .
D l a T o d = 0 : U = 0 , 0 0 3 T + 5 · 1 0 - 7 T 2 . O b l i c z y m y s t d T , c z y l i r o z w i |e m y r ó w n a n i e
k w a d r a t o w e 5 · 1 0 - 7 + 0 , 0 0 3 T - U = 0 . J a k Ba t w o s p r a w d z i
ñø
1 6 0 0 ( 9 + 2 U - 3 ) 0 d" U < 0 , 3 0 5
T = 1 0 3 ( 9 + 2 U - 3 ) c z y l i H = ¨( U ) =
òø
(
óø2 0 0 0 9 + 2 U - 3 ) - 4 0 U e" 0 , 3 0 5
P o c h o d n a f u n k c j i ¨( U ) w z g l d e m U w y n o s i
1 6 0 0
ñø
0 d" U < 0 , 3 0 5
ôø
ôø
/ 9 + 2 U
¨ ( U ) =
òø
2 0 0 0
ôø
U e" 0 , 3 0 5 .
ôø
9 + 2 U
óø
P o t r z e b a o k r e [l e n i a p o c h o d n e j ¨( U ) s t a n i e s i z a c h w i l o c z y w i s t a . Z a u w a |m y , |e
"H ( X , t ) d H ( U ) "U ( X , t )
/
= = ¨ ( U ) "U ( X , t ) , ( 2 . 1 2 8 )
"t d U "t "t
c z y l i r ó w n a n i e e n e r g i i d l a k r z e p n c e g o i s t y g n c e g o o d l e w u m a p o s a
/
¨ ( U ) "U ( X , t ) = d i v [ g r a d U ( X , t ) ] . ( 2 . 1 2 9 )
"t
A n a l i t y c z n e w y z n a c z e n i e f u n k c j i ¨( U ) i j e j p o c h o d n e j j e s t z r e g u By n i e m o |l i w e .
C i e p Bo w Ba [c i w e , g s t o [ i p r z e w o d n o [ c i e p l n a ( j a k o f u n k c j e t e m p e r a t u r y ) o k r e [l o n y c h
m a t e r i a Bó w s z e b r a n e w t a b l i c a c h ( n p . s t a r e , a l e b a r d z o s z c z e g ó Bo w e t a b l i c e T e p l o f i z i e s k i e
s v o j s t v a v e s e s t v , M o s k v a ( 1 9 5 6 ) ) . F u n k c j e H ( T ) i U ( T ) o k r e [l a m y m e t o d a m i p r z y b l i |o n e g o
c a Bk o w a n i a ( n p . m e t o d t r a p e z ó w ) i o t r z y m u j e m y d y s k r e t n e z b i o r y i c h w a r t o [c i ( r y s . 2 . 2 8 ) .
R y s . 2 . 2 8 . K o n s t r u k c j a f u n k c j i ¨( U ) . K r z e p n i c i e w p r z e d z i a l e t e m p e r a t u r y
D l a w y b r a n y c h w a r t o [c i T i o t r z y m u j e m y p a r y l i c z b ( U i H i ) , k t ó r e d e t e r m i n u j ( w p o s t a c i
d y s k r e t n e j ) p r z e b i e g f u n k c j i ¨( U ) . P o c h o d n t e j f u n k c j i m o |n a w y z n a c z y n u m e r y c z n i e .
K o n s t r u k c j a m o d e l u s c a l o n e g o w y m a g a r ó w n i e | o d p o w i e d n i e g o p r z e b u d o w a n i a
w a r u n k ó w b r z e g o w y c h i p o c z t k o w y c h :
- w a r u n k i I r o d z a j u p r z e k s z t a Bc a s i n a t y c h m i a s t o w o
X " "“I : U ( X , t ) = U 1 ( X , t ) ( 2 . 1 3 0 )
- w a r u n k i I I r o d z a j u ; n a l e |y z a u w a |y , |e w y r a |e n i e t y p u »"x T m o |n a z a p i s a j a k o
d U / d T · "x T , = "x U , c z y l i q n = - g r a d U ( X , t ) , t a k w i c
X " "“I I : - g r a d U ( X , t ) = q n ( X , t ) ( 2 . 1 3 1 )
- w a r u n k i I I I r o d z a j u
"
X " "“I I I : - g r a d U ( X , t ) = ±( T - T ) ( 2 . 1 3 2 )
P o w t ó r z y m y t e r a z r o z u m o w a n i e , j a k i e p r z e p r o w a d z i l i [m y p r z y o m a w i a n i u k o n w e n c j i
e n t a l p o w e j w p o d r o z d z i a l e p o p r z e d n i m . M a m y
T
" "
Æ
U - U = ) ( 2 . 1 3 3 )
+"»( µ ) d µ = »( T - T
"
T
D l a »= i d e m : » = », a d l a »= »( T ) : » j e s t [r e d n i m c a Bk o w y m w s p ó Bc z y n n i k i e m p r z e w o d z e n i a
"
w p r z e d z i a l e T , T . W a r u n e k b r z e g o w y ( 2 . 7 6 ) p r z y j m u j e p o s t a
"
- g r a d U ( X , t ) = ±u ( U - U ) , ( 2 . 1 3 3 )
g d z i e ±u = ±/ ± » . J a k w i d a t r u d n o [c i z p o p r a w n y m w y k o r z y s t a n i e m t e g o w a r u n k u s
p o d o b n e j a k p r z y k o n w e n c j i e n t a l p o w e j .
R o z w a |m y j e s z c z e m o |l i w o [ w p r o w a d z e n i a t e m p e r a t u r y K i r c h h o f f a d o o p i s u p r o b l e m u
S t e f a n a . N a r y s u n k u 2 . 2 9 p o k a z a n o z a l e |n o [ H = H ( T ) d l a m e t a l u k r z e p n c e g o w s t a Be j
t e m p e r a t u r z e , f u n k c j U ( T ) o r a z s k o n s t r u o w a n n a i c h p o d s t a w i e f u n k c j ¨( U ) . J a k w i d a d l a
U = U k r . f u n k c j t c h a r a k t e r y z u j e n i e c i g Bo [ t y p u s k o k s k o Dc z o n y " i p o c h o d n a ¨( U ) n i e j e s t
w t y m p u n k c i e o k r e [l o n a .
R y s . 2 . 2 9 . K o n s t r u k c j a f u n k c j i ¨( U ) . K r z e p n i c i e w s t a Be j t e m p e r a t u r z e
P r z e z o d p o w i e d n i e w y g Ba d z a n i e p r z e b i e g u f u n k c j i ¨( U ) - p o r . r y s . 2 . 2 9 m o |e m y o t r z y m a
f u n k c j r ó |n i c z k o w a l n w c a By m p r z e d z i a l e o k r e [l o n o [c i .
2 . 2 . 1 3 . T r a n s p o r t m a s y
W p o p r z e d n i c h r o z d z i a Ba c h p o k a z a n o c e l o w o [ k o n s t r u o w a n i a m o d e l i s c a l o n y c h
k r z e p n i c i a o d l e w u o b e j m u j c y c h t a k |e e l e m e n t y o d p o w i a d a j c e t r a n s p o r t o w i m a s y w
a n a l i z o w a n y m u k Ba d z i e . N a l e |y w i c w m o d e l u t a k i m u w z g l d n i m . i n . p r o c e s y d y f u z y j n e
d |c e d o w y r ó w n a n i a p o t e n c j a Bó w c h e m i c z n y c h ( a z p e w n y m p r z y b l i |e n i e m m o |n a
p o w i e d z i e , |e s k Ba d u c h e m i c z n e g o ) w o b j t o [c i o d l e w u . P r o c e s y t e w y n i k a j z e z j a w i s k
z a c h o d z c y c h w s k a l i a t o m o w e j . I c h o p i s p o w s t a B n a p o d s t a w i e t e o r i i d y s l o k a c j i i r a c h u n k u
d e f e k t ó w s i a t k i o r a z j e j p a r a m e t r ó w d l a c i a B s t a By c h k r y s t a l i c z n y c h . P o n i e w a | z a s a d n i c z e
w Ba s n o [c i c i e c z y i c i a Ba s t a Be g o s z b l i |o n e , p r z e n i e s i o n o t e n o p i s r ó w n i e | n a c i e k Be m e t a l e i
s t o p y , z a k Ba d a j c , |e m a j o n e q u a s i - k r y s t a l i c z n s t r u k t u r .
N i n i e j s z a p r a c a k o n c e n t r u j e s i n a m a k r o s k o p o w y m o p i s i e z j a w i s k z a c h o d z c y c h w
o d l e w i e , d l a t e g o t e | p o m i n i e m y s z c z e g ó By w y p r o w a d z e n i a p r a w d y f u z j i o r a z m e t o d y
o k r e [l a n i a w s p ó Bc z y n n i k a d y f u z j i .
D e c y d u j c e z n a c z e n i e d l a d a l s z y c h r o z w a |a D b d z i e m i a Bo r ó w n a n i e w i |c e g r a d i e n t
s t |e n i a z j e g o z m i a n a m i w c z a s i e , z w a n e d r u g i m p r a w e m F i c k a
"z
= d i v ( D g r a d z ) , ( 2 . 1 3 5 )
"t
g d z i e z - s t |e n i e s k Ba d n i k a s t o p o w e g o , D - w s p ó Bc z y n n i k d y f u z j i . N a j c z [c i e j p r z y j m u j e s i ,
|e w s p ó Bc z y n n i k d y f u z j i m a s t a B w a r t o [ w c a By m p o d o b s z a r z e i w ó w c z a s r ó w n a n i e t o
p r z e k s z t a Bc i m o |n a d o p o s t a c i
"z
= D ( d i v g r a d z ) . ( 2 . 1 3 6 )
"t
J e s t t o w i c r ó w n a n i e p o d o b n e d o o p i s u p r z e p By w u c i e p Ba , p r z e d s t a w i o n e g o w
p o p r z e d n i c h p o d r o z d z i a Ba c h ( z a r ó w n o d l a z a d a D l i n i o w y c h j a k i n i e l i n i o w y c h ) . M o |n a
z a u w a |y , |e d u |e z n a c z e n i e d l a o b l i c z e D m a o k r e [l e n i e w i e l k o [c i w s p ó Bc z y n n i k a d y f u z j i
d a n e g o s k Ba d n i k a s t o p o w e g o . W y m i a r e m t e g o w s p ó Bc z y n n i k a j e s t c m 2 / s . W i k s z o [ d a n y c h
c y t o w a n y c h w l i t e r a t u r z e d o t y c z y s t a n u s t a Be g o . Z n a c z n i e t r u d n i e j u z y s k a i n f o r m a c j e o
w i e l k o [c i k o n k r e t n e g o w s p ó Bc z y n n i k a d y f u z j i w p r z y p a d k u c i e k By c h m e t a l i i s t o p ó w . I s t n i e j e
j e d n a k s z e r e g z a l e |n o [c i u m o |l i w i a j c y c h s t o s u n k o w o Ba t w e ( c h o n i e k o n i e c z n i e d o k Ba d n e )
o k r e [l e n i e w s p ó Bc z y n n i k a d y f u z j i . J e d n z n i c h j e s t , o p a r t e n a z a Bo |e n i a c h S t o k e s a , r ó w n a n i e
E i n s t e i n a
k T
D = , ( 2 . 1 3 7 )
n Àr ·
g d z i e k = l , 3 8 0 3 . 1 0 - 2 3 J / K - s t a Ba B o l t z m a n n a , r - p r o m i e D d y f u n d u j c e j c z s t k i ( a t o m u l u b
j o n u d y f u n d u j c e g o s k Ba d n i k a s t o p u ) , · - w s p ó Bc z y n n i k l e p k o [c i d y n a m i c z n e j , n -
w s p ó Bc z y n n i k z a l e |n y o d s t o s u n k u r o z m i a r ó w d y f u n d u j c e j c z s t e c z k i d o r o z m i a r ó w
j e d n o s t e k s t r u k t u r a l n y c h o [r o d k a , w k t ó r y m d y f u z j a s i o d b y w a . W s p ó Bc z y n n i k n p r z y j m u j e
n a j c z [c i e j w a r t o [ 4 , c h o i s t n i e j p e w n e r o z b i e |n o [c i w j e g o o c e n i e .
P r o c e s y d y f u z y j n e z a c h o d z w c a By m o b s z a r z e o d l e w u . J e d n a k w p r a k t y c e m o |n a o g r a n i c z y
o b l i c z e n i a d o c i e n k i e j w a r s t w y p r z y l e g a j c e j d o f r o n t u k r y s t a l i z a c j i ( k r z e p n i c i a ) . P o z a t
w a r s t w l e p k o [ c i e c z y z m n i e j s z a s i t a k b a r d z o , |e d e c y d u j c r o l o d g r y w a j j e d y n i e
p r o c e s y k o n w e k c y j n e , w y r ó w n u j c e s k Ba d c h e m i c z n y .
D y f u z j a w s t a n i e s t a By m n i e j e s t z a z w y c z a j u w z g l d n i a n a w m o d e l u s c a l o n y m r o z w a |a n e g o
p r o c e s u , g d y | j e j i n t e n s y w n o [ j e s t w s t o s u n k u d o i n t e n s y w n o [c i d y f u z j i w c i e c z y z n i k o m a .
P r z y k Ba d o w o , g d y w s p ó Bc z y n n i k d y f u z j i Z n w A l w s t a n i e c i e k By m w y n o s i D = 6 " 1 0 - 5 c m 2 / s , t o
w s t a n i e s t a By m ( 5 0 0 ° C ) w y n o s i o n t y l k o D = 2 · 1 0 - 9 c m 2 / s . M o |n a w i c p r z y j m o w a , |e
r o z k Ba d s k Ba d n i k ó w w y n i k a j c y z p r o c e s ó w z a c h o d z c y c h w c i e c z y i n a f r o n c i e k r z e p n i c i a
n i e z o s t a n i e z a b u r z o n y d o m o m e n t u z a k r z e p n i c i a c a Be g o o b s z a r u o d l e w u .
W a r u n k i b r z e g o w o - p o c z t k o w e . R ó w n a n i e d y f u z j i o p i s u j e t e n d e n c j d o n i e j e d n o -
r o d n o [c i s k Ba d u c h e m i c z n e g o s t o p u . C z y m s p o w o d o w a n e s n i e j e d n o r o d n o [c i u r u c h a m i a j c e
m e c h a n i z m d y f u z j i ? W y n i k a j o n e g Bó w n i e z r ó |n i c y s k Ba d u c h e m i c z n e g o f a z y s t a Be j i c i e k Be j
w o t o c z e n i u f r o n t u k r z e p n i c i a . N a j k o r z y s t n i e j s z y m s p o s o b e m o p i s u t e j z a l e |n o [c i j e s t
w p r o w a d z e n i e j e d n e g o w s p ó Bc z y n n i k a , z w a n e g o w s p ó Bc z y n n i k i e m r o z d z i a Bu . T a k i e
p o s t a w i e n i e p r o b l e m u j e s t m o |l i w e w o p i s i e k r y s t a l i z a c j i o r a z w p e w n y c h p r z y p a d k a c h
m o d e l u k r z e p n i c i a , k i e d y t o w o d l e w i e w y r ó |n i a s i j e d y n i e p o d o b s z a r y c i e c z y i c i a Ba
s t a Be g o ( b r a k s t r e f y d w u f a z o w e j ) . R ó w n o w a g o w y ( w w a r u n k a c h r ó w n o w a g i f a z s t a Be j i
c i e k Be j ) w s p ó Bc z y n n i k r o z d z i a Bu m o |n a , z p e w n y m p r z y b l i |e n i e m , z a p i s a j a k o i l o r a z s t |e n i a
f a z s t a Be j i c i e k Be j w b l i s k i m o t o c z e n i u f r o n t u
z s
k 0 = . ( 2 . 1 3 8 )
z l
W p r o w a d z a s i t a k |e w s p ó Bc z y n n i k r o z d z i a Bu n a f r o n c i e k r z e p n i c i a ( w w a r u n k a c h r ó |n y c h
o d r ó w n o w a g i )
z s
x
k = , ( 2 . 1 3 9 )
z l x
g d z i e z l x s t |e n i e c i e c z y w f a z i e c i e k Be j , n a f r o n c i e k r z e p n i c i a , n a t o m i a s t e f e k t y w n y
w s p ó Bc z y n n i k r o z d z i a Bu ( r ó w n i e | w w a r u n k a c h r ó |n y c h o d r ó w n o w a g i )
z l x z s
x
k e f = k = , ( 2 . 1 4 0 )
z l s r z l s r
g d z i e z l s r - [r e d n i e s t |e n i e w f a z i e c i e k Be j .
N a j c z [c i e j w y k o r z y s t y w a n y m s p o s o b e m o k r e [l e n i a w s p ó Bc z y n n i k a k 0 j e s t w y z n a c z e n i e j e g o
w a r t o [c i n a p o d s t a w i e w y k r e s u r ó w n o w a g i d a n e g o s t o p u . J e |e l i s t |e n i e s t o p u b l i s k i e j e s t
e u t e k t y c z n e m u , n a l e |y s p o d z i e w a s i z m i a n w s p ó Bc z y n n i k a p o d c z a s p r o c e s u . P o d o b n e
t r u d n o [c i p o j a w i a j s i w p r z y p a d k u s t |e n i a p e r y t e k t y c z n e g o .
W a r u n e k b r z e g o w y d l a r ó w n a n i a d y f u z y j n e g o t r a n s p o r t u m a s y n a t a k o p i s a n y m f r o n c i e
k r z e p n i c i a , p r z y d o d a t k o w y m z a Bo |e n i u o j e g o p Ba s k o [c i , m a p o s t a
x
X " “1 2 ( t ) : z ( X , t ) v n ( 1 - k ) = - D n g r a d z ( X , t ) . ( 2 . 1 4 1 )
Z a l e |n o [ t a w y n i k a z c i g Bo [c i s t r u m i e n i a s k Ba d n i k a s e g r e g u j c e g o p o s t r o n i e f a z y s t a Be j i
c i e k Be j . S t r u m i e D p o s t r o n i e c i e c z y w y n o s i b o w i e m
X "“1 2 ( t ) : I l = - v n z ( X , t ) - D n g r a d z ( X , t ) , ( 2 . 1 4 2 )
n a t o m i a s t p o s t r o n i e f a z y s t a Be j
x
X " “1 2 ( t ) : I s = - v n k z ( X , t ) . ( 2 . 1 4 3 )
P o r ó w n u j c z a l e |n o [c i ( 2 . 1 4 2 ) i ( 2 . 1 4 3 ) , o t r z y m u j e s i w a r u n e k b r z e g o w y ( 2 . 1 4 1 ) .
U w z g l d n i e n i e i s t n i e n i a s t r e f y d w u f a z o w e j p o w o d u j e z n a c z n k o m p l i k a c j o p i s u
m a t e m a t y c z n e g o t r a n s p o r t u m a s y w t y m p o d o b s z a r z e o d l e w u .
N a d r u g i m k r a Dc u u k Ba d u ( w g Bb i f a z y c i e k Be j ) z a k Ba d a s i w a r u n e k I r o d z a j u , p r z y
c z y m s t |e n i e n a t e j p o w i e r z c h n i m o |e b y s t a l e l u b z m i e n i a s i z u p By w e m c z a s u z a l e |y
t o o d s p o s o b u m o d e l o w a n i a p r o c e s u w c i e k Be j c z [c i o d l e w u . W a r u n e k z e s t a By m s t |e n i e m
m o |n a s f o r m u Bo w a w p r z y p a d k u o d l e w u o d u |y c h w y m i a r a c h a l b o d l a n i e k t ó r y c h
t e c h n o l o g i i k r y s t a l i z a c j i k i e r u n k o w e j . J e |e l i u k Ba d t r a k t u j e m y j a k o o g r a n i c z o n y i o b l i c z a n i e
t r a n s p o r t u m a s y p o p r z e z d y f u z j p r o w a d z i s i w o b s z a r z e w a r s t w y d y f u z y j n e j z g o d n i e z
t e o r i B u r t o n a S l i c h t e r a - P r i m a , a p o z a n i p r z y j m u j e s i r ó w n o m i e r n y r o z k Ba d s t |e D,
w ó w c z a s w a r u n e k n a p o w i e r z c h n i o d l e g Be j o ´ ( g r u b o [ w a r s t w y d y f u z y j n e j ) o d f r o n t u
k r z e p n i c i a j e s t r ó w n i e | w a r u n k i e m I r o d z a j u , a l e s t |e n i e n a b r z e g u w r o z p a t r y w a n e j c h w i l i
w y n i k a z b i l a n s u m a s y s k Ba d n i k a w u k Ba d z i e . W y n i k a o n o z c a Bk o w a n i a f u n k c j i o p i s u j c y c h
r o z k Ba d s t |e n i a w c a By m o b s z a r z e o d l e w u : w f a z i e s t a Be j , w w a r s t w i e d y f u z y j n e j i w c i e c z y .
U k Ba d r ó w n a D u z u p e Bn i a w a r u n e k p o c z t k o w y , n a j c z [c i e j w p o s t a c i z a Bo |e n i a o
j e d n a k o w y m s t |e n i u w c a Be j o b j t o [c i o d l e w u w s t a n i e c i e k By m w c h w i l i p r z y j t e j j a k o t = 0 .
S p r z |e n i e m o d e l u d y f u z j i z p r o c e s a m i c i e p l n y m i d e t e r m i n u j c y m i k r z e p n i c i e i
s t y g n i c i e o d l e w u m o |e b y r e a l i z o w a n e n a k i l k a s p o s o b ó w . N i e k t ó r e m o d e l e s p r z |o n e
k o n s t r u u j e s i n a g r u n c i e t e r m o d y n a m i k i p r o c e s ó w n i e r ó w n o w a g o w y c h , a l e w i k s z o [
r o z w i z a D u z y s k u j e s i w s p o s ó b m n i e j z Bo |o n y , r o z p a t r u j c o d r b n i e r ó w n a n i e
p r z e w o d n i c t w a i o d r b n i e r ó w n a n i e d y f u z j i m a s y , n a t o m i a s t w z a j e m n e o d d z i a By w a n i a m i d z y
p o l e m t e m p e r a t u r y a s e g r e g a c j u w z g l d n i a s i p o [r e d n i o .
S z c z e g ó By n a t e m a t k o n s t r u k c j i t a k i c h m o d e l i z n a l e [ m o |n a w c y t o w a n e j k s i |c e
M o d e l o w a n i e i s y m u l a c j a k r z e p n i c i a o d l e w ó w .
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