Kolokwium I rok 2007/2008
Zadanie 3: Obliczyć x2 ydx +ð xy(y +ð1)dy , jeżeli L jest krzywÄ… L :{ x2 +ð y2 +ð 2y =ð 0 } zorientowanÄ…
òð
L
ujemnie względem swojego wnętrza.
RozwiÄ…zanie:
rð
Definicja :CaÅ‚kÄ™ krzywoliniowa z funkcji F =ð [P, Q]ciÄ…gÅ‚ej na Å‚uku gÅ‚adkim zorientowanym
rð rð
L : r =ð r(t) dla t Îð að, bð o parametryzacji zgodnej z orientacja, oznaczamy symbolem
að
P dx + Qdy = [ P (x(t), y(t)) · x (t) + Q(x(t), y(t)) · y (t))] dt
òð òð
bð
L
1) L :{ x2 +ð y2 +ð 2y =ð 0 } czyli L :{ x2 +ð (y +ð1)2 =ð 1 } wiÄ™c L jest okrÄ™giem o Å›rodku P(0,-ð1) i
promieniu r =ð 1. Pokzane jest to na wykresie:
2) ParamatryzujÄ…c okrÄ…g otrzymamy:
x =ð cos t
x'=ð -ðsin t
y =ð sin t -ð1 stÄ…d:
y'=ð cos t
dla t Îð 0 ; 2pð
3) Podstawiając dane pod całkę obliczamy:
2
=
òðx ydx +ð xy(y +ð1)dy
-ðL
2pð
2
-ð
= =
òð(cos t (sint -ð1)(-ðsint) +ð cost(sint -ð1)sint cost)dt
0
2pð
2pð
2
-ð
=
òð0
òð(-ðcos t sin2 t +ð sint cos2 t -ð cos2 t sint +ð sin2 t cos2 t)dt =ð -ð dt =ð 0
0 0
Odpowiedz
: x2 ydx +ð xy(y +ð1)dy = 0 .
òð
-ðL
Autor: Dagmara Klos grupa 2
24.10.2013