PRAWA STATYKI i DYNAMIKI PA
YNÓW
Dotychczas omawiałem prawa mechaniki p. material-
nego, dyskretnego układu p. materialnych i ciała sztyw-
nego.
Ciała sztywne posiadają sprężystość objętości i postaci
(posiadają określony rozmiar i kształt).
Makroskopowo materia to:  ciała stałe,
 płyny.
Płyny to ciała zdolne do płynięcia, nieposiadające spręży-
stości postaci.
Płyny to:  ciecze - posiadają sprężystość
objętości,
 gazy - brak sprężystości objętości.
601
G
STOŚĆ
Do opisu płynów stosujemy pojęcie gęstości �:
m
� = , [kg m-3], 1 g =1�"103kg
V
cm3
Jakie wartości gęstości spotykamy w przyrodzie?
materiał
� (kg/m3) � (g/cm3)
przestrzeń międzygwiezdna 10-21 10-24
najlepsza próżnia laborat. 10-17 10-20
1.3 1.310-3
powietrze (1 atm 0 �C)
6.5 6.510-3
powietrze (50 atm 0 �C)
1103 1
woda
5.5103 5.5
Ziemia: wartość średnia
9.5103 9.5
rdzeń
2.8103 2.8
skorupa
4,5103 4,5
Ti
7,5103 7,5
stal
19,3103 19,3
Au
21,5103 21,5
Pt
13,5103 13,5
rtęć (ciecz)
1015 1012
białe karły
1017 1014
jądro uranu
Gęstość zależy od wielu czynników takich jak temperatu-
ra, ciśnienie.
602
CIŚNIENIE
Dla cieczy siła powierzchniowa musi być zawsze prosto-
padła do powierzchni płynu podczas gdy w ciele stałym
może mieć dowolny kierunek.
Ciśnienie jest równoważne wartości siły prostopadłej
działającej na jednostkę powierzchni.
dF
p =
Ciśnienie: , [p] = Pa = N�m-2,
dS
ciśnienie atmosferyczne (20o):
p0 = 1013 hPa
1013 hPa = 1 atm,
1 atm = 760 mm Hg.
1 bar = 105 Pa
Ciśnienie jest wielkością skalarną.
dF
S
603
PRAWO PASCALA
Przypatrzmy się nadmuchanemu balonikowi.
Gdy w dowolnym punkcie ciśnienie wzrośnie o pewną
wartość, to o tę samą wartość wzrośnie w każdym punk-
cie.
Zatem ciśnienia w każdym punk-
cie:
p1 = p2 = p3 = ... = pn
Prawo Pascala
Prawo Pascala
(Blaise Pascal - 1623 -1662)
Ciśnienie wywierane na płyn zamknięty w naczyniu jest
przenoszone bez zmiany wartości na każdą część płynu i
na ścianki zawierającego go naczynia.
604
ZMIANY CIŚNIENIA WEWN
TRZ NIERUCHOMEGO
PA
YNU
Rozpatrzmy element w kształcie cienkiego równoległobo-
ku o grubości dy i powierzchni S. Obl. dp/dy=?
poziom odniesienia
X
.
F p S
S
dy
� dF dF
dy
dV
.
(p+dp) S
F
Y
nie wektorowo F2 = F1 + dF
(p + dp) �"S = p �"S + dF,
p �"S + dp �"S = p �"S + dF,
dF = g �" dm = � �" g �" dV = � �" g �" S �" dy ,
dp �"S = � �" g �"S�" dy,
dp = � �" g �" dy / dy
dp
= � �" g
.
dy
605
d
m
(A). Zmiany ciśnienia płynu w funkcji różnicy pozio-
mów
0
X dp
z ww.:
= ��" g
dy
dp = ��" g �" dy /
y1 p1
+"
p2 y2
dp ~ dy
dp
dy
+"dp = � �" g �" +"dy,
p1 y1
y2
p2
Y
p2 - p1 = � �" g(y2 - y1).
(B). Zmiany ciśnienia w funkcji głębokości p(h),
gdy dla h=0 ciśnienie wynosi p0.
p1=p0, p2=p, y1=0, y2=h
p
0
0
p
h
+"dp = � �"g �"+"dy,
h
p0 0
p - p0 = ��" g �" h,
h
p
p = p0 + � �" g �" h,
Y
wysokość/głębokość ciśnienie powietrza
6 km 0.5 atm. 506 hPa
0 m 1 atm. 1013 hPa
6 km w głąb morza 600 atm. 6x106 hPa
606
Pomiar ciśnienia (barometr)
Evangelista Torricelli (1643r.) - barometr rtęciowy
p =0
p - p0 = � �" g �" h, dla p0=0
0
dh
p = ��"g �" h
p <" h
h
dp
patm
h = = 0.76 m
�g
Mierząc wysokość słupa rtęci mie-
rzymy wielkość ciśnienia atmosfe-
rycznego.
Wzorzec:
Ciśnienie wywierane przez słup rtęci o:
gęstości �=13,5950g/cm3,
wysokości dokładnie równej 760mm,
przy t=0oC
i g=9,80665m/s2
jest nazywane atmosferą fizyczną.
Pwt.: 1Atm = 13,5950g/cm3 x 9,80665m/s2 x 760mm =
= 1,013�105N/m2 = 1013hPa
607
PRAWO ARCHIMEDESA - siła wyporu
Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w
spoczywającym płynie (cieczy lub gazie) to płyn ten wy-
wiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie,
część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana
ku górze i zwie się siłą wyporu.
p0 F =p S
0 0
S
F
w
hc
Vc
p = (p + �gh )
0
h c
(p + �gh)S
F =
0
h
Fw = Fh - F0 = (p0 + �c �" g �" hc - p0 )�" S,
Fw = �c �" g �" hc �"S,
hc �" S = Vc  obj. wypartego płynu,
Fw = �c �" g �" Vc
, Fw ~ �c,Vc
gdzie �c jest gęstością płynu, a Vc objętością części za-
�
�
�
�c �" Vc = mc
nurzonej ciała;
Fw = mc �" g
608
r r
Fw = -Qc
wektorowo:
Prawo Archimedesa: na każde ciało zanurzone w płynie
działa siła wyporu skierowana pionowo ku górze (a więc
przeciwnie do ciężaru) i równa ciężarowi płynu wypartego
z objętości tego ciała.
609
 DYNAMIKA PA
YNÓW
Rodzaje przepływu: (podział ze względu na v, rotv, �, �)
(v) - stacjonarny gdy vpłynu `" f(t) (laminarny),
{
- niestacjonarny.
- bezwirowy, gdy w dowolnym punkcie strumie-
r
nia element płynu nie ma prędkości kątowej
(rotv)
{ wzgl. tego punktu,
- wirowy.
(� ) - nieściśliwy,
{
- ściśliwy.
(�) - nielepki,
{
- lepki.
Modele dynamiki płynów są wprowadzane dla przepły-
wów ("porządnych"): - stacjonarnych,
- bezwirowych,
- nielepkich,
- (nieściśliwych).
610
RÓWNANIE CI
GA
OŚCI
 wyraża Zasadę Zachowania Masy
"m1 "m2
dm2
= ,
"t "t
dm1
przy lim "t0
A
S2
dm1 dm2
S1
A
= ,
dt dt
v2
dm
ogólnie: = Const.
v
1
dt
dt
dt
m = �V, więc dm = � �"dV = � �"dx �"S,
dx dx
dm = � �" S �" �" dt gdzie = v .
dt dt
dla dwóch obszarów tego samego przepływu:
dm1 = ��"S1 �" v1 �"dt / :dt
dm2 = � �"S2 �" v2 �"dt / :dt skąd:
�1 �"S1 �" v1 = �2 �"S2 �" v2 Równanie Ciągłości
��"S�" v = Const
(Strumienia Masy).
Gdy płyn jest nieścieśliwy, tzn. �1 = �2 = � = Const
S�" v = Const.
S1 �" v1 = S2 �" v2 �!
np.: S1 v1 = S2 v2
(duże S małe v i wice wersa)
611
w
c
z
a
s
i
e
RÓWNANIE BERNOULLIEGO
Wyraża  Zasadę Zachowania Energii
Załóżmy przepływ: nielepki, stacjonarny (ustalony), nie-
ściśliwy.
v2
S2 .
F=p S2
2
v1 V2 l2 y2
.
F=p S1
.
1
S
1
y1
l1
V1
Z Twierdzenia o pracy i energii: praca wykonana przez
wypadkową siłę jest równa zmianie energii układu.
ZZE: "W = "E czyli "W = "Ep + "Ek,
Obl. "W = ? "W = "F�l, {mogło by być + F�"l }
gdzie: "F = "p�S, "p = (p1 p2),
"W = S�l�(p1 p2),
m
z ZZM: V1 = V2 czyli S1�l1 = S2�l2 = S �" l = V = ,
�
m
"W = �"(p1 - p2)
�
tj. praca wykonana nad ukł. (1  2),
612
Obl. "Ep = ?
"Ep = Ep2 - Ep1 = mgy2 - mgy1 , en. uzyskana (2  1),
Obl. "Ek = ?
1 1
2
"Ek = Ek2 - Ek1 = mv2 - mv1 , en. uzyskana (2  1),
2
2 2
"W = "Ep + "Ek,
m 1 1 �
2
�"(p1 - p2) = mgy2 - mgy1 + mv2 - mv1 /�"
2
� 2 2 m
1 1
2
p1 - p2 = �gy2 - �gy1 + �v2 - �v1 , / L1 = P2
2
2 2
1 1
2
p1 + �gy1 + �v1 = p2 + �gy2 + �v2 ,
2
2 2
gdzie 1 i 2 to dwa elementy przepływu (położenia rurki).
1
p + �gy + �v2 = Const
R-nie Bernouliego 1738r.
2
Równanie Bernoulliego jest podstawowym równaniem
dynamiki płynów - wyrażające zasadę zachowania
energii dla strumienia płynu.
Każdy ze składników ma sens ciśnienia:
p + �gy = pstat - ciśnienie statyczne,
1
�v2 = pdyn - ciśnienie dynamiczne.
2
pstat + pdyn = Const
.
613
R.B. może być stosowane do wyznaczenia prędkości
przepływu płynu na podstawie pomiarów ciśnienia.
Można też w oparciu o nie wyznaczyć dynamiczną siłę
nośną.
Dla rurki poziomej, tzn. y2 = y1 = 0:
1
p + �v2 = Const
2
dla płynu nieściśliwego (�=Const) gdy v2ę! to p�!
Przykład
W którym miejscu 1 czy 2 ciśnienie jest większe?
p2
v1
v1
p1
p1
v2
Zgodnie z r-niem Bernouliego:
1 1
2
p1 + �v1 = p2 + �v2 = Const.
2
2 2
gdy v1�! to p1ę!, a dla v2ę! p2�!.
Zatem p1 > p2.
614
Działanie rozpylacza:
W przewężeniu nad rurką ciśnienie jest na tyle niskie w
porównaniu z ciśnieniem w otoczeniu, że następuje zasy-
sanie cieczy ze zbiornika.
615
Przykład
Czy żaglówki pływają pod wiatr?
v0
v0
F
F
F
�
F
ą
Tak, ale muszą płynąć zygzakiem (halsować).
Żagiel powinien być ustawiony pod kątem � równym 1/2 ą
(ą - to kąt kierunku wiatru w stosunku do osi kadłuba).
Siłę F rozkładamy na dwie składowe Fp i Fc. Pierwsza to
dryf zazwyczaj równoważony przez ukształtowanie ka-
dłuba i kil. Druga
616
c
p
DYNAMICZNA SIA
A NOŚNA
Dynamiczna siła nośna jest to siła jaka działa na np.
skrzydło samolotu, nartę wodną, śmigło helikoptera, i
wywołana jest ruchem tych ciał w płynie (w odróżnieniu od sta-
tycznej siły nośnej, która jest siłą wyporu działającą np. na balon czy statek zgod-
nie z prawem Archimedesa).
Schemat linii prądu wokół skrzydła samolotu:
Fg
pg =
S
Fd
pd =
S
Ze względu na ustawienie skrzydła (kąt natarcia) linie
prądu nad skrzydłem są rozmieszczone gęściej niż pod
skrzydłem.
Zatem nad skrzydłem vg > vd pod skrzydłem,
a zgodnie z prawem Bernoulliego,
pd + 1/2 � (vd)2 = pg + 1/2 � (vg)2
ciśnienie pd > pg
i wypadkowa siła nośna Fn jest skierowana ku górze.
617
 Wynika to również z III ZDN: prędkość v0 (składowa
pozioma) powietrza zbliżającego się do skrzydła jest po-
zioma, podczas gdy powietrze za skrzydłem jest skiero-
wane na ukos w dół vs (składowa styczna). Tzn, że
skrzydło pchnęło powietrze w dół, więc w reakcji powie-
trze pchnęło skrzydło do góry ze składową nośną pręd-
kości vn.
vn
v0
vs
618
DYNAMIKA CIECZY RZECZYWISTEJ
LEPKOŚĆ
Kurz na wentylatorze, masce samochodu...
 DLACZEGO?
Płyny (ciecze) rzeczywiste są lepkie.
Lepkość to tarcie występujące między cząsteczkami.
v=0
Rozkład prędkości drobin cie-
czy w rzece
v=max
v=0
X
F
Prawo Stokesa:
F <" S, grad(vy ) ,
Y
v
dvy
dx
= grad(vy )
v+"v
dx
dvy
F = Fy = FT = ��"S�"
dx
N ms Ns
w ukł. SI: [�] = �" =
m2 m m2
jedn. zwyczajowa w ukł. CGS:
dyna �"s g �" cm �"s N �" s
[�] = 1P = = , 1P = 0,1 .
cm2 s2 �" cm2 m2
619
Krople deszczu (Foton, 97, 2007, 33-34)
L.J.F. Hermans z Holandii - zależność prędkości opada-
nia kropel deszczu od ich wielkości.
Dla założenia ruchu laminarnego (uporządkowanego,
jednostajnego):
równowaga sił: mg = FT ,
FT = 6Ąr�v,
4
Ąr3�g = 6Ąr�vmax ,
3
gdzie: r - promień kropli,
� - gęstość kropli (wody),
g - przysp. ziemskie,
� - współcz. lepkości,
vmax - prędkość maks. kropel.
1 �
vmax = r2 .
9 �
Niestety okazuje się, że ww. wzór jest słuszny dla krope-
lek o rozmiarach r < 0,1 mm (i przepł. laminarnego).
Dla kropel o rozmiarach rzędu mm ruch jest turbulent-
ny (burzliwy), a siła oporu jest proporcjonalna do kwadra-
CĄr2�pv2
tu prędkości: FT = ,
2
gdzie: C - współcz. oporu (C=0,5 dla kropli kulistej),
�p - gęstość powietrza.
8 �
vmax = gr .
3 �p
620
Dla kropli o r=1 mm Vmax=16 km/h, a krople o r=3 mm
osiągają prędkość Vmax=28 km/h. Okazuje się, że krople
o rozmiarach większych od 3 mm w czasie lotu spłasz-
czają się stawiając większy opór i dla rozmiarów 4-5 mm
osiągają graniczną prędkość VmaxH"29 km/h. Graniczną
wielkością kropel jest 5,5 mm powyżej której krople roz-
padają się na mniejsze.
621
Pomiar lepkości - wiskozymetr Hoeplera
warunek ruchu jednostajnego (I ZDN)
r
v=Const gdy: = 0
"F
i
i
Q - Fw - FT = 0
F
T
Q - ciężar
FT - siła tarcia
Fw - siła wyporu (Archimedesa),
F
w
FT = 6Ąr�v,
1
t <" , �
dk - dc
v �
t = a �" .
dk - dc
Q
"Puszka Forda" - do pomiaru lepkości
olejów.
622