Spis treści
1 Aksjomaty geometrii 3
1.1 Aksjomaty Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aksjomaty Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Geometria metryczna 6
2.1 Przestrzenie metryczne i izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Pojęcia metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Geometria euklidesowa 10
3.1 Geodezyjne w przestrzeni euklidesowej . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Wzory trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Izometrie przestrzeni euklidesowej . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Pole trójkąta i długość krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Geometria sferyczna 14
4.1 Odległość sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Trygonometria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Izometrie sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Pole trójkąta sferycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Geometria konforemna 18
5.1 Inwersje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Dyfeomorfizmy konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Geometria hiperboliczna 21
6.1 Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2 Czasoprzestrzeń i przestrzeń hiperboliczna . . . . . . . . . . . 22
6.3 Odległość hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.4 Trygonometria hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.5 Model w kuli i na półprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
6.6 Brzeg idealny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.7 Izometrie hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.8 Pole hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.9 Podzbiory przestrzeni hiperbolicznej . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Geometria w niskich wymiarach 35
7.1 Rozmaitości topologiczne i różniczkowe . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Grupy i ich działania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3 Struktury geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4 Uniformizacja w wymiarze 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.5 Geometryzacja w wymiarze 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
Rozdział 1
Aksjomaty geometrii
1.1 Aksjomaty Euklidesa
Euklides sformułował w dziele Elementy następujące aksjomaty geometrii
płaskiej:
1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, otrzymując pro-
stą.
3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego
punktów końcowych i promieniu równym jego długości.
4. Wszystkie kąty proste są przystające.
5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą roz-
łączną z daną prostą.
1.2 Aksjomaty Hilberta
David Hilbert podał układ aksjomatów dla geometrii bez względu na wymiar.
Ograniczenie się do przypadku dwuwymiarowego daje nieco prostszy, bardziej
intuicyjny i bliższy euklidesowemy pierwowzorowi układ pewników.
Pojęciami pierwotnymi są:
" płaszczyzna P,
" proste  podbiory płaszczyzny P; ich zbiór oznaczymy przez L,
" odległość geometryczna  funkcja d : P � P R *" {0}.
3
Aksjomatami Hilberta geometrii dwuwymiarowej są:
Aksjomaty incydencji
(I1) Dla dowolnych różnych punktów A, B " P istnieje dokładnie
jedna prosta l " L taka, że A, B " l.
Oznaczamy ją przez (AB)
(I2) Każda prosta ma co najmniej dwa punkty.
(I3) Istnieją trzy punkty nie należące do jednej prostej.
Takie punkty nazywamy niewspółliniowymi.
Aksjomaty uporządkowania
(O1) Na każdej prostej istnieją dwa wzajemnie odwrotne relacje
liniowego porządku.
Jeżeli jedną z nich oznaczymy przez z" (a przez X Y rozumiemy X z"
Y lub X = Y ), to odcinkiem [AB] nazywamy zbiór {X " (AB) ; A
X B}, a półprostą AB zbiór {X " (AB) ; A X B}, gdy
A z" B
(O2) (aksjomat Pascha) Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe,
a l " L, to jeżeli l )" [AB] = ", to l )" [AC] = " lub l )" [BC] = ".

Aksjomaty odległości
(D1) Dla dowolnych A, B " P: d(B, A) = d(A, B)
(D2) Dla dowolnych A, B " P: d(A, B) = 0 wtedy i tylko wtedy,
gdy A = B.
(D3) C " [AB] wtedy i tylko wtedy, gdy d(A, B) = d(A, C) +
d(C, B).
Aksjomaty symetrii
(S1) Dla dowolnej prostej l " L istnieje dokładnie jedna funk-
cja sl odwzorowująca płaszczyznę P na siebie przeprowadzająca
proste na proste, zachowująca odległość d i taka, że zbiorem jej
wszystkich punktów stałych jest prosta l.
(S2) Dla dowolnych półprostych AB i AC istnieje co najmniej
jedna prosta l taka, że sl (AB) = AC.
Aksjomat równoległości
4
(E) (aksjomat Euklidesa) Dla dowolnej prostej l " L i dowolnego
punktu A " P \ l istnieje dokładnie jedna prosta m " L taka, że
A " m oraz m )" l = ".
5
Rozdział 2
Geometria metryczna
2.1 Przestrzenie metryczne i izometrie
Definicja 2.1.1. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną
(X, d), gdzie X jest zbiorem niepustym, zaś d : X � X R, spełniającą
warunki:

"x,x "X (d(x, x ) = 0 �!�! x = x )

"x,x "X d(x, x ) = d(x , x)

"x,x ,x "X d(x, x ) + d(x , x ) d(x, x )
Funkcję d nazywamy wówczas odległością (lub metryką) w zbiorze X.
Przykład 2.1.2. Każda przestrzeń liniowa z iloczynem skalarnym (w szcze-
gólności każda przestrzeń euklidesowa) lub z normą jest przestrzenią me-
tryczną, gdy odległość określimy wzorem (u, v) u - v .
Definicja 2.1.3. Włożeniem izometrycznym przestrzeni metrycznej (X, d)
w przestrzeń metryczną (Y, �) nazywamy funkcję f : X Y spełniającą
warunek

"x,x "X �(f(x), f(x )) = d(x, x ).
Izometrią nazywamy funkcję działającą z X na Y spełniającą powyższy wa-
runek.
Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni X na siebie oznaczamy przez Isom(X).
Definicja 2.1.4. W przestrzeni metrycznej (X, d) kulą (otwartą) o środku
z " X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
B(z, r) = {x " X ; d(x, z) < r}.
6
Zbiór
B(z, r) = {x " X ; d(x, z) r}
nazywamy kulą domkniętą.
Uwaga 2.1.5. Przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną T4 (nor-
malną), a bazę topologii pochodzącej od metryki stanowią kule otwarte.
2.2 Geodezyjne
Definicja 2.2.1. Geodezyjną w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy
funkcję c : [a, b] X spełniającą warunek

"t,t "[a,b] d (c(t), c(t )) = |t - t |
Innymi słowy, geodezyjna jest włożeniem izometrycznym przedziału domknię-
tego i ograniczonego zawartego w R w przestrzeń metryczną (X, d).
Funkcję c : [a, b] X dla której istnieje K > 0 takie, że

"t,t "[a,b] d (c(t), c(t )) = K |t - t |
nosi nazwę geodezyjnej sparametryzowanej liniowo.
Definicja 2.2.2. Prostą (odpowiednio półprostą) geodezyjną w przestrzeni
metrycznej nazywamy włożenie prostej rzeczywistej R (odpowiednio półpro-
stej rzeczywistej [a, +")) w tę przestrzeń metryczną.
Definicja 2.2.3. Odcinkiem (odpowiednio półprostą, prostą) w przestrzeni
metrycznej nazywamy obraz geodezyjnej (odpowiednio półprostej geodezyj-
nej, prostej geodezyjnej).
Przykład 2.2.4. 1. W przestrzeni dyskretnej nie ma geodezyjnych.
2. Tożsamość na dowolnym odcinku prostej rzeczywistej R jest geode-
zyjną.
3. W przestrzeni E2 funkcja t (t, 0) jest geodeyzjną.
4. Na sferze jednostkowej
S2 = {(x, y, z) ; x2 + y2 + z2 = 1} �" R3
z odległością kątową odcinkami geodezyjnymi są łuki okręgów wielkich
czyli przekrojów sfery S2 płaszczyznami przechodzącymi przez począ-
tek układu współrzędnych.
7
5. Biegun północny N(0, 0, 1) z biegunem południowym S(0, 0, -1) sfery
S2 łączy nieskończenie wiele geodezyjnych  są nimi południki.
6. Na płaszczyz
nie R2 z metryką miejską
�((x1, x2)) = |x1 - x2| + |y1 - y2|
każde dwa różne punkty łączy nieskończenie wiele geodezyjnych.
Definicja 2.2.5. Mówimy, że przestrzeń metryczna (X, d) jest geodezyjną
przestrzenią metryczną jeżeli dowolne dwa jej punkty można połączyć geo-
dezyjną w tym sensie, że istnieje odcinek geodezyjny zawierający te punkty
jako obrazy początku i końca przedziału.
Przestrzeń jest r geodezyjna, gdzie r > 0, gdy dowolne dwa jej punkty
odległe o co najwyżej r można połączyć geodezyjną.
Definicja 2.2.6. Przestrzeń metryczna (X, d) jest jednoznacznie geodezyjna,
gdy dla dowolnych punktów x, x " X takich, że d(x, x ) = l > 0 istnieje
dokładnie jedna geodezyjna c : [0, l] X spełniająca warunki c(0) = x,
c(l) = x .
O przestrzeni r jednoznacznie geodezyjnej mówimy, gdy powyższy waru-
nek jest spełniony dla punktów odległych o co najwyżej r.
2.3 Pojęcia metryczne
Definicja 2.3.1. Podzbiór A geodezyjnej przestrzeni metrycznej jest wy-
pukły, gdy dla dowolnych punktów x, x " A dowolny odcinek geodezyjny
łączący te punkty jest zawarty w A.
Definicja 2.3.2. Niech (X, d) będzie geodezyjna przestrzenią metryczną.
Dla ustalonych geodezyjnych c : [0, l] X i c : [0, l ] X o wspólnym
początku p = c(0) = c (0) i ustalonych t " (0, l] oraz t " (0, l ] rozważmy kąt
porównawczy punktów c(t) i c (t ) w punkcie p
t2 + (t )2 - (d(c(t), c (t ))2
(c(t), c (t )) = arc cos ,
p
2tt
czyli kąt trójkącie euklidesowym o bokach długości
d(p, c(t)), d(p, c (t )), d(c(t), c (t ))
leżący naprzeciwko boku o długości d(c(t), c (t )).
Kątem pomiędzy geodezyjnymi c i c nazywamy liczbę
(c, c ) = lim sup (c(t), c (t ))
p
t,t 0
8
Definicja 2.3.3. Niech ł : [a, b] X będzie funkcją ciągłą. Długością krzy-
wej ł jest
n-1

l(ł) = sup d(ł(ti), ł(ti+1)) ; a = t0 < t1 < . . . < tn = b
i=0
9
Rozdział 3
Geometria euklidesowa
W przestrzeni liniowej Rn rozważamy standardowy iloczyn skalarny ., . i
pochodzącą od niego normę . .
3.1 Geodezyjne w przestrzeni euklidesowej
Definicja 3.1.1. Przestrzeń afiniczną En = (Rn, Rn, -) z odległością pocho-
dzącą od standardowego iloczynu skalarnego, tzn, daną wzorem


n


d(A, B) = B - A = (Bi - Ai)2 dla A, B " En,
i=1
nazywamy n wymiarową przestrzenią euklidesową.
Stwierdzenie 3.1.2. Dla danego punktu A " En i wektora u " Rn takiego,
że u = 1 oraz liczby a 0 funkcja c : [0, a] En dana wzorem
c(t) = A + tu dla t " [0, a]
jest geodezyjną w przestrzeni euklidesowej En.
Wniosek 3.1.3. Dla dowolnego punktu A " En i wektora jednostkowego u "
Rn funkcja c : I En dana wzorem c(t) = A + tu jest prostą geodezyjną w
przestrzeni euklidesowej En, gdy I = R (odpowiednio półprostą geodezyjną,
gdy I = [0, +")).
Twierdzenie 3.1.4. Niech A, B " En oraz a = d(A, B) > 0.
Funkcja c : [0, a] En jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B
wtedy i tylko wtedy, gdy
t
c(t) = A + (B - A) dla t " [0, a].
a
10
Wniosek 3.1.5. Przestrzeń metryczna En jest jednoznacznie geodezyjna.
Stwierdzenie 3.1.6. Każda kula w przestrzeni En jest wypukła.
3.2 Wzory trygonometryczne
Definicja 3.2.1. Dla danych punktów A, B, C " En nie leżących na jednej
prostej odcinki [A, B], [B, C], [C, A] nazywamy bokami, liczby
a = d(B, C), b = d(C, A), c = d(A, B)
 długościami boków, a liczby
B - A, C - A
ą = arc cos ,
B - A C - A
A - B, C - B
� = arc cos ,
A - B C - B
A - C, B - C
ł = arc cos
A - C B - C
 kątami wewnętrznymi trójkąta (euklidesowego) ABC.
Twierdzenie 3.2.2. (twierdzenie cosinusów) W trójkącie euklidesowym
ABC
c2 = a2 + b2 - 2ab cos ł.
Wniosek 3.2.3. (twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie euklidesowym ABC
Ą
c2 = a2 + b2 �!�! ł = .
2
Stwierdzenie 3.2.4. (twierdzenie sinusów) W trójkącie euklidesowym
ABC
a b c
= = .
sin ą sin � sin ł
Stwierdzenie 3.2.5. Suma kątów w trójkącie euklidesowym wynosi Ą.
3.3 Izometrie przestrzeni euklidesowej
Definicja 3.3.1. Hiperpłaszczyzną w przestrzeni euklidesowej En nazywamy
każdy jest podzbiór postaci
{Q " En ; Q - P, u = 0},
11
gdzie P " En, u " Rn, u = 1.
Mówimy wtedy, że hiperpłaszczyzna przechodzi przez punkt P i jest pro-
stopadła do wektora jednostkowego u.
Definicja 3.3.2. Symetrią hiperpłaszczyznową względem hiperpłaszczyzny
H przechodzącej przez punkt P i jest prostopadłej do wektora jednostkowego
u nazywamy przekształcenie rH przestrzenie En na siebie dane wzorem
rH(X) = X - 2 X - P, u u dla X " En.
Stwierdzenie 3.3.3. Symetria hiperpłaszczyznowa rH względem hiperpłasz-
czyzny H ma następujące własności:
1. rH jest inwolucją,
2. rH jest izometrią,
3. H jest zbiorem punktów stałych przekształcenia rH.
Twierdzenie 3.3.4. Grupa Isom (En) jest izomorficzna z iloczynem półpro-
stym grupy (Rn, +) oraz grupy (O(n), �).
Innymi słowy, każda izometria przestrzeni euklidesowej En jest złożeniem
translacji o wektor v " Rn z przekształceniem ortogonalnym � o macierzy w
bazie kanonicznej A " O(n), przy czym wektor v i macierz A są wyznaczone
jednoznacznie.
Stwierdzenie 3.3.5. Każda izometria przestrzeni euklidesowej En może być
przedstawiona jako złożenie co najwyżej n+1 symetrii hiperpłaszczyznowych.
Stwierdzenie 3.3.6. Przestrzeń metryczna E2 spełnia aksjomaty Hilberta
dla geometrii dwuwymiarowej.
3.4 Pole trójkąta i długość krzywej
Definicja 3.4.1. Polem trójkąta euklidesowego ABC nazywamy liczbę
1
A( ABC) = det G(B - A, C - A)
2




1
B - A 2 B - A, C - A


=
- A, B - A C - A 2

C
2
Stwierdzenie 3.4.2. Pole trójkąta euklidesowego ABC wyraża się wzorami
1
1. A( ABC) = ab sin ł,
2
12

a+b+c
2. A( ABC) = p(p - a)(p - b)(p - c), gdzie p = .
2
Uwaga 3.4.3. Każdy wielokąt jest sumą mnogościową rodziny trójkątów,
w której częścią wspólną dowolnej nierozłącznej pary jest wspólny wierzcho-
łek lub bok, zatem wzór na pole trójkąta pozwala obliczać pola dowolnych
wielokątów euklidesowych.
Przybliżając dostatecznie  porządną figurę zawartą w E2 sumą rodziny
trójkątów można obliczyć także jej pole.
Miary euklidesowe w wyższych wymiarach buduje się w oparciu o wyra-
żony wyznacznikiem Grama wzór na objętość sympleksu.
Stwierdzenie 3.4.4. Długość (euklidesowa) krzywej ł = (ł1, . . . , łn) : [a, b]
En klasy C1 wyraża się wzorem

b b


l(ł) = ł (t) dt = (ł1(t))2 + . . . + (łn(t))2 dt
a a
13
Rozdział 4
Geometria sferyczna
4.1 Odległość sferyczna
Niech ., . i . oznaczają standardowy iloczyn skalarny i pochodzącą od
niego normę w przestrzeni Rn+1, n 2.
Definicja 4.1.1. Zbiór
Sn = {x " Rn+1 ; x = 1}
nazywamy sferą n wymiarową.
Twierdzenie 4.1.2. Niech d : Sn � Sn R będzie funkcją, która dowolnym
dwóm punktom A, B " Sn przypisuje jedyną liczbę d(A, B) " [0, Ą] spełniającą
warunek
cos d(A, B) = A, B .
Wtedy (Sn, d) jest przestrzenią metryczną.
Q-cos r P
Lemat 4.1.3. Niech P, Q " Sn, d(P, Q) = r " (0, Ą) oraz u = .
sin r
Wówczas
u, P = 0, u = 1, Q = cos r P + sin r u.
Wniosek 4.1.4. Różne punkty A, B, C " Sn spełniają warunek
d(A, B) = d(A, C) + d(C, B)
wtedy i tylko wtedy, gdy B = -A lub C = xA + yB dla pewnych x, y > 0.
14
Stwierdzenie 4.1.5. Dla dowolnego punktu A " Sn i wektora u " Rn+1
takiego, że u = 1 i u, A = 0 funkcja c : [0, l] Sn, przy czym 0 l Ą,
dana wzorem
c(t) = cos t A + sin t u dla t " [0, l]
jest geodezyjną na sferze Sn.
Twierdzenie 4.1.6. 1. Niech A, B " Sn, d(A, B) = r " (0, Ą). Wówczas
funkcja c : [0, r] Sn jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B
wtedy i tylko wtedy, gdy
c(t) = cos t A + sin t u dla t " [0, r],
B-cos r A
przy czym u = .
sin r
2. Dla A " Sn funkcja c : [0, Ą] Sn jest geodezyjną łączącą punkt A z
punktem -A wtedy i tylko wtedy, gdy
c(t) = cos t A + sin t u dla t " [0, Ą],
przy czym u = 1 i u, A = 0.
Wniosek 4.1.7. Śladem geodezyjnej łączącej dwa różne punkty A, B " Sn
jest łuk okręgu (okręgu wielkiego) będącego przekrojem sfery Sn dwuwymia-
rową podprzestrzenią liniową zawierającą punkty A i B (gdy B = -A takich
płaszczyzn jest nieskończenie wiele).
Wniosek 4.1.8. Przestrzeń metryczna (Sn, d) jest przestrzenią geodezyjną
i przestrzenią r jednoznacznie geodezyjną dla każdego r < Ą.
Stwierdzenie 4.1.9. Otwarta (odpowiednio domknięta) kula na sferze (Sn, d)
Ą
jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej promień nie przekracza (odpo-
2
Ą
wiednio jest mniejszy od ).
2
4.2 Trygonometria sferyczna
Definicja 4.2.1. Dla dowolnych różnych punktów P, Q " Sn takich, że
Q = -P niech cP Q oznacza jedyną geodezyjną, sparametryzowaną na prze-

dziale o początku 0, łączącą punkt P z punktem Q, zaś [P, Q]  obraz tej
geodezyjnej.
Wektorem kierunkowym geodezyjnej łączącej P z Q " {P, -P } nazywamy
/
wektor
Q - cos r P
uP Q = ,
sin r
15
gdzie d(P, Q) = r " (0, Ą). Wektor ten jest styczny w punkcie P (a dokładniej
w punkcie 0) do geodezyjnej cP Q.
Hiperpłaszczyzna przechodząca przez punkt P i prostopadła do wektora
P jest przestrzenią styczną do Sn w punkcie P ; wektor uP Q jest do niej
równoległy.
Definicja 4.2.2. Dla danych punktów A, B, C " Sn nie leżących na jednym
okręgu wielkim odcinki sferyczne [A, B], [B, C], [C, A] nazywamy bokami,
liczby
a = d(B, C), b = d(C, A), c = d(A, B)
 długościami boków, a liczby
uAB, uAC
ą = arc cos ,
uAB uAC
uBC, uBA
� = arc cos ,
uBC uBA
uCA, uCB
ł = arc cos
uCA uCB
 kątami wewnętrznymi trójkąta sferycznego ABC.
Twierdzenie 4.2.3. (sferyczne twierdzenie cosinusów) W trójkącie sfe-
rycznym ABC
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos ł.
Wniosek 4.2.4. (sferyczne twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie sfe-
rycznym ABC
Ą
cos c = cos a cos b �!�! ł = .
2
Stwierdzenie 4.2.5. (sferyczne twierdzenie sinusów) W trójkącie sfe-
rycznym ABC
sin a sin b sin c
= = .
sin ą sin � sin ł
Stwierdzenie 4.2.6. (drugie sferyczne twierdzenie cosinusów) W trój-
kącie sferycznym ABC
cos ł = - cos ą cos � + sin ą sin � cos c.
Wniosek 4.2.7. Suma kątów w trójkącie sferycznym jest większa niż Ą.
16
4.3 Izometrie sferyczne
Stwierdzenie 4.3.1. Dla dowolnej izometrii sferycznej f " Isom (Sn) ist-
n
nieje taka izometria euklidesowa F " Isom (En+1), że F (�) = � i F |S = f.
Wniosek 4.3.2. Grupa izometrii sferycznych Isom (Sn) jest izomorficzna z
grupą ortogonalną (O(n + 1), �).
Definicja 4.3.3. Hiperpłaszczyzną sferyczną nazywamy przekrój sfery Sn
hiperpłaszczyzną liniową w przestrzeni euklidensowej En.
Innymi słowy, hiperpłaszczyzna sferyczna jest zbiorem postaci hĄ" )" Sn,
gdzie h " Sn.
Definicja 4.3.4. Sferyczną symetrią hiperpłaszczyznową względem hiper-
płaszczyny sferycznej hĄ" )" Sn nazywamy obcięcie (euklidesowej) symetrii
hiperpłaszczyznowej rhĄ" do sfery Sn.
Stwierdzenie 4.3.5. Każda izometria sfery Sn może być przedstawiona jako
złożenie co najwyżej n + 1 sferycznych symetrii hiperpłaszczyznowych.
4.4 Pole trójkąta sferycznego
Sfera Sn jest hiperpowierzchnią w przestrzeni euklidesowej En. Objętość na
sferze (w szczególności pole na sferze S2) określamy więc jako miarę na hi-
perpowierzchni Sn (odpowiednio na powierzchni S2) indukowaną przez miarę
Lebesgue a w En+1 (odpowiednio w E3).
Stwierdzenie 4.4.1. Pole sfery S2 wynosi 4Ą.
Definicja 4.4.2. Niech dane będą punkt P " S2 i wektory u, v " R3 takie,
że u = v = 1 i u, P = v, P = 0.
Dwukątem sferycznym o wierzchołkach P, -P " S2 wyznaczonym przez
wektory u i v nazywamy obszar ograniczony geodezyjnymi biegnącymi od P
do -P o wektorach kierunkowych odpowiednio u oraz v, zawarty w półsferze.
Stwierdzenie 4.4.3. Pole dwukąta sferycznego wyznaczonego przez wektory
u i v wynosi 2 (u, v).
Stwierdzenie 4.4.4. Pole trójkąta sferycznego położonego na sferze S2 o
kątach wewnętrznych ą, �, ł wynosi ą + � + ł - Ą.
Uwaga 4.4.5. Długość krzywej położonej na sferze mierzymy tak samo jak
długość tej krzywej traktowanej jako krzywa w En+1.
17
Rozdział 5
Geometria konforemna
5.1 Inwersje
Definicja 5.1.1. Dla danego punktu x0 " En i danej liczby r > 0 przekształ-
cenie ąx ,r : En \ {x0} En dane wzorem
0
x - x0
ąx ,r(x) = r2 + x0 dla x " En \ {x0}
0
x - x0 2
nazywamy inwersją względem sfery S(x0, r) o środku x0 i promieniu r.
Uwaga 5.1.2. Utożsamiając poprzez rzut stereograficzny sferę n wymiarową
z przestrzenią En uzupełnioną punktem " możemy traktować inwersję jako
przekształcenie Sn Sn.
Przykład 5.1.3. Na płaszczyz
nie E2 inwersja względem okręgu o środku O
i promieniu r przekształca punkt X = O na punkt X " OX spełniający

warunek |OX| |OX | = r2.
Stwierdzenie 5.1.4. Złożenie inwersji o tym samym środku pokrywa się z
jednokładnością:
r2
R2
ąx ,r ć% ąx ,R = Jx
0 0
0
Stwierdzenie 5.1.5. Każda inwersja jest złożeniem inwesji podstawowej ą�,1
z jednokładnością i translacjami:
r2
ąx ,r = Tx ć% J� ć% ą�,1 ć% T-x
0 0 0
Stwierdzenie 5.1.6. Każda inwersja ma następujące własności:
1. jest inwolucją (tzn. przekształceniem do siebie odwrotnym) klasy C",
18
2. obcięta do sfery tej inwersji jest tożsamością,
3. zachowuje kąty.
Stwierdzenie 5.1.7. Dla danych różnych punktów x0, x1 " En oraz liczb
r, r1 > 0 następujące warunki są równoważne:
1. ąx ,r (S(x1, r1)) = S(x1, r1),
0
2. ąx ,r1 (S(x0, r)) = S(x0, r),
1
2
3. x0 - x1 2 = r2 + r1.
4. sfery S(x0, r) oraz S(x1, r1) są prostopadłe w każdym punkcie przecię-
cia.
Stwierdzenie 5.1.8. Niech ą = ąx ,r. Wówczas:
0
1. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną i x0 " H, to ą(H) = H.
2. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną i x0 " H, to ą(H) jest sferą oraz x0 "
/
ą(H).
3. Jeżeli S jest sferą i x0 " S, to ą(S) jest hiperpłaszczyzną oraz x0 " ą(S).
/
4. Jeżeli S jest sferą i x0 " S, to ą(S) jest sferą oraz x0 " ą(S).
/ /
5.2 Dyfeomorfizmy konforemne
Definicja 5.2.1. Dyfeomorfizm f : D E pomiędzy obszarami w En nazy-
wamy dyfeomorfizmem konforemnym, jeżeli istnieje funkcja  : D R+ taka,
że dla dowolnego punktu p " D i dowolnych wektorów v, w " Rn spełniony
jest warunek.
dfp(v), dfp(w) = (p) v, w .
Zbiór wszystkich dyfeomorfizmów konforemnych obszaru D na siebie ozna-
czamy przez Conf (D).
Przykład 5.2.2. Warunek konforemności oznacza, że różniczka odwzorowa-
nia konforemnego zachowuje kąt pomiędzy wektorami.
Inwersja ąx ,r jest dyfeomorfizmem konforemnym obszaru En \ {x0} na
0
siebie (lub sfery Sn na siebie).
W przestrzeni En, n 2, przyjmijmy oznaczenia
Bn = {x " En ; x < 1} (kula jednostkowa)
19
 n,+ = {x " En ; xn > 0} (górna półprzestrzeń)
Twierdzenie 5.2.3. Każdy dyfeomorfizm pomiędzy obszarami w E2 = C
jest funkcją holomorficzną lub antyholomorficzną (tzn. taką, której złożenie
ze sprzężeniem zespolonym jest funkcją holomorficzną).
Wniosek 5.2.4. 1.
Conf (C) = {az + b ; a, " C, a = 0} *" {az + b ; a, b " C, a = 0}

2.


z - ą
Conf B2 = z ei� ; ą " B2, � " R
1 - ąz

z - ą
*" z ei� ; ą " B2, � " R
1 - ąz
3.


az + b
Conf 2,+ = z ; a, b, c, d " R, ad - bc = 1
cz + d

az + b
*" z ; a, b, c, d " R, ad - bc = 1
cz + d
Twierdzenie 5.2.5. (Liouville a) Każdy dyfeomorfizm konforemny pomię-
dzy obszarami w En, n 3, jest postaci
x  Aą(x) + b,
gdzie  > 0, A " O(n), zaś ą jest tożsamością lub inwersją.
Wniosek 5.2.6. Dla n 3
1. Conf (En) = {x  A + b ;  > 0, A " O(n)}
2. Conf (Bn) składa się z przekształceń postaci
x Aą(x),
gdzie A " O(n), zaś ą jest tożsamością lub inwersją względem sfery
ortogonalnej do sfery "Bn.
3. Conf ( n,+) składa się z przekształceń postaci

A � b
 ą + ,
� 1 0
gdzie  > 0, A " O(n-1), b " Rn-1, zaś ą jest tożsamością lub inwersją
względem sfery o środku na hiperpłaszczyz
nie Rn-1 � {0}.
20
Rozdział 6
Geometria hiperboliczna
6.1 Funkcje hiperboliczne
Definicja 6.1.1. 1. Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję sinh : R
R daną wzorem
ex - e-x
sinh x = , x " R.
2
2. Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję cosh : R R daną wzo-
rem
ex + e-x
cosh x = , x " R.
2
3. Tangesem hiperbolicznym nazywamy funkcję tgh : R R daną wzorem
ex - e-x
tgh x = , x " R.
ex + e-x
Stwierdzenie 6.1.2. 1. Pochodne funkcji hiperbolicznych wyrażają się
wzorami:
1
sinh = cosh, cosh = sinh, tgh = .
cosh2
2. Funkcje sinh, cosh |[0,+"), tgh są rosnące, a w przedziale (0, +") przyj-
mują tylko wartości dodatnie.
Stwierdzenie 6.1.3. Dla dowolnych x, y " R
1. sinh(x ą y) = sinh x cosh y ą cosh x sinh y,
2. cosh(x ą y) = cosh x cosh y ą sinh x sinh y,
21
3. cosh2 x - sinh2 x = 1.
sinh x
4. tgh x =
cosh x
Stwierdzenie 6.1.4. 1. Funkcją odwrotną do funkcji cosh |[0,+") jest funk-
cja ach : [1, +") [0, +") dana wzorem
"
ach x = ln(x + x2 - 1), x " [1, +").
2. Funkcją odwrotną do funkcji tgh jest funkcja ath : (-1, 1) (-", +")
dana wzorem

1 + x
ath x = ln , x " (-1, 1).
1 - x
6.2 Czasoprzestrzeń i przestrzeń hiperboliczna
Definicja 6.2.1. Formę dwuliniową .|. w przestrzeni liniowej Rn+1, gdzie
n 2, daną wzorem
x|y = x1y1 + . . . + xnyn - xn+1yn+1,
x = (x1, . . . , xn, xn+1), y = (y1, . . . , yn, yn+1) " Rn+1
nazywamy formą Lorentza.
Przestrzeń Rn+1 wraz z formą Lorentza nazywamy n wymiarową cza-
soprzestrzenią i oznaczamy przez Rn,1. Elementy tej przestrzeni będziemy
zapisywać w postaci x = (x, xn+1), gdzie x = (x1, . . . , xn) " Rn.
� �
Możemy wówczas pisać
x|y = x, ł - xn+1yn+1.
�
Definicja 6.2.2. Wektor x " Rn,1 nazywamy
1. wektorem przestrzennym, gdy x|x > 0,
2. wektorem czasowym, gdy x|x < 0,
3. wektorem świetlnym, gdy x|x = 0.
Definicja 6.2.3. Zbiór
Hn = {x " Rn,1 ; x|x = -1, xn+1 > 0}
z określoną niżej metryką nazywamy n wymiarową przestrzenią hiperboliczną.
22
Przykład 6.2.4. Płaszczyzna hiperboliczna, czyli 2 wymiarowa przestrzeń
hiperboliczna


H2 = x " R3 ; x3 = 1 + x2 + x2 ,
1 2
jest górną powłoką hiperboloidy dwupowłokowej -x2 - x2 + x2 = 1.
1 2 3
Stwierdzenie 6.2.5. Dla dowolnych x, y " Hn
1. x|y -1,
2. x|y = -1 �! x = y.
6.3 Odległość hiperboliczna
Twierdzenie 6.3.1. Niech d : Hn � Hn R będzie funkcją, która dowol-
nym dwóm punktom A, B " Hn przypisuje jedyną liczbę d(A, B) spełniającą
warunek
cosh d(A, B) = - A|B .
Wtedy (Hn, d) jest przestrzenią metryczną.
Q-cosh r P
Lemat 6.3.2. Niech P, Q " Hn, d(P, Q) = r > 0 oraz u = . Wów-
sinh r
czas
u|P = 0, u|u = 1, Q = cosh r P + sinh r u.
Lemat 6.3.3. Dla dowolnego punktu P " Hn forma Lorentza jest iloczynem
Ą"
skalarnym na podprzestrzeni P = {v " Rn,1 ; v|P = 0}.
Wniosek 6.3.4. Różne punkty A, B, C " Hn spełniają warunek
d(A, B) = d(A, C) + d(C, B)
wtedy i tylko wtedy, gdy C = sA + tB dla pewnych s, t > 0.
Twierdzenie 6.3.5. Niech A, B " Hn, d(A, B) = r > 0. Wówczas funkcja
c : [0, r] Hn jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B wtedy i tylko
wtedy, gdy
c(t) = cosh t A + sinh t u dla t " [0, r],
B-cosh r A
przy czym u = .
sinh r
Wniosek 6.3.6. Przestrzeń metryczna (Hn, d) jest przestrzenią jednoznacz-
nie geodezyjną.
Definicja 6.3.7. Prostą hiperboliczną nazywamy obraz prostej geodezyjnej
R Hn.
Wniosek 6.3.8. Przez dwa różne punkty A, B " Hn przechodzi dokładnie
jedna prosta hiperboliczna. Jest nią przekrój Hn dwuwymiarową podprze-
strzenią liniową lin (A, B).
23
6.4 Trygonometria hiperboliczna
Definicja 6.4.1. Dla dowolnych różnych punktów P, Q " Hn niech cP Q
oznacza jedyną geodezyjną, sparametryzowaną na przedziale o początku 0,
łączącą punkt P z punktem Q, zaś [P, Q]  obraz tej geodezyjnej.
Wektorem kierunkowym geodezyjnej łączącej P z Q nazywamy wektor
Q - cosh r P
vP Q = ,
sinh r
gdzie d(P, Q) = r > 0. Wektor ten jest styczny w punkcie P (a dokładniej w
Ą"
punkcie 0) do geodezyjnej cP Q; należy również do P , która jest przestrzenią
styczną do Hn w punkcie P .
Definicja 6.4.2. Dla danych punktów A, B, C " Hn nie leżących na jednej
prostej hiperbolicznej odcinki hiperboliczne [A, B], [B, C], [C, A] nazywamy
bokami, liczby
a = d(B, C), b = d(C, A), c = d(A, B)
 długościami boków, a liczby
vAB|vAC

ą = arc cos ,
vAB|vAB vAC|vAC
vBC|vBA

� = arc cos ,
vBC|vBC vBA|vBA
vCA|vBC

ł = arc cos
vCA|vCA vCB|vCB
 kątami wewnętrznymi trójkąta hiperbolicznego ABC.
Uwaga 6.4.3. Kąty wewnętrzne trójkąta hiperbolicznego są kątami pomię-
dzy wektorami liczonymi względem iloczynu skalarnego pochodzącego od
formy Lorentza, np. ą = (vAB, vAC) względem iloczynu skalarnego .|.
na przestrzeni AĄ". Ten iloczyn skalarny pokrywa się ze standardowym ilo-
czynem skalarnym tylko, gdy A = (0, . . . , 0, 1).
Twierdzenie 6.4.4. (hiperboliczne twierdzenie cosinusów) W trójką-
cie hiperbolicznym ABC
cosh c = cosh a cosh b - sinh a sinh b cos ł.
24
Wniosek 6.4.5. (hiperboliczne twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie
hiperbolicznym ABC
Ą
cosh c = cosh a cosh b �!�! ł = .
2
Stwierdzenie 6.4.6. (hiperboliczne twierdzenie sinusów) W trójkącie
hiperbolicznym ABC
sinh a sinh b sinh c
= = .
sin ą sin � sin ł
Stwierdzenie 6.4.7. (drugie hiperboliczne twierdzenie cosinusów) W
trójkącie hiperbolicznym ABC
cos ł = - cos ą cos � + sin ą sin � cosh c.
Wniosek 6.4.8. Suma kątów w trójkącie hiperbolicznym jest mniejsza niż
Ą.
6.5 Model w kuli i na półprzestrzeni
Stwierdzenie 6.5.1. Przekształcenie ĄB : Hn Bn, gdzie Bn = {y "
Rn ; y < 1}, dane wzorem
x
�
ĄB(x) = , x " Hn
1 + xn+1
jest homeomorfizmem.
Definicja 6.5.2. Kulę Bn z odległością dB indukowaną przez przekształcenie
ĄB, czyli daną wzorem
-1 -1
dB(y, y ) = d(ĄB (y), ĄB (y )), y, y " Bn,
nazywamy modelem Poincar� w kuli dla n wymiarowej przestrzeni hiperbo-
licznej.
Stwierdzenie 6.5.3. Odległość w modelu Poincar� w kuli wyraża się wzo-
rem

2 y - y
dB(y, y ) = ach 1 +
(1 - y 2) (1 - y 2)
y - y

= 2 ath
1 - 2 y, y + y 2 y 2
dla y, y " Bn.
25
Wniosek 6.5.4. Dla y " Bn
1 + y
dB(�, y) = 2 ath y = ln .
1 - y
Wniosek 6.5.5. W kole B2 �" C odległość hiperboliczna wyraża się wzorem

- z |1 - wz| + |w - z|

w Ż

dB(w, z) = 2 ath = ln

1 - wz |1 - wz| - |w - z|
Ż Ż
dla w, z " B2.
W przestrzeni Rn n - 1 pierwszych współrzędnych punktu(wektora) w
oznaczać będziemy przez u
.
Stwierdzenie 6.5.6. W przestrzeni Rn obcięcie inwersji ąU,"2 względem
"
sfery o środku U = (0, . . . , 0, -1) i promieniu 2 jest homeomorfizmem kuli
Bn na górną półprzestrzeń n,+ = {u " Rn ; un > 0}.
Definicja 6.5.7. Górną półprzestrzeń n,+ z odległością d  indukowaną
przez inwersję ąU,"2, czyli daną wzorem
" "
d (u, u ) = dB(ą-1 (u), ą-1 (u )), u, u " n,+,
U, 2 U, 2
nazywamy modelem Poincar� na półprzestrzeni dla n wymiarowej przestrzeni
hiperbolicznej.
Stwierdzenie 6.5.8. Odległość w modelu Poincar� na półprzestrzeni wyraża
się wzorem

u - u 2
d (u, u ) = ach 1 +
2unu
n


Ć
� - u + (un - u )2
n

= 2 ath
Ć
� - u + (un + u )2
n
dla u, u " n,+.
Wniosek 6.5.9. Na półpłaszczyz
nie 2,+ �" C odległość hiperboliczna wy-
raża się wzorem

- z |w - z| + |w - z|

w Ż

d (w, z) = 2 ath = ln

w - z |w - z| - |w - z|
Ż Ż
dla w, z " 2,+.
Przykład 6.5.10. Na półpłaszczyz
nie 2,+ �" C


a

d (ai, bi) = ln

b
26
6.6 Brzeg idealny
Definicja 6.6.1. Brzegiem idealnym n wymiarowej przestrzeni hiperbolicz-
nej nazywamy zbiór
Hn(") = {z " Rn,1 ; z|z = 0, zn+1 = 1} = {(w, 1) " Rn,1 ; w = 1}
Uwaga 6.6.2. Pojęcie brzegu idealnego związane jest z zachowaniem geodezyj-
nych  w nieskończoności . Górna powłoka hiperboloidy danej równaniem
x|x = -1 ma naturalną asymptotę w postaci stożka x|x = 0.
Brzegiem powłoki hiperboloidy jest (n - 1) wymiarowa sfera w nieskoń-
czoności. A
atwiej jest ją obserwować na skończonym poziomie np. xn+1 = 1.
Wówczas jest ona sferą jednostkową w przestrzeni stycznej ((�, 1))Ą".
Stwierdzenie 6.6.3. Dla dowolnego punktu A " Hn oraz dowolnego z "
Hn(") istnieje półprosta geodezyjna c : [0, +") Hn taka, że c(0) = A
oraz c(+") = z w tym sensie, że istnieje funkcja f : [0, +") R taka, że
lim f(t) = +"
t+"
lim (c(t) - f(t)z) = 0
t+"
Przykład 6.6.4. Od punktu (�, 1) " Hn do punktu z " Hn(") prowadzi
półprosta geodezyjna
[0, +") t cosh t (�, 1) + sinh t z.
Definicja 6.6.5. Dla półprostej geodezyjnej c(t) = cosh t A + sinh t v, t 0,
gdzie A " Hn, v|A = 0 oraz v|v = 1 element
� + }
z = " Hn(")
An+1 + vn+1
nazywamy końcem tej półprostej i oznaczamy przez c(+").
Stwierdzenie 6.6.6. Dla dowolnych różnych elementów z1, z2 " Hn(") ist-
nieje dokładnie jedna prosta geodezyjna c : R Hn taka, że z1 = c(-") i
z2 = c(+").
Definicja 6.6.7. W zbiorze Hn = Hn *" Hn(") wprowadzamy topologię tak,
aby podzbiór Hn miał swoją naturalną topologię oraz aby bijekcja ĄB : Hn
Bn dana wzorem

ĄB(x) , x " Hn
ĄB(x) =
x , x " Hn(")
�
była homeomorfizmem.
Tak określoną topologię nazywamy topologią stożkową w przestrzeni hi-
perbolicznej z brzegiem idealnym.
27
Uwaga 6.6.8. Topologia stożkowa w Hn uzwarca kulę otwartą, którą w
sensie topologicznym jest Hn (bo otwarta kula n wymiarowa jest nawet dy-
feomorficzna z Rn, a ta z kolei z powłoką hiperboloidy) do kuli domnkniętej.
Tym samym brzeg idealny w modelu Poincar� w kuli jest sferą Sn-1 =
"Bn.
Wniosek 6.6.9. Brzegiem idealnym modelu Poincar� na półprzestrzeni n,+
jest

Rn-1 � {0} *" {"},
przy czym " oznacza obraz punktu U = (�, -1) w inwersji ąU,"2 traktowanej
jako odwzorowanie sfery Sn = Rn *" {"} na siebie.
Wniosek 6.6.10. Półprosta geodezyjna o początku (�, 1) i końcu z " Hn(")
ma po zrzutowaniu do modelu w kuli równanie
t
ł(t) = tgh z , t 0.
�
2
6.7 Izometrie hiperboliczne
Definicja 6.7.1. Hiperpłaszczyzną hiperboliczną nazywamy niepusty prze-
krój przestrzeni Hn n wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn,1.
Stwierdzenie 6.7.2. Pozbiór H �" Hn jest hiperpłaszczyzną hiperboliczną
wtedy i tylko wtedy, gdy H = uĄ" )" Hn dla pewnego jednostkowego wektora
przestrzennego u " Rn,1.
Definicja 6.7.3. Niech H będzie hiperpłaszczyzną hiperboliczną, a u  jej
jednostkowym wektorem normalnym. Przekształcenie rH : Hn Hn dane
wzorem
rH(x) = x - 2 x|u u, x " Hn
nazywamy hiperboliczną symetrią hiperpłaszczyznową względem hiperpłasz-
czyzny hiperbolicznej H.
Stwierdzenie 6.7.4. Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa rH wzglę-
dem hiperpłaszczyzny hiperbolicznej H ma następujące własności
1. rH jest inwolucją,
2. rH jest izometrią (hiperboliczną),
3. H jest zbiorem punktów stałych przekształcenia rH.
28
Stwierdzenie 6.7.5. Dla dowolnych różnych punktów A, B " Hn istnieje
dokładnie jedna hiperpłaszczyzna hiperboliczna H taka, że rH(A) = B.
Przykład 6.7.6. Punkt A " Hn \ {(�, 1)} na punkt (�, 1) przeprowadza
hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa względem hiperpłaszczyny uĄ" )"
(�,An+1-1)
"
Hn, gdzie u = .
2(An+1-1)
Stwierdzenie 6.7.7. W modelu Poincar� w kuli hiperboliczna symetria
hiperpłaszczyznowa jest symetrią względem liniowej hiperpłaszczyny prze-
strzeni Rn lub inwersją względem sfery ortogonalnej do Sn-1 = "Bn.
Wniosek 6.7.8. Prosta hiperboliczna w modelu Poincar� w kuli jest (otwartą)
średnicą kuli Bn lub (otwartym) łukiem okręgu ortogonalnego do sfery Sn-1 =
"Bn.
Wniosek 6.7.9. Prosta hiperboliczna w modelu Poincar� na półprzestrzeni
jest (otwartą) półprostą ortogonalną do hiperpłaszczyny Rn-1 �{0} = " n,+
lub (otwartym) półokręgiem ortogonalnym do hiperpłaszczyny Rn-1 � {0} =
" n,+
Definicja 6.7.10. Na płaszczyz
nie hiperbolicznej dwie proste hiperboliczne
są równoległe, gdy są rozłączne, są zaś nadrównoległe, gdy są rozłączne i ich
końce na brzegu idealnym są także rozłączne.
Twierdzenie 6.7.11. (hiperboliczny V postulat) Na płaszczyz
nie hi-
perbolicznej dla dowolnej prostej hiperbolicznej i dowolnego punktu nie na-
leżącego do tej prostej istnieje nieskończenie wiele prostych hiperbolicznych
przechodzących przez ten punkt i równoległych do danej prostej.
Dowód: Rozważmy model na półpłaszczyz
nie.
Niech l będzie prostą hiperboliczną, zaś A = d + d i punktem nie nale-
żącym do prostej l. Rozważymy dwa przypadki:
I. l jest półprostą Re z = d,
II. l jest półokręgiem |z - ł| = �, ł " R.
I. Możemy założyć, że np. d > d. Wówczas prosta hiperboliczna l :
Re z = d jest równoległa do l (asymptotyczna w ") i przechodzi przez A.
d 2-d2+d 2
Zauważmy także, że jeżeli c0 = oraz r0 = c0 - d, to prosta
2(d -d)
hiperboliczna l0 : |z - c0| = r0 przechodzi przez A i jest asymptotyczna do l
(w punkcie d).
Biorąc dowolne c > c0 i r takie, że r2 = (d - c)2 + d 2 otrzymujemy, że
c - r > d, czyli prosta hiperboliczna lc : |z - c| = r jest nadrównoległa do
29

l. Istotnie, funkcja c c - (d - c)2 + d 2 jest rosnąca i przyjmuje w c0
wartość d.
II. Fakt, że A " l może przyjąć postać (d - ł)2 + d 2 > �2 i d ł.
/
Jeżeli ponadto d > ł + �, to można postąpić jak w punkcie I, bo proste
hiperboliczne przechodzące przez A i równoległe do prostej hiperbolicznej
Re z = ł + � są także równoległe do l.
Załóżmy więc, że d " [ł, ł + �]. Oczywiście prosta hiperboliczna l :

|z - ł| = (d - ł)2 + d 2 przechodzi przez A i jest nadrównoległa do l.
(ł+�)2-d 2-d 2
Gdy ł + � > d , to biorąc c0 = oraz r0 = ł + � - c0
2(ł+�-d )
otrzymujemy prostą hiperboliczną l0 : |z - c0| = r0 przechodzącą przez A
i asymptotyczną do l. Gdy ł + � = d rolę tę pełni prosta hiperboliczna
Re z = d .
Biorąc teraz dowolne c " (c0, ł) i r takie, że r2 = (d - c)2 + d 2 otrzy-
mujemy , że c + r > ł + � oraz c - r < ł - �, czyli prosta hiperboliczna lc :

|z - c| = r jest nadrównoległa do l. Istotnie, funkcja c c - (d - c)2 + d 2

jest rosnąca i przyjmuje w ł wartość ł - (d - ł)2 + d 2 < ł -�, zaś funkcja

c c + (d - c)2 + d 2 jest także rosnąca i przyjmuje w c0 wartość ł + �
(w przypadku d = ł + � można przyjąć c0 = -").
Twierdzenie 6.7.12. Grupą izometrii przestrzeni metrycznej (Hn, d) jest
O(n, 1)+, czyli grupa macierzy zachowujących formę Lorentza i górną półprze-
strzeń.
Stwierdzenie 6.7.13. Każda izometria przestrzeni hiperbolicznej Hn jest
złożeniem co najwyżej n + 1 hiperbolicznych symetrii hiperpłaszczynowych.
Wniosek 6.7.14. Grupą izometrii modelu Poincar� w kuli (Bn, dB), n 3,
jest grupa dyfeomorfizmów konforemnych kuli Bn na siebie, czyli przekształ-
ceń postaci
Aą ,
gdzie A " O(n), zaś ą jest tożsamością lub inwersją względem sfery ortogo-
nalnej do "Bn (obejmuje to też symetrie względem hiperpłaszczyzn przecho-
dzących przez �).
Wniosek 6.7.15. Grupą izometrii modelu Poincar� na półprzestrzeni ( n,+, d ),
n 3, jest grupa dyfeomorfizmów konforemnych półprzestrzeni n,+ na sie-
bie, czyli przekształceń postaci

A � b
 ą + ,
� 1 0
30
gdzie  > 0, A " O(n - 1), b " Rn-1, zaś ą jest tożsamością lub inwersją
względem sfery ortogonalnej do " n,+ (obejmuje to też symetrie względem
hiperpłaszczyzn ortogonalnych do " n,+).
Wniosek 6.7.16. Grupą izometrii hiperbolicznych w kole B2 �" C jest

z - ą z - ą
z ei� ; ą " B2, � " R *" z ei� ; ą " B2, � " R
1 - ąz 1 - ąz
Wniosek 6.7.17. Grupą izometrii hiperbolicznych na półpłaszczyz
nie
2,+ �" C jest

az + b
z ; a, b, c, d " R, ad - bc = 1
cz + d

az + b
*" z ; a, b, c, d " R, ad - bc = 1
cz + d
6.8 Pole hiperboliczne
Stwierdzenie 6.8.1. Iloczyn skalarny wektorów stycznych do przestrzeni
hiperbolicznej wyraża się wzorem
1. w modelu na hiperboloidzie:
w1|w2 , w1, w2 " Tx(Hn) = xĄ" �" Rn,1,
2. w modelu w kuli:
4
w1, w2 , w1, w2 " Ty(Bn) = Rn,
(1 - y 2)2
3. w modelu na półprzestrzeni:
1
w1, w2 , w1, w2 " Tu( n,+) = Rn.
u2
n
Definicja 6.8.2. Niech R będzie obszarem zawartym w górnej półpłaszczyz
-
nie (odpowiednio kuli). Pole hiperbolicznym obszaru R nazywamy wartość
wyrażenia

1
A(R) = dxdy ;
R y2
w modelu w kuli jest to odpowiednio wartość wyrażenia

4
A(R) = dxdy .
(1
R - x2 - y2)2
31
Definicja 6.8.3. Uogólnionym trójkatem hiperbolicznym nazywamy trójkę
punktów należących do Hn *" Hn("), nie leżących na jednej prostej wraz
z końcami. Jego bokami są odcinki (odpowiednio półproste hiperboliczne,
proste hiperboliczne) łączące wierzchołki.
Wierzchołki należące do brzegu idealnego nazywamy wierzchołkami ide-
alnymi, a trójkąt o wszystkich trzech wierzchołkach idealnych  trójkątem
idealnym.
Stwierdzenie 6.8.4. Niech T (ą) będzie uogólnionym trójkątem hiperbo-
licznym o dwóch wierzchołach idealnych i kącie wewnętrznym ą przy trzecim
wierzchołku. Wówczas
A(T (ą)) = Ą - ą.
Dowód: W modelu na półpłaszczyz
nie rozważmy trójkąt uogólniony o
wierzchołkach A = (d, b) " 2,+, 0, " " 2,+("), przy czym kąt przy wierz-
chołku A jest równy ą " (0, Ą). Wówczas boki tego trójkąta zawarte są w
prostych hiperbolicznych x = 0, x = d oraz (x - c)2 + y2 = r2, przy czym
c = r, d = r + r cos s, b = r sin s, ((-r sin s, r cos s), (0, 1)) = ą,
skąd A = (r + r cos ą, r sin ą).
Tym samym trójkąt uogólniony T (ą) jest obszarem
{(r - r cos t, y) ; 0 t Ą - ą, y r sin t},
a jego pole hiperboliczne wynosi

Ą-ą +"
1 1
A (T (ą)) = dxdy = r sin t dtdy
T (ą) y2 0 r sin t y2

Ą-ą +" Ą-ą
1 1
= r sin t dt dy = r sin t dt
0 r sin t y2 0 r sin t

Ą-ą
= dt = Ą - ą
0
Wniosek 6.8.5. Pole trójkąta idealnego jest równe Ą.
Twierdzenie 6.8.6. Pole trójkąta hiperbolicznego o kątach wewnętrznych
ą, �, ł wynosi Ą - (ą + � + ł).
Dowód: Niech ABC będzie trójkątem hiperbolicznym o kątach ą, �, ł i
niech z1, z2, z3 " Hn będą punktami końcowymi półprostych geodezyjnych
odpowiednio AB, BC, CA.
32
Wówczas trójkąt idealny z1z2z3 jest sumą trójkątów hiperbolicznych uogól-
nionych: Az1z3 o kącie w A równym Ą - ą, Bz1z2 o kącie w B równym Ą - �,
Cz2z3 o kącie w C równym Ą -ł oraz trójkąta ABC. Ponadto części wspólne
tych trójkątów zawierają się w półprostych hiperbolicznych o polu 0.
Stąd i z 6.8.4 oraz 6.8.5 otrzymujemy
Ą = Ą - (Ą - ą) + Ą - (Ą - �) + Ą - (Ą - ł) + A(ABC),
co jest równoważne tezie.
6.9 Podzbiory przestrzeni hiperbolicznej
Stwierdzenie 6.9.1. W modelu Poincar� w kuli (odpowiednio, na półprze-
strzeni) sferą względem metryki dB (odpowiednio d ) jest sfera euklidesowa,
na ogół o innym środku i promieniu.
Wniosek 6.9.2. W modelu w kuli lub na półprzestrzeni kula hiperboliczna
(otwarta lub domknięta) jest kulą euklidesową.
Wniosek 6.9.3. Każda kula hiperboliczna (otwarta lub domknięta) jest wy-
pukła.
Definicja 6.9.4. Dla danej prostej hiperbolicznej �" H2 i danej liczby � > 0
zbiór wszystkich punktów z H2 leżących po jednej stronie prostej odległych
od niej o � nazywamy � hipercyklem.
Uwaga 6.9.5. W modelu w kuli tę część sfery ortogonalnej do "Bn (lub
hiperpłaszczyzny przechodzącej przez �), która jest zawarta w kuli Bn nazy-
wamy hiperpowierzchnią całkowicie geodezyjną.
Hipersferę możemy określić analogicznie do hipercyklu jako zbiór wszyst-
kich punktów Bn leżących po jednej stronie hiperpowierzchni całkowicie geo-
dezyjnej i równo od niej odległych.
Definicja 6.9.6. Dla danej prostej geodezyjnej c : R Hn i danej liczby
r " R zbiór wszystkich punktów x " Hn spełniających warunek
lim (d(x, c(t)) - t) = r
t+"
nazywamy horosferą o końcu c(+").
Stwierdzenie 6.9.7. W przestrzeni hiperbolicznej Hn
1. hiperpowierzchnia całkowicie geodezyjna jest izometryczna z Hn-1,
33
2. horosfera jest izometryczna z En-1.
Przykład 6.9.8. W modelu w kuli horosfera jest sferą styczną wewnętrznie
do "Bn (bez punktu styczności), a hipersfera jest częścią sfery przecinającej
"Bn pod kątem różnym od prostego zawartą w Bn.
34
Rozdział 7
Geometria w niskich wymiarach
7.1 Rozmaitości topologiczne i różniczkowe
Definicja 7.1.1. Rozmaitością topologiczną n wymiarową nazywamy prze-
strzeń topologiczną Hausdorffa, która jest lokalnie homeomorficzna z prze-
strzenią Rn.
Homemorfizmy przeprowadzające zbiory otwarte rozmaitości topologicz-
nej na kule otwarte w Rn nazywamy mapami.
Rozmaitość topologiczna jest orientowalna, jeżeli każde odwzorowanie
przejścia � ć% �-1, gdzie � i � są mapami, zachowuje orientację.
Przykład 7.1.2. Rozmaitościami topologicznymi 1 wymiarowymi są prosta
R i okrąg S1.
Rozmaitościami topologicznymi 2 wymiarowymi są płaszczyzna R2, sfera
S2 i torus S1 � S1.
Definicja 7.1.3. (Gładką) rozmaitością różniczkową wymiaru n nazywamy
n wymiarową rozmaitość topologiczną wraz z pewną rodziną A jej map taką,
że � ć% �-1 " C" dla �, � " A.
Przykład 7.1.4. Płaszczyzna i sfera są rozmaitościami gładkimi.
Definicja 7.1.5. Przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, gdy dla każdej
krzywej ciągłej c : [0, 1] X takiej, że c(0) = c(1) = x0 istnieje odwzoro-
wanie ciągłe H : [0, 1] � [0, 1] X (zwane homotopią) spełniające warunki
H(t, 0) = c(t), H(t, 1) = x0 dla t " [0, 1].
Definicja 7.1.6. Nakryciem uniwersalnym przestrzeni topologicznej X na-

zywamy taką jednospójną przestrzeń topologiczną X, dla której istnieje prze-

kształcenie ciągłe f : X X (zwane przekształceniem nakrywającym), że
każdy punkt przestrzeni X ma otoczenie V , którego przeciwobraz f-1(V )
35

jest sumą otwartych podzbiorów Ui �" X, i " I, oraz każde f|U : Ui V
i
jest homeomorfizmem.
Przykład 7.1.7. Płaszczyzna R2 i sfera S2 są jednospójne.
Płaszczyzna R2 jest nakryciem uniwersalnym torusa S1 � S1.
7.2 Grupy i ich działania
Definicja 7.2.1. Mówimy, że grupa G działa na przestrzeni X (i piszemy
G X) poprzez homemorfizmy, dyfeomorfizmy, izometrie itp. jeżeli istnieje
homomorfizm grupy G w grupę homemorfizmów, dyfeomorfizmów, izometrii
itp. przestrzeni X.
Definicja 7.2.2. Mówimy, że grupa G działa na przestrzeni X w sposób
wolny, gdy z faktu gx = x zawsze wynika, że g jest tożsamością.
Grupa G działa na X w sposób przechodni, dla każdych dwóch elementów
x1, x2 " X istnieje g " G takie, że gx1 = x2.
Definicja 7.2.3. Niech G X. Stabilizatorem punktu x " X nazywamy
podgrupę {g " G ; gx = x}.
Definicja 7.2.4. Grupą Liego nazywamy grupę, która jest jednocześnie gładką
rozmaitością i w której funkcja (x, y) xy-1 jest przekształceniem klasy C".
Definicja 7.2.5. Niech � będzie podgrupą grupy Liego G. Mówimy, że � jest
podgrupą dyskretną, jeżeli każdy punkt ł " � ma w G otoczenie przecinające
� tylko w punkcie ł.
7.3 Struktury geometryczne
Definicja 7.3.1. Geometrią modelową nazywamy jednospójną gładką roz-
maitość X, na której działa grupa Liego G tak, że stabilizatory wszystkich
punktów są zwarte.
Definicja 7.3.2. Strukturą geometryczną na rozmaitości gładkiej M nazy-
wamy dyfeomorfizm M X/�, gdzie (X, G) jest geometrią modelową, � 
dyskretną podgupą grupy G działającą na przestrzeni X w sposób wolny.
36
7.4 Uniformizacja w wymiarze 2
Twierdzenie 7.4.1. Każda 2 wymiarowa zwarta i orientowalna rozmaitość
topologiczna jest homeomorficzna z powierzchnią Łg dla pewnego g " N*"{0},
przy czym
Ł0 = S2,
Łg powstaje z Łg-1 przez doklejenie rączki S1�[0, 1] w miejsce wyciętych
dwóch rozłącznym kół B2, g 1.
Twierdzenie 7.4.2. 1. Na powierzchni Ł0 = S2 istnieje struktura geo-
metryczna modelowana na (S2, Isom (S2)).
2. Na powierzchni Ł1 = S1 � S1 istnieje struktura geometryczna modelo-
wana na (E2, Isom (E2)).
3. Dla dowolnego g 2 na powierzchni Łg istnieje struktura geometryczna
modelowana na (H2, Isom (H2)).
Wniosek 7.4.3. Jedynymi geometriami modelowymi w wymiarze 2 są geo-
metrie: sferyczna, euklidesowa i hiperboliczna.
7.5 Geometryzacja w wymiarze 3
Definicja 7.5.1. Geometrią modelową Thurstona nazywamy 3 wymiarową
geometrię modelową X, dla której istnieje co najmniej jedna zwarta rozma-
itość ze strukturą geometryczną modelowaną na X.
Twierdzenie 7.5.2. (Thurstona) Istnieje 8 geometrii modelowych Thur-
stona: S3, E3, H3, S2 � R, H2 � R, SL(2, R), Nil oraz Sol.
Twierdzenie 7.5.3. (Perelmana  hipoteza geometryzacyjna) Każda
zorientowana zwarta rozmaitość 3 wymiarowa może być rozcięta wdłuż pew-
nej rodziny sfer i torusów w taki sposób, że na każdej części takiego rozkładu
można wprowadzić strukturę geometryczną o skończonej objętości modelo-
waną na geometrii modelowej Thurstona.
37
Bibliografia
[1] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathemati-
cal Society 2007
[2] J. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 1999
[3] R. Benedetti, C. Petronio, Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer
1992
[4] D. Brannan, M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge University
Press 1999
[5] M. Bridson, A. Haefliger, Metric Spaces of Nonpositive Curvature,
Springer 1999
[6] J. McCleary, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge
University Press 2012
[7] R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe
UAM 2001
[8] G. Jennings, Modern Geometry with Applications, Springer 1997
[9] J. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Springer 1994
[10] W. Thurston, Three dimensional Geometry and Topology, Princeton
University Press 1997
38