Analiza danych pomiarowych
Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem
o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej,
nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.
Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:
" błędy grube
" błędy systematyczne
" błędy przypadkowe
Błąd gruby
" wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki eksperymentatora,
wyraz
nej niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia
układu pomiarowego
" objawia się istnieniem jednego wyniku znacząco odstającego od
pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów
" wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj łatwo
zauważalny i należy go odrzucić.
1
Błędy grube
błąd gruby
x0  wartość prawdziwa
xi  wyniki pomiarów
(oznaczone symbolem )
BA

DY  GRUBE ODRZUCAMY
ppm = m�g/g
23,3 ppm; 24,5 ppm; 27,9 ppm ; 33,5 ppm; 0,02 ppm
W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować czasami
skomplikowane testy statystyczne !!!!
Błąd systematyczny
" błąd polegający na stałym lub zmiennym, systematycznym odchyleniu
wyniku pomiaru od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej
" przesunięcie wyniku następuje zwykle wtę sama stronę
" metody statystyczne nie mają tu zastosowania.
2
Oddziaływania systematyczne:
��niedoskonałość przyrządów pomiarowych
��błędne wyskalowanie, niewyzerowanie
��błąd paralaksy
��w analityce  złe wzorce
��nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru
do warunków skalowania (inne warunki pomiaru
próbki i wzorca)
Błędy (niepewności) systematyczne
x0  wartość prawdziwa
xi  wyniki pomiarów
(oznaczone symbolem )
Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy
powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między
wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą,
natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów
jest mały. Błędy te są powodowane oddziaływaniami
systematycznymi
3
Błędy przypadkowe
��
powstaje na skutek działania czynników losowych
��
jest miarą rozrzutu otrzymywanych wyników
wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.
��
błędu przypadkowego w zasadzie nie da się
wyeliminować a także nie da się go oszacować
przed dokonaniem pomiaru
��
staramy się tak zaprojektować i przeprowadzić pomiar,
aby wartość błędu przypadkowego była jak najmniejsza
��
po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny wielkości
błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych.
Oddziaływania przypadkowe:
��niedokładność odczytu (niedokładna ocena części
działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie
optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych)
��fluktuacja warunków pomiaru (temperatura,
ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej)
��obecność z
ródeł zakłócających;
��nieokreśloność mierzonej wielkości;
��niedoskonałość zmysłów obserwatora;
4
Błędy (niepewności) przypadkowe
x0  wartość prawdziwa
xi  wyniki pomiarów
(oznaczone symbolem )
Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem
wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i
przestrzenne wielkości nie mierzonej. Charakter losowy.
y
ródłem błędów przypadkowych są tzw. oddziaływania
przypadkowe:
WIELKOŚCI MIERZONE
W pomiarach bezpośrednich W pomiarach pośrednich
Pomiar kilku wielkości x1,x2,& xn
Pomiar jednej wielkości
Obliczenie wielkości pośredniej
zgodnie ze wzorem funkcyjnym:
(np. pomiar masy ciała,
y=f(x1,x2,& xn)
pomiar temperatury, itd.
Na przykład pomiar okresu drgań
i długości wahadła matematycznego.
Obliczenie wartości przyspieszenia
ziemskiego g.
5
l 4p�2l
T =� 2p� �� g =�
g T2
l, T  wielkości wejściowe, zmierzone w pomiarach
bezpośrednich, mają swoje niepewności
Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych
warunkach?
Jak policzyć niepewność g?
Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiar
wielkości l (wielkości nieskorelowane)
Zgodnie z Przewodnikiem niepewności
klasyfikujemy na dwie kategorie
w zależności od metody ich obliczania:
TYPU A
TYPU B
6
BA

D ą� NIEPEWNOŚĆ
Omyłka, uchyb, błąd*), niepewność
SYNONIMY?
* - Asystent zwraca się do studentki:
A z jakim błędem wyznaczyła Pani grubość próbki?
Studentka:
No, wie Pan! Ja nie robię błędów
Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:
Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I Pracowni Fizycznej
METODA TYPU A
Błędy (niepewności) przypadkowe
Metoda szacowania niepewności, która
opiera się na obliczeniach statystycznych
(statystyczna analiza serii pomiarów 
n ł� 4)
7
METODA TYPU B
Błędy (niepewności) systematyczne
Metoda szacowania niepewności, która
Wykorzystuje inne metody niż statystyczne:
��doświadczenie eksperymentatora
��porównanie z wcześniej wykonywanymi
podobnymi pomiarami
��certyfikat producenta wykorzystywanych
w pomiarach przyrządów
��analiza materiału wzorcowego (odniesienia)
Najczęściej pomiar jednokrotny
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
1. Wykonujemy serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną
n
jest średnia arytmetyczna :
��x
i
i=�1
x =�
n
3. Niepewność standardowa pojedynczego
pomiaru u(x) (tzw. odchylenie
n
standardowe
1
2
u(x) =� Sx =� -� x)�
��(�xi
pojedynczego
n -� 1
i=�1
pomiaru Sx)
8
Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność
wyniku czyli wartości średniej
n
2
-� x)�
��(�xi
Sx i=�1
u(�x)�=� Sx =� =�
n n(�n -� 1)�
Niepewność standardowa średniej:
9
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH POŚREDNICH
(*)
y =� f (x1, x2,...xK )
x1, x2,& ,xK  wielkości wejściowe nieskorelowane, każde określone
w pomiarach bezpośrednich. Znamy: oraz niepewności
x1, x2,...xK
standardowe średnich: u(x1),u(x2 ),...u(xK )
PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?
PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową
wielkości y ?
1.
x1
y =� f(�x1,x2,...,xK )� y
x2
xK
Schemat przenoszenia wielkości wejściowych
10
2. Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością
standardową (ang. combined standard uncertainty)
u(x1)
2
u(x2)
K
ć� ��
uc(y)
uc(y) =�
���� ś�f �� u2(xi )
�� ��
ś�xi
i =�1
Ł� ł�
u(xK )
Schemat przenoszenia niepewności
wielkości wejściowych
METODA TYPU B
Metoda szacowania niepewności wykorzystująca
inne metody niż statystyczne:
wcześniejsze doświadczenie eksperymentatora
specyfikacja producenta odnośnie używanego
w pomiarach przyrządu (klasa przyrządu)
z kalibracji (wcześniej wykonanej)
badania na materiale odniesienia (chemia
analityczna)
Najczęściej jeden lub dwa pomiary
11
Parametry metrologiczne aparatury:
Klasa przyrządu K (dana przez producenta)
Niepewność pomiaru wynikająca z klasy
przyrządu D�kx:
K �� zakres pomiaru
D�kx =�
100
Dla woltomierza klasy 0,2 na zakresie 50 V
popełniamy  błąd D�kx = 0,1 V
Rozdzielczość przyrządu :
Dla pomiarów długości:
1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla suwmiarki;
0,01 mm dla śruby mikrometrycznej
Dla pomiarów temperatury:
0,1 �C dla termometru lekarskiego;
10 �C dla termometru  zaokiennego
Dla mierników wychyłowych   odstęp
pomiędzy kreskami (ew. połowa)
12
Rozdzielczość przyrządu:
Dla mierników analogowych - zmiana
ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 0,01 V)
Niepewność wynikająca z rozdzielczości
aparatury D�d
Maksymalna (graniczna) niepewność
pomiaru szacowana metodą typu B wynosi:
D�gx =� D�dx +� D�kx
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B W POMIARACH POŚREDNICH
x1
y =� f(�x1,x2,...,xK )�
y
x2
xK
x1, x2, & ,xK  wielkości pomiarów jednokrotnych
13
Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru �D�g(y)
może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej
D�gx1
D�gx2
K
ś�f
�D�g(y)
D�gy =� �� D�gxi
��
ś�xi
i=�1
D�gxK
UWAGA: Metoda  różniczki zupełnej prowadzi do zawyżonych wyników
niepewności (zwłaszcza dla K �> 3)
14
A w jaki sposób obliczyć niepewność wielkości, która
uzależniona jest od oddziaływań systematycznych i
przypadkowych ?
Standardowa niepewność
2
uc(x) =� u2 +� uB
A
całkowita
PAMI
TAJ !!!
Do obliczania wielkości pośrednich i niepewności
używaj wielkości niezaokrąglonych
15
Przedstawianie błędów pomiarowych
i zaokrąglanie wyników
W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci:
XR = XM ą "X
gdzie:
XR - wartość rzeczywista wielkości mierzonej,
XM - wartość uzyskana w wyniku pomiaru,
"X - niepewność lub błąd pomiaru.
Powyższy zapis oznacza, że:
- najlepszym przybliżeniem wartości mierzonej jest według
eksperymentatora liczba XM ;
- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana wartość znajduje się
gdzieś pomiędzy Xm - "X i Xm + "X.
16
Przedstawianie błędów pomiarowych
i zaokrąglanie wyników II
Błąd pomiaru "X jest wielkością oszacowaną.
Nie ma więc sensu podawać wszystkich cyfr, które otrzymujemy z
obliczeń. Obliczone wartości Xm i "X podajemy zaokrąglone.
Oznacza to, że przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.
Cyframi znaczącymi danej liczby różnej od zera nazywamy
wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer.
Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, jeśli są one
wynikiem obliczeń, a nie zaokrągleń. Oznacza to, że pierwsza
liczba znacząca musi być różna od zera, natomiast druga, trzecia i
dalsze mogą być zerami.
Przedstawianie błędów pomiarowych
i zaokrąglanie wyników III
Przy zaokrąglaniu wyniku pomiaru stosowane są powszechnie
przyjęte zasady zaokrągleń : liczbę kończącą się cyframi 0-4
zaokrąglamy w dół, a5- 9 wgórę .
Oszacowane błędy zaokrąglamy zawsze w górę, ponieważ w
żadnym przypadku nie wolno pomniejszać błędów. Zawsze lepiej
podać zawyżoną wartość błędu niż go niedoszacować .
Obliczenia wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr, niż chcemy
podać wynik. Zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu
obliczeń.
Błędy pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej
(wyjątek: 1, 2). Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru
powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru.
17
PRZEPIS  KUCHENNY ZAOKR
GLANIA :
1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności
�� ZAWSZE W GÓR
DO JEDNEGO LUB
DWÓCH MIEJSC ZNACZ
CYCH
Do jednego miejsca znaczącego, gdy
na skutek zaokrąglenia błąd ten nie
zwiększy się nie więcej niż o 10%
0,12501 może być tylko 0,2 lub 0,13
Którą wybieramy?
Sprawdzamy:
(0,2  0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)
Zatem niepewność = 0,13
18
1. Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka
miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np.
123,37602
0,13
2. Patrzymy na cyfrę:
3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy
według następujących zasad:
Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
��
tzn. gdyby wynik był 123,37489 to dostaniemy
123,37 0,13
ą�
Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w
��
górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:
123,38 0,13
ą�
Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a
��
po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od
zera
W sytuacji np. wyniku 123,3750000001
lub 123,3753210023
zaokrąglamy do 123,38 0,13
ą�
19
ZAPAMI
TAJ !
PRAWIDA
OWO ZAOKR
GLONE:
WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ
I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJ
TAK

SAM
ILOŚĆ MIEJSC DZIESI
TNYCH !
20
21
22
23
24