Kolokwium I rok 2008/2009
Zadanie 5: a) Wykazać, że krzywizna i skręcanie krzywej L :{�2y =� x2,6z =� x3}� są sobie równe.
b) Co znaczy, że punkt M0 (OM =� r(t0 )) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma
punkt wyprostowania?
Rozwiązanie:
a)
1) Potrzebne wzory do obliczeń:
| r'(t)�� r"(t) |
a) Krzywizna krzywej c�(t) =�
| r'(t) |3
| r'(t)�� r"(t) | o�r'''(t)
b) Skręcenie krzywej s� (t) =�
| r'(t)�� r"(t) |2
2) Parametryzacja prostej L
L :{�2y =� x2,6z =� x3}�
x2 x3
y =� ; z =�
2 6
��
��
x =� t
��
t2
��y =� gdzie t ��[0;1]
��
2
��
t3
��
z =�
��
�� 6
3) Obliczenie potrzebnych nam danych do wzorów
a) Pochodne z r(t) :
�� ł�
t2 t3
r(t) =� ,
ę�t, 2 6 ś�
�� ��
�� ł� �� ł�
2t 3t2 t2
r'(t) =� , =� pochodna I rzędu z r(t)
ę�1, 2 6 ś� ę�1,t, 2 ś�
�� �� �� ��
r''(t) =� [�0,1,t]� pochodna II rzędu z r(t)
r'''(t) =�[�0,0,1]� pochodna III rzędu z r(t)
b) Zależności z wzorów:
i j k
�� ł� �� ł�
t2 2 t2 t2
�� r'(t)�� r"(t) =� 1 t =� -� ,0 -� t,1-� 0ś� =� ,-�t,1ś�
ę�t 2 ę�
2 2
�� �� �� ��
0 1 t
2
ć� ��
t2 t4
2
�� ��
�� | r'(t)�� r"(t) |=� +� (�-� t)� +�12 =� +� t2 +�1
�� ��
2 4
Ł� ł�
2
ć� ��
t2 t4
2
�� ��
�� | r'(t) |=� 12 +�(�t)� +� =� +� t2 +�1
�� ��
2 4
Ł� ł�
4) Obliczenie krzywizny krzywej
t4
+� t2 +�1
| r'(t)�� r"(t) | 1 1
4
c�(t) =� =� =� =�
3 2
t4
| r'(t) |3 ć� �� ć� ��
t4 t4
��
+� t2 +�1�� �� +� t2 +�1�� 4 +� t2 +�1
�� �� �� ��
4 4
Ł� ł� Ł� ł�
5) Obliczenie skręcenia krzywej
�� ł�
t2
,-�t,1ś� o�[�0,0,1]�
ę�
2
| r'(t) �� r"(t) | o�r'''(t) 0 +� 0 +�1 1
�� ��
s� (t) =� =� =� =�
2
t4 t4
| r'(t) �� r"(t) |2 ć� t4
��
��
+� t2 +�1�� 4 +� t2 +�1 4 +� t2 +�1
�� ��
4
Ł� ł�
6) Wnioski:
1 1
c� =� i s� =� stąd:
t4 t4
+� t2 +�1 +� t2 +�1
4 4
c� =� s� krzywizna krzywej jest równa jej skręceniu
b)
�� Punkt M0 (OM =� r(t0 )) jest punktem wyprostowania krzywej L : r =� r(t0) , wtedy gdy c�(t0) =� 0
�� Aby prosta L :{�2y =� x2,6z =� x3}� miała punkt wyprostowania:
c� =� 0, więc:
1
=� 0
t4
+� t2 +�1
4
t4
+� t2 +�1 =� 0
4
t4
+� t2 +�1��zawsze będzie ł� 0 więc krzywa L :{�2y =� x2,6z =� x3}� nie posiada punktu wyprostowania.
4
Odpowiedz
:
a) Krzywizna i skręcenie są sobie równe.
b) Krzywa nie posiada punktu wyprostowania.
Autor: Anna B. grupa 2
5.11.2013