Kolokwium I rok 2008/2009
rð
Zadanie 1: Zbadać, czy pole wektorowe F = [ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ] speÅ‚nia warunek
wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.
RozwiÄ…zanie:
rð rð
Warunek konieczny do istnienia potencjału pola wektorowego F : Jeżeli pole wektorowe F jest potencjalne w całej
rð rð
swojej dziedzinie D , to rotF(x, y, z) =ð 0dla każdego (x, y, z) Îð D .
1) Sprawdzamy warunek konieczny istnienia potencjału pola wektorowego.
rð
F =ð[ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ]
rð
rð rð
i j k
rð
Å›ð Å›ð Å›ð
rotF =ð =
Å›ðx Å›ðy Å›ðz
2xze2 y +ð sin z 2x2 ze2 y x2e2 y +ð x cos z +ð 3z2
rð
= [ 2x2e2 y -ð 2x2e2 y ; cos z +ð 2xe2 y -ð ( cos z +ð 2xe2 y ) ; 4xze2 y -ð 4xze2 y ] = [ 0;0;0 ] = 0 .
rð rð rð
Zatem rotF(x, y, z) =ð 0 oraz D =ð R3 - stÄ…d F jest polem potencjalnym.
2) Wyznaczamy potencjaÅ‚ f (x, y, z) taki, że grad f =ð [ fx , f , fz ] , gdzie P =ð fx;Q =ð f ; R =ð fz .
y y
2 y y
fx =ð 2xze2 y +ð sin z Þð f (x, y, z) =ð
òð(2xze +ð sin z)dx =ð x2e2 z +ð xsin z +ð C(y, z)
Obustronnie liczymy pochodnÄ… po y i otrzymujemy :
f =ð 2x2ze2 y +ð Cy (y, z) =ð Q =ð 2x2ze2 y Þð Cy (y, z) =ð 0
y
CaÅ‚kujÄ…c obustronnie po y : C(y, z) =ð 0 +ð D(z)
f (x, y, z) =ð x2e2 y z +ð xsin z +ð D(z)
liczymy pochodnÄ… po z :
fz =ð x2e2 y +ð cos z +ð D'(z) =ð R =ð x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 Þð D'(z) =ð 3z2
CaÅ‚kujÄ…c otrzymamy: D(z) =ð z3 +ð A
rð
PotencjaÅ‚ pola wektorowego F to: f (x, y, z) =ð x2e2 y z +ð xsin z +ð z3 +ð A.
rð
3) SprawdzajÄ…c poprawność rozwiÄ…zania liczymy czy : grad f =ð F .
rð
grad f = [ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ]= F
rð
Odpowiedz
: PotencjaÅ‚ pola wektorowego F = [ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ]
jest równy: f (x, y, z) =ð x2e2 y z +ð xsin z +ð z3 +ð A, gdzie A jest dowolnÄ… staÅ‚Ä….
Autor: Dagmara Klos grupa 2
15.10.2013