Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
2. Opis matematyczny układów liniowych
2
Pojęcia podstawowe
Model  zobrazowanie zachowania się obiektu (procesu)
Modele są koniecznym warunkiem realizacji zadań
sterowania a także innych zadań: optymalizacji,
diagnostyki procesów oraz budowy wirtualnych
sensorów i symulatorów procesu
Pozyskanie modeli stanowi zwykle zasadniczą część
nakładów na realizację tych zadań
3
Klasyfikacja modeli
Klasyfikacja modeli:
" Modele fizyczne  model obiektu w odpowiedniej
skali
" Modelem analogowe (maszyny analogowe)
" Modele matematyczne (modelowanie i symulacja
komputerowa)
komputerowa)
4
Definicja modelu matematycznego obiektu
Model - matematyczny zapis wiążący wartości
sygnału, który określamy jako wyjście z obiektu i
znanych sygnałów, które posiadają wpływ na
wartości tego wyjścia.
5
Klasyfikacja modeli matematycznych
" Rodzaje modeli ze względu na z
ródło wiedzy o obiekcie:
 Modele fenomenologiczne (analityczne)
uzyskiwane w wyniku matematycznego opisu
związków fizyko-chemicznych
 Uzyskiwane na podstawie danych pomiarowych
(empiryczne)
 Modele uzyskiwane na podstawie wiedzy eksperckiej
 Modele uzyskiwane na podstawie wiedzy eksperckiej
6
Klasyfikacja modeli matematycznych
" Rodzaje modeli ze względu na właściwości dynamiczne:
 Modele statyczne (nie uwzględniające przebiegu
czasu w sposób jawny)
 Modele dynamiczne, oddające oprócz
charakterystyk statycznych również dynamiczne
zachowania modelowanego systemu
w dziedzinie czasu
w dziedzinie czasu
w dziedzinie częstotliwości
Identyfikacja obiektów
Identyfikacja obiektów: określenie modelu obiektu na
podstawie badań eksperymentalnych
Potrzeba identyfikacji - trudności ustalenia opisu
matematycznego obiektów metodami analitycznymi
Linearyzacja układów nieliniowych
Rzeczywiste układy regulacji zazwyczaj są układami nieliniowymi.
Dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich
linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu
liniowego, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej
nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).
" Metody analizy obiektów oraz projektowania układów automatycznej
regulacji są dla układów liniowych znacznie bardziej rozwinięte niż dla
układów nieliniowych
" W wielu zastosowaniach wystarczy posługiwać się opisem liniowym,
szczególnie, gdy obiekt funkcjonuje w otoczeniu punktu pracy.
" Brak jest metod rozwiązywania dowolnych nieliniowych równań
różniczkowych
Przykład
F
U
dL1
A1 = F-ą12S12 2gL1
dt
L1
y
y
Charakterystyka statyczna
u
punkt pracy
F =ą12S12 2gL1
F
Opis matematyczny układów liniowych
Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:
n n-1 m m-1
d y d y d u d u
an n + an-1 n-1 + K + a0 y = bm m + bm-1 m-1 + K + b0u
dt dt dt dt
gdzie: y- sygnał wyjściowy, u-sygnał wejściowy, ai, bi - współczynniki stałe
i i
y, u  są odchyłkami od punktu pracy
ZASADA SUPERPOZYCJI
y(u1+u2)=y(u1)+y(u2)
gdzie: y(ui) oznacza odpowiedz
układu y na wymuszenie ui;
oraz y(0)=0
Układy liniowe
Układ liniowy  układ, w którym zachowana jest zasada superpozycji.
Modele matematyczne układów liniowych są opisywane liniowymi
równaniami algebraicznymi lub liniowymi równaniami
różniczkowymi, np.:
&& & &&
2y + y + 2y = 0,5u + 2u
Układ nieliniowy  układy w których nie jest zachowana zasada
superpozycji.
Układ opisany równaniem liniowy, w którym y(0)`"0 także nie spełnia
zasady superpozycji , np. układ opisanym równaniem algebraicznym y=u+1.
y(u1+u2)=y(u1)+y(u2)
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna układu  przedstawia zależność sygnału
wyjściowego układu od sygnału wejściowego w stanie ustalonym
Stan ustalony układu  wszystkie pochodne sygnału wejściowego
i sygnału wyjściowego są równe zero
Postać charakterystyki statycznej układów liniowych i zlinearyzowanych:
y
b0
y = u
a0
gdzie: u,y  wejście, wyjście z układu
u
Przekształcenie Laplace a
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową,
przejście z dziedziny czasu rzeczywistego na zmienną zespoloną
f (t) �! f (s)
s = c + j�
f (s) = L[ f (t)]
f (s) = L[ f (t)]
przekształcenie
"
Laplace a
f (s) = f (t)e-stdt
+"
0
f (t) = L-1[ f (s)]
odwrotne
c+ j�
1 przekształcenie
f(t) = F (s)estds
+"
Laplace a
2Ąj
c- j�
Opis matematyczny układów liniowych
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową:
n n-1 m m-1
d y d y d u d u
an + an-1 +K+ a0 y = bm + bm-1 m-1 +K+ b0u
n n-1 m
dt dt dt dt
ńłd y
ńłd n y
�ł
�ł
L�ł = sn y(s) - sn-1y(0+ ) -K- yn-1(0+ )
L�ł = sn y(s) - sn-1y(0+ ) -K- yn-1(0+ )
żł
żł
dtn �ł
ół
ńłd n y
�ł przy zerowych warunkach
L�ł = sn y(s)
żł
początkowych
dtn �ł
ół
y(s) �"(ansn + an-1sn-1 +K+ a0) = u(s) �"(bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0)
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa: stosunek transformaty sygnału
wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego
przy zerowych warunkach początkowych
y(s) �"(ansn + an-1sn-1 +K+ a0) = u(s) �"(bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0)
y(s) bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0
G(s) = = , n e" m
u(s) ansn + an-1sn-1 +K+ a0
M (s) = bmsm + bm-1sm-1 +K+ b0
M (s)
G(s) =
N(s)
N(s) = ansn + an-1sn-1 +K+ a0
Wyznaczanie transmitancji operatorowej
Przykład 1: Wyznaczyć transmitancję operatorową układu
opisanego równaniem różniczkowym:
dy
2 + y = 3u
dt
Wykorzystując operator różniczkowania s można
powyższe równanie zapisać w postaci
2sy(s) + y(s) = 3u(s)
c
(2s +1)y(s) = 3u(s)
c
y(s) 3
G(s) = =
u(s) 2s +1
Opis elementów na schematach blokowych
Obiekty o jednym wejściu i jednym wyjściu:
u y
y(s)
G(s) =
G(s)
u(s)
Obiekty wielowymiarowe:
G11(s) G12(s) K G1m (s)
�ł łł
�łG (s) G22(s) K G2m (s)śł
21
u1 y1 �ł śł
MG(s) =
�ł śł
M M M M
u2 y2
�ł śł
MG(s)
(s) Gn2(s) K Gnm (s)�ł
�łGn1
um yn
yi (s)
Gik (s) = , i = 1Kn, k = 1Km
uk (s)
...
...
Wyznaczenie charakterystyki statycznej
z transmitancji operatorowej
u0 = lim u(t), y0 = lim y(t),
t" t"
Na podstawie twierdzenia o wartości końcowej:
y0 = lim y(t) = lim sy(s) = lim sG(s)u(s)
t" s0 s0
1
1
u = const �! u(s) = u
u0 = const �! u(s) = u0
s
y0
= limG(s)
u0 s0
Końcowe równanie charakterystyki statycznej:
b0
y0 = u0
a0
Własności układów
Właściwości dynamiczne  prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej
y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia u(t)
Postać charakterystyki w typowym układzie współrzędnych:
Gdzie: u - sygnał wejściowy
y - sygnał wyjściowy
t - czas [s]
Metody wyznaczania odpowiedzi układu y(t)
n n-1 m m-1
d y d y d u d u
an + an-1 +K+ a0 y = bm + bm-1 m-1 +K+ b0u
n n-1 m
dt dt dt dt
Klasyczna:
" Założyć warunki początkowe
" Rozwiązać równanie różniczkowe
Operatorowa:
f (t) = L-1[y(s)] f (t) = L-1[G(s)u(s)]
Typowe wymuszenia
Skok jednostkowy
u
1(t)
dla t e" 0
1(t)
ńł
u(t) =
�ł
0 dla t < 0
t
ół
Skok o wartość stałą
dla t e" 0
ust �"1(t)
ńł
u(t) =
�ł
0
ół dla t < 0
Typowe wymuszenia
Impuls jednostkowy  Delta Diraca
u
dla t `" 0
0
ńł
"
u(t) = �(t) =
�ł"
dla t = 0 t
ół
0
Wymuszenie liniowo narastające
u(t) = at
Typowe wymuszenia
" Wymuszenie skokowe jednostkowe
1
u(s) =
u(t)=1(t)
s
" Wymuszenie skokowe o wartość stałą
1
u(s) = ust
u(t)=ust�1(t)
s
" Wymuszenie w postaci impulsu
u(s) =1
u(t)=�(t) Delta Diraca
" Wymuszenie liniowo narastające
a
u(s) =
u(t)= a�t
s2
Tablica transformat
Opis układów z użyciem współrzędnych stanu
W ogólnym opisie układów wielowymiarowych poszczególne wielkości
określone są w postaci wektorów i oznaczają:
u1(t)
�ł łł
�łu (t)śł
2
�ł śł
U (t) =
wektor wejść Schemat obiektu
�ł śł
M
�ł śł
�łu (t)śł
p
�ł �ł
x1(t)
x1(t)
�ł łł
�ł łł
�ł śł
�łx (t)śł
y1
u1
2
�ł śł
X (t) = wektor stanu
u2
y2
Obiekt
�ł śł
M
�ł śł
(t)�ł
...
�łxn
x1 x2 xn
up yq
y1(t)
�ł łł
�ł
y2(t)śł
�ł śł
Y (t) = wektor wyjść
�ł śł
M
�ł śł
�ły (t)śł
q
�ł �ł
Współrzędne stanu
Współrzędne stanu  wielkości charakteryzujące zachowanie się układu
dynamicznego
Wektor stanu układu dynamicznego  minimalny zbiór współrzędnych
stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości
wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości.
Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego
opisującego obiekt
opisującego obiekt
Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji
fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do bezpośredniego
określenia na drodze pomiarowej, ale wygodniejszy do celów modelowania
analogowego oraz projektowania układów wielowymiarowych.
Równania stanu i wyjść
Ogólna postać równania stanu:
z n warunkami początkowymi:
dx1(t)
ńł
= f1(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,up;t); x1(t0) = x10
�ł
dt
�ł
�łLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
�łdx (t)
�łdx (t)
n
�ł
= fn(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,up;t); xn (t0) = xn0
dt
ół
Ogólna postać równania wyjść:
ńł
y1(t) = g1(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,uk ;t)
�łLLLLLLLLLLLLLLLL
�ł
�ły (t) = gq (x1, x2,K, xn;u1,u2,K,up;t)
q
ół
Zlinearyzowane równania stanu
Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego
punktu pracy), równania przyjmują wówczas postać:
dx1(t) "f1 "f1 "f1 "f1 "f1 "f1 "f1
= x1 + x2 +K+ xn + u1 + u2 +K+ up + t
dt "x1 "x2 "xn "u1 "u2 "up "t
...
"g1 "g1 "g1 "g1 "g1 "g1 "g1
y1 = x1 + x2 +K+ xn + u1 + u2 +K+ up + t
"x1 "x2 "xn "u1 "u2 "up "t
...
&
X (t) = A(t)X (t) + B(t)U (t)
Układ niestacjonarny
Y (t) = C(t)X (t) + D(t)U (t)
Równania stanu układów liniowych stacjonarnych
Układ stacjonarny - o parametrach niezależnych od czasu
&
X (t) = AX (t) + BU (t)
Y (t) = CX (t) + DU (t)
D
"
Y (t)
U (t)
X (t )
X (t)
B +" C
B +" C
+"
+"
+"
+"
+"
+"
A
przy czym:
y1 A  macierz układu stopnia n�n
u1
u2
y2 B  macierz wejść stopnia n�p
Obiekt
...
x1 x2 xn
up yq C  macierz wyjść stopnia q�n
D  macierz transmisyjna układu stopnia q�p
Przestrzeń stanów
Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X(t) w chwilach t
tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).
Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu
tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu
(trajektorią fazową).
x2
x2
x1
x3
Przykład wyznaczania równań stanu
2
d y dy
+ a1 + a0 y = b0u
dt2 dt
2
d y dy
= -a1 - a0 y + b0u
dt2 dt
Współrzędne stanu
Równania stanu
x = y
x1 = y
dy
&
x2 = = x1
dt
&
x1 = x2
&
x2 = -a1x2 - a0x1 + b0u
Równanie wyjść
y = x1
Przykład wyznaczania równań stanu
n n-1
d y d y
+ an-1 +K+ a0 y = b0u
dtn dtn-1
n n-1
d y d y
= -an-1 -K- a0 y + b0u
dtn dtn-1
Współrzędne stanu
x1 = y
Równania stanu
dy
&
&
x2 = = x1
x2 = = x1
dt
dt
&
x1 = x2
2
d y
&
x3 = = x2
&
x2 = x3
dt2
...
...
n-1
d y
&
xn = = xn-1
&
xn = -an-1xn -K- a0x1 + b0u
dtn-1
Równanie wyjść
y = x1
Przykład wyznaczania równań stanu
Równania stanu
0
�ł łł
&
x1 = x2 0 1 0 ... 0
�ł łł
�ł śł
�ł śł
0
0 0 1 ... 0
�ł śł
�ł śł
&
x2 = x3
�ł śł
B = ...
�ł śł
A = ... ... ... ... ...
�ł śł
�ł śł
...
0
0 0 0 ... 1
�ł śł
�ł śł
�łbo śł
�ł- a0 - a1 - a2 ... - an-1śł
&
xn = -an-1xn -K- a0x1 + b0u �ł �ł �ł �ł
C = [1 0 0 ... 0] D = [0]
Równanie wyjść
y = x1
D
&
Y(t)
X (t)
U(t)
X(t)
B +" C
+"
+"
+"
A
Wyznaczanie równań stanu z transmitancji
Metoda bezpośrednia
y(s) bmsm + bm-1sm-1 +K+ b1s + b0 s-n
G(s) = = �"
u(s) sn + an-1sn-1 +K+ a1s + a0 s-n
y(s) bmsm-n + bm-1sm-1-n +K+ b1s1-n + b0s-n
G(s) = =
u(s) 1+ an-1s-1 +K+ a1s1-n + a0s-n
bms + bm-1s +K+ b1s + b0s
bmsm-n + bm-1sm-1-n +K+ b1s1-n + b0s-n
y(s) = u(s)
y(s) =
u(s)
1+ an-1s-1 +K+ a1s1-n + a0s-n
u(s)
E(s) =
1+ an-1s-1 +K+ a1s1-n + a0s-n
E(s) = u(s) -[an-1s-1 +K+ a1s1-n + a0s-n ]E(s)
y(s) = [bmsm-n + bm-1sm-1-n +K+ b1s1-n + b0s-n ]E(s)
Wyznaczanie równań stanu z transmitancji
E(s) = u(s) -[an-1s-1 +K+ a1s1-n + a0s-n ]E(s)
y(s) = [bmsm-n + bm-1sm-1-n +K+ b1s1-n + b0s-n ]E(s)
bm
b1
E(s)
E(s) +
s-2E(s) y(s)
s-1E(s) s-nE(s)
1
1 1
u(s)
b0
+
s
s s
+ +
+
- an-1
- an-2
ńłd n y
�ł
L�ł żł = sn y(s)
dtn �ł
ół
- a0
Wyznaczanie równań stanu z transmitancji
bm
b1
E(s) +
s-2E(s) y(s)
s-1E(s) s-nE(s)
sm-nE(s)
1
1 1
u(s)
b0
+
s
s s
+ +
+
xn
x2 x1
+
- an-1
- an-2
- an- m
- a0
&
x1 = x2
y = b0x1 + b1x2 +...+ bmxm+1
&
x2 = x3
...
&
xn = -a0x1 - a1x2 -...- an-1xn + u
Przykład
y(s) 2(s +1) 2s + 2 s-2
G(s) = = = �"
u(s) (s + 2)(s + 3)
s2 + 5s + 6 s-2
y(s) 2s-1 + 2s-2
=
u(s) 1+ 5s-1 + 6s-2
u(s)
y(s) = (2s-1 + 2s-2)( )
1+ 5s-1 + 6s-2
u(s)
u(s)
E(s) =
1+ 5s-1 + 6s-2
E(s)(1+ 5s-1 + 6s-2) = u(s) E(s) + E(s)(5s-1 + 6s-2) = u(s)
E(s) = u(s) - (5s-1 + 6s-2)E(s)
y(s) = (2s-1 + 2s-2)E(s)
Przykład
E(s) = u(s) - (5s-1 + 6s-2)E(s)
y(s) = (2s-1 + 2s-2)E(s)
2
E(s) +
y(s)
1
1
u(s)
u(s)
2
2
+
+
s
s
s
+ x2 s x1 +
+
- 5
- 6
&
x1 = x2
0 1
�ł łł 0
�ł łł
A =
B =
�ł- 6 - 5śł
�ł1śł
&
x2 = -6x1 - 5x2 + u �ł �ł
�ł �ł
C =[2 2]
D = [0]
y = 2x1 + 2x2
Wyznaczanie równań stanu z transmitancji
Metoda równoległa
n n
ki
G(s) =
"G (s) = "
i
s + ci
1 1
x1
+
1
k1
s
+
- c1
+
x2
1
+
u(s)
k2 y(s)
s
+ +
+
- c2
xn
+
1
kn
&
xi = -cixi + u
s
+
- cn
y =
"k xi
i
i
Wyznaczanie równań stanu z transmitancji
Metoda równoległa  bieguny urojone
ki
Gi (s) =
s2 + cis + di
+
xi xi+1
1
1
u(s) y(s)
s
s
+
+
- c
- ci
- di
&
xi = -cixi - dixi+1 + u
&
xi+1 = xi
Przykład
y(s) 2(s +1) -2 4
G(s) = = = +
u(s) (s + 2)(s + 3) s + 2 s + 3
x1
+
1
-2
s
+
-2
+
x2
x2
1
1
+
+
u(s) y(s)
4
s
+ +
-3
&
x1 = -2x1 + u
&
x2 = -3x2 + u
y = -2x1 + 4x2
Wyznaczanie równań stanu z transmitancji
Metoda iteracyjna
n n
s + bi
G(s) = (s) =
"Gi "
s + ci
i=1 i=1
s + bi 1
= (s + bi )
s + ci s + ci
y(s)
x1
xn
+
+
1
1
b1
bn
u(s)
s
s
+
+
- c1
- cn
&
xi = -cixi + ui
&
yi = xi + bixi
Przykład
y(s) 2(s +1) s +1 2
G(s) = = =
u(s) (s + 2)(s + 3) (s + 3) (s + 2)
y1
x1
y(s)
x2
+
+
1
1
1
2
u(s)
s
s
+
+
- 3
- 2
&
x2 = -2x2 + y1
&
x1 = -3x1 + u
& y = 2x2
y1 = x1 + x1 = -2x1 + u
&
x1 = -3x1 + u
&
x2 = -2x1 - 2x2 + u
y = 2x2
Transmitancja na podstawie równań stanu
&
X (t) = AX (t) + BU (t)
Y (t) = CX (t) + DU (t)
sX (s) = AX (s) + BU (s)
Y (s) = CX (s) + DU (s)
sX (s) - AX (s) = BU (s)
(sI - A)X (s) = BU (s)
(sI - A)X (s) = BU (s)
X (s) = (sI - A)-1BU (s)
Y (s) = [C(Is - A)-1 B + D]U (s)
Y (s)
G(s) = = C(Is - A)-1B + D
U (s)
Przykład
1 2 0
�ł łł �ł łł
D = [0]
C = [1 0]
A = B =
�ł0 1śł �ł1śł
�ł �ł �ł �ł
Y (s)
G(s) = = C(Is - A)-1B + D
U (s)
-1
�ł
1 2 0
�ł łł �ł łł
�ł
G(s) = [1 0]�ł �łs 0łł -
�ł0 sśł �ł0 1śł �ł �ł1śł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł łł
1 2
�ł łł
�ł
s -1
(s -1)2 śł �ł0łł = 2
G(s) = [1 0]
�ł śł
�ł1śł
1
(s -1)2
�ł śł �ł �ł
0
�ł śł
s -1
�ł �ł