Kolokwium I rok 2007/2008
Zadanie 1: Zbadać, czy pole wektorowe F =ð [3x2 +ð y; x;2z] speÅ‚nia warunek wystarczajÄ…cy istnienia
potencjału i wyznaczyć ten potencjał.
RozwiÄ…zanie:
Warunek konieczny aby istniał potencjał pola wektorowego F :
Jeżeli pole F jest potencjalne w swej dziedzinie, to rotF(x; y; z) =ð 0dla każdego (x, y, z)Îð D
1) Sprawdzamy istnienie pola potencjalnego poprzez zbadanie, czy rotF(x; y; z) =ð 0
F =ð [3x2 +ð y; x;2z]
i j k
rð rð
rð rð rð rð
Å›ð Å›ð Å›ð Å›ð(2z) Å›ð(3x2 +ð y) Å›ð(x) Å›ð(3x2 +ð y) Å›ð(x) Å›ð(2z)
rot F =ð =ð i +ð j +ð k -ð k -ð i -ð j
Å›ðx Å›ðy Å›ðz Å›ðy Å›ðz Å›ðx Å›ðy Å›ðz Å›ðx
3x2 +ð y x 2z
rð rð
rð rð rð rð
=ð 0i +ð 0 j +ð1k -ð1k -ð 0i -ð 0 j =ð [0,0,0] =ð 0
ìðrotF(x; y; z) =ð 0
ïð
Þð F jest zatem polem potencjalnym.
íð
ïð
D =ð R3
îð
2) Szukamy potencjału f (x, y, z) , takiego że
grad f =ð [ fx; f ; fz ] , gdzie P =ð f , Q =ð fy , R =ð fz
y x
'
2
fx =ð 3x2 +ð y Þð f (x; y; z) =ð +ð y)dx =ð x3 +ð yx +ð C(y, z) - obustronnie liczymy pochodnÄ… po y
/
òð(3x y
f =ð x +ð Cy (y, z) =ð Q =ð x
y
Cy (y, z) =ð 0 - obustronnie caÅ‚kujemy po y
C(y, z) =ð 0 +ð D(z)
'
f (x, y, z) =ð x3 +ð yx +ð D(z) - obustronnie liczymy pochodnÄ… po z
/
z
óð
fz =ð D (z) =ð R =ð 2z
D(z) =ð z2 +ð A
f (x, y, z) =ð x3 +ð yx +ð z2 +ð A - potencjaÅ‚ pola wektorowego F
3) Aby sprawdzić poprawność rozwiÄ…zania liczymy gradient f - jeÅ›li wyjdzie F =ð grad f oznacza to
poprawnie policzony potencjał pola wektorowego i koniec zadania.
Faktycznie, F =ð grad f =ð [3x2 +ð y; x;2z].
Odpowiedz
: PotencjaÅ‚ pola wektorowego wynosi f (x, y, z) =ð x3 +ð yx +ð z2 +ð A, gdzie A jest dowolnÄ… staÅ‚Ä….
Autor: Anna B. grupa 2
14.10.2013