Statyka płynów - zadania
Zadanie 1
Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości.
Rozwiązanie:
Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej
siły masowej będą miały wartość:
= 0, = 0, =
Równanie różniczkowe opisujące rozkład ciśnienia będzie miało następującą postać:
= " " , stąd = " " +
Stałą c wyznaczamy z warunku brzegowego
= 0 dla =
zatem:
( )
= + " " - = + " " !
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 2
Obliczyć wysokość nadciśnienia w zbiorniku zawierającym wodę o gęstości �w = 1000 kg/m3.
Manometr wypełniony cieczą o gęstości �m = 13600 kg/m3 wskazuje wychylenie z = 0,4 m. Poziom
zerowy manometru znajduje się H = 2 m poniżej zwierciadła cieczy w zbiorniku.
pn
�w
I I
A B
Rozwiązanie:
Jeżeli skorzystamy z prawa naczyń powiązanych dla przekroju I-I:
=
i obliczymy ciśnienie w punktach A i B
1
= + + + " " "
2
= + " " "
otrzymujemy:
1
= " " - " - " "
2
1
! = = " " - -
" 2
13600 1
! = 0,4 " - - 2 = 3,24
1000 2
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 3
Obliczyć ciśnienie względne w punktach 1, 2, 3, 4, 5 zbiornika mając dane: h1 = 1 m, h2 = 0,7 m, h3 =
0,4 m, h4 = 1 m, "z = 0,8 m, �w = 1000 kg/m3 (gęstość powietrza �p pominąć).
�p
�p
1
2 4
3
�w
�w
5
Rozwiązanie:
Ciśnienie w poszczególnych punktach obliczamy na podstawie prawa naczyń połączonych
= " " = 0,8 " 1000 " 9,81 = 7850
( )
= + ! - ! " " = 7850 + (1 - 0,7) " 1000 " 9,81 = 10790
= - ( - ! " " = 7850 - (1 - 0,7) " 1000 " 9,81 = 4910
! )
= = 4910
= ! " " - = 1 " 1000 " 9,81 - 4910 = 4900
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
"
z
1
4
h
2
h
h
3
h
Statyka płynów - zadania
Zadanie 4
Obliczyć nadciśnienie nad zwierciadłem cieczy o gęstości �w = 1000 kg/m3 wypełniającej walczak.
Wychylenie manometrów " z1 = "z2 = 0,5 m, gęstość płynu manometrycznego �m =13600 kg/m3
(gęstość powietrza pominąć). Poziom zerowy manometrów znajduje się H = 2 m poniżej zwierciadła
zbiornika.
pn
�w
0 0
�m
�m
Rozwiązanie:
Prawo naczyń połączonych dla płaszczyzny poziomej, stycznej do zwierciadła w lewych ramionach
manometrów, oznaczając symbolem p ciśnienie panujące w przewodzie łączącym oba manometry
różnicowe:
1
+ + " " + " " " = + " " "
2
= " " " +
Stąd,
1
( )
= " - " " " - + " " "
2
Po podstawieniu wartości otrzymujemy
= 1,11 " 10
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 5
Trzy niemieszające się ciecze o gęstościach �1 = 700 kg/m3, �2 = 1400 kg/m3, �3 = 2000 kg/m3 nalane
do naczynia tworzą warstwy o grubościach H1 = H2 = H3 = 2 m. Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne na
poziomie dna oraz wzniesienia h1, h2, h3 poziomów w rurkach piezometrycznych.
�1
�2
�3
Rozwiązanie:
Ciśnienie hydrostatyczne na dnie naczynia wynosi:
( )
= " " + " " + " " = 2 " 9,81 " 700 + 1400 + 2000 = 0,804 " 10
Wysokości h1, h2, h3 obliczamy na podstawie prawa naczyń połączonych:
! = + + = 6
700
! = + + " = 2 + 2 " = 5
1400
1400 700
! = + " + " = 2 + 2 " + 2 " = 4,1
2000 2000
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 6
Obliczyć zmniejszenie "h wskazania mikromanometru mierzącego ciśnienie w zbiorniku, gdy poziom
cieczy został obniżony o "H = 0,5 m. Gęstość cieczy w zbiorniku � = 1000 kg/m3, w mikromanometrze
natomiast �m = 13600 kg/m3, stosunek średnic d/D = 0,1.
Rozwiązanie:
Równanie wyrażające prawo naczyń połączonych w płaszczyz
nie I-I dla naczynia wypełnionego do
wysokości H i H-"H będą miały postać:
" " = ! " "
( - " - "! " " + "! " " = (! - "!) " "
)
Wartość "h można obliczyć z porównania objętości cieczy manometrycznej, która wpłynęła z rurki do
zbiornika mikromanometru:
" "
"! = "!
4 4


"! = "! "

Po podstawieniach otrzymujemy:
"
"! =


- 1 " - 1

0,5
"! = = 0,039
13600
[( ) ]
0,1 + 1 " - 1
1000
Zadanie 7
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Obliczyć wartość siły P niezbędną do uzyskania nacisku P2=1�106 N. Średnice tłoków wynoszą d = 50
mm, D = 500 mm. Gęstość cieczy w cylindrach i ciężar tłoków pominąć.
Rozwiązanie:
Nadciśnienie w cylindrze I wynosi:
4 "
=
"
Natomiast siła działająca na tłok w cylindrze I :

"
= " = "
4
Nadciśnienie w cylindrze II:

4 " 4
= = " "
" "
A siła działająca na tłok II:

"
= " = "
4
Zatem,


= "


50
= 10 " = 100
500
Zadanie 8
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Obliczyć współrzędną z�
i moduł naporu N na pionową ścianę, której kontury tworzy parabola o
wymiarach b = 0,5 m, h = 0,8m i oś x układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
W celu rozwiązania zadania, należy znalez
ć równanie krzywej ograniczającej rozpatrywaną
powierzchnię. W tym wypadku szukamy równania paraboli określonej wymiarami b i h. Wychodząc z
kanonicznego równania paraboli:
= 2 " "
O wierzchołku leżącym w początku układu osi x, z, można napisać:
= 2 " " (! - )
Dla paraboli spełniony jest warunek:


= 2 " " !
2
Stąd otrzymujemy równanie paraboli:
4!
= ! - "

Napór na rozpatrywaną powierzchnię:
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Z
Ł
Z
h
z
d
Statyka płynów - zadania

= " " = " " 2 " "

Po zróżniczkowaniu paraboli otrzymujemy:
8 " " !
= - "

Po podstawieniu z oraz bezwzględnej wartości dz, otrzymujemy:
/ /
4! 8 " " ! 16 " " " ! 4 "
= " ! - " 2 " " " = -


4 4
= " " " " ! = " 1000 " 9,81 " 0,5 " 0,8! = 837
15 15
Współrzędną środka naporu z�
obliczamy z równania równowagi momentów:
= "

Z poprzednich rozważań:
16 " " " ! 4 "
= " - "

Po podstawieniu otrzymujemy:
/ 16 " " " ! 4 " 4!
+" " - " " ! - "

=
4
" " " " !
15
/
60 " ! 8 " 16 " 4 4
= - + = " ! = " 0,8 = 0,457
3 7 7

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 9
Obliczyć wartość siły F niezbędnej do utrzymania obrotowo zamocowanej klapy kwadratowej o boku a
= 0,5m pod kątem ą = 60�. Zbiornik jest wypełniony wodą o gęstości �w = 1000 kg/m3. Siła F jest
przyłożona w środku geometrycznym klapy zanurzonym na głębokości h = 2 m. Ciężar klapy pominąć.
Rozwiązanie
Klapa będzie utrzymana w stanie równowagi, gdy spełniony będzie warunek:
" e" "
Zgodnie z rysunkiem do zadania:

= " sin( )
2

( )
= ! + " sin -
2
Wartość naporu hydrostatycznego określa wzór:
= " " " = " ! " "
Jego składowa pozioma:
( ) ( )
= " sin = " ! " " " sin
Głębokość zanurzenia środka naporu:

( ) ( ) ( )
= + = ! + " = ! + "
" 12 " ! " 12 " !
Zatem,

( ) ( ) ( ) ( )
= ! + " sin - ! - " = " sin - "
2 12 " ! 2 12 " !
Równanie równowagi momentów przybiera postać:

( ) ( ) ( ) ( )
" sin " e" " sin - " " " ! " " " sin
2 2 12 " !
Stąd:

( ) ( )
e"" 1 - " sin " " ! " " " sin
6 " !
Po podstawieniu wartości:
0,5
( ) ( )
e"" 1 - " sin 60� " 0,5 " 2 " 1000 " 9,81 " sin 60� = 409,4
6 " 2
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Ł
h
z
Ł
F
r
r
Statyka płynów - zadania
Zadanie 10.
Otwór o średnicy d = 0,15 m w dnie zbiornika jest zamknięty kulą o średnicy D = 0,2 m i gęstości �1 =
7800 kg/m3. Z jaką siłą P kula jest przyciskana do krawędzi otworu, jeżeli wysokość wody w zbiorniku
wynosi h = 0,6 m, a jej gęstość �2 = 1000 kg/m3.
�1
d
Rozwiązanie
Na kulę działa napór hydrostatyczny oraz ciężar kuli. Kulę przyciska składowa pionowa naporu, której
wartość to:
N = � " g " V - � " g " V = � " g " V
V1  objętość zakreskowana ukośnie
Ą " D 1 "
( )
V = h - z - "
4 2 6
V2  objętość zakreskowana poziomo

Ą " D 1 " Ą " d 1 d

( )
V = h - z + " - " h - " z " 3 " + z
4 2 6 4 6 2
Wyrażenia po prawej stronie równania określają:
- objętość walca o wysokości h-z1;
- objętość połowy kuli;
- objętość walca o wysokości h;
- objętość czaszy o wysokości z2;
Po podstawieniu i redukcji otrzymujemy:

Ą " d Ą d "

= - = " h - " z " 3 " + z -
4 6 2 6
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć:


= -
2 2

= -
2
Po podstawieniu wartości otrzymujemy:
= 66
Ciężar kuli:
" " 0,2
= " " = 7800 " 9,81 " = 320
6 6
Kula jest przyciskana z siłą:
= + = 66 + 320 = 386
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
D