Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru
(Guide to Expression of Uncertainty in Measurements 
Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)
RACHUNEK
NIEPEWNOŚCI
POMIARU
http://physics.nist.gov/Uncertainty
Wyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodnik. Warszawa, Główny Urząd
Miar 1999
H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999
A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247
A.Zięba, Pracownia Fizyczna WFiTJ, Skrypt Uczelniany SU 1642, Kraków
2002
WST
P
W trakcie pomiaru uzyskujemy wartości różniące
się od przewidywań teorii. Gdy doświadczenie
staje się doskonalsze, niepewności pomiarowe
maleją. W ogólności rozbieżność między teorią i
eksperymentem zależy od:
-Niedoskonałości człowieka (osoby
wykonującej pomiar)
-Niedoskonałości przyrządów pomiarowych
-Niedoskonałości obiektów mierzonych
Terminologia
 Niepewność a błąd pomiaru
W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenia:
Błąd bezwzględny:
" = x - x0
[wymiar x]
"
[bezwymiarowe]
� =
Błąd względny:
x
0
Gdzie x  wartość zmierzona, x0  wartość rzeczywista
Niepewność
Błąd pomiaru jest pojedynczą realizacją zmiennej losowej
i nie wchodzi do teorii niepewności. W praktyce nie
znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych i
szacujemy niepewności pomiarowe wynikające ze
statystycznych praw rozrzutu pomiarów.
Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem.
Istotny jest również problem niepewności przypisywanej
wielkości złożonej (wyliczanej ze wzoru fizycznego)
y=f(x1,x2,...xn)
Podział błędów
Wyniki pomiarów podlegają pewnym
prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla
zmiennej losowej. Z tego względu błędy dzielimy
na:
" Błędy grube (pomyłki) - eliminować
" Błędy systematyczne - poprawki
" Błędy przypadkowe  podlegają rozkładowi
Gaussa, wynikają z wielu losowych przyczynków,
nie dają się wyeliminować
Typy oceny niepewności
Typ A
Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów:
" wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru
" ma zastosowanie do błędów przypadkowych
Typ B
Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora
wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i z
ródłach
jego niepewności
" stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa
" dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru
Teoria niepewności maksymalnej
To podejście zakłada, że można określić przedział wielkości
mierzonej x, w którym na pewno znajdzie się wielkość
rzeczywista. W zapisie
x ą "x
gdzie "x jest niepewnością maksymalną
nie posługujemy się rachunkiem prawdopodobieństwa.
Niepewność standardowa
Jest miarą dokładności pomiaru uznawaną za
podstawową. Definicja mówi:
Niepewność standardowa u jest oszacowaniem
odchylenia standardowego.
1. Rezultat pomiaru jest zmienną losową, której
rozrzut charakteryzuje parametr zwany
odchyleniem standardowym
2. Dokładnej wartości odchylenia standardowego
nie znamy. Niepewność standardowa jest jego
niezbyt dokładnym oszacowaniem.
Niepewność u posiada wymiar, taki sam
jak wielkość mierzona
Niepewność względna ur(x) to stosunek
niepewności (bezwzględnej) do wielkości
mierzonej:
u(x)
ur (x) =
x
Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową i
może być wyrażona w %
Rozkład normalny Gaussa
Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub
jej błędu "x podlega rozkładowi Gaussa
2
�# ś#
1 ( x - x0 )
ś# ź#
Ś ( x) = exp -
2
ś# ź#
2�
� 2Ą
�# #
x0 jest wartością najbardziej prawdopodobną i może być nią
n
3
wartość średnia
Ś(x)
xi
"
i
x =
2
x0=15
n
�=2
�=5
� jest odchyleniem standardowym
1
�2 jest wariancją
0
0 5 10 15 20 25 30
x
W przedziale x0-� < x < x0+� mieści się ok. 68% wszystkich
pomiarów
Rozkład normalny Gaussa
3
Ś(x)
x0=15
2
�=2
�=5
1
0
0 5 10 15 20 25 30
x
2
(xi - x )
"
� = u( x) =
n(n - 1)
Prawo przenoszenia niepewności
Niepewność standardową wielkości złożonej
y=f(x1,x2,...xn) obliczamy z tzw. prawa
przenoszenia niepewności jako sumę geometryczną
różniczek cząstkowych
2 2 2
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
"y "y "y
uc(y) =
ó#"x u(x1)Ą# + ó#"x u(x2)Ą# +...+ ó#"x u(xn)Ą#
Ł# 1 Ś# Ł# 2 Ś# Ł# n Ś#
uc(y)
ucr (y) =
y
Przykład  współczynnik załamania światła
Z pomiarów D ą"D, d1 ą"d1 i d2 ą"d2
n = D /(d1 - d 2)
Wyliczmy niepewność standardową "n:
"n 1
=
2 2 2
"n "n "n
Ą# Ą# ń# Ą# ń# "D d1 - d 2
"n = +
ó#"D "Dń# + ó#"d1 "d1Ą# ó#"d 2 "d 2Ą#
Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# "n D
= -
"d1 (d1 - d 2)2
2 2
Ą# ń# Ą# ń#
1 D
2 2
"n = ("d1 + "d 2 )
ó#(d1 - d 2) "DĄ# + ó#(d1 - d 2)2 Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
D= 1.58 mm, d1= 1.26 mm, d2= 0.18 mm, n= 1.58/1.08= 1.46296293
2
2
[ ]
"n = [0.01/1.08] + 1.58/(1.08)2 (0.012 + 0.022) = 0.01 0.9 + 9.5 = 0.03
Na wartości "D, "d1 i "d2 mają wpływ dokładności przyrządów i
statystyczny rozrzut pomiarów.
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa
2
n
2
S = [yi - (axi + b)] = min
"
i
60
y
f(x)=ax+b
a=3.23, b=-2.08
40
yi
20
f(xi)
blad gruby
0
4 6 xi 8 10 12 14 16
x
Warunek minimum funkcji dwu
zmiennych:
2 2
"S "S
= 0 = 0
"a "b
Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b
a xi2 + b xi = xi yi
" " "
a xi + bn = yi
" "
Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b
n x y - x y
"" "
i i i i
a =
W
2
x y - x x y
"" " "
i i i i i
b =
W
2
W = n xi2 - ( xi)
" "
Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia
na odchylenia standardowe obu parametrów
prostej:
2
n S
"a =
n - 2 W
xi2
"
"b = "a
n
Przykład zastosowania regresji
liniowej y=ax+b
Prawo Hooke a
1.0
x [m]
0.8
0.6
x0
0.4
x=F/k+x0
0.2
1/k=a=4.45ą0.15, x0=b=0.467ą0.08
0.0
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
F [N]
Dopasowywanie właściwej funkcji
Model matematyczny musi pasować do
modelu fizycznego!!!
40
Przykład:
y=ax czyli U=IR
U [V]
prawo Ohma
a= R= 2.0 ą0.2 [k�]
U=R�I
20
czyli
Y=a�x
0
a nie y=ax+b
0 2 4 6 8 10 12 14 16
I [mA]
Wyraz wolny b=0!
Regresja liniowa jednoparametrowa
2
n
2
S = [yi - axi ] = min
"
i
2
"S
= 0
"a
2
- 2
"x yi + 2a"x = 0
i i
n
[(axi - yi )2]
x y
"
"
i i
n
i=1
� = "
a =
a
n
2
n - 2
x [xi 2]
"
"
i
i=1
Zasady rysowania wykresów
Zasady rysowania wykresów
Czy ten wykres jest narysowany zgodnie z
zasadami?
1. Należy wyraz
nie zaznaczyć
punkty eksperymentalne !!!
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
0 40 80 120 160 200 240 280 320
2. Trzeba nanieść błąd pomiaru
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
0 40 80 120 160 200 240 280 320
3. Dobrać zakresy osi współrzędnych
odpowiednio do zakresu zmienności danych
pomiarowych !!!
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
0 40 80 120 160 200 240 280 320
4. Właściwie opisać osie współrzędnych i dobrać
skalę, tak aby łatwo można było odczytać
wartości zmierzone.
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
160 200 240 280 320
co jest na osiach ???
5. Nie łączyć punktów eksperymentalnych linią
łamaną!!! Jeśli znany jest przebieg teoretyczny to
dokonać dopasowania teorii do doświadczenia
(przeprowadzić fitowanie)
180
150
120
90
60
160 200 240 280 320
T [K]
� [ź�
cm
]
6. Zadbać o aspekt estetyczny wykresu (opis,
zamknięcie ramką, itp.)
180
dane eksperymentalne
dopasowanie
150
120
90
60
160 200 240 280 320
T [K]
� [ź�
cm
]
Wykres 1
180Rezystywnosc � probki Bi w funkcji temperatury T
dane eksperymentalne
dopasowanie
150
120
90
60
160 200 240 280 320
T [K]
� [ź�
cm
]