PODR
CZNIKI
1. J. Chmaj: Rachunek różniczkowy i całkowy. Teoria, przykłady, ćwiczenia.
Podręcznik dla studentów.
2. T. Traczyk: Elementy matematyki wyższej. Podręcznik dla studentów farmacji.
3. W. Krysicki, W. WÅ‚odarski: Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II.
WA
ASNOÅšCI POT
GOWANIA
n
n
( ) gdy n jest parzyste
- a = a
n
n
( )
- a = -a gdy n jest nieparzyste
Jeśli a, b są liczbami dowolnymi, a n i m naturalnymi oraz a `" 0, b `" 0, to:
n m n+m
a * a = a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
n
a
n-m
= a gdy n > m
m
a
m
n nm
( )
a = a
n
n n
(ab)
= a b
n
a a
n
( ) =
n
b b
PODSTAWOWE WA
ASNOÅšCI PIERWIASTKOWANIA
Dla dowolnych liczb a, b > 0 oraz m, n całkowitych dodatnich zachodzą następujące
równości:
m
m
n n
( )
a = a
1 1 1
n
n m nm m
m n mn mn
bo
a = a a =
(a ) = a = a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
1
1 1
n n
n n n n n
(ab) =
ab
ab = a b a b =
bo
n
a a
n
=
n
b b
Niech a będzie liczbą dodatnią, a m i n liczbami naturalnymi:
m
m
n
n
a = a
0
a = 1
Dla dowolnych m i a > 0:
1
-m
a =
m
a
PRZYKA
AD 1/12
3
3
2
2
10 10
10 =
10 =
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
PRZYKA
AD 2/12
1
-1
=
10 =
0,1
10
PRZYKA
AD 3/12
1
-3
0,001
10 = =
1000
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ  WA
ASNOŚCI (POWTÓRZENIE)
Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowano pewien  dokładnie
Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowano pewien  dokładnie
określony  element y zbioru Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona
funkcja o wartościach w zbiorze Y
( )
y = f x
f : X Y
f  określona na zbiorze X funkcja
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
element x ze zbioru X  argument funkcji
element y ze zbioru Y  wartość funkcji f w punkcie x
zbiór X  zbiór argumentów lub dziedzina funkcji
zbiór Y  zbiór wartości lub przeciwdziedzina funkcji
FUNKCJE ZA
OŻONE I ODWROTNE
Niech funkcja f: X Z Z. Odwzorowanie h nazywamy funkcjÄ…
Y, g: Y oraz h: X


zÅ‚ożonÄ… z funkcji f i g i piszemy h = g Ë% f lub h(x) = g(f(x)).
PRZYKA
AD 4/12
( )
f x = 2x +1
2
( )
g x = x
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
2
( ( )) ( )
f o g = f g x = 2 x +1
2
( ( )) ( )
g o f = g f x = 2x + 1
FunkcjÄ… odwrotnÄ… do funkcji f: X X
Y jest funkcja f-1: Y


PRZYKA
AD 5/12
y
y = 3x Ò!
x =
3
x
-1
y =
3
FUNKCJE PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Funkcją parzystą nazywamy funkcję f jeżeli dla każdegox"
"X: f(x) = f(-x)
"
"
Funkcją nieparzystą nazywamy funkcję f jeżeli dla każdego x"
"X: f(-x) = -f(x)
"
"
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a nieparzystej względem
początku układu współrzędnych.
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
FUNKCJE MONOTONICZNE
Mówimy, że funkcja f(x) jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeżeli jest w całym
przedziale (a, b) rosnÄ…ca, bÄ…dz
w całym przedziale (a, b) malejąca
Funkcja jest rosnąca (malejąca) w zbiorze X, gdy dla każdych x1, x2 " X z faktu
"
"
"
x1 < x2 wynika, że f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))
FUNKCJE LINIOWE
Funkcję liniową nazywamy każdą funkcję określoną równaniem y = mx + b;
m, b, x " R
"
"
"
Równanie y = mx + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej.
m  współczynnik kierunkowy prostej (m = tgą
Ä…)
Ä…
Ä…
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
y
l
y
y
0
0 Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
x
0
x
y = mx
x
FUNKCJE KWADRATOWE
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję określoną równaniem y = ax2 + bx + c,
a `" 0; b, c, x " R
`" "
`" "
`" "
4 y
1
-3 0 3
x
-2
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
FUNKCJE POT
GOWE
Ä…
Ä…
Ä…
Funkcją potęgową nazywamy funkcję f(x) = xą
ą  dowolna, różna od zera liczba rzeczywista
Ä…
Ä…
Ä…
PRZYKA
AD 6/12
D : xe"0
e"
e"
y = x, e"
Narysuj wykres funkcji:
y
x
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
FUNKCJE WYKA
ADNICZE
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję f(x) = ax
a  dowolna, różna od jedynki, dodatnia liczba rzeczywista, tzn. a " R+ \ {1}, x " R
" "
" "
" "
y
a>1
00x
Logarytmem liczby b " R+ przy podstawie a " R+ \ {1} nazywamy wykładnik potęgi,
" "
" "
" "
do której należy podnieść a, żeby otrzymać liczbę b.
c
log b = c a = b
Ô!
a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
loga b
a = b
log 1= 0
Dla dowolnej liczby a > 0, a0 = 1, więc:
a
( )
f x = log x
FunkcjÄ… logarytmicznÄ… nazywamy funkcjÄ™:
a
a  dowolna, różna od jedynki, dodatnia liczba rzeczywista, tzn. a " R+ \ {1}, x " R+
" "
" "
" "
y
y = log x, a = x
a
3
a>1
a>1
02
1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-1
-2
-3
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
PRZYKA
AD 7/12
4
Ò!2 = 16
log 16 = 4
2
WA
ASNOŚCI LOGARYTMÓW
logarytm iloczynu dwu liczb równy jest sumie logarytmów tych liczb:
log (bc) = log b +log c
a a a
Dowód:
m
a = b
log b = m
Ò!
a
n
a = c
log c = n Ò!
a
m n m+n
bc =
a a = a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
m+n
m n
( )
log a =
( ) log a a =
m+n
log bc =
a
a
a
b
bo
log a = b
a
logarytm ilorazu dwu liczb równy jest różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika:
b
log b log c
log =
a a
a
c
Dowód:
m
Ò!
log b = m a = b
a
1 1
m
1
=
a =
log = m Ò!
m
a
a b
b
b 1
1
log = log b + log
log b =
a a a
a
c c
c
1
1
log c =
log = log c
a
a a
c
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
1
log b +log = log b
log c
a a a
a
c
b
log c
log = log b
a
a a
c
logarytm potęgi pewnej liczby jest równy iloczynowi jej logarytmu przez wykładnik
potęgi
n
log b = log bb...b = log b +log b +... +log b = nlog b
a a a a a a
PRZYKA
AD 8/12
1
1
3 3
log b =
log b = log b
a a a
3
ZAMIANA PODSTAWY LOGARYTMU
Niech m = logab, n = logac. Ile wynosi logcb?
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
z def. logarytmu: c = an, skÄ…d a = c1/n
m
b = a
m = log b
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
a
1 m
m m
n n
b = a = (c ) = c
m
m
n
Ò!log b =
Ò!
Ò!
Ò!
b = c
c
n
m log b
a
log b = =
c
n log c
a
LOGARYTM DZIESI
TNY
log a = lga
Logarytm dziesiętny jest to logarytm o podstawie 10:
10
LOGARYTM NATURALNY
Logarytm naturalny jest to logarytm o podstawie liczby e będącej granicą ciągu
1
n
o wyrazie ogólnym: ( 1+ )
n
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
log b = lnb
e
1
n
e = (1+ )
lim
H"2,7182818285...
H"
H"
H"
n"
n
Korzystając z wzoru na zmianę podstaw logarytmów
log a lna
e
otrzymujemy:
lga =
=
log 10 ln10
e
lga
H"0,43lna
H"
H"
H"
lna
H"2,3lga
H"
H"
H"
PRZYKA
AD 9/12
8 5 1
1 1 1 1 1 1
3+3
8 5 3 3 6
( ) =
(( ) : ( ) ) * ( ) = ( ) * ( ) = ( )
3
3 3 3 3 3 3
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
PRZYKA
AD 10/12
3 2 1/ 4 12 3 2 / 4 12
12 42
1/ 4 12 3+1/ 2 12 7 / 2 12
4
(2 * (2 ) ) = (2 * 2 ) =
(8 * 4) = 2
(8 * 4 ) = (2 ) = (2 ) =
PRZYKA
AD 11/12
log 7 + log 11=
1 2
2
log 7 log 7
2 2
log 7
= =
log 7 =
2
1
1
2
log
log
1
1
2
2
2
2
11
log 11 log 7 = log
log 11 =
log 7 +
2 2 2
2
2
7
PRZYKA
AD 12/12
( )
log 0,5 + x = log0,5 logx
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
D :
f
Ò!x > 0,5
0,5 + x > 0
x > 0
( )
x " 0,+"
0,5
( )
log 0,5 + x = log
x
1 1
/ *2x
+ x =
2 2x
2
x + 2x = 1
2
2x + x 1= 0
2
" = 3
" = b 4ac Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
" = 9;
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
b "
1 3
Ò!x = nie należy do Df ( " Df)
Ò! "
Ò! "
Ò! "
x =
= 1
1
1
2a
4
b + "
1
należy do Df (" Df)
"
"
"
x = =
2
2a 2
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
POCHODNA FUNKCJI - WPROWADZENIE
ILORAZ RÓŻNICOWY
Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu "x zmiennej niezależnej:
"
"
"
( ) ( ) ( ) ( )
"f f x + "x - f x "f f x +h - f x
0 0 0 0
= =
lub
"x "x h h
f  określona w pewnym otoczeniu U punktu x0
"x  przyrost zmiennej niezależnej (dowolna, różna od zera liczba rzeczywista);
"
"
"
x0 + " " U
"x "
" "
" "
"f  przyrost wartości funkcji f dla przyrostu "x: " "
" " " "
" " "f = f(x0 + "x)  f(x0)
" " " "
DEFINICJA POCHODNEJ
RÓŻNICZKOWANIE  ODNAJDYWANIE POCHODNEJ
PochodnÄ… funkcji w punkcie x0 nazywamy granicÄ™:
( ) ( )
"f f x + "x - f x
0 0
( )
lim = lim = f' x
0
"x0 "x0
"x "x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
f  określona w pewnym otoczeniu U punktu x0
istnieje skończona granica
gdzie Ä… jest kÄ…tem nachylenia stycznej do wykresu funkcji do osi OX
Ä…
Ä…
Ä…
( )
f' x = tgÄ…
0
funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 jeśli istnieje pochodna funkcji f w tym
punkcie
funkcja f różniczkowalna w punkcie x0 jest w tym punkcie ciągła
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 1/18
Obliczyć f (x0) jeśli f(x) = x2 + x
2
2
( )
"f x + "x + x + "x - (x + x )
0 0 0 0
lim = lim
"x0 "x0
"x "x
2 2 2 2
x + 2x "x + "x + x + "x - x - x 2x "x + "x + "x
0 0 0 0 0 0
lim = lim
"x0 "x0
"x "x
"x(2x + "x +1)
0
lim = 2x +1
0
"x0
"x
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
x'=1,x "R
[ ( )] ( )
cf x '= cf' x
cf(x + "x) - cf(x) f(x + "x) - f(x)
Dowód:
[cf(x)]'= cf'(x)
c
lim = lim =
"x0 "x0
"x "x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
( ) ( )
f' x ą g' x - pochodna sumy (różnicy) funkcji
[ ( ) ( )]
f x Ä… g x '=
f(x + "x) + g(x + "x) Ä… (f(x) + g(x))
( )
Dowód: [(f x ą g(x)]'=
lim =
"x0
"x
f(x + "x) - f(x) g(x + "x) - g(x)
f'(x) Ä… g'(x)
lim Ä… =
"x0
"x "x
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x '= f' x g x + f x g' x - pochodna iloczynu funkcji
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f' x g x - f x g' x
- pochodna ilorazu funkcji
[ ]'=
2
( ) ( ( ))
g x g x
a
a-1
(x )'=
ax
{a "N \ {0},x "R \ {0} {a "R \ N,x "R }
+
(c)'= 0, c "R
x x
(a )'= a lna, a "R
+
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
x x
( )
e '= e
1
(log x)'= , a "R \ {1},x "R
a + +
xlna
1
(lnx)'=
, x "R
+
x
1
2
x > 0
( x)'= ,
2 x
a - a
x "R \ {0}
( )'= ,
2
x x
cos x
(sinx)'=
(cos x)'= - sinx
1
(tgx)'= cos x `"0
,
2
cos x
1
(ctgx)'=- , sinx `"0
2
sin x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
1
(arcsin x)'= ,
x "( 1,1)
2
1- x
- 1
x "( 1,1)
(arccos x)'=
,
2
1- x
1
(arctgx)'=
2
1+ x
-1
(arcctgx)'=
2
1+ x
POCHODNE WYŻSZYCH RZ
DÓW
Pochodną funkcji pochodnej danej funkcji y = f(x) nazywamy pochodną drugiego rzędu
2
d y
funkcji y = f(x) i oznaczamy symbolem Leibnitza:
lub y  = f  (x)
2
n
dx
d y
Pochodną n-tego rzędu oznaczamy symbolem y(n) = f(n) (x) lub
n
dx
f (x), f  (x),
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 2/18
Oblicz y (0), y (1/2) funkcji y(x) = 2 + x  x2
y'(x) = 1- 2x
1
y'( ) = 0
y'(0) = 1,
2
PRZYKA
AD 3/18
3 2
x x
y(x) = + - 2x
3 2
1 1
2 2
y'(x) = 3x + 2x - 2 = x + x - 2
3 2
Ile wynosi zmienna x, gdy y (x) = 0?
2
Ô!x + x - 2 = 0
y'(x) = 0
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
" = 9,
" = 3
x = 2,
x = 1
1
2
PRZYKA
AD 4/18
2 3 3 4
y(x) = a + 5a x - 5x
3 2 3
y'(x) = 3 * 5a x - 20x
PRZYKA
AD 5/18
,
2 3 3 4
y(x) = a + 5a x - 5x
3 2 3
y'(x) = 15a x - 20x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 6/18
(
ax +b)
y(x) =
a +b
(ax +b)'(a + b) - (ax +b)(a +b)' a(a +b)
a
y'(x) = = =
2 2
( ) ( )
a + b
a +b a +b
PRZYKA
AD 7/18
1 2 3
-1 -2 -3
y(x) = + + = x + 2x + 3x
2 3
x x x
-2 -3 -4
y'(x) = -x - 4x - 9x
PRZYKA
AD 8/18
1 1
3 3
3 3
y(x) = x + 2 =
x + 2
2
1
1
-
3
y'(x) = x =
2
3
3 x
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 9/18
2
7
1 1 1 1
3 1
mx nx x p x
- - -
6
2 -1
2 2 3 2 2 2
y(x) = + - = mx x +nxx x -px x = mx +nx - px
3
x x x
1 1 3
3 7 1
-
2 6 2
y'(x) = mx + nx + px
2 6 2
PRZYKA
AD 10/18
3
3
( ) 3x - 9x
y(x) = 3 x - 3x =
2
y'(x) = 9x - 9
PRZYKA
AD 11/18
y(x) = log3 + log x + ln x
4
1 1
y'(x) = +
xln 4 x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 12/18
2
y(x) = x ln2
2 2
( ) ( )
y'(x) = x 'ln2 + x ln2 '=2xln2
PRZYKA
AD 13/18
2
x
y(x) =
x 1
x 1
2 2 2 2
2x(x -1) - x 2x - 2x - x x - 2x
y'(x) = = =
2 2 2
(x -1) (x -1) (x -1)
PRZYKA
AD 14/18
5
3
y(x) = x
2
5
5
2
3 3
y'(x) = x =
x
3
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 15/18
2
y(x) = x
2-1
y'(x) = 2x
PRZYKA
AD 16/18
lnx
y(x) =
1- x
1
(1- x) -lnx(-1)
1- x + xlnx
x
y'(x) = =
2 2
(1- x) x(1- x)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKA
AD 17/18
y(x) = 7lnx
1 7
y'(x) = 7 =
x x
PRZYKA
AD 18/18
1
Oblicz y  (x) funkcji:
y(x) =
x -1
-1
y'(x) =
2
(
x -1)
1* 2(x - 1)
2
y''(x) = =
4
3
(x - 1)
(x - 1)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
POCHODNA LOGARYTMICZNA
Pochodna funkcji złożonej y = lnf(x) wyraża się wzorem:
f'(x)
[ ]
lnf(x) '=
f(x)
i nosi nazwÄ™ pochodnej logarytmicznej funkcji f(x).
PRZYKA
AD 1/18
x
/* ln
y = a
x
ln y = lna
/'
ln y = xlna
y'
= x'lna + x(lna)'
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
y'
= lna
/* y
y
x
y'= ylnaÒ!y'= a lna
Ò!
Ò!
Ò!
PRZYKA
AD 2/18
x
/* ln
y = x
x
ln y = lnx
lny = xlnx /'
y' 1
= lnx + x
/* y
y x
x
Ò!y'= x (lnx + 1)
Ò!
Ò!
Ò!
y'= y(lnx + 1)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKA
AD 3/18
x
( )
/* ln
y = sin3x
x
( )
lny = ln sin3x
ln y = x ln(sin3x)
/'
1
y' 1
(sin3x)'
( )
x
= ln sin3x +
sin3x
y 2 x
y' 1 1
1 3cos3x
( ) ( ) ( )
= ln sin3x + x cos3x 3 = ln sin3x + x
y 2 x sin3x 2 x sin3x
( )
y' ln sin3x
= + 3 xctg3x
/* y
y 2 x
( )
( )
ln sin3x
ln sin3x
x
( )
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
y'= sin3x [ + 3 xctg3x]
y'= y + 3 xctg3x
2 x
2 x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKA
AD 4/18
x
y = sin2x
1
x
( )
y = sin2x /* ln
1
x
( )
ln y = ln sin2x
1
( )
/'
ln y = ln sin2x
x
y' 1 1 1
( ) ( )
= - ln sin2x + sin2x '
2
y x x sin2x
y' 1 1 2cos2x
( )
= - ln sin2x +
2
y x x sin2x
y' 1 2
( )
= - ln sin2x + ctg2x
/* y
2
y x x
1 2
1 2
x
( )
y'= y(- ln sin2x + ctg2x)
Ò! sin2x (- ln(sin2x) + ctg2x)
Ò!
Ò!
Ò!
2
2
x x
x x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ
Jeżeli funkcja u = g(x) posiada pochodną w punkcie x0 a funkcja y = f(u) posiada
pochodną w punkcie u0 = g(x0), to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x0
pochodną wyrażoną wzorem:
y = (f(g(x0))) =f (u0)g (x0)
gdzie:
f (u0)  pochodna funkcji zewnętrznej
g (x0)  pochodna funkcji wewnętrznej
PRZYKA
AD 5/18
2 2 1/ 2
y = x +1 = (x +1)
2
2
1/ 2
(x +1)'
(x +1)'
2 2
y'= 1/ 2(x +1) (x +1)'= =
2 1/ 2
2
2(x +1)
2 x +1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
1 x
y'= 2x =
2 2
2 x + 1 x +1
PRZYKA
AD 6/18
x2
y = e
x2 x2
x2 2
e 2x = 2xe
y'= e (x )'=
PRZYKA
AD 7/18
-x
y = e
x x x
y'= e ( x)'= e ( 1) = e
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKA
AD 8/18
-bx
y = ae
bx bx bx bx
y'= a(e )'= a(e )( bx)'= a(e )( b)x'= abe
PRZYKA
AD 9/18
y = sin(2x -1)
y'= cos(2x 1)(2x 1)'= 2cos(2x 1)
cos(2x 1) 2 =
PRZYKA
AD 10/18
1
x
x
3
3
y = e 1 =
(e 1)
x
2
2
1 1 e
-
-
x x x x
3
3
( )
y'= (e -1) (e -1)'= e -1 e =
3 3
x 2
3
3 (e 1)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKA
AD 11/18
1
1
2
2 2
2
y = log 2x 5x +1 =
log (2x 5x +1) = log (2x 5x +1)
3
3 3
2
4x 5
1 1 1
2
y'= (2x 5x +1)'=
2 2
2 2
(2x 5x +1)ln3 (2x 5x +1)ln3
PRZYKA
AD 12/18
x
y = 2e ( x 1)
x x x x
y'= 2[e ( x 1)]'= 2[(e )'( x 1) + e ( x 1)' ] = 2[e ( x)'( x 1) +
x
1 1 e
1
x x
x
2[e ( )( x 1) + e ( )] = 2 [( x 1) +1] =
e ( )] =
2 x 2 x 2 x
2 x
x
e
x
( x) =
e
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKA
AD 13/18
5
2
( )
y = x - 1
2 4 2 4
2 4 2
5(x 1) 2x = 10x(x 1)
y'= 5(x 1) (x 1)'=
PRZYKA
AD 14/18
y = sin(ax +b)
y'= cos(ax + b)(ax +b)'= acos(ax +b)
PRZYKA
AD 15/18
y = lnsin x
cosx
1
=
ctgx
y'= (sinx)'=
sinx
sinx
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKA
AD 16/18
Oblicz y   : y = x2 + sin5x
y'= 2x + cos5x(5x)'=
2x + 5cos5x
( )
y''= 2 + 5 - sin5x (5x)'= 2 - 5 sin5x(5) =
2 - 25sin5x
( ) -125cos5x
y'''= -25cos5x 5x '=
PRZYKA
AD 17/18
Oblicz y   : y = xln2x
1 1
(2x)'= ln2x + x 2 =
ln2x + 1
y'= ln2x + x
2x 2x
1 1 1
(2x)'= 2 =
( )
y''= ln2x '=
2x 2x x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI RÓŻNICZKOWALNEJ
Jeżeli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b), to:
gdy f (x) > 0, f(x) rośnie w przedziale (a, b)
gdy f (x) < 0, f(x) maleje w przedziale (a, b)
EKSTREMA FUNKCJI
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lub minimum, jeśli spełniona jest nierówność:
f(x) < f(x0); x`" (maksimum)
`"x0
`"
`"
f(x) > f(x0); x`" (minimum)
`"x0
`"
`"
Maksima i minima noszą nazwę ekstremów funkcji
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
Jeżeli funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 ekstremum i pochodną f (x0), to f (x0) = 0
WYPUKA
OŚĆ I WKL
SA
OŚĆ FUNKCJI. PUNKT PRZEGI
CIA WYKRESU
FUNKCJI
Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a, b) pochodną drugiego rzędu f  (x) > 0
(f  (x) < 0) to jest w tym przedziale wypukła (wklęsła)
Jeżeli w punkcie x0 pochodna drugiego rzędu funkcji y = f(x) jest równa zeru (f  (x0) = 0)
i rośnie (lub maleje) w jego otoczeniu, to punkt ten nazywamy punktem przegięcia
funkcji.
PRZYKA
AD 18/18
Wyznacz dla funkcji f(x) = x3  3x2 + 4
a) przedziały monotoniczności
b) ekstremum
c) przedziały wypukłości (wklęsłości)
d) punkty przegięcia
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
a) + b)
2
f'(x) = 3x - 6x =
3x(x - 2)
Ô!
f'(x) = 0 3x(x - 2) = 0
x = 0, x = 2
1 2
f(x) Ä™!Ô!'(x) > 0, x "(-"0)*"(2,+")
f ,
f(x) “!Ô!'(x) < 0, x "(0,2)
f
(maksimum funkcji  funkcja zmienia znak z dodatniego na ujemny)
f(0) = 4
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
(minimum funkcji  funkcja zmienia znak z ujemnego na dodatni)
f(2) = 0
c) + d)
6(x -1)
f''(x) = 6x - 6 =
f''(x) = 0 Ô!6(x -1) = 0
x = 1
x "(-"1)
,
f(x) Ô!f''(x) < 0,
wkl
x "(1,+")
f(x) Ô!f''(x) > 0,
wyp
współrzędne punktu przegięcia wykresu funkcji
P(x,f(x)) = P(1,2)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
RÓŻNICZKA FUNKCJI
Funkcja y = f(x) ma pochodnÄ… f (x) w punkcie x.
f(x + "x) - f(x)
"y = f(x + "x) - f(x) = ( )"x - definicja ilorazu różnicowego
"x
"y = df(x) = f'(x)"x - różniczka funkcji f(x) w punkcie x.
Różniczka funkcji jest iloczynem pochodnej funkcji i różniczki argumentu.
Ò!
Niech y = xÒ!
Ò!
Ò!
dy = x'"x
dx = "x - dla małych przyrostów argumentów
Dowolny przyrost "x nazywamy różniczką zmiennej niezależnej dx
"
"
"
( )
Ò!
Ò! Ò! ( )
y = f xÒ! Ò!df x = f' x dx
Ò!dy = y'dx
Ò! Ò! ( )
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 1/21
y = sin x
Ò!dsinx = sin x 'dx
Ò!
Ò!
dy = (sinx)'dx Ò! ( )
dsinx = cosxdx
PRZYKA
AD 2/21
m
y = x
m
m m
( )
Ò!dx = x 'dx
Ò!
Ò!
Ò!
dy = x 'dx ( )
m m-1
dx = mx dx
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Pochodna funkcji jest równa ilorazowi różniczki funkcji przez różniczkę argumentu:
dy df(x)
( )
y'= ;f' x =
dx dx
PRZYKA
AD 3/21
y = lnx
dy = (lnx)'dx
Ò!dlnx = 1dx
Ò!
Ò!
Ò!
x
dlnx 1
= = (lnx)'= y'
dx x
PRZYKA
AD 4/21
dsinx
= cos x = (sinx)'
dx
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 5/21
m
dx
m-1 m
= mx = (x )'
dx
WA
ASNOŚCI RÓŻNICZKI
y = c
Ò!
Różniczka staÅ‚ej jest równa zeroÒ!dy = c'dx = 0
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
Różniczka sumy jest równa sumie różniczekÒ!
y = u(x) + v(x)
dy = [u(x) + v(x)]'dx = [u'(x) + v'(x)]dx = u'(x)dx + v'(x)dx = du(x) + dv(x)
Ò!
Ò!
Ò!
StaÅ‚y czynnik wyÅ‚Ä…czamy przed znak różniczkiÒ!
y = cu(x)
dy = [cu(x)]'dx =
c[u'(x)]dx = cdu(x)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Różniczka iloczynuÒ!
Ò!
Ò!
Ò!
y = u(x) * v(x)
dy = [u(x) * v(x)]'dx = u'(x)v(x)dx + v'(x)u(x)dx = du(x)v(x) + dv(x)u(x)
u(x)
Ò!y =
Ò!
Ò!
Różniczka ilorazuÒ!
v(x)
u(x) v(x)u'(x)dx - u(x)v'(x)dx v(x)du(x) - u(x)dv(x)
dy = [ ]'dx = =
2 2
v(x) [v(x)] [v(x)]
Ò!
Ò!
Ò!
Różniczka funkcji zÅ‚ożonejÒ! gdzie y = f(x), x = g(t), dx = g'(t)dt
y = f(g(t))
dy = y'dt;
(y'= f'(x) * g'(t))
dy = f'(x) * g'(t)dt
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 6/21
2
x
Wyznacz różniczkę dy funkcji y = 5 sin
x
2 2 2 2
x x x
dy = (5 sin )'dx = [5 ln5dx sin + 5 cos ( )]dx
2
x x x x
PRZYKA
AD 7/21
Wyznacz różniczkę dy funkcji
y = xlnx
1
(lnx + 1)dx
dy = (lnx + x )dx =
x
PRZYKA
AD 8/21
Wyznacz różniczkę trzeciego rzędu d3y funkcji
y = cos 4x
dy = (cos4x)'dx =
- 4 sin4xdx
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
2
d y = (dy)'dx =
(y'dx)'dx = (y')'dx
2 2 2 2
d y = (-4sin4x)' dx = - 4(4cos4x)dx = - 16cos4xdx
3 3
3
d y = (-16cos4x)' dx =
16(-4sin4x)dx
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZANIA
PRZYBLIŻONYCH WARTOŚCI FUNKCJI I WYRAŻENIA
f(x + dx) = f(x ) + f'(x )dx
0 0 0
PRZYKA
AD 9/21
2
Oblicz przybliżoną wartość funkcji jeśli:
f(x) = x
( )
x = 1, Ò!
x + dx = 1,0018
Ò!
Ò!
Ò!
dx = 0,0018
0 0
2
( )
f x = x
0 0
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
( )
f' x = 2x
0 0
( )
f' 1 = 2
( ) ( ) ( ) ( )
f x + dx = f 1,0018 = f 1 + f' 1 * 0,0018 =
1+ 2 * 0,0018 = 1,0036
0
PRZYKA
AD 10/21
Oblicz przybliżoną wartość funkcji jeśli:
( )
f x = x
( )
x = 1, Ò!
x + dx = 1,0025
Ò!
Ò!
Ò!
dx = 0,0025
0 0
( )
f x = x
0 0
1
( )
f' x =
0
2 x
0
1
f'(1) =
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
1
( ) ( )
f x + dx = f 1,0025 = f(1) + f'(1) * 0,0025 =
1+ * 0,0025 = 1,00125
0
2
PRZYKA
AD 11/21
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia: 4
17
4
f(x) = x
4 4
f(x + "x) = f( x + "x) = 17
x + "x = 17 Ò!
x = 16,
"x = dx = 1
4
f(x + "x) = f(x) + f'(x)dx
17 =
4
f(17) = f(16) + f'(16) * 1
17 =
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
4
f(x) = f(16) =
2
16 =
1 1
1
-34
4
4
f'(x) = ( x)'=
x =
(x )'=
3
4
4 4 x
1 1
1 1
f'(16) = = =
3
=
3 4
4
3
4
4 16
4((2) ) 4 * 2 32
1 1 65
4
17 = 2 + * 1 = 2 = H"2,031
H"
H"
H"
32 32 32
PRZYKA
AD 12/21
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
ln1,01
f(x) = ln x
f(x + "x) = ln(x + "x) = ln1,01
Ò!
x = 1,
x + "x = 1,01 "x = dx = 0,01
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
f(x) + f'(x)dx
ln1,01H"
H"
H"
H"
f(1) + f'(1) * 0,01
ln1,01H"
H"
H"
H"
f(x) = f(1) = 0
1
f'(x) = (lnx)'=
x
f'(1) = 1
ln1,01H"0 +1* 0,01H"0,01
H" H"
H" H"
H" H"
POCHODNE CZ
STKOWE
"
f
'
,f (pochodna cząstkowa względem x)
x
"
x
"
f
'
,f (pochodna cząstkowa względem y)
y
"
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Jeśli z = f(x,y), to pochodne cząstkowe można oznaczać odpowiednio symbolami:
" "
z z
' '
,z , ,z
x y
" "
x y
WZORY:
" " "
f g
" " "
f g
( )
( )
f Ä… g = Ä…
f Ä… g = Ä… ,
" " "
y y y
" " "
x x x
" " "
f g
" " "
f g
( )
( )
f * g = g + f
f * g = g + f ,
" " "
y y y
" " "
x x x
" "
f g
" "
f g
g - f
g - f
" f " f
"y "
y
" "
x x
( ) = , ( ) =
2 2
" g g " g g
x y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 13/21
"(x,y)
f
"(x,y)
f
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji f(x,y)
,
"
x
"y
5 2 2 5
f(x,y) = x + x y - 2y
"
f
"
f
4 2
2 4
= 5x + 2xy ,
= 2x y - 10y
"
x
"
y
PRZYKA
AD 14/21
"(x,y)
f
"(x,y)
f
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji f(x,y)
,
"
x
"y
y
f(x,y) = x
" "
f f
y-1 y
= yx , = x lnx
" "
x y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 15/21
"(x,y)
u
"ux,y)
(
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji u(x,y)
,
"
x
"y
u(x, y) = x sin(x + y)
"
u
"
u
= sin(x + y) + xcos(x + y),
= x cos(x + y)
"
x
"
y
PRZYKA
AD 16/21
"(x,y)
"(x,y)
u
u
"ux,y)
"ux,y)
(
(
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji u(x,y)
,
"
x
"y
2
cos x
u(x,y) =
y
2
" 1
u
2xsinx
2
= (-sinx )2x =
-
" y
x
y
2
cosx
" 1
u
2
= cos x (- ) = -
2
2
y
" y
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 17/21
"(x,y)
f
"(x,y)
f
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji f(x,y)
,
"
x
"y
f(x, y) = x sin xy
" " " 1
f
= x sin xy + x sin xy = sin xy + xcos xy y =
" " " 2 xy
x x x
xycos xy
1
sin xy +
sin xy + xy cos xy
=
2
2 xy
2
"f " " 1
"
"
"
x
= x sin xy + x sin xy = 0 + xcos xy x =
cos xy
"y " " 2 xy
"
" y y
"
2 xy
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 18/21
"(x,y)
f
"(x,y)
f
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji f(x,y)
,
"
x
"y
3 2
f(x,y) = x y
"f
"
"
"
2 2 2 2
= y (3x ) = 3x y
"x
"
"
"
"
f
3
= 2x y
"
y
(y  stała)
PRZYKA
AD 19/21
ln y
"(x,y)
f
"(x,y)
f
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji
f(x,y) = log y =
,
x
lnx
"
x
"y
1
" "
lny * lnx - lny lnx - lny
- lny
"
f
" " x
x x
=
= =
2
2
2
x(lnx)
(lnx)
" (lnx)
x
1
" "
lnx
lny * lnx - lny lnx
y 1
" "y "
f y
=
= =
2
2
(lnx) y(lnx)
"y (lnx)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKA
AD 20/21
y
"(x,y)
f
y
"(x,y)
f
x
x
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji f(x,y) = x = x
,
"
x
"y
METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ
y
x
lnf(x,y) =
lnx
y
lnf(x,y) =
lnx
= x
1 "(x,y)
f
"y y " - y y
=
* lnx + lnx = ( lnx + )
/* f(x,y)
2 2
f(x,y) "
x
" x x " x x
x x
"(x,y) - y y
f
= ( lnx + )
f(x,y)
2 2
" x x
x
y
"(x,y) - y y
f
x
x
= ( lnx + )
2 2
" x x
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
1 "(x,y)
f
"y y " 1
=
* lnx + lnx = ( lnx)
/* f(x,y)
f(x,y) "
y
" x x " x
y y
"(x,y)
f
1
=
lnx
f(x,y)
"
y
x
y
"(x,y) 1
f
x
= x lnx
" x
y
PRZYKA
AD 21/21
y
y
"(x,y)
f
"(x,y)
f
Wyznacz pochodne czÄ…stkowe funkcji
f(x,y) = arctg ( )
,
x
"
x
"y
" 1 " 1 - y y
f
= * (y = ( ) = -
2 2 2
x)
" 2 " 2 x x + y
x x
1+ (y 1+ (y
x) x)
" 1 " 1 1
f
1 1 x
= * (y = ( ) =
= =
2 2 2
2 2
x)
" 2 " 2 x y x + y
y y
x + y
1+ (y 1+ (y
x +
x) x)
x x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
RACHUNEK BA

DÓW
V = V(r)
Błąd bezwzględny
"V = V'(r)"r
"V
Błąd względny
´V = * 100%
V
PRZYKA
AD 1/12
Znalez
ć przybliżone wartości błędów bezwzględnego i względnego jakie popełnia się
4
3
obliczając objętość kuli V ze wzoru
obliczając objętość kuli V ze wzoru
V = Ä„r
V = Ä„r
3
3
jeżeli błąd pomiaru promienia r wynosi "r. Założyć, że znana jest dokładna wartość Ą.
" Ä„
" Ä„
" Ä„
Oszacować błędy bezwzględny i względny przybliżenia objętości kuli, jeśli
r = 1,5 Ä… 0,05 cm, a Ä„ = 3,14.
Ä„
Ä„
Ä„
4
2 2
"VH"V'(r)"rH"
H" H"
H" H"
H" H"
3 Ä„r "rH"4Ä„r "r
H"
H"
H"
3
2
| "V |
4Ä„r "r 3
´VH" H"
H" H"
H" H"
H" H"
H" "r
H"
H"
H"
4
| V |
r
3
Ä„r
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
2 2
Ò!
r = 1,55 r = 1,55 = 2,4025
| "r |= 0,05
4
3 3
V = V(r)H" Ä„r H"15,59cm
H" H"
H" H"
H" H"
3
2
"Vd"V'(r)"rd"4Ä„r "r
d" d"
d" d"
d" d"
"Vd"4 * 3,14 * 2,4025 * 0,05d"1,51
d" d"
d" d"
d" d"
3 3
Ò!
błąd maksymalny (bezwzględny)
V = V(r) = 15,59cm Ä… 1,51cm
2
4Ä„r "r 3"r
Ò!
błąd maksymalny (względny)
´Vd" * 100%H" * 100%H"9,6%
d" H" H"
d" H" H"
d" H" H"
4
r
3
Ä„r
3
3
Odp. Błąd przybliżenia objętości kuli nie przekracza 9,6%.
VH"15,59cm
H"
H"
H"
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
PRZYKA
AD 2/12
2 2
Obliczyć wartość funkcji dla oraz
x = 4,32 y = 2,15
f(x, y) = x y - xy
Oszacować błąd bezwzględny i względny tego obliczenia jeśli oszacowania błędów
bezwzględnych przybliżeń x, y wynoszą odpowiednio:
oraz
"x = 0,01 "y = 0,005
2 2
20,15496H"20,155
H"
f(x,y)H"4,32 * 2,15 - 4,32 * 2,15 H" H"
H" H" H"
H" H"
H" H"
" "
f f
( ) ( )
"fd" x,y "x + x,y "y
d"
d"
d"
" "
x y
"
f
2
= 2xy - y
"
x
"
f
2
= x - 2xy
"
y
"
f
2
( )
13,9535H"13,95
H"
H"
H"
4,32;2,15 H"2 * 4,32 * 2,15 - 2,15 H"
H" H"
H" H"
H" H"
"
x
"
f
2
( )
4,32;2,15 H"4,32 - 2 * 4,32 * 2,15H"
H" H"
H" H"
H" H"
0,0864H"0,09
H"
H"
H"
"
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
( )
"fd"13,95 * 0,01+ 0,09 * 0,005 H"0,14
d" H"
d" H"
d" H"
"f 0,14
´fd" d" H"0,069 * 100% = 6,9%
d" d" H"
d" d" H"
d" d" H"
f 20,155
f = f Ä… "f = 20,155 Ä… 0,14
Odp. Błąd względny obliczenia wynosi w przybliżeniu 6,9%.
PRZYKA
AD 3/12
Układ sercowo  naczyniowy człowieka jest podobny do układu elektrycznych połączeń
Układ sercowo  naczyniowy człowieka jest podobny do układu elektrycznych połączeń
równoległych. Kiedy krew płynie przez dwa układy równolegle, całkowity opór R wynosi:
1 1 1
= +
R R R
1 2
Błędy % pomiaru oporu R1 i R2 wynoszą:
dR = Ä…0,006R
1 1
dR = Ä…0,006R
2 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Znajdz
przybliżony błąd procentowy pomiaru oporu całkowitego R:
R R
1 2
R = Ò!
R = R(R ,R )
1 2
R +R
1 2
" "
R R
"RH"| || dR |
H"
H" || dR | + |
H"
1 2
" "
R R
1 2
| "R |
´RH" * 100%
H"
H"
H"
| R |
2
R R +R R R
2 1 2 1 2 2
" R (R +R ) - R R
R
R
2 1 2 1 2
2
= = =
2 2
2
" (R +R ) (R +R )
R
(R +R )
1 1 2 1 2
1 1 2 1 2
1 2
1 2
2
R +R R R R
2
1 1 2 1 2
" R (R + R ) - R R R
R
1 1 2 1 2 1
= = =
2 2 2
" (R +R ) (R +R ) (R +R )
R
2 1 2 1 2 1 2
2 2
R R
2 1
"RH"
H"
H"
H"
0,006R + 0,006R
2 2
1 2
(R +R ) (R + R )
1 2 1 2
2 2
R R R R R R R R R R
1 2 2 1 1 2 2 2 1 1
"RH" 0,006 + 0,006H" 0,006 + 0,006H"
H" H" H"
H" H" H"
H" H" H"
2 2 2 2
(R +R ) (R +R ) (R +R ) (R +R )
1 2 1 2 1 2 1 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
z wz.:
R R
1 2
Ò!
R = Ò!
Ò!
Ò!
R R = R(R +R )
1 2 1 2
R +R
1 2
R(R + R )R R(R +R )R 0,006R R 0,006R R
1 2 2 1 2 1 2 1
0,006 + 0,006H" + H"
H" H"
H" H"
H" H"
2 2
(R + R ) (R +R ) R +R R +R
1 2 1 2 1 2 1 2
0,006R R + 0,006R R 0,006R(R +R )
2 1 2 1
H" H"
H" H"
H" H"
H" H"
0,006R
R +R (R +R )
1 2 1 2
0,006R
´RH" H"0,006H"0,6%
H" H" H"
H" H" H"
H" H" H"
R
Odp. Przybliżony błąd procentowy pomiaru oporu całkowitego R wynosi 0,6%.
PRZYKA
AD 4/12
Załóżmy, że średnicę 2r = 0,66 cm pręta stalowego zmierzono z dokładnością do 0,01
cm, jego długość h = 53 cm z dokładnością do 0,1 cm. Dla liczby Ą przyjęto wartość
Ä„
Ä„
Ä„
przybliżoną 3,14 z dokładnością do 0,005. Wyznacz błąd bezwzględny i względny
obliczenia objętości pręta.
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Ò!
2r = 0,66 cmÒ!r = 0,33 cm
Ò!
Ò!
d(2r) = 0,01 cmÒ!
Ò!
Ò!dr = 0,005 cm
Ò!
h = 53 cm
dh = 0,1 cm
Ä„ = 3,14
dĄ = 0,005
Ò!
Ò!
Ò!
V(Ä„,r,h) = Ä„r2hÒ!objÄ™tość stalowego prÄ™ta
V(3,14;0,33;53) = 18,12 cm3
"V "V "V
" " "
" " "
" " "
"V =| | * | dĄ | + | | * | dr | + | | * | dh |
"Ä„ "r "h
" " "
" " "
" " "
"V
"
"
"
2
= r h H"5,77
H"
H"
H"
(0,33;53)
"Ä„
"
"
"
"V
"
"
"
= 2Ä„rh H"109,84
H"
H"
H"
(0,33;53)
"r
"
"
"
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
"V
"
"
"
2
= Ä„r H"0,34
H"
H"
H"
(0,33;53)
"h
"
"
"
2 2
| "V |=| r h || dĄ | + | 2Ąrh || dr | + | Ąr || dh |
3
0,61cm
| "V |H"5,77 * 0,005 + 109,84 * 0,005 + 0,34 * 0,1H"
H" H"
H" H"
H" H"
0,61
´VH" * 100%H"3,4%
H" H"
H" H"
H" H"
18,12
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
Odp. Błąd bezwzględny pomiaru objętości wynosi ą 0,61 cm3; błąd względny
przybliżenia objętości V H" 18,12 cm3 wynosi 3,4%.
PRZYKA
AD 5/12
2
0,02
( )
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
5e + 2,03
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
x = 0;"x = 0,02
x + "x = 0,02
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
y + "y = 2,03 y = 2;"y = 0,03
"x = dx;"y = dy
x+"x 2
( )
f x + "x,y + "y H"5e + (y + "y)
H"
H"
H"
x 2
( )
f x,y = 5e + y = 3
(0,2)
" "
f f
f(x + "x,y + "y)H"f(x,y) + dx + dy
H"
H"
H"
" "
x y
"f "f
" "
" "
" "
f(0,02;2,03)H"f(0,2) + 0,02 + 0,03
H"
H"
H"
"x "y
" "
" "
" "
(0,2)
(0,2)
" 1 " 5
f f
x
( )
= * 5e ; 0,2 =
x 2
" " 6
x x
2 5e + y
" 1 " 2
f f
( )
= * 2y; 0,2 =
x 2
" " 3
y y
2 5e + y
5 2 10
-2
( )
3 + * 10 + 0,02H"3,037
f 0,02;2,03 H"3 + * 0,02 + * 0,03H" H"
H" H" H"
H" H" H"
H" H"
6 3 6
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
2
0,02
Odp. Przybliżona wartość wyrażenia ( ) wynosi 3,037.
5e + 2,03
PRZYKA
AD 6/12
3,03
( )
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
2,01
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
x + "x = 2,01 x = 2;"x = 0,01
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
y + "y = 3,03 y = 3;"y = 0,03
"x = dx;"y = dy
y+"y
3,03
( ) )
f x + "x,y + "y H"x + "x H"(2,01)
H" H"
H"( H"
H" H"
y
( )
f x,y = x = 8
(2,3)
" "
f f
( ) ( )
f x + "x,y + "y H"f x,y + "x + "y
H"
H"
H"
" "
x y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
" "
f f
f(2,01;3,03)H"f(2,3) + 0,01+ 0,03
H"
H"
H"
" "
x y
(2,3)
(2,3)
" "
f f
y-1
( )
= yx ; 2,3 = 12
" "
x x
" "
f f
y
( )
= x lnx; 2,3 = 5,545
" "
y y
( )
f 2,01;3,03 H"8 + 12 * 0,01+ 5,545 * 0,03H"8 + 0,12 + 0,166H"8,286
H" H" H"
H" H" H"
H" H" H"
3,03
( )
Odp. Przybliżona wartość wyrażenia 2,01 wynosi 8,286.
PRZYKA
AD 7/12
Obliczyć błąd bezwzględny i względny jaki popełnia się przy wyznaczaniu objętości
prostopadłościanu o krawędziach:
x + "x = 4,1Ä… 0,1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
y + "y = 3,2 Ä… 0,1
z + "z = 8,4 Ä… 0,2
V = V(x, y,z) = xyz
( )
V 4,1;3,2;8,4 = 110,2
" " "
V V V
"V = "x + "y + "z
" " "
x y z
"V
" V
" "
"
= yz; = 26,88
"x
" x
" "
"
(4,1;3,2;8,4)
" "
V V
= xz; = 34,44
" "
y y
(4,1;3,2;8,4)
" "
V V
= xy; = 13,12
" "
z z
(4,1;3,2;8,4)
3
"V = 26,88 * 0,1+ 34,44 * 0,1+13,12 * 0,2 = 8,756j
( 4,1;3,2;8,4)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
8,756
´V = * 100% = 7,9%H"8%
H"
H"
H"
110,2
VH"110,2 Ä… 8,756
H"
H"
H"
Odp. Błąd bezwzględny wyznaczenia objętości wynosi ą8,756j3; błąd względny
obliczenia objętości, która jest równa VH"110,2 ą 8,756 wynosi w przybliżeniu 8%.
H"
H"
H"
PRZYKA
AD 8/12
Podczas badania pewnych procesów adiabatycznych ciśnienie p gazu jest związane
C
z objętością V tak, że , gdzie C, ł to stałe doświadczalne.
Å‚
Å‚
Å‚
p =
Å‚
V
"p
Wykaż, że przybliżony bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny ciÅ›nienia ´p =
jest proporcjonalny do
p
"V
przybliżenia bÅ‚Ä™du wzglÄ™dnego objÄ™toÅ›ci ´V =
V
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
C
p(V) =
Å‚
V
Å‚ Å‚ Å‚-1
C C
C'*V - C * V ' - CÅ‚V
( )'dV
( )'dV dV dV
Å‚
Å‚ 2 Å‚ 2 Å‚
"p
V
V V V
´p = = =
= =
=
C
C C
p p
Å‚
Å‚ Å‚
V
V V
Å‚ 1 Å‚ 1
CÅ‚V Å‚V
Å‚
Å‚ 1 Å‚ Å‚ 1 Å‚ 1
V dV
dV = dV = Å‚V V dV = Å‚V dV = Å‚V dV = Å‚ =
2Å‚ Å‚
V C V V
dV = "V
"V
"p
Å‚ = Å‚´V
´p = =
V
p
"p
Odp. Przybliżony błąd względny ciśnienia jest proporcjonalny do
´p =
p
"V
przybliżenia bÅ‚Ä™du wzglÄ™dnego objÄ™toÅ›ci ´V =
V
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
RÓŻNICZKA ZUPEA
NA
Niech u = f(x, y)
" "
u u
du = dx + dy
" "
x y
u = f(x, y) - funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, y jeśli w tym punkcie istnieje
różniczka zupełna funkcji
PRZYKA
AD 9/12
2 2
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji w punkcie (3, -4)
f(x,y) = x + y
" "
f f
df(x,y) = dx + dy
" "
x y
"(3,-4) 1 x 3
f
= 2x = =
2 2 2 2
" 2 x + y x + y 5
x
"(3,-4) 1 y - 4
f
= 2y = =
2 2 2 2
" 2 x + y x + y 5
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
3 4
2 2
Odp. Różniczka zupełna funkcji f(x,y) = x + y wynosi df(x,y) = dx - dy
5 5
PRZYKA
AD 10/12
x
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji z(x,y) = xy
" "
z z
dz(x,y) = dx + dy
" "
x y
" " "
z
x x x x x
= x * y + x y = y + xy lny = y (1+ xlny)
" " "
x x x
" " "
z
x x x-1 2 x-1
= x * y + x y = x * xy = x y
" " "
y y y
x
Odp. Różniczka zupełna funkcji z(x,y) = xy wynosi
x 2 x-1
dz(x,y) =
y (1+ xln y)dx + x y dy
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
PRZYKA
AD 11/12
1
3 -2
2
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji
F(r,s,t) = r + s - 4t
" " "
F F F
dF(r,s,t) = dr + ds + dt
" " "
r s t
"
F
2
= 3r
"
r
" 2
F
-3
= -2s = -
3
" s
s
" 2
F
1
-
2
= -2t = -
" t
t
1
3 -2
2
Odp. Różniczka zupełna funkcji wynosi
F(r,s,t) = r + s - 4t
2 2
2
dF(r,s,t) = 3r dr - ds - dt
3
s t
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
PRZYKA
AD 12/12
x
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji z(x,y) = ye
" "
z z
dz(x,y) = dx + dy
" "
x y
x x
"
z
= ye ( 1) = ye
"
x
x
"
z
= e
"
y
x
Odp. Różniczka zupełna funkcji z(x,y) = ye wynosi
x x x
dz(x,y) = ye dx + e dy = e ( ydx + dy)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
CAA
KOWANIE
Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania. Polega na znalezieniu funkcji
pierwotnej F(x), której pochodna w pewnym przedziale jest równa funkcji f(x):
d
Ò!
( ) ( )
f x dx = F x + C
+"( ) F(x) + C = f(x)
dx
CAA
KI NIEOZNACZONE
PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAA
KOWEGO
0dx = C
+"
dx = x + C
+"
1
n n+1
x dx = x + C,n "R /{-1}
+"
n +1
x x
e dx = e + C
+"
dx
= lnx + C,x "R /{0}
+"
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
x
a
x
a dx = + C,a "R /{1}
+"
+
lna
cos xdx = sin x + C
+"
sin xdx = -cosx + C
+"
1
dx = tgx + C,cos x `"0
+"
2
cos x
1
dx = -ctgx + C,sinx `"0
+"
2
sin x
1
dx = arctgx + C = -arcctgx + C
+"
2
1+ x
1
( )
dx = arcsin x + C = -arccosx + C, x " - 1,1
+"
2
1- x
WA
ANOÅšCI CAA
EK NIEOZNACZONYCH
( )
f x) Ä… g(x) dx = f(x)dx
+"( +" Ä…
g(x)dx
+"
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
af(x)dx = a f(x)dx,a "R
+" +"
PRZYKA
AD 1/28
9
5
5 5
9
x
4
9
5
5
4
5
5
x + C = x + C
+ C =
x dx = x dx =
+" +"
9
9 9
5
PRZYKA
AD 2/28
1
-
2
x
2
x 1
-
-32
2
+ C = - 2x + C = - + C
dx = x dx =
+" +"
2
1
x
x
-
2
2
PRZYKA
AD 3/28
1
x
( ) -x -x
1
e e
-x -x
x e
e dx = - e + C
+" ( ) dx =
+" + C = + C = + C =
-1
1
e
ln(e) - lne
ln
e
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 4/28
3 2
x x
2 2
( ) 3 + 2 -
3x + 2x - 3 dx = 3 x dx + 2 xdx - 3 dx = 3x + C =
+" +" +" +"
3 2
3 2
x + x -
3x + C
PRZYKA
AD 5/28
1
1
x
x
( )
( )
x x x x
1
3 + 2 3 2 1 1
3
2
x x
- -
+ C =
+ x
dx = ( + )dx = [( ) + ( ) ]dx =
+" +" +"
x x x
1 2 ln2
1
6 6 6 2 3
ln( )
ln( )
ln( )
ln( )
3
3
2
2
1
+ C
x
3 ln3
PRZYKA
AD 6/28
2
x
5xdx = 5 xdx = 5 + C
+" +"
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 7/28
3 2
2
2
(x + x + 1)dx =+" +" +" = x + x + x + C
+"
x dx + xdx +
+" +"
+" +"
+" +"
dx
3 2
PRZYKA
AD 8/28
3sinxdx = 3 sinxdx = - 3cosx + C
+" +"
+"
+"
+"
PRZYKA
AD 9/28
dx 1 dx 1
= ln | x | +C
= +"
+"
2x 2 x 2
PRZYKA
AD 10/28
3dx dx
3tgx + C
= 3 =
+" +"
2 2
cos x cos x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 11/28
x - 9 2
1 3
( x - 3)( x + 3)
2 2
3 dx =
dx = x dx +" x -
+" ( x +"
+"
+"
+" - 3)dx =+"
dx =
+"
x + 3 3
x + 3
2
3
2
x
3x + C = 3x + C
3
PRZYKA
AD 12/28
2
1
(4 - 3 x) 16 - 24 x + 9x 1
-32
9 dx =
+"
+"
dx = dx = 16 dx - 24 x dx +
+" +" +"
2 2 2
x
x x x
1
1
2
16 1
16
x
-
2
9ln | x | +C
- 48x +
24 + 9ln | x | +C = - +
x 1
x
2
PRZYKA
AD 13/28
2 3 1 1
( )dx = 2 dx - 3 dx =
-
+" +" +" 2tgx + 3ctgx + C
2 2 2 2
cos x sin x cos x sin x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 14/28
2 2
1
x x +1- 1
dx dx = x
+" +"
dx = dx =+" +" arctgx + C
+" +"
+" +"
+" +"
2
2 2
1+ x
1+ x 1+ x
PRZYKA
AD 15/28
2 2
sin x 1
1- cos x
2
tgx - x + C
dx =
tg xdx = +"
+" dx - +"
dx =
dx = +"
+"
2
2
2
cos x
cos x
cos x
CAA
KOWANIE PRZEZ CZ
ÅšCI
lub
lub
Jeśli u, V są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to:
[ ]
uV'dx = uV - +"
Vu'dx
+" udV = [uV] Vdu
lub +" +"
+" +"
+" +"
+" +"
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 16/28
x sin xdx = u = x
+"
u'= 1
V'= sinx
V = sin xdx = - cos x
+"
+"
+"
+"
(
x sinxdx = - xcosx - +"- cosx)dx = - xcosx + sinx + C
+"
PRZYKA
AD 17/28
x
(2x
+" - 5)e dx = u = 2x - 5 u'= 2
x x x
V'= e V = e dx =e
+"
+"
+"
+"
x
x x x
x x
e (2x - 7) + C
(2x
+" - 5)e dx = 2 e dx = 2e + C =
(2x - 5)e -
(2x - 5)e - +"
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 18/28
1
lnxdx = u = lnx
+" u'=
x
V'= 1
V = 1 dx =x
+"
+"
+"
+"
x
x(lnx - 1) + C
xlnx - dx =
xlnx - x + C =
lnxdx =
+" +"
x
PRZYKA
AD 19/28
3
lnxdx 1
= x lnxdx = u = lnx
u'=
+"
+" +"
+"
+"
3
x x
-2
3
x
-3
V'= x V = x dx =
+"
+"
+"
+"
- 2
2
-2
1
lnxdx 1 1 1 1
1 x 1 x
-2
-2 -2
= - x lnx
- x lnx + dx = - x lnx +
+" +" + C =
( )dx =
+"
+"
+"
+"
3 3
2
x 2 2 x 2
2 - 2
x
2
lnx
1
+ C
- -
2
2
4x
2x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 20/28
u = x - 1 u'= 1
(x
+" - 1)(x - 2)dx =
2
x
V'= (x - 2) V = (x 2)dx = - 2x
+"
+"
+"
+"
2
2 2 2
x x x
(x
+" - 1)(x - 2)dx =
(x - 1)( - 2x) - +" - 2x)dx = (x - 1)( - 2x) -
(
2 2 2
2
3
3 2
x
x
1 x x
2
(x - 1)( - 2x) -
+ x + C
( 2 ) + C =
2
6
2 3 2
2 3 2
PRZYKA
AD 21/28
1
u'=
arctgxdx = u = arctgx
+"
2
1+ x
g = 1 dx =x
g'= 1 +"
x 1 2x 1
2
arctgxdx = xarctgx -+"
+" ( )
xarctgx - xarctgx - ln 1+ x + C
dx = dx =
+"
2 2
1+ x 2 1+ x 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 22/28
2 2
u'= 2x
x cos xdx =
+" u = x
V'= cosx
V = cos xdx = sin x
+"
+"
+"
+"
2 2
g = x
x cos xdx = x sinx - 2 xsinxdx =
+" +"
g'= 1
f'= sinx
f = sin xdx = - cosx
+"
+"
+"
+"
2 2 2
x cos xdx = x sinx - 2( x cos x ( cos x)dx) = x sinx - 2( xcosx +
+"
+" +"
+"
+"
2 2
x sinx - 2( xcos x +
x sinx + 2xcos x 2sinx + C
cos xdx) = sinx) + C =
+"
+"
+"
+"
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
CAA
KOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE (CAA
KOWANIE PRZEZ ZAMIAN

ZMIENNYCH)
Jeżeli dla a d" x d" b, g(x) = u jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz A d" g(x) d" B,
d" d" d" d"
d" d" d" d"
d" d" d" d"
a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale [A, B], to
f(g(x))g'(x)dx = f(u)du
+" +"
+"
+"
+"
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić
u = g(x)
PRZYKA
AD 23/28
2
x dx
du
3 2
2
Ò! Ò!
=
+"
3 u = 8 + x 3x dx = du / : 3
= 3x
8 + x
dx
1
2
x dx = du
3
1 1 1 du 1 1
3
du = = ln | u | +C = ln | 8 + x | +C
+" +"
+"
+"
+"
u 3 3 u 3 3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 24/28
dt
100
(x + 2) dx =
+" Ò!
t = x + 2
= 1
dx
dx = dt
1 1
101 101
100
t + C = (x + 2) + C
dt =
t
+"
101 101
PRZYKA
AD 25/28
Ò!du = 3
u = 3x
sin3xdx =
+"
dx
3dx = du / : 3
1
dx = du
3
1 1 1 1
sinu
+" ( du) = sinudu = - cosu + C = - cos3x + C
+"
+"
+"
+"
3 3 3 3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 26/28
dt
x 1- 2xdx =
+"
t = 1- 2x = 2
Ò!
dx
dt
2dx = dt / : ( 2) Ò! dx =
2
Ò!
t = 1- 2x t 1 = 2x
/ : ( 2)
1 t
= x
2
2
1 t
1 t
1
dt 1 1 3
1
1
2 2
2
2
x 1- 2xdx =
+"
( t dt t dt) =
+" +"
+" ( ) = (1 t)t dt = +" +"
+" +" +"
+" +" +"
+"
+"
t
4
2 2 4
1 1 1 1
3 5
1 2 2
3 5
3 5
2 2
2 2
- t + t + C = - (1- 2x) + (1- 2x) + C
( t t ) + C =
6 10 6 10
4 3 5
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 27/28
dx
dt
=
+" Ò!
t = x - 3
5 = 1
(x - 3)
dx
dx = dt
1
5 4
dx 1
1
-4
- (x - 3) + C
= dt = t dt = t + C =
+" +"
+"
+"
+"
+"
5
5
4
(x - 3) 4
t
CAA
KI OZNACZONE
ZWI
ZEK MI
DZY CAA
K
OZNACZON
A NIEOZNACZON

ZWI
ZEK MI
DZY CAA
K
OZNACZON
A NIEOZNACZON

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale ,
tzn. jeżeli F (x) = f(x) to całka:
b
b
[ ( ) ]
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
f x dx = F x + C =
+"( ) F b + C - F a + C = F b - F a
a
a
-wzór Newtona  Leibniza; liczby a, b są granicami całkowania; - przedział
całkowania
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 28/28
3
3
x
2 3 3 3 3
3
3x dx =
+" [3 + C] = [x + C] = 3 + C - (2 + C) = 19
2 2
2
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI NIEOZNACZONE)
mm-j
d
( ) ( ( ) ) ( )
f x dx = F x + C Ò! F x + C = f x
+"( )
dx
CAA
KI OZNACZONE
ZWI
ZEK MI
DZY CAA
K
OZNACZON
A NIEOZNACZON

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale ,
tzn. jeżeli F (x) = f(x) to całka:
b
b
[ ( ) ]
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
f x dx = F x + C =
+"( ) F b + C - F a + C = F b - F a
a
a
-wzór Newtona  Leibniza; liczby a, b są granicami całkowania; - przedział
całkowania
WA
ASNOÅšCI:
b b
( )
kf x dx = k f x dx
+" +"( )
a a
b b b
(
f x Ä… g x dx = f x dx Ä… g x dx
+"( ) ( )) +"( ) +"( )
a a a
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
b
a
f x dx =
+"( ) - +"( )
f x dx
a
b
a
f x dx = 0
+"( )
a
Dla trzech dowolnych liczb a, b, c (a < c < b) z przedziału ciągłości funkcji
podcałkowej
f(x) zachodzi zwiÄ…zek:
b c b
f x dx = f x dx + f x dx
+"( ) +"( ) +"( )
a a c
PRZYKA
AD 1/15
3
2
8 8
x
2
2
x dx = + C - (0 + C) =
+"
[ + C] =
0
0
3 3
3
PRZYKA
AD 2/15
3
3
x
2 3 3
3
3 3
3x dx =
+" [3 ] = [x + C] =
3 + C - (2 C) = 19
2 2
2
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 3/15
Ä„
Ä„
2
2
[ ]
sinx + C = 1+ C - (0 + C) = 1
cosxdx =
+"
0
0
PRZYKA
AD 4/15
1
4
2 2 3
2
2 / 3
1 x x
3
3 2
x dx + x dx =
+" +"
+"
+"
( x + ) dx = +"
+" [ + + C] =
2
3 1
1 1
1 1
x
4
3
1 3
3 3
= 4 + 3 2 + C - ( + 3 + C) = + 3 2
4 4
PRZYKA
AD 5/15
3
( 1)
3
1
1 2 2 4
x
2
1
( ) =
(1 x )dx = 1 + C ( 1 + C) =
+" [x + C] =
3 3 3
1 3 3
3
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
CAA
KOWANIE PRZEZ CZ
ÅšCI:
Jeśli u(x) i V(X) mają pochodne w przedziale , to:
b b
b
[
UV'dx = UV] - +"
VU'dx
+"
a
a a
PRZYKA
AD 6/15
2
1
f(x) = ln x
xlnxdx =
+" f'(x) =
1
x
2
x
g(x) = xdx =
+"
+"
+"
g'(x) = x +"
2
2
2 2
2
x
1 1
2
2 2
[ lnx]
[f(x)g(x)] f'(x)g(x)dx = x dx =
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
xln xdx =
+"
1
1
1 2 1
1 2 x
2 2 2
2
x 1 x 1 x
4 4 1 1
2 2
[ lnx] xdx = [ lnx - ] =
+" ln2 - + C - ( ln1- ) =
+"
+"
+"
1 1
1
2 2 2 2 2
2 4 2 4
1 3
2ln2 - 1+ C + C = ln4 -
4 4
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 7/15
Ä„
2
( )
x
+" - 5 cos xdx =
0
f(x) = x - 5 f'(x) = 1
g(x) = cos xdx =sinx
+"
+"
+"
+"
g'(x) = cos x
Ä„
Ä„
Ä„
Ä„ Ä„
2
2
2
2 2
( )
sinxdx =
x
+" - 5 cos xdx = [f(x)g(x)] f'(x)g(x)dx = [(x 5) sinx] +"
+"
0 0
0
0 0
Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
2
[( ) ]
( - 5) sin + cos + C ( 5 sin0 + cos0 + C) =
x - 5 sinx + cos x + C =
0
2 2 2
Ä„ Ä„
5 1 = 6
2 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 8/15
e
lnxdx =
+"
1
f(x) = ln x g'(x) = 1
1
g(x) = 1dx =x
+"
+"
+"
f'(x) = +"
x
e e e
1
e e
lnxdx =
+" [f(x)g(x)] f'(x)g(x)dx = [xlnx] xdx =
+" +"
+"
+"
+"
1 1
1 1 1
x
e
elne e + C (1ln1 1+ C) = e e +1= 1
[xlnx x + C] =
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
CAA
KOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE:
Jeśli g (x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale , a f(u) funkcją
ciągłą w przedziale , to zachodzi następujący związek:
b g(b)
f(g(x))g'(x)dx = f(u)du
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
a g(a)
PRZYKA
AD 9/15
5
xdx
=
+"
0
1+ 3x
dt 3 3
t = 1+ 3x = Ò!
Ò! =
3dx = 2tdt
dx 2 1+ 3x 2t
2tdt
dx =
3
2 2
Ò!t = 1+ 3x
/
t = 1+ 3x
2
t - 1
2
Ò! x =
t 1 = 3x
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
Ò!
x = 0 t = 1 = 1
1 1
Ò! t = 16 = 4
x = 5
2
2
2
t 1
2tdt
3
4 4
2 64 1
2 t
2
4
3 3
2
[ 4 + C ( 1+ C)] =
( ) [ t + C] =
= t
=
+" +" - 1 dt =
1
9 3 3
9 3
1 1
t 9
2 63
( 5) = 4
9 3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 10/15
x
1
e
dx =
+"
x
0
2e +1
x
t = 2e +1
dt
x
x
dt = 2e dx
= 2e Ò!
dx
dt
x
e dx =
2
Ò!
x = 0 t = 3
1 1
Ò!
x = 1 t = 2e +1
2 2
dt
x
2e+1 2e+1
1
1
1 dt 1
e
2e+1
[ln(2e +1) + C (ln3 + C)] =
= = [ln | t |] =
+" +"
dx =+"2 +"
+" +"
+" +"
+"
x 3
2
0 3 3
2e + 1 t 2 t 2
1 1
ln(2e +1) ln3
2 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 11/15
1
1 xdx =
+"
3
t = 1 x
dt
= 1
/* ( 1) Ò! dt = dx
dx
dx = dt
x = 3 Ò!
t = 4
1
1
Ò!
x = 1 t = 0
2 2
1
4
0 4
1
2
3
2 4
2
1 xdx =
+" t dt =
t( dt) = t( dt) = +"
+" +" [ t + C] =
+"
+"
+"
0
0
4 0
3
3
2
16
2 3 / 2
(2 ) + C C =
3
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 12/15
Ä„
6
cos3xdx =
+"
0
t = 3x
dt
/* dx
= 3
dx
3dx = dt / : 3
dt
dx =
3
Ä„ Ä„
Ò! x =
x = 0 t = 0 Ò! t =
2 2
1 1
6 2
Ä„
Ä„
Ä„ / 2
6
2
dt 1
1 Ä„
2
cos3xdx = cos t = cos tdt = [sint + C] =
+"
+" +" +"
+"
+"
0
0 0 0
3 3 3
1 Ä„ 1 1
[sin + C (sin0 + C)] = (1 0) =
3 2 3 3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 13/15
3Ä„
x
sin dx =
+"
0
3
1
t = x
3
dt 1
=
dx 3
3dt = dx
3Ä„
x
sin dx =
+" 3 sintdt =
+" 3[cos t + C] =
0
3
x
3Ä„
3[(cos Ä„ + C) (cos0 + C)] = 3( 1 1) = 6
3[cos + C] =
0
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 14/15
2
1
dx =
+"
1
4
(1 2x)
t = 1 2x
dt
= 2 /* dx
dx
1
2dx = dt Ò! dx = dt
2
3
3
2
4
1 1 dt 1
1 t
dx = = t dt =
+" +"
+" +" +"
+" +" + C =
+" +"
4
1
2 t 2
2
4
(1 2x)
3
3 3 3
1 1
2
[(1 2x) + C] = {( 3) + C [( 1) + C]} =
1
6 6
3 3
1 1 1
1 26 13
( 3 ( 1) ) = ( +1) =
=
6
6 27
6 27 81
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKA
AD 15/15
4
xdx
=
+"
0
2x + 1
t 1
Ò!x =
t = 2x +1
2
Ò!t = 1
x = 0
1 1
Ò!t = 9
x = 4
2 2
dt 1
2dx = dt
= 2 Ò! / : 2 dx = dt
dx 2
t 1
1
dt
4
9
9
9
xdx 1
1/ 2
1
1 1 2
1 3 1
2
9
2 2 2
=
+" =
+"2 2
+"
+"
+"
(t 1)t dt =
+" (t t )dt = [( t 2t + C)] =
+"
+"
+"
+"
1/ 2
1
0
2x +1 1
t 1
1
4
4 4 3
3 1
1 2 2 1 2 4 1 4
1 40 10
2 2
2 2
[ (3 ) 2(3 ) + C ( 2 + C)] = ( 27 6 + ) = (18 6 + ) =
=
4 3 3 4 3 3 4 3
4 3 3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_CAA
KI OZNACZONE)
mm-j
d
( ) ( ( ) ) ( )
f x dx = F x + CÒ! F x + C = f x
+"( )
dx
CAA
KI OZNACZONE
b
b
[ ( ) ] ( ) ( ( ) ) ( ) ( )
f x dx = F x + C = F b + C - F a + C = F b - F a
+"( )
a
a
GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA CAA
KI OZNACZONEJ
OBLICZANIE PÓL OBSZARÓW PA
ASKICH
Całka oznaczona z funkcji f(x) w przedziale w interpretacji geometrycznej jest
polem figury S ograniczonej wykresem funkcji f(x), osią odciętych oraz prostymi a i b.
b b
( ( ) )
S = f x - 0 dx = f x dx
+" +"( )
a a
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
PRZYKA
AD 1/6
Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej parabolą y = x2  4x + 3, prostą x = 4 oraz
osiami OX i OY
Miejsca zerowe:
2
x 4x + 3 = 0
Ò!
" = 2
" = 4
x = 1,x = 3
1 2
Wierzchołek:
b "
W = ( , )
2a 4a
W = (2, 1)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Współrzędne punktu przecięcia z OY:
y(0) = 3
A(0,3)
S = S + S + S
1 2 3
3 2
1
1 1
x x
2
2 1
( 2 + 3) = 1 j
S = (x 4x + 3 0)dx = ( 4 + 3x) =
+"
1 0
0 3 3
3 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
3 2
3 3
x x
2 2 3
S = [0 (x 4x + 3)]dx = ( x + 4x 3)dx = ( + 4 3x) =
+" +"
2 1
1 1
3 2
1 4 4 1
2 2
( 9 +18 9) ( + 2 3) = ( ) = j = 1 j
3 3 3 3
3 2
4
x x 64
2 4
S = (x 4x + 3 0)dx = ( 4 + 3x) = ( 32 +12) (9 18 + 9) =
+"
3 3
3
3 2 3
64 1
4 1
2 2
20 = 21 20 =
j = 1 j
3 3
3 3
1
2
S = 3 * 1 = 4j
3
PRZYKA
AD 2/6
Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej parabolą y = x2 +1, prostymi x = -1, x = 1 oraz
OX
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
3
1 1 1
x 1 1
2 2 1
[(x +1) - 0]dx = x dx + 1dx = [ + x + C] = +1+ C - (- - 1+ C) =
+" +" +"
-1
-1 -1 -1
3 3 3
4 4 8
2
+ = j
3 3 3
PRZYKA
AD 3/6
Obliczyć pole figury ograniczonej parabolą y1 = x2  1 i prostą y2 = 2x + 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Miejsca zerowe dla y1 = x2 - 1:
2
x 1 = 0
2
Ò!
Ò!
Ò!
x = 1Ò!x = 1;x = 1
1 2
Wierzchołek:
b "
W = ( , ) (0, 1)
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
1
2a 4a
Współrzędne punktu przecięcia z OY:
y (0) = 1
1
K(0, 1)
Miejsca zerowe dla y2 = 2x + 2:
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
x = 1
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
2x + 2 = 0
3
Współrzędne punktu przecięcia z OY:
y (0) = 2
2
L(0,2)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Współrzędne punktów A i B:
2
Ò!x 1= 2x + 2
Ò!
Ò!
Ò!
y = y
1 2
2
x 2x 3 = 0
" = 4 +12 = 16
" = 4
x = 1;x = 3
1 2
2
y = (x ) 1 = 0 Ò! A( 1,0)
Ò!
Ò!
Ò!
1 1
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
y = 2x + 2 = 8 B(3,8)
2 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Pole obszaru ograniczonego parabolÄ… y1 i prostÄ… y2:
3 3 3
2 2 2
P = [(2x + 2) (x 1)]dx = (2x + 2 x +1)dx = ( x + 2x + 3)dx =
+" +" +"
1 1 1
2
1 x
1 2 2
3 3
2
[ x + 2 + 3x] =
9 + 9 + 9 ( +1 3) = 9 +1 = 10 j
1
3 2
3 3 3
PRZYKA
AD 4/6
Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji y = lnx, prostymi x = e, y = 0
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
e e
lnxdx =
S = (lnx 0)dx = +"
+"
1 1
u(x) = lnx V'(x) = dx
e
1
e
x dx =
= xlnx | +"
1
1
x
1
u'(x) = V = dx = x e e
+"
+"
+"
+"
= (xlnx x) | = x(lnx 1) | =
x 1 1
2
e(lne 1) (ln1 1) = e(1 1) +1= 1j
ZASTOSOWANIE CAA
EK DO OBLICZEC
FIZYKO-CHEMICZNYCH
PRZYKA
AD 5/6
Oblicz ilość ciepła potrzebną do ogrzania masy m gazu od temperatury t1 do t2. Ciepło
właściwe C = C0 + at + bt2
dQ dQ
2
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
/* dt
= Cm = m(C + at +bt )
0
dt dt
2
dQ = m(C + at +bt )dt /*
+"
+"
+"
+"
0
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
2
dQ = m(C + at +bt )dt
+" +"
0
t2 t2 t2 t2
2 2
Q = m(C + at +bt )dt = m( C dt + a tdt +b t dt)
+" +" +" +"
0 0
t1 t1 t1 t1
2 3
t t
t2
Q = m(C t + a +b + C)
0 t1
2 3
J
a b
a b
2 3
2 3
Q = m[(C t + t + t + C) C] =
m(C t + t + t
0 2
0 2
mol K
2 3
2 3
PRZYKA
AD 6/6
Oblicz zmianÄ™ entropii "S. i entalpii "H podczas ogrzewania m = 200 g pewnego
" "
" "
" "
związku o masie molowej M = 72 g/mol od T1 = 273 K do T2 = 523 K, jeśli:
J
3 2
C = 46,02 * 10 +14,3T 0,11T
p
mol K
T2 T2
dT
"S = n C "H = n C dT
+" +"
p p
T1 T1
T
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Dane: Szukane:
m = 200 g
T2
dT
T1 = 273 K
"S = n C
+"
p
T1
T
T2 = 523 K
T2
M = 72 g/mol
"H = n C dT
+"
p
T1
J
3 2
C = 46,02 * 10 +14,3T 0,11T
p
mol K
g
m 200
[ = mol] Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
n = 2,8mola
n = = = 2,8
g
M 72
mol
mol
T2
dT
"S = n C
+"
p
T1
T
523
523
dT
dT
3 2
3
"S = 2,8 (46,02 * 10 +14,3T 0,11T ) =
+" 2,8[46,02 * 10 +
+"
273
T 273
T
2
523 523
dT dT
T
2
3 523
14,3 T 0,11 T ] =
+" +"
2,8[46,02 * 10 ln | T | +14,3T 0,11 ] =
273
273 273
T T
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
1
3
3 2
(46,02 * 10 ln273 +
= 2,8[46,02 * 10 ln523 + 14,3 * 523 0,11* 523
2
1
2
3
14,3 * 273 0,11* 273 )] = 14,3(523 273)
2,8[46,02 * 10 (ln523 ln273) +
2
1 523
3
2 2 3
0,11* 99,5 * 10 ) =
0,11 (523 273 )] =2,8(46,02 * 10 ln +14,3 * 250
2 273
3 3 3 3
2,8(29,92 * 10 + 3,57 * 10 10,94 * 10 ) = 63,14 * 10
J J
["S] = [mol ] = [ ]
mol K K
J kJ
3
"S = 63,14 * 10 = 63,14
K K
T2
"H = n C dT
+"
p
T1
523
523
3
3 2
2,8(46,02 * 10 dT +
"H = 2,8 (46,02 * 10 +14,3T 0,11T )dT = +"
+"
273
273
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
2 3
523 523
T T
2
3 523
14,3 TdT 0,11 T dT) =
+" +"
2,8[46,02 * 10 T +14,3 0,11 ] =
273
273 273
2 3
1 1
3 2 2 3 3
2,8[46,02 * 10 (523 273) +14,3 (523 273 ) 0,11 (523 273 )] =
2 3
6 6 6
6
2,8(11,5 * 10 +1,42 * 10 4,50 * 10 ) =
23,58 * 10
J
["H] = [mol K] = [J]
mol K
6 3
"H = 23,58 * 10 J = 23,58 * 10 kJ
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAA
KOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
DEFINICJA 1
Jeśli w danym równaniu występuje pochodna pierwszego rzędu niewiadomej funkcji,
a nie występują pochodne wyższych rzędów tej funkcji, to takie równanie nazywamy
równaniem różniczkowym pierwszego rzędu y =f(x,y), gdzie f(x,y) jest pewną
funkcją dwóch zmiennych, a litera y oznacza funkcję niewiadomą.
DEFINICJA 2
Jeśli w danym równaniu występuje pochodna drugiego rzędu funkcji niewiadomej,
a nie występują pochodne wyższych rzędów, to takie równanie nazywamy
równaniem różniczkowym drugiego rzędu y  =f(x,y,y ), gdzie f(x,y,y ) jest
pewnÄ… funkcjÄ… trzech zmiennych, a litera y oznacza funkcjÄ™ niewiadomÄ….
DEFINICJA 3
Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym występują
pochodne lub różniczki funkcji niewiadomej jednej zmiennej niezależnej.
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Rzędem równania różniczkowego nazywamy liczbę równą rzędowi najwyższej
pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu.
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu:
dy
Ò! = 2xy
y'= 2xy
dx
dy
4y = x + y Ò!
4yy'= x + y
dx
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu:
2
d y
Ò!
y''+y = sinx + y = sinx
2
dx
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych trzeciego rzędu:
3 2
d y d y
Ò!
yy'''-2y''= x y - 2 = x
3 2
dx dx
Wykres funkcji będącej rozwiązaniem równania różniczkowego równania
różniczkowego zwyczajnego nazywa się krzywą całkową równania
różniczkowego.
różniczkowego.
Aby rozwiązać równanie różniczkowe y = 2x należy znalez
ć wszystkie funkcje
różniczkowalne, które to równanie spełniają (o pochodnej równej 2x).
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego F(x, y, y , , yn) = 0 w
przedziale I nazywamy każde rozwiązanie, które można otrzymać z rozwiązania
ogólnego danego równania przez odpowiedni wybór stałej dowolnej.
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego n  tego rzędu nazywamy
rozwiązanie zawierające n stałych dowolnych istotnych.
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
f(x)
y'=
g(y)
R. r I-go rzędu o zmiennych rozdzielonych
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 1/10
2
3
y'= x y
dy
2 2 2
3 3 3
= x y Ò! dy = x y dx / : y
/* dx
dx
dy
/*
= xdx +"
+"
+"
+"
2
3
y
-23
y dy = xdx
+" +"
1
1
3
3
y
y
dy = xdx
1
3
2
x
1
rozwiązanie równania wyrażone w sposób uwikłany, rozwiązanie
3
3y = + C
1
ogólne
2
2
1
x2 C1
x
1
3
3
Ò!
y = +
/ : 3
3y = + C
1
6 3
2
2
x
rozwiązanie równania wyrażone w sposób jawny (C = C1/3),
3
y = ( + C)
rozwiązanie ogólne
6
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 2/10
y
y'= przechodzÄ…cÄ… przez punkt (3,2)
Znalez
ć krzywą całkową równania:
x
y
dy y
/ : y
dy = dx
/* dx
= Ò!
x
dx x
dy dx
/*
+"
+"
+"
+"
=
y x
dy dx
Ò!ln | y |= ln | x | +C
=
+" +"
y x
lub
lub
lub
gdzie C = lnD
ln | y |=ln | x | +lnD
Ò! lub
ln | y |= ln | xD |
y = xD y = -xD
2 = 3D (D = 2/3) lub 2 = - 3D (D = -2/3)
2 2
y = x,y = x
Krzywa całkowa przechodząca przez punkt (3,2) ma równanie:
3 3
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 3/10
dm = -kmdt - równanie różniczkowe charakteryzujące rozpad pierwiastka
promieniotwórczego w czasie (m  masa, t  czas, k  dodatni współczynnik
proporcjonalności charakteryzujący zdolność promieniotwórczą danego pierwiastka)
dm = -kmdt / : m
dm dm
/*
= kdt +"Ò!
+" = kdt
+" +" +"
+" +" +"
+" +"
+" +"
m m
dm
= -k dt Ò! lnm = kt + C
+" +"
1
m
gdzie lnC = C1
lnm = -kt +lnC
-kt+lnC -kt lnC
lnC loge C
e = e = C
log m = kt +lnC
Ò!m = e Ò!m = e e
e
-kt
- rozwiązanie ogólne
m = Ce
-kt
w chwili t = 0 Ò! Ò! m = m e
m0 = C
0
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 4/10
dc
2
= -kc /* dt
dt
2
2
/ : c
dc = kc dt
dc
dc
= -kdt
/* = kdt
+"Ò!+" +"
2
2
c
c
-2
c dc = -k dt
+" +"
1
- = - kt + C
1
c
1
w chwili t = 0 Ò! - =
C
1
c
0
1 1 1 1
zatem - = - kt /* ( 1) Ò! = kt +
c C c c
0 0
1 1 c - c
0 0
Ò! Ò!C C = ktC C / : tC C Ò!k = 1c - c
- = kt =
kt
/* C C
0 0 0 0
c c c c t c c
0 0 0
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 5/10
Całką ogólną równania różniczkowego x + yy = 0 jest całka x2 + y2 = C. Znalez
ć
całkę szczególną równania, które spełnia warunek y(-3) = 4 (warunek, aby krzywa
całkowa równania x + yy = 0 przechodziła przez pkt. A(-3, 4)).
2 2
x + y = C
x = 3;y = 4
2 2
( 3) + 4 = C
9 +16 = C
x2 + y2 = 25 - całka szczególna
Warunek, aby krzywa całkowa tego równania przechodząca przez pkt. A(-3, 4),
nazywamy warunkiem poczÄ…tkowym.
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 6/10
Całka ogólna równania Vdu  tgudV = 0 ma postać V = csinu. Znalez
ć całkę
szczególną wiedząc, że:
Ä„ 1 1 Ä„
Ò! Ò!
V( ) = Ò!V =
Ò! Ò!u = warunek poczÄ…tkowy
Ò! Ò!
Ò!
6 2 2 6
1 Ä„
Ò!
V = c sinu
= c sin
2 6
1 1
= c c = 1
/* 2 Ò!
2 2
Całka szczególna równania Vdu  tgudV = 0 ma postać V = - sinu
PRZYKA
AD 7/10
Znalez
ć całkę szczególną równania y e-x = x  1 dla warunku początkowego:
y(1) = eÒ!x = 1Ò!y = e
Ò! Ò!
Ò! Ò!
Ò! Ò!
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
x x
dy
/* dx
y'e = x 1Ò! e = x 1
Ò!
Ò!
Ò!
dx
(x 1)dx
x
x
/ : e
dye = (x 1)dx Ò!dy =
Ò!
Ò!
Ò!
x
e
x x
dy = (x 1)e dx Ò!dy = (x 1)e dx
Ò!
Ò!
Ò!
/* +" +"
+"
u'= 1
u = x 1
x x x x x
(x 1)e dx = = (x 1)e e dx = (x 1)e e + C =
+" +"
x x
V'= e V = e dx
+"
x
e (x 2) + C
x x
dy = (x 1)e dx Ò!y = e (x 2) + C
Ò!
Ò!
+" +" Ò!
Ò!
y(1) = eÒ! e = e + C
Ò!
Ò!
x
C = 0
e + e = C Ò! Ò!y = e (x 2)
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 8/10
Wykazać, że funkcja y = e 5x jest całką równania y  + 5y = 0
5 x
5 x 5 x
5e
e ( 5x)'= e ( 5) =
y'=
5 x 5 x 5 x 5 x
y''= ( 5e )'= 5(e )'= 5( 5e ) = 25e
5 x 5 x
25e + 5( 5e ) = 0
Funkcja y = e 5x jest całką równania y  + 5y = 0
PRZYKA
AD 9/10
dp
Dane jest równanie:
V +kp = 0
dV
Wyznacz równanie adiabaty (związek między p a V).
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dp
dpV = kpdV
V = kp Ò! / : p
Ò!
Ò!
Ò!
/* dV
dV
dpV
= kdV/ : V
p
dp dV dp dV
/*
= k +"Ò! = k
+"Ò!
+"Ò!
+"Ò!
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
p V p V
dp dV
= k
+" +"
p V
ln | p |= kln | V | +C
1
ln | p |= kln | V | +lnC
gdzie C1 = lnC
k
Ò!ln | p | +ln | V | = lnC
Ò!
Ò!
Ò!
ln | p | +kln | V |= lnC
k k
Ò!pV = C - równanie adiabaty
lnpV = lnC
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 10/10
Szybkość chłodzenia ciała w pewnych warunkach jest wprost proporcjonalne do
różnicy temperatur T  T0 (T  temperatura ciała, T0  temperatura otoczenia).
Wyznaczyć przebieg zmian temperatury T jako funkcji czasu t, jeżeli współczynnik
proporcjonalności k jest stały w czasie.
Szybkość zmiany temperatury:
dT
= k(T T ) Ò!dT = k(T T )dt / : (T T )
Ò!
Ò!
Ò!
/* dt
0 0 0
dt
dT
= kdt
/*
+"
+"
+"
+"
T T
0
dT dT
= kdt Ò! = k dt
Ò!
Ò! +"
+" +" Ò!+"
T T T T
0 0
m = T T
0
dT
dm
=
+"
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
/* dT dm = dT
= 1
T T
dT
0
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dm
ln | T T |
= ln | m |Ò!
Ò!
+" Ò!
+" Ò!
+"
+"
0
m
ln | T T |= kt + C
0
log | T T |= kt + C
e 0
kt+C
T T = e
0
kt+C
T = T + e
0
kt C
T = T + e e
0
kt
gdzie eC = C1
T = T + C e
0 1
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE
y y
f jest funkcją ciągłą, zależną od stosunku:
y'= f( )
u =
x
x
Równanie różniczkowe jednorodne rozwiązuje się przez podstawienie:
y
= u
/* x
x
y = xu
dy d d
= xu + x u
dx dx dx
dy d
= u + x u
dx dx
PRZYKA
AD 1/6
dy y
= 2 +
dx x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
y
= u
/* x
x
y = xu
dy d d
= xu + x u
dx dx dx
dy d
= u + x u
dx dx
du xu
dy y
Ò!u + x = 2 +
Ò!
Ò!
Ò!
= 2 +
dx x
dx x
du
u + x = 2 +u
dx
du
/* dx
x = 2
dx
xdu = 2dx / : x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
2
du = dx
/*
+"
+"
+"
+"
x
1
du = 2 dx
+" +"
x
u =
2lnx + C
y y
( )
u = Ò! = 2lnx + C /* x Ò!
Ò!
Ò! y = x 2lnx + C
Ò!
x x
PRZYKA
AD 2/6
y
x
Znalez
ć całkę szczególną:
xy'= y + x e
1
warunek poczÄ…tkowy: Ò!x = 1,y = 0
Ò!
Ò!
Ò!
y( ) = 0
e e
y
x
xy'= y + x e
/ : x
y y
y y dy y
y
x
x x
y'= + e Ò!y'= + e Ò! = + e
x x dx x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
y
= u Ò!
y = xu
/* x
x
dy d d
= xu + x u
dx dx dx
dy d
= u + x u
dx dx
y
dy y
u
x
Ò!u + x du = u + e
Ò!
Ò!
Ò!
= + e
dx x dx
du
u
x = e
/* dx
dx
u u
xdu = e dx / : e
xdu
/ : x
= dx
u
e
du dx
/*
= +"
+"
+"
+"
u
e x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
u
dx
e du =
+" +"
x
u = t * /( 1)
u = t
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
u
e du =
+"
du
= 1 /* (dt)
Ò!du = dt
Ò!
Ò!
Ò!
dt
u
u
t
t
t
e
+"
e du = ( dt) = e dt =
+" +" e + C = e + C
u
dx
e du =
+" +"
x
u
e = ln | x | +lnC gdzie lnC = C1
y
y
x
Ò!
= u e = ln | x | +ln | C |
x
y
x
e = ln | Cx |
1
1
0
Ò! e = ln | C |
y( ) = 0
e
e
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
C
1
Ò!log e = log C
Ò!
Ò!
Ò!
1 = ln
e e
e
e
1 C
= Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
C = 1
e e
y
y
x
x
e = ln | Cx | Ò! e = ln | x |
PRZYKA
AD 3/6
Znalez
ć całkę ogólną równania:
xy'= 5y + x
/ : x
y dy
y'= 5 +1 Ò! = 5u +1
x dx
y
= u Ò!
y = xu
/* x
x
dy d d
= xu + x u
dx dx dx
dy d
= u + x u
dx dx
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dy
= 5u +1
dx
du
u + x = 5u + 1
dx
du
/* dx
x = 4u +1
dx
xdu = (4u +1)dx / : x
4u +1
du = dx
/ : (4u +1)
x
du 1
/*
= dx +"
+"
+"
+"
(4u + 1) x
4
1 du 1
= dx
+" +"
4 4u +1 x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
1
gdzie ln | C |= C
ln | x | +ln | C |
ln | 4u +1|=
1
4
1
ln | x | +ln | C |
ln | 4u +1|= /* 4
4
4ln | x | +4lnC
ln | 4u +1|=
4 4
ln | 4u +1|=
ln | x | +lnC
gdzie
4
ln | 4u + 1|= ln | xC |
gdzie
gdzie
4
gdzie D = C4
ln | 4u + 1|= ln | Dx |
4
4u +1 = Dx
y y
4
u = Ò!4 +1 = Dx
Ò!
Ò!
Ò!
x x
y
4
4 = Dx 1/* x
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
4
4y = x(Dx 1)/ : 4
1
4
y = x(Dx 1)
4
RÓWNIANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE
( ) ( )
y'+p x y = f x
PRZYKA
AD 4/6
dy
dy
cos x - y sin x = cos x
dx
dy
równanie uproszczone
cos x - y sin x = 0
dx
dy
/* dx
cosx = ysinx
dx
dycosx = ysinxdx
/ : y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dy
cos x = sinxdx
/ : cosx
y
dy sinx
/*
+"
+"
+"
+"
= dx
y cos x
dy sinxdx
= tgx = ln | cos x | + C
+" +" +"




y cos x
ln y = - lncosx + C
1
ln | y |= ln | cosx | +lnC
C
ln | y |= ln | |
cosx
C
y =
cosx
( )
C x
uzmiennienie stałej:
y =
cos x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
( ) ( )
C' x cos x + C x sinx
y'=
2
cos x
dy
cos x - y sin x = cos x
Ò!y'cos x ysinx = cos x
Ò!
Ò!
Ò!
dx
C(x)
C'(x)cos x + C(x)sinx
cos x - sinx = cos x
2
cosx
cos x
C(x)sinx C(x)sinx
C'(x)cos x
cos x
=
+
cosx cos x
cos x
( )
C' x = cos x
( )
C x = cos xdx
+"
( )
C x = sin x + C
( )
C x
Ò!y = sinx + C = tgx + C
Ò!
Ò!
Ò!
y =
cos x cosx cosx
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 5/6
y
Znalez
ć krzywą całkową równania przechodzącą przez punkt: A(1, 1).
y'+ = x
x
y dy y
y'+ = xÒ! + = x
Ò!
Ò!
Ò!
x dx x
dy y
równanie uproszczone
+ = 0
dx x
dy y
/* dx
=
dx x
y
dy = dx
/ : y
x
dy 1
/*
+"
= dx +"
+"
+"
y x
dy 1
= dx
+" +"
y x
ln | y |= ln | x | +lnC
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
1
ln | y |= lnx +lnC
1
lny = lnCx
1
y = Cx
CÒ! C(x)
Ò! uzmiennienie staÅ‚ej
Ò!y =
Ò!
y =
x x
C'(x)x C(x)
C'(x)x C(x)x'
=
y'=
2
2
x
x
x
x
1
y'+y = x
x
C'(x)x C(x)
C(x) 1
+
2 = x
x
x x
C'(x) C(x) C(x)
+ = x
2 2
x x x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
C'(x)
2
Ò!
= x /* xÒ!
Ò!
Ò!
C'(x) = x
x
dC(x)
2
/* dx
= x
dx
2
dC(x) = x dx
+" +"
3
x
C(x) = +D
3
3
x
x
+D
+D 3
x D
C(x)
3
rozwiązanie ogólne równania
Ò! = +
Ò!
Ò!
Ò!
y =
x 3x x
x
dla A(1,1)
3
1 2
Ò!
1 = +DÒ!D =
Ò!
Ò!
3 3
3
y x + 2
Krzywa całkowa równania ma postać:
y'+ = x y =
x 3x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKA
AD 6/6
1
Znalez
ć krzywą całkową równania y' y = lnx przechodzącą przez punkt: A(1, 1).
x
1
Ò!
Ò!dy 1 y = lnx
Ò!
y' y = lnxÒ!
x
dx x
dy y
równanie uproszczone
= 0
dx x
dy y
/* dx
=
dx x
y
/ : y
dy = dx
x
dy dx
/*
+"
+"
+"
+"
=
y x
dy dx
=
+" +"
y x
ln | y |= ln | x | +lnC
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
ln | y |= ln | Cx |
y = Cx
Ò! uzmiennienie staÅ‚ej
Ò!
Ò!
Ò!
y = C(x)x
dy
C'(x)x + C(x)x'
y'= =
dx
dy 1
y = lnx
dx x
1
C'(x)x + C(x)x' C(x)x
= lnx
x
x
1
C'(x)x + C(x) C(x)x = lnx
x
C'(x)x = lnx
/ : x
lnx
C'(x) =
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
lnx
C(x) = dx
+"
x
t = lnx
lnx
dx =
+"
dt 1
x
dx = xdt
= Ò! / : x
Ò!
Ò!
Ò!
dx x
1
dx = dt
x
2
t
+D
dt =
t
+"
2
1
2
tdt = (lnx) +D
+"
2
lnx 1
2
Ò!
Ò!
Ò!
C(x) = dxÒ!C(x) = (lnx) +D
+"
x 2
1
2
Ò!
Ò!
Ò!
y = C(x)xÒ!y = [ (lnx) +D]x rozwiÄ…zanie ogólne równania
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dla A(1,1)
1
2
Ò!
Ò!1 = D
Ò!
1= [ (ln1) +D]Ò!
2
1
2 2 2
Ò!y = [1(lnx) +1]x = 1x(lnx) + x
Ò!
Ò!
Ò!
y = [ (lnx) +D]x
2 2 2
1 1
2
Krzywa całkowa równania y' y = lnx ma postać: y = x(lnx) + x
x 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE
( ) ( )
y'+p x y = f x
PRZYKA
AD 1/11
x2
y'+2xy = xe
x2
dy
+ 2xy = xe
dx
dy
+ 2xy = 0 równanie uproszczone
dx
dy
= 2xy/* dx
dx
dy = 2xydx
/ : y
dy
= 2xdx /*
+"
+"
+"
+"
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
dy
= 2 xdx
+" +"
y
2
x
2
log | y |= x + C
Ò!
ln | y |= 2 + C
e
2
x2+C x2 x2
C
y = e y = e e y = Ce
Ò! Ò!
x2
y = C(x)e
uzmiennienie stałej
dy x2 x2
y'= = ( 2x)
C'(x)e + C(x)e
dx
x2
dy
x2 x2 x2
x2
Ò!C'(x)e + C(x)e ( 2x) + 2x C(x)e = xe
+ 2xy = xe
dx
x2
x2 x2
/ : e
Ò!
C'(x)e = xe
C'(x) = x
dC(x)
= x Ò! dC(x) = xdx /*
+"
+"
+"
+"
/* dx
dx
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
dC(x) = xdx
+" +"
2
x
C(x) = +D
2
2
x2
x2
x
y = C(x)e
Ò! rozwiÄ…zanie ogólne
Ò!
Ò!
Ò!
y = ( +D)e
2
PRZYKA
AD 2/11
1
y' tgxy =
cos x
dy 1
tgxy =
dx cos x
dy
tgxy = 0 równanie uproszczone
dx
dy
= tgxy
/* dx
dx
dy = tgxydx / : y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
dy
= tgxdx /*
+"
+"
+"
+"
y
dy
= tgxdx
+" +"
y
gdzie
ln | y |= ln | cos x | +C
0
log | y |= ln | cos x | +C
e 0
gdzie
gdzie
ln|cos x|+C ln|cos x|
C0
y = e y = e e
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
1
C
ln|cos x|
y = e C C = e
gdzie
1
1 1
ln|cos x|
y = C gdziecosx = e
cos x
C
C(x)
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
y =
y = uzmiennienie stałej
cosx
cosx
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
C'(x)cosx C(x)( sinx)
dy
y'= =
2
dx cos x
C'(x)cosx C(x)( sinx)
dy 1 C(x) 1
tgxy = Ò! =
Ò!
Ò!
Ò!
tgx
2
cosx cosx
dx cos x
cos x
C'(x) C(x)sinx sinx
C(x) 1
+
=
2
cos x cos x cosx
cosx cosx
C'(x) 1
/* cosx
=
cosx cosx
C'(x) = 1
dC(x)
/* dx
= 1
dx
dC(x) = dx /*
+"
+"
+"
+"
dC(x) = dx
+" +"
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
C(x) = x +D
C(x) x +D x D
y = Ò! = + rozwiÄ…zanie ogólne
Ò!
Ò!
Ò!
cosx cosx cosx cosx
PRZYKA
AD 3/11
Znalez
ć całkę ogólną równania: xy'lnx = 5x y
dy
x lnx = 5x y
/ : x
dx
dy y
lnx = 5
/ :lnx
dx x
y
5
dy x dy 5 y
=
= Ò!
dx lnx dx lnx xlnx
dy y 5
+ =
dx xlnx lnx
dy y
+ = 0 równanie uproszczone
dx xlnx
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
dy y
=
/* dx
dx xlnx
ydx
/ : y
dy =
xlnx
dy dx
/*
= +"
+"
+"
+"
y xlnx
dy dx
=
+" +"
y xlnx
lnx = t
dx 1
= Ò!
+" +" Ò!
+" Ò!
+" Ò!
+"
dt = ln | t | +C ln | lnx | +C
1 dt
xlnx
= Ò!
= Ò!dx = xdt / : x t
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
x dx
x dx
dx
= dt
x
dy dx
=
+" +"
y xlnx
ln | y |= ln | lnx | +C
0
1
0
log y = ln | lnx | +C
e
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
1 1
ln|ln x| +C ln|ln x | C0
y = e y = e e
Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
1
1 1
ln|ln x | C0
y =| lnx | C lnx = e
gdzie
orazC = e
C
C(x)
y =
Ò!y =
Ò!
Ò! uzmiennienie staÅ‚ej
Ò!
lnx
lnx
1
C'(x)lnx C(x)
dy
x
y'= =
2
dx
(lnx)
xy'lnx = 5x y
1
1
C'(x)lnx C(x)
C'(x)lnx C(x)
x C(x)
gdzie
x
5x
lnx =
2
(lnx)
lnx
1
C'(x)lnx C(x)
x C(x)
oraz
5x
x + =
lnx lnx
C'(x)lnx C(x) C(x)
x + = 5x
lnx xlnx lnx
xC'(x) = 5x
/ : x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
C'(x) = 5
dC(x)
/* dx
= 5
dx
dC(x) = 5dx
/*
+"
+"
+"
+"
dC(x) = 5 dx
+" +"
C(x) = 5x +D
C(x)Ò!5x +D
Ò!
Ò!
Ò!
y =
lnx lnx
PRZYKA
AD 4/11
dy
2
Znalez
ć całkę szczególną równania: x y = x sinx
dx
Ä„
warunek poczÄ…tkowy: y( ) = Ä„
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
dy
2
x y = x sinx
/ : x
dx
dy y
= x sinx
dx x
dy y
równanie uproszczone
= 0
dx x
dy y
/* dx
=
dx x
y
dy = dx
/ : y
x
dy dx
=
/*
+"
+"
+"
+"
y x
dy dx
=
+" +"
y x
ln | y |= ln | x | +C
0
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
log y = log x + C
e e 0
loge x+C0
y = e
loge x C0
y = e e
loge x C0
x = e C = e
y = Cx gdzie
oraz
uzmiennienie stałej
y = C(x)x
dy
y'= =
C'(x)x + C(x)x'
dx
dy
= C'(x)x + C(x)
dx
dy y
= x sinx
dx x
1
C'(x)x + C(x)
C(x)x = x sinx
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
/ : x
C'(x)x = x sinx
dC(x)
Ò!
C'(x) = sinx /* dx
= sinx
dx
dC(x) = sin xdx
/*
+"
+"
+"
+"
dC(x) = sinxdx
+" +"
C(x) = cos x +D
Ò!y = ( cosx +D)x
Ò!
Ò!
Ò!
y = C(x)x
Ä„ Ä„
Ò!
Ò!
Ò!
y( ) = Ä„Ò!x = ,y = Ä„
2 2
Ä„ Ä„
Ä„ = ( cos +D)
2 2
Ä„
Ä„ = (0 +D)
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
Ä„
Ä„ = D Ò! D = 2
2
y = ( cos x +D)xÒ!y = ( cos x + 2)x caÅ‚ka szczególna
Ò!
Ò!
Ò!
PODSUMOWANIE
PRZYKA
AD 5/11
logx
Oblicz:
= 1
( )
log x + 1
Dziedzina funkcji:
x > 0 ( )
Ò!
log x +1 `"0
x +1> 0 x > 1
0
( )
log x +1 `"log10
x "(0,")
Ò!x `"0
x + 1 `"1
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
logx
= 1 /* log(x +1)
( )
log x + 1
( )
logx = log x +1
1
( )
logx = log x +1
1
Ò!
( )
x = x x +1 = 1
x +1
2
,
x + x 1= 0
" = 5, " = 5
1 5
1+ 5
" Df
"
"
"
x = x =
1 2
2 2
rozwiązanie równania (x1"Df)
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
PRZYKA
AD 6/11
Oblicz:
x2+4 x
3 = 81
x2 +4 4 x
3 = 3
2
x + 4 = 4x
2
x 4x + 4 = 0
" = 0
4
x = = 2
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
PRZYKA
AD 7/11
Wyznacz y (x):
1 1
( )
y x = ln(1 ) +
x x
1 1 1
y'(x) = (
2
1)(1 x)'+( x )
1
x
1 1 1
1 x
( )
y' x = ( ) =
( 1)
2 2
2
x x
x
x 1
x 1
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
PRZYKA
AD 8/11
x
y = x
Wyznacz y korzystajÄ…c z metody pochodnej logarytmicznej
x
y = x
1
x
/* ln
y = x
1
x
ln y = lnx
1
ln y = lnx
x
1 1
(lny)'= ( )'lnx + (lnx)'
x x
y' 1 1 1
= lnx +
2
y x x x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
y' 1
= ( lnx +1)
/* y
2
y x
1
1
x
y'= y[ ( lnx +1)]
Ò! y'= x[ ( lnx + 1)]
Ò!
Ò!
Ò!
2
2
x
x
x
x
y'= ( lnx + 1)
2
x
PRZYKA
AD 9/11
2
( )
Wyznacz różniczkę zupełną du(x,y): u x, y = x sin4y
" " "
u
2 2
u' = = x sin4y + x sin4y y  const.
x
" " "
x x x
"
u
= 2x sin4y
"
x
" "
"
u
2 2
x sin4y + x sin4y
u' = =
x  const.
y
" "
y y
"
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
"
u
2 2
= x cos 4y * 4 = 4x cos 4y
"
y
du(x,y) = u' dx + u' dy
x y
2
du(x,y) = 2x sin4y dx + dy
4x cos 4y
( )
2x sin4ydx + 2xcos4ydy
du(x,y) =
1 5 sinx = t
PRZYKA
AD 10/11
dt
5cos x =
dt
/* dx
Oblicz
dx
1 5 sinx cosxdx = = t
+" +"
( ) =
5
5cos xdx = dt
/ : ( 5)
dt
cos xdx =
5
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
3
2
1 1 t 2 2
1 3 3
2 2 2
t dt = + C = t + C = (1 5 sinx) + C =
+"
+"
+"
+"
3
5 5 15 15
2
2 2
3
(1 5 sinx) + C = (1 5 sinx) 1 5 sinx + C
15 15
PRZYKA
AD 11/11
dS C
Rozwiązać równanie różniczkowe
=
dT T
C = 4000 + 5T
T = 200 T = 300
1 2
dS C
=
/* dt
dT T
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
C
dS = dT
/*
+"
+"
+"
+"
T
T2
C
dS = dT
+" +"
T1
T
T2
(4000 + 5T)
dS = dT
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
T1
T
T2
4000 + 5T
S = dT
+"
T1
T
T2
4000
S = ( + 5)dT
+"
T1
T
T2 T2
dT
S = 4000 + 5 dT
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
T1 T1
T
300
S = (4000lnT + 5T + C) | =
4000ln300 + 5 * 300 + C
200
4000ln200 +1000 =
4000ln300 + 1500
(4000ln200 + 5 " 200 + C) =
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
3
2500 =
4000(ln300 ln200) + 4000ln + 2500
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j