2. Statyka
Statyka płynów zajmuje się zagadnieniami równowagi i stateczności płynów, nieruchomych
względem przyjętego układu odniesienia, a także siłami wywieranymi przez płyny na ścianki
zbiorników lub ścianki ciał stałych zanurzonych w płynie i pozostających w spoczynku względem
niego.
Statyka płynów dzieli się na :
" hydrostatykÄ™ (ciecze),
" aerostatykÄ™ (gazy).
Równowaga hydrostatyczna
pa
pA = pa + Á Å" g Å" h
h
Ciśnienie w dowolnym punkcie nieruchomej cieczy równe jest sumie
pA
ciÅ›nienia atmosferycznego i ciÅ›nienia sÅ‚upa cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á i wysokoÅ›ci
h, zwanego ciśnieniem hydrostatycznym.
Związek ten pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością oraz jest
jednakowe dla punktów zanurzonych na tej samej głębokości.
Równowaga cieczy w naczyniach połączonych
Zasada naczyń połączonych - elementy
jednorodnej cieczy wypełniającej w sposób ciągły
przestrzeń naczyń połączonych, leżące na tej samej
linii poziomej podlegają jednakowemu ciśnieniu:
pL = pP
Zasada ta znajduje zastosowanie przy pomiarze ciśnień.
Na przykład do zbiornika, w którym panuje nieznane ciśnienie px podłączono układ dwóch
połączonych ze sobą naczyń. Zgodnie z powyższą zasadą elementy cieczy manometrycznej leżące
na tym samym poziomie w lewym i prawym ramieniu naczyniu podlegają jednakowemu ciśnieniu.
pL = pP
pL = px , pP = pa + Á Å" g Å" "h,
stÄ…d
px = pa + Á Å" g Å" "h
15
Poziom odniesienia przy pomiarze ciśnienia
ciśnienie
p1
poziom ciśnienia
atmosferycznego
p2
poziom próżni
Prawo Pascala  prawo równomiernego rozchodzenia się ciśnienia w płynie
W dwóch dowolnych punktach A i B przestrzeni wypełnionej płynem panują ciśnienia p i
p0. Wartości potencjałów sił wynoszą U i U0. Ciśnienia te związane są z wartościami potencjału
zależnością:
pA - pB = p - p0 = Á( Up  Up0)
Jeżeli na tłok przyłożymy siłę P, to w rozważanych punktach nastąpi przyrost ciśnienia, a ponieważ
przy tym nie ulega zmianie energia potencjalna, tzn. wartości potencjałów w obu tych punktach
pozostały te same, więc otrzymujemy następujący związek:
pA = p + ´p
pB = p0 + ´p0
p + ´p  (p0 + ´p0) = Á(Up - Up0)
StÄ…d:
´p  ´p0 = 0,
czyli:
´p = ´p0
Up
A
Up0
B
r
P
z0
z
16
nadci
Å›
nie
podci
Å›
nie
ci
Å›
nienie
absolutne
ci
Å›
nienie
absolutne
Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu znajdującego się w stanie równowagi
w potencjalnym polu sił masowych wywołuje identyczną zmianę ciśnienia w dowolnym punkcie
tego płynu.
Zasadę tę wykorzystuje się w podnośniku hydraulicznym, układach hamulcowych pojazdów
i podobnych urzÄ…dzeniach.
Napór hydrostatyczny
Naporem nazywamy siłę wywieraną przez ciecz na ściany naczyń (zbiorników). Napór
cieczy na płaskie, poziome dno zbiornika jest równy iloczynowi ciśnienia hydrostatycznego i pola
powierzchni, przy czym wypadkowa siła N tego naporu jest oczywiście przyłożona w środku
geometrycznym (środku ciężkości) powierzchni F i skierowana pionowo w dół.
N = Á Å" g Å" h Å" F, gdzie F Å" h = V
N =Á Å" g Å" V
pa
Paradoks Stevina dotyczy niezależności siły naporu na dno naczynia od ilości cieczy
zawartej w zbiorniku.
N1 = N2 = N3 = Á Å" g Å" h Å" F = Á Å" g Å" V
Przez objętość V należy rozumieć objętość pozorną cieczy zawartej nad dnem określoną
jako objętość słupa cieczy o polu podstawy równym powierzchni dna i wysokości równej
wysokości napełnienia zbiornika. Objętości pozorne zaznaczono na rysunku przez zakreskowanie.
17
Dlatego też wielkość naporu N wyrazić można jako ciężar pozornej objętości cieczy zawartej ponad
dnem.
Napór cieczy na powierzchnie płaskie dowolnie zorientowane
x
y
z
Wypadkowy napór na powierzchnię płaską oraz punkt jej przyłożenia.
Napór hydrostatyczny na dowolnie zorientowaną powierzchnie płaską jest iloczynem
ciśnienia hydrostatycznego panującego w środku ciężkości i pola rozpatrywanej powierzchni.
Nx = -Á Å" g Å" zc Å" FÅ" sinÄ…
Ny = 0
Nz = Á Å" g Å" zc Å" F Å" cosÄ…
N = Á Å" g Å" zc Å" F
gdzie:
zC  jest odległością środka geometrycznego (środka ciężkości SC) pola F od zwierciadła
cieczy, czyli głębokością zanurzenia środka ciężkości pola F.
Dla powierzchni płaskiej dowolnie zorientowanej zależność określająca siłę naporu daje wielkość
siły wypadkowej jako sumę elementarnych naporów, ale z rysunku widać, że punkt przyłożenia tej
siły leży na głębokości zN większej niż wynosi głębokość zanurzenia środka ciężkości:
zN > zc.
Wypadkową siłę naporu należy przyłożyć w punkcie SN zwanym środkiem naporu, który
zanurzony jest na głębokości zN.
2
iC
zN = zC+ Å" sin2 Ä… ,
zC
gdzie iC jest ramieniem bezwładności pola F względem osi przechodzącej przez środek ciężkości.
Ä„
Dla ścian pionowych ą = :
2
2
iC J y
zN = zC + = ,
zC zC Å" F
gdzie: Jy  geometryczny moment bezwładności względem osi y, usytuowanej na powierzchni
lustra cieczy.
Najczęściej mamy podane geometryczne momenty bezwładności względem osi przechodzącej
przez środek ciężkości (środek geometryczny) J . Wówczas wykorzystując twierdzenie Steinera:
yC
2
J = J + zC Å" F ,
y yC
18
otrzymujemy:
J
yC
zN = zC + .
zC Å" F
TABELA 1. Współrzędne położenia środka ciężkości i momenty bezwładności wybranych
przekrojów
Przekrój Położenie środka ciężkości Moment bezwładności Jxc
h
bh3
e =
2
12
a 2 a4
e = = 0.707a
2 12
3b + 2b1 h
eI =
6b2 + 6bb1 + b12
2b + b1 3 h3
36(2b + b1)
eII = h - eI
2h
eI =
3 bh3
h
36
eII =
3
4
d
Ä„d
4
e =
H" 0.05d
2
64
4
D
Ä„ (D4 - d )
4
e =
H" 0.05(D4 - d )
2
64
h Ä„
e = bh3 H" 0.05bh3
2 64
Ä„
3
e = a (a3b - a1b1)
4
19
Powierzchnie ekwipotencjalne.
Podstawowe równanie różniczkowe równowagi płynu nieruchomego (równanie Eulera
statyki) można zapisać w postaci jednego równania wektorowego:
r
1
F = grad p ,
Á
lub trzech równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych prostokątnych:
1 "p
X =
Á "x
1 "p
Y =
Á "y
1 "p
Z =
Á "z
r
r r r
gdzie: F = X Å" i + Y Å" j + Z Å" k - wektor jednostkowej siÅ‚y masowej,
Á - gÄ™stość pÅ‚ynu, a p  ciÅ›nienie.
Mnożąc kolejno równania skalarne przez odpowiednie przyrosty dx, dy, dz po kierunkach osi
układu współrzędnych i sumując ich lewe oraz prawe strony otrzymujemy równanie:
ëÅ‚
1 "p "p "p öÅ‚
÷Å‚
X Å" dx + Y Å" dy + Z Å" dz = ìÅ‚ dx + dy + dz÷Å‚
ìÅ‚
Á "x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyrażenie w nawiasie po prawej stronie równania jest różniczką zupełną ciśnienia dp, tak więc i
lewa strona równania musi być różniczką zupełną pewnej funkcji Ć spełniającej warunki:
"Ć "Ć "Ć
X = , Y = , Z =
"x "y "z
Funkcja Ć nazywana jest funkcją siły masowej a powyższe warunki nazywane są warunkami
potencjalności pola wektorowego. Po wstawieniu ich do ostatniego równania otrzymujemy
warunek równowagi płynu w postaci:
1
dĆ = dp .
Á
Dla pÅ‚ynów nieÅ›ciÅ›liwych, dla których Á = const, równanie to można scaÅ‚kować:
p = Á Å"Ć + C .
Wynika stąd, że zależność pomiędzy ciśnieniem i funkcją siły masowej jest liniowa, czyli jeżeli p =
const to również Ć = const. Wynika więc stąd wniosek, że powierzchnie stałej wartości ciśnienia
(izobaryczne) są jednocześnie powierzchniami stałego potencjału, czyli powierzchniami
ekwipotencjalnymi.
Na powierzchni izobarycznej a więc i ekwipotencjalnej różniczka ciśnienia dp = 0, stąd z warunku
równowagi płynu otrzymujemy równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej:
X Å" dx + Y Å" dy + Z Å" dz = 0
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 2.1
Określić nadciśnienie powietrza panujące w rurociągu R za pomocą U-rurki,
w której znajduje się woda. Różnica poziomów wody w U-rurce wynosi h =
100 cm.
Dane: Wyznaczyć:
h = 100 cm = 1 m p
Á = 1000 kg/m3
20
g = 9.81 m/s2
RozwiÄ…zanie:
Nadciśnienie powietrza w rurze obliczamy wykorzystując zasadę naczyń połączonych.
W obu ramionach U-rurki na poziomie dolnego menisku wody ciśnienia wynoszą:
pL = p, pP = pa + ÁÅ" gÅ" h,
pL = pP
p = pa + ÁÅ" gÅ" h
Stąd nadciśnienie:
pn = p - pa = ÁÅ" gÅ" h =
pn =1000 Å" 9.81 Å" 1 = 9810 Pa
Zadanie 2.2 (poz. bibl. [3], zad. 2.1.9, str. 24)
Określić podciśnienie i ciśnienie absolutne gazu znajdującego się
w rurociągu R, jeżeli różnica wysokości słupów rtęci w manometrze
wynosi h = 50 mm; wysokość ciśnienia atmosferycznego ha = 750 mm
Hg.
Dane: Wyznaczyć:
h = 50 mm = 0.05 m pa, p, pp
ha = 750 mm = 0.75 m
Á = 13550 kg/m3
g = 9.81 m/s2
RozwiÄ…zanie:
Ciśnienie atmosferyczne wyrażone w Pascalach wynosi:
pa = Á Å" g Å"ha
pa = 13550 Å"9.81Å" 0.75 = 99694.1[Pa]
Ciśnienie absolutne wynosi:
pP = p + ÁÅ" gÅ" h, pL = pa
p + ÁÅ" gÅ" h = pa
p = pa - ÁÅ" gÅ" h = 99694.1  13550 Å" 9.81 Å" 0.05 = 93047.9 Pa
Podciśnienie w rurociągu wynosi:
pp = pa  p = ÁÅ" gÅ" h
pp = 13550 Å"9.81 Å" 0.05 = 6646.2 Pa
Zadanie 2.3 (poz. bibl. [7], zad. 2.7, str. 32)
Manometr rtęciowy podłączony do przestrzeni powietrznej hydroforu
wskazuje różnicę poziomów ha = 160 mm. Jakie nadciśnienie pn wskaże
manometr membranowy jeżeli aktualny poziom wody h = 4 m ?
Dane: Wyznaczyć:
ha = 160 mm = 0.16 m pn
h = 4 m
Ám = 13550 kg/m3
g = 9.81 m/s2
21
RozwiÄ…zanie:
W przestrzeni powietrznej hydroforu podciśnienie wynosi:
p = pa - p = Ám Å" g Å" ha = 13550 Å" 9.81Å" 0.16 = 21268.08 Pa
p
Na głębokości h = 4 m pod powierzchnią wody występuje ciśnienie hydrostatyczne:
ph = Áw Å" g Å" h =1000 Å" 9.81Å" 4 = 39240 Pa
Poszukiwane nadciśnienie wynosi:
pn = ph - p = 39240 - 21268.08 =17971.92 Pa
p
Zadanie 2.4 (poz. bibl. [7], zad. 2.8, str. 32)
Obliczyć różnice poziomów, na jakich znajdują się w równowadze tłoki o
powierzchniach F1, F2, F3 obciążone siłami P1, P2, P3.
Dane: Wyznaczyć:
F1, F2, F3 h1, h2
P1, P2, P3
RozwiÄ…zanie:
Warunek równości ciśnień w naczyniach lewym i środkowym na poziomie tłoka lewego:
ëÅ‚
P2 P1 1 P1 P2 öÅ‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
+ Ágh1 = , skÄ…d h1 =
ìÅ‚
F2 F1 Ág F1 F2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Analogiczny warunek dla naczynia środkowego i prawego:
P3 P2 ëÅ‚ P2 P3 öÅ‚
1
ìÅ‚ - ÷Å‚
+ Ágh2 = , skÄ…d h2 =
ìÅ‚
F3 F2 Ág F2 F3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 2.5 (poz. bibl. [7], zad. 2.6, str. 32)
Pomiędzy zbiornikiem z wodą i olejem (o ciężarze właściwym ło =
8833 N‡m-3) podÅ‚Ä…czony jest manometr różnicowy, w którym
kolejno sÄ…: woda, ciecz o ciężarze wÅ‚aÅ›ciwym Å‚m = 15700 N‡m-3,
powietrze oraz olej. Różnice poziomów wynoszą: h1 = 0.20 m, h2 =
0.02 m, h3 = 0.013 m. Obliczyć różnicę ciśnień między poziomami 1
i 5 w zbiornikach.
Dane: Wyznaczyć:
Å‚w = 9800 N/m3 p1 - p5
Å‚o = 8833 N/m3
Å‚m = 15700 N/m3
h1 = 0.2 m
h2 = 0.02 m
h3 = 0.013 m
RozwiÄ…zanie:
Startując z punktu 1 w zbiorniku z wodą posuwamy się wzdłuż rurki, obliczając ciśnienia na
poziomach granicznych 2, 3, 4 oraz 5. Jeżeli kolejny poziom leży niżej (wyżej) poprzedniego,
22
ciśnienie hydrostatyczne dodajemy (odejmujemy). Pomijamy ciśnienie hydrostatyczne słupa
powietrznego pomiędzy poziomami 3 i 4. W ten sposób otrzymamy równanie:
p1 + Å‚ h1 - Å‚ (h1 + h2)+ Å‚ h3 = p5
w m o
poziom    1 2 3 i 4 5 5
Stąd różnica ciśnień:
p1 - p5 = Å‚ (h1 + h2 ) - Å‚ h1 - Å‚ h3 =
m w o
= [15.7 Å" (0.20 + 0.02)- 9.80 Å" 0.20 - 8.83 Å" 0.13]Å"103 = 343 Pa
Zadanie 2.6 (poz. bibl. [7], zad. 2.14, str. 34)
Manometr rtęciowy podłączony do kondensatora turbiny wykazał
różnicę poziomów h = 600 mm. Równocześnie barometr wykazał
ha = 755 mmHg. Obliczyć podciśnienie oraz ciśnienie bezwzględne
w kondensatorze.
Przyjąć gÄ™stość rtÄ™ci Ám = 13550 kg/m3.
Dane: Wyznaczyć:
h = 600 mm pp, p
ha = 755 mm Hg
RozwiÄ…zanie:
Ciśnienie atmosferyczne wyraża zależność:
pa = Ám Å" g Å" ha
pa = 13550 Å" 9.81Å" 0.755 = 100358.7 Pa H" 100 kPa
Z zasady naczyń połączonych dla manometru rtęciowego:
p + Ám Å" g Å" h = pa
Stąd ciśnienie bezwzględne (absolutne) w kondensatorze:
p = pa - Ám Å" g Å" h
p = 100358.7 -13500 Å" 9.81Å" 0.600 = 100358.7 - 79755.3 = 20603.4Pa H" 20kPa
Podciśnienie panujące w skraplaczu wyraża zależność:
pp = pa - p =100 - 20 = 80kPa
Zadanie 2.7 (poz. bibl. [7], zad. 2.16, str. 34)
Manometr w kształcie U-rurki wypełniony jest wodą oraz cieczą
o nieznanej gÄ™stoÅ›ci Á. Wyznaczyć Á, jeżeli h = 20cm, h1 = 5cm, h2 = 25cm.
Dane: Wyznaczyć:
h = 20 cm Á
h1 = 5 cm
h2 = 25 cm.
RozwiÄ…zanie:
Przecinamy U-rurkę płaszczyzną na wysokości h1 i zapisujemy równania dla prawej i lewej strony
U-rurki. Ciśnienie panujące po stronie lewej pL musi byś identyczne jak po stronie prawej pP:
pL = pP
pL = pa + Á Å" g Å"(h2 - h1) pP = pa + Áw Å" g Å"(h - h1)
pa + Á Å" g Å"(h2 - h1) = pa + Áw Å" g Å"(h - h1)
StÄ…d:
23
Áw Å" g Å"(h - h1) Áw Å"(h - h1)
Á = =
g Å"(h2 - h1)h2 - h1
1000 Å"(0.2 - 0.05) kg
Á = = 750
0.25 - 0.05
m3
Zadanie 2.8 (poz. bibl. [7], zad. 2.18, str. 35)
Manometr różnicowy wielokrotny tworzy układ n naczyń
połączonych szeregowo i wypełnionych jednakową cieczą o
ciężarze właściwym ł. Wyprowadzić wzór na nadciśnienie w
zbiorniku z gazem, mierzone za pomocą manometru. Pominąć
wpływ ciśnienia hydrostatycznego gazu pomiędzy słupkami
cieczy manometrycznej.
Dane: Wyznaczyć:
Å‚, h1 ... hn pn
RozwiÄ…zanie:
Ciśnienie hydrostatyczne wyznaczone w pierwszej U-rurce
p1 = Å‚ Å" h1
Ze względu na to że w kolejnych U-rurkach mamy tą samą ciecz i różne różnice poziomów oraz
pomijamy ciśnienie hydrostatyczne gazu w przestrzeniach pomiędzy słupkami cieczy
manometrycznej to ciśnienie hydrostatyczne wskazywane przez wszystkie U-rurki przedstawia
zależność
n
pn = Å‚
"h
i
i=1
W szczególnym przypadku gdy we wszystkich n U-rurkach występuje jednakowa różnica
poziomów cieczy h, wówczas:
pn = n Å"Å‚ Å" h
Zadanie 2.9 (poz. bibl. [8], zad. 41, str. 52)
Szeregowy manometr rtęciowy jest wypełniony wodą jako cieczą
pośredniczącą. Jaka jest zależność mierzonego ciśnienia p w
zbiorniku od wskazania h, jeżeli n oznacza liczbę U-rurek
manometru.
Dane: Wyznaczyć:
Á, Á1 , h, n p
RozwiÄ…zanie:
Żeby ustalić taką zależność, zadanie zostanie rozwiązane dla n = 3 U-rurek. W najprostszym
przypadku układ poziomów cieczy będzie taki sam jak na rysunku.
Zgodnie z definicją ciśnienia hydrostatycznego można napisać:
p1 = pa + Á Å" g Å" h
p2 = p1 - Á1 Å" g Å" h gdyż ciÅ›nienie p2 jest mniejsze od ciÅ›nienia p1 o wielkość
hydrostatycznego słupa wody o wysokości h
24
p3 = p2 + Á Å" g Å" h
p4 = p3 - Á1 Å" g Å" h
p = p4 + Á Å" g Å" h
Po wyrugowaniu z układu równań ciśnień p1, p2, p3, i p4 (dla n = 3) otrzymuje się:
p = pa + g Å" h Å"(3Å" Á - 2Å" Á1),
zatem ogólnie dla n jest:
n -1
p = pa + n Å" g Å" h Å"ëÅ‚ Á - Á1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
Jak widać, zastosowanie manometru szeregowego pozwala na pomiar nawet dużych ciśnień bez
nadmiernego zwiększania wysokości manometru. Gdy nie ma w manometrze cieczy
pośredniczącej, wówczas stosowanie manometru szeregowego nie przynosi zadniej korzyści, gdyż
po podstawieniu Á = Á1 otrzymuje siÄ™:
p = pa + Á Å" g Å" h
W skrajnym przypadku bardzo lekkiej cieczy poÅ›redniczÄ…cej Á1 H" 0 , wynik byÅ‚by nastÄ™pujÄ…cy
p = pa + n Å" Á Å" g Å" h
Zadanie 2.10 (poz. bibl. [7], zad. 2.19, str. 35)
Trzy niemieszajÄ…ce siÄ™ ciecze o gÄ™stoÅ›ciach Á1 = 800 kg/m3,
Á2 = 1000 kg/m3, Á3 = 1600 kg/m3, nalane do naczynia
zajmują poziomy określone na rysunku (w metrach od
poziomu dna). Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne na
poziomie dna oraz wzniesienie h1, h2, h3 poziomów w
rurkach piezometrycznych.
Dane: Wyznaczyć:
Á1 = 800 kg/m3 p, h1, h2, h3
Á2 = 1000 kg/m3
Á3 = 1600 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna naczynia wynosi:
p = Á1 Å" g Å"(8.1 - 5.4)+ Á2 Å" g Å"(5.4 - 2.4)+ Á3 Å" g Å"(2.4 - 0)
p = 800Å"9.81Å" 2.7 +1000Å"9.81Å"3 +1600Å"9.81Å" 2.4 = 21189.6 + 29430 + 37670.4 = 88290 Pa
Poziom h1 wynosi tyle samo, co poziom lustra cieczy w zbiorniku, czyli h1 = 8.1 m.
Poziom w h2 w drugiej rurce zależny jest od ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez ciecz
o gÄ™stoÅ›ci Á1. CiÅ›nienie hydrostatyczne na poziomie 5.4 m wynosi:
p5.4 = Á1 Å" g Å"(8.1 - 5.4) = 800 Å" 9.81Å" 2.7 = 21189.6 Pa
SÅ‚up cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á1 powoduje podniesienie siÄ™ poziomu cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á2 w drugiej rurce:
p5.4 = Á2 Å" g Å" x
p5.4
21189.6
x = = = 2.16 m
Á2 Å" g 1000 Å" 9.81
25
h2 = x + 5.4 = 2.16 + 5.4 = 7.56 m
Poziom h3 w trzeciej rurce zależny jest od ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez ciecze o
gÄ™stoÅ›ci Á1 i Á2. CiÅ›nienie hydrostatyczne na poziomie 2.4 m wynosi:
p2.4 = Á1 Å" g Å"(8.1 - 5.4)+ Á2 Å" g Å" (5.4 - 2.4)
p2.4 = 800 Å" 9.81Å" 2.7 + 1000 Å" 9.81Å" 3 = 21189.6 + 29430 = 50619.6 Pa
SÅ‚upy cieczy o gÄ™stoÅ›ciach Á1 i Á2 powodujÄ… podniesienie siÄ™ poziomu cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á3 w
trzeciej rurce:
p2.4 = Á3 Å" g Å" x
p2.4
50619.6
x = = = 3.225 m
Á3 Å" g 1600 Å" 9.81
h3 = x + 2.4 = 3.225 + 2.4 = 5.625 m
Zadanie 2.11 (poz. bibl. [7], zad. 2.20, str. 35)
Obliczyć różnicę ciśnień w przekrojach 1 i 2 dwóch wodociągów
przedstawionych na rysunku jeżeli manometry wykazują różnicę
hm
poziomów hm = 100 mm, ale w przypadku (a) cieczą
manometryczną jest rtęć, a w przypadku (b) woda, nad którą
znajduje siÄ™ powietrze. Przyjąć: Ár = 13550 kg/m3, Áw = 1000
kg/m3.
Dane: Wyznaczyć:
hm = 100 mm "p
Ár = 13550 kg/m3
Áw = 1000 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
Przypadek a)
Ciśnienie w lewym ramieniu U-rurki:
pL = p1 + Áw Å" g Å" h
Ciśnienie w prawym ramieniu U-rurki:
pP = p2 + Áw Å" g Å" (h - hm ) + Ár Å" g Å" hm
pL = pP
p1 - p2 = "p = Áw Å" g Å" h - Áw Å" g Å" h - Áw Å" g Å" hm + Ár Å" g Å" hm
"p = g Å" hm (Ár - Áw ) = 9.81Å" 0.1Å" (13550 -1000) = 12311.5 [ Pa]
Przypadek b)
"p = p1 - p2 = Áw Å" g Å" hm
"p =1000Å"9.81Å"0.1 = 981 Pa
26
Zadanie 2.12 (poz. bibl. [7], zad. 2.21, str. 36)
Aby zmierzyć zmianę ciśnienia w kanale wentylacyjnym użyto
mikromanometru z rurkÄ… nachylonÄ… pod kÄ…tem 30° napeÅ‚nionego
spirytusem (Ám = 800 kg/m3); jest to tzw. mikromanometr
Recknagla. Jaką długość l musi mieć skala, aby można mierzyć
różnicę ciśnień 100 Pa?
Dane: Wyznaczyć:
Ám = 800 kg/m3 l
p = 100 Pa
RozwiÄ…zanie:
Ciśnienie hydrostatyczne słupa cieczy wyraża zależność:
p = Ám Å" g Å" h
Poszukujemy jaka powinna być wysokość h słupa cieczy manometrycznej aby zmierzyć różnicę
ciśnień p = 100 Pa
p
h =
Ám Å" g
100
h = = 0.012742 m
800 Å" 9.81
Znając niezbędną wysokość cieczy manometrycznej h można na podstawie znajomości kąta
pochylenia rurki (przełożenia) określić niezbędną wymaganą długość skali l:
h 0.012742
l = = = 0.02548 m = 25.48 mm
sin(30°) 0.5
Zadanie 2.13 (poz. bibl. [7], zad. 2.22, str. 36)
W celu zmierzenia wysokoÅ›ci H poziomu nafty (Á = 890
kg/m3) w zbiorniku otwartym wstawia siÄ™ do niego pionowÄ…
otwartą rurę, której dolny koniec prawie dotyka dna i następnie
tłoczy się nią powietrze z bardzo małą prędkością (dzięki temu
można zaniedbać straty przepływu). Obliczyć wysokość H,
jeżeli podłączony do rury manometr rtęciowy wskazuje różnicę
hm = 890 mm. Przyjąć Ám = 13550 kg/m3.
Dane: Wyznaczyć:
Á = 890 kg/m3 H
hm = 890 mm
Ám = 13550 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
Ze względu na bardzo małą prędkość przepływu powietrza zakłada się że ciśnienie powietrza w
rurze przy dnie zbiornika równe jest ciśnieniu jakie panuje w U-rurce na poziomie lustra rtęci.
Ciśnienie to wynosi:
p = pa + Ám Å" g Å" hm
Identyczne ciśnienie panuje na wylocie z rury, co pozwala na wyznaczenie wysokości słupa nafty
H.
p = pa + Á Å" g Å" H
pa + Ár Å" g Å" hm = pa + Á Å" g Å" H
27
Ár Å" hm 13550 Å" 0.89
H = = = 13.55 m
Á 890
Zadanie 2.14 (poz. bibl. [7], zad. 2.23, str. 36)
Szczelnie dopasowany tłok zamyka od góry pionowe naczynie walcowe o
średnicy D = 0.20 m wypełnione wodą. Na poziomie h = 2.4 m poniżej tłoka
znajduje się wylot rurki, w której panuje ciśnienie pa = 3.5 MPa. Jakie
ciśnienie p1 panuje bezpośrednio pod tłokiem, jeżeli siła tarcia tłoka o ściany
naczynia stanowi 3% siły ciśnieniowej.
Dane: Wyznaczyć:
D = 0.20 m p1
h = 2.4 m
pa = 3.5 MPa
RozwiÄ…zanie:
Na wartość ciśnienia panującego pod tłokiem nie wpływa średnica tłoka, oraz siła tarcia tłoka o
ściany naczynia. Ciśnienie pod tłokiem zależy jedynie od ciśnienia panującego na wylocie z rurki pa
i różnicy poziomów pomiędzy osią rurki i dnem tłoka.
Ciśnienie hydrostatyczne słupa wody o wysokości h wyraża zależność:
p = Áw Å" g Å" h
p = 1000 Å" 9.81Å" 2.4 = 23544 Pa = 0.023 MPa
Ciśnienie pod tłokiem równe jest różnicy ciśnienia pa w rurce i ciśnienia hydrostatycznego
p1 = pa - p
p = 3.5 - 0.023 = 3.477 MPa
Zadanie 2.15
Wyznaczyć położenie środka ciężkości zc prostokątnej ściany o
wymiarach l × h , wartoÅ›ci siÅ‚y naporu N oraz punkt przyÅ‚ożenia siÅ‚y
naporu czyli głębokość zanurzenia środka naporu zN.
Dane: Wyznaczyć:
l, h zc, N, zN
RozwiÄ…zanie:
Siła naporu jaką oddziałuje płyn na dno lub ścianę równy jest iloczynowi ciśnienia
hydrostatycznego p = Á Å" g Å" zc panujÄ…cego w Å›rodku ciężkoÅ›ci SC dla dna lub Å›ciany i pola
powierzchni dna lub ściany F:
N = Á Å" g Å" zc Å" F
Rozwiązanie dla prostokątnej ściany pionowej
CiÅ›nienie panujÄ…ce w Å›rodku elementarnego pola powierzchni dF: p = Á Å" g Å" z
Elementarne pole powierzchni: dF = b Å" dz
Elementarny napór : dN = Á Å" g Å" z Å" dF = Á Å" g Å"b Å" z Å" dz
28
h
1
Wypadkowa siła naporu:
N = Å" g Å"bÅ" z Å"dz = Á Å" g Å"bÅ"hÅ" Å"h
+"Á
2
0
Głębokość zanurzenia środka ciężkości - zc:
h h
Å"bÅ"h2 1
+"z Å" dF +"z Å"b Å"dz 1
0 0 2
zc = = = = h
h h
bÅ"h 2
+"dF +"bÅ"dz
0 0
h
z Å" dF  moment statyczny figury pÅ‚askiej o powierzchni dF wzglÄ™dem zwierciadÅ‚a cieczy
+"
0
Głębokość zanurzenia środka naporu - zN:
h h
1
z2 Å" dF z2 Å" b Å" dz
+" +" Å" b Å" h3 2
0 0 3
zN = = = = h
h h
1
Å" b Å" h2 3
z Å" dF z Å"b Å" dz
+" +"
2
0 0
h
z2 Å" dF  moment bezwÅ‚adnoÅ›ci figury pÅ‚askiej o powierzchni dF wzglÄ™dem poziomu zwierciadÅ‚a
+"
0
cieczy
Głębokość zanurzenia środka naporu - zN można wyliczyć ze wzoru:
J
xc
zN = zc + ,
zc Å" F
gdzie J - centralny moment bezwładności figury o powierzchni F. Centralny moment
xc
b Å"h3
bezwładności dla prostokąta wynosi - J =
xc
12
b Å"h3
1 1 2Å"bÅ" h3 1 1 2
12
zN = h + = h + = h + h = h
1
2 2 12Å"b Å"h2 2 6 3
Å"h Å"h Å"b
2
Zadanie 2.16
Wyznaczyć wartość siły naporu hydrostatycznego na pionową
Å›cianÄ™ o wymiarach h × b jeżeli górna krawÄ™dz
ściany leży w
płaszczyz
nie zwierciadła cieczy. Obliczyć wartość momentu siły
wyważającej.
Dane: Wyznaczyć:
h, b N, M
RozwiÄ…zanie:
Siła naporu wynosi:
1
N = Á Å" g Å" zc Å" F = Á Å" g bh2
2
gdzie:
29
1
zc = h F = bh
2
Położenie środka naporu:
J
xc
zN = zc +
zc Å" S
bh3
1 1 1 2
12
zN = h + = h + h = h
1
2 2 6 3
h Å" bh
2
Moment wyważający wynosi:
2 1 1 1 1
M = N(h - zN ) = NëÅ‚h - höÅ‚ = N Å" h = Å" Á Å" g Å" bh2 Å" h = Á Å" g Å" bh3
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3 2 6
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 2.17
Kamienna Å›ciana o wysokoÅ›ci H0 i gÄ™stoÅ›ci Ák
rozdziela dwie części basenu wypełnione wodą o
poziomach H1 i H2. Jaka musi być grubość ściany b
aby ściana nie uległa wróceniu.
Dane: Wyznaczyć:
H0, Ák, H1, H2 b
RozwiÄ…zanie:
Suma momentów względem punktu A:
= 0
"M A
1
- N1(H1 - zN1)+ G b + N2(H2 - zN 2) = 0
2
Siła naporu od wyższego poziomu wody:
1 1
2
N1 = Á Å" g Å" zc1 Å" F1 = Á Å" g Å" H1 Å" H1 Å" L = Á Å" g Å" H1 Å" L ,
w w
2 2
gdzie:
1
zc1 = H1 F1 = H1 Å" L
2
Analogiczne wyznaczamy siłę naporu dla niższego poziomu wody:
1
2
N2 = Á Å" g Å" H2 Å" L
w
2
Ciężar ściany:
G = Á Å" g Å" H0 Å" b Å" L
k
Wyznaczanie położenia środków naporów:
30
3
LH1
Jxc 1 2
12
zN1 = zc1 + = H1 + = H1
1
zc1 Å" F1 2 3
H1 Å" H Å" L
2
2
zN 2 = H2
3
Podstawiając wyrażenia na wartości naporów i współrzędne przyłożenia sił do równania momentów
względem punktu A można wyznaczyć szerokość ściany b:
= 0 Ò! b = .........
"M A
1 1
2L 1 1 2L 1
- Áw Å" g Å" H1 Å" H1 + Á Å" g Å" H0 Å" b Å" L Å" b + Áw Å" g Å" H2 Å" H2 = 0
2 3 2 2 3
1 1 1
3 3
- Áw Å" H1 + Á Å" H0b2 + Áw Å" H2 = 0
6 2 6
Po przekształceniach otrzymujemy:
1 1
3 3
ÁwH1 - ÁwH2
6 6
b e"
1
ÁH0
2
Zadanie 2.18
Obliczyć siłę naporu i współrzędne środka naporu cieczy
o gÄ™stoÅ›ci Á na powierzchniÄ™ koÅ‚a o Å›rednicy d
umieszczonego w pionowej ścianie zbiornika. Środek
ciężkości zanurzony jest na głębokości h.
Dane: Wyznaczyć:
Á, d, h N, zN
RozwiÄ…zanie:
Siła naporu wynosi
N = Á Å" g Å" zc Å" F
gdzie
2
Ä„d
zc = h F =
4
po podstawieniu otrzymujemy:
2
Ä„d
N = Á Å" g Å" h
4
Położenie środka naporu
31
J
xc
zN = zc +
zcF
2
Ä„d
4 2
4Ä„d d
64
zN = h + = h + = h +
2 2
16h
Ąd 64hĄd
h
4
Zadanie 2.19 (poz. bibl. [3], zad.2.4.2, str. 36)
Wyznaczyć parcie cieczy na półkulistą kopułę przedstawioną na
rysunku.
Dane: Wyznaczyć:
r, H N
RozwiÄ…zanie:
Ze względu na symetrię kopuły występuje tylko parcie pionowe skierowane do góry.
Siłę naporu wyznaczamy z ciężaru pozornej objętości cieczy zawartej między powierzchnią kopuły
i płaszczyzną poziomą przechodzącą przez powierzchnię zwierciadła cieczy:
N = Á Å" g Å"V
Pozorna objętość cieczy zawartej nad kopułą wynosi:
1 4
V = Ä„r2H - Ä„r3
2 3
Siła naporu wynosi:
1 4 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2
N = Á Å" gëÅ‚Ä„r H - Ä„r3 öÅ‚ = Á Å" gëÅ‚Ä„r H - Ä„r3 öÅ‚ = Á Å" g Å"Ä„r H - r
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 2.20 (poz. bibl. [8], zad. 61, str. 78)
Znalez
ć współrzędne środka parcia dla dowolnego wielokąta
foremnego o boku a, jeżeli jest znany promień koła wpisanego r lub
opisanego R oraz głębokość zanurzenia środka ciężkości zs.
Dane: Wyznaczyć:
a, r, R, zc zN
RozwiÄ…zanie:
Głębokość zanurzenia środka parcia wynosi:
J
J xc
x
zN = = zc + ,
zc Å" F zc Å" F
gdzie:
2
J = J + zc Å" F - moment bezwÅ‚adnoÅ›ci powierzchni wielokÄ…ta wzglÄ™dem osi x
x xc
J - moment bezwładności względem osi xc
xc
Moment bezwładności względem osi xc ma następującą postać:
F
2
J = (a2 +12 Å" r )
xc
48
32
F
J = (6 Å" R2 - a2)
xc
48
PodstawiajÄ…c otrzymuje siÄ™:
F
2
(a2 +12 Å" r )
1
48 2
zN = zc + = zs + (a2 +12 Å" r )
F Å" zc 48 Å" zc
F
(6Å" R2 + a2)
1
24
zN = zc + = zs + (6Å" R2 + a2)
F Å" zc 24Å" zc
W przypadku szczególnym, gdy a = 0, otrzymuje się z obu powyższych wzorów takie samo
wyrażenie:
r2
zN = zc +
4 Å" zc
R2
zN = zc +
4 Å" zc
gdyż wtedy wielokąt przekształca się w koło, dla którego r = R. Gdy zc= r wówczas otrzymuje się:
5
zN = r
4
Zadanie 2.21 (poz. bibl. [8], zad. 66, str. 88)
W rurociągu o średnicy d znajduje się przepustnica obrotowa
(oś obrotu 0), która odcina przepływ wody. Obliczyć moment
M potrzebny do otwarcia przepustnicy, pomijajÄ…c opory tarcia
mechanicznego.
Dane: Wyznaczyć:
d M
RozwiÄ…zanie:
Przepustnica przedstawia sobą płaską prostopadłą płytę kołową, na którą działa w środku parcia
(punkt SN) parcie N. Moment obrotowy wynosi:
M = N(zN - zc )
Odległość zN, czyli odległość środka parcia od zwierciadła wody, wynosi:
J J
x xc
zN = = zc +
M M
x x
gdzie:
4
Ä„ Å" d
J = - moment bezwładności przepustnicy (koła) względem osi 0
xc
64
M = F Å" zc - moment statyczny koÅ‚a wzglÄ™dem osi x, przechodzÄ…cej przez najwyżej
x
położony punkt płaszczyzny styku przepustnicy z wodą.
Uwzględniając, że parcie N wynosi:
N = Á Å" g Å" zc Å" F = Á Å" g Å" M
x
i podstawiając odpowiednie wartości otrzymuje się:
33
ëÅ‚ J öÅ‚
xc
ìÅ‚ ÷Å‚
M = N(zN - zc ) = Á Å" g Å" M zc + - zc ÷Å‚ = Á Å" g Å" J
x xc
ìÅ‚
M
íÅ‚ x Å‚Å‚
Zadanie 2.22 (poz. bibl. [7], zad.2.27, str. 38)
Lekki tłok o średnicy D, wysokości h, wykonany z blachy, może
przemieszczać się pionowo (bez tarcia) w rurze o średnicy d, która
stanowi jedno ramię naczynia połączonego. Po napełnieniu tłoka i rur
cieczą, jego równowaga ustaliła się przy pewnej różnicy poziomów H.
Obliczyć, przy jakim stosunku h/H ustali się równowaga, jeżeli D/d =
6 , a ciężar tłoka można pominąć.
Dane: Wyznaczyć:
D, h, d, H h/H
D/d = 6
RozwiÄ…zanie:
Rozpatrujemy warunek równowagi tłoka. Jeżeli pominąć jego ciężar
własny oraz tarcie w prowadnicy, to równowaga tłoka zachodzi pod
działaniem dwóch naporów:
Ä„ Å" D2
" Na denko górne Ng = Å‚ Å" H (zwrócony w górÄ™)
4
2
Ä„ Å" (D2 - d )
" na denko dolne Nd = Å‚ Å" (H + h) (w dół)
4
Warunek równowagi Ng = Nd przyjmuje postać:
2
HD2 = (H + h)Å"(D2 - d )
Dzielimy go obustronnie przez hźd2
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
H D H D
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
= +1öÅ‚ïÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ -1śł ,
h d h d
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ïÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2
i podstawiamy (D d) = 6 . Otrzymujemy:
H H H
6 = 5ëÅ‚ +1öÅ‚ Ò! = 5
ìÅ‚ ÷Å‚
h h h
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 2.23 (poz. bibl. [7], zad.2.28, str. 38)
Sworzeń A składa się z dwóch odcinków walcowych
o średnicach d i D, połączonych odcinkiem
stożkowym. Prawy koniec sworznia jest sztywno
utwierdzony. Z drugiej strony na sworzeń nasunięto
naczynie B, które napełniono dwoma cieczami: do
poziomu osi sworznia rtęcią, powyżej  wodą. Jaki
warunek musi być spełniony aby naczynie
pozostawało w równowadze?
34
Dane: Wyznaczyć:
D, d, H, łw, łr warunek równowagi
RozwiÄ…zanie:
Na lewej ściance naczynia (z mniejszym otworem) zwilżona jest większa część powierzchni niż na
ściance prawej, gdzie otwór jest większy. Napory na te ściany nie będą więc jednakowe i powstanie
pewna wypadkowa siła pozioma, usiłująca przesunąć naczynie po sworzniu w lewo. Jej moduł
równa się naporowi na pierścień kołowy o średnicach D i d. Dla równowagi naczynia trzeba do
niego przyłożyć siłę przeciwną (pomijamy tu tarcie ścian naczynia o sworzeń).
Powierzchnia zwilżona jest wodą i rtęcią, więc napór na nią jest sumą naporów na górną połowę,
zwilżoną wodą (Ng) oraz dolną połowę, zwilżoną rtęcią (Nd). Siła przyłożona do naczynia wynosi:
N = Ng + Nd (1)
Każda połowa pierścienia ma pole:
Ä„
2
F = (D2 - d ),
8
a jej środek ciężkości SC oddalony jest od płaszczyzny granicznej o:
3
2 D3 - d
h =
2
3Ä„ D2 - d
Napór wody na górną połowę pierścienia:
N = Å‚ (H - h)F
g w
Napór na dolną połowę wynika z ciśnienia hydrostatycznego całego słupa wody (o wysokości H)
oraz słupa rtęci (o wysokości h), czyli:
Nd = (Å‚ H - Å‚ h)F
w r
Podstawiając powyższe do wzoru (1), otrzymamy:
Å‚
1
w 2 3 2 2 3
N = [3Ä„H(D2 - d )- 2(D3 - d )]+ [3Ä„Å‚ H(D - d )- 2Å‚ (D3 - d )]
w r
24 24
Zadanie 2.24 (poz. bibl. [8], zad. 77, str. 102)
Znalez
ć parcie wody na powierzchnię zakrzywioną w postaci
trzech czwartych bocznej powierzchni walca o promieniu r =
1 m i długości tworzącej l = 6 m. Zbiornik jest napełniony do
wysokości h = 4 m.
Dane: Wyznaczyć:
r = 1 m N
l = 6 m
h = 4 m
RozwiÄ…zanie:
Składowa pozioma parcia Nx równa się parciu na powierzchnię Fx, gdzie Fx jest rzutem górnej
jednej czwartej powierzchni walca na płaszczyznę pionową, bowiem składowe poziome na dolne
powierzchnie walca znoszą się. A więc:
r
öÅ‚r Å"l
Nx = Á Å" g Å" zc Å" Fx = Á Å" gëÅ‚h - ÷Å‚
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚4 öÅ‚
Nx = 1000 Å" 9.81Å" - ÷Å‚
Å"1Å" 6 = 206000 N
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Składowa pionowa parcia Nz równa się ciężarowi słupa wody o przekroju ABCDFGA i długości l.
Ten słup wody jest różnicą słupów o przekroju ABCDEA i DEGF. Różnica ta wynika stąd, że
parcie na dolną powierzchnię o łuku BCD jest skierowane do dołu, a na górną powierzchnię o łuku
DF  do góry. A więc:
35
3
öÅ‚l
Nz = Á Å" g Å"VABCDFGA = Á Å" gëÅ‚ Ä„ Å" r2 + h Å" r
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
3
ëÅ‚
N = 1000 Å" 9.81Å" Ä„ Å"12 + 4 Å"1öÅ‚ Å" 6 = 374000 N
ìÅ‚ ÷Å‚
z
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Parcie wypadkowe wynosi:
2 2
N = N + N = 2060002 + 3740002 = 426000 N
x z
Parcie N musi oczywiście przechodzić przez oś walca (punkt O).
Zadanie 2.25 (poz. bibl. [7], zad.2.32, str. 39)
W pochyłym dnie basenu znajduje się prostokątny
otwór zamykany klapą AB, osadzony obrotowo. W
jakim miejscu należy umieścić poziomą oś 0 obrotu
klapy, aby otwieranie jej wymagało użycia jak
najmniejszego momentu obrotowego? Dane są długości
odcinków a i b.
Dane: Wyznaczyć:
a, b AO/OB
RozwiÄ…zanie:
Oś obrotu klapy powinna przechodzić przez środek naporu, bo wtedy moment naporu względem osi
równa się zeru, a moment obrotowy potrzebny do otwarcia klapy wynika tylko z tarcia w
łożyskach. Uwzględniając wzór (odległość środka naporu od lustra wody):
2
Jx ixc
yN = = yc +
F Å" yc yc
dochodzimy do wniosku; że oś obrotu trzeba umieścić poniżej środka ciężkości o
2
" = ixc yc (mierząc w płaszczyz
nie klapy). Obliczenia wykonamy dla wycinka klapy o długości
jednostkowej w kierunku osi obrotu. Wobec tego rozważana figura jest prostokÄ…tem o bokach a ×1.
Ponieważ:
1
a2
a2 a
2 12
ixc = yc = b + przeto " =
1
12 2
b + a
2
Zgodnie z powyższymi uwagami oś obrotu powinna dzielić wysokość klapy w stosunku:
1
a - "
A0
2
=
1
0B
a + "
2
Podstawiając i przekształcając otrzymujemy:
A0 a - 3b
=
0B 2a + 3b
36
Zadanie 2.26 (poz. bibl. [3], zad.2.2.1, str. 26)
Zbiornik wypełniony cieczą porusza się ruchem prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem po
poziomej płaszczyz
nie. Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku oraz określić
rozkład ciśnień.
Dane: Wyznaczyć:
a, g, h Ä…, p
RozwiÄ…zanie:
Na dowolną cząstkę cieczy w zbiorniku działają siły masowe: jednostkowa siła ciężkości g i
jednostkowa siłą bezwładności - a. Ich składowe w przyjętym układzie współrzędnych są:
X = -a , Y = 0 , Z = -g
Zatem równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej ma postać:
- a Å" dx - g Å" dz = 0
Po scałkowaniu otrzymamy:
a Å" x + g Å" z = C ,
a wiec układem powierzchni ekwipotencjalnych jest układ płaszczyzn tworzących z osią x kąt ą
taki, że:
dz a
tgÄ… = = -
dx g
Znak minus wynika tutaj z orientacji przyjętego układu współrzędnych.
Jedną z powierzchni ekwipotencjalnych jest powierzchnia swobodna będąca, jak widać z obliczeń,
płaszczyzną nachyloną do poziomu pod kątem ą.
Rozkład ciśnień określa rozwiązanie równania:
dp = -Á Å"(a Å" dx + g Å" dz),
zatem:
p = pa - Á Å"[a Å" x + g Å"(z - h)]
Tutaj stałą całkowania wyznaczono z warunku p = pa dla x = 0, z = h, tj. dla punktu powierzchni
swobodnej leżącego na osi z.
37
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zadanie 2.27 (poz. bibl. [6], zad.2.1.2, str. 16)
Obliczyć różnicę wysokości h0  h1 cieczy, jaka ustaliła się w manometrze
U-rurkowym, jeżeli w poszczególnych ramionach działają ciśnienia p0 i p1.
p1 - p0
Odpowiedz
: h0 - h1 =
Á Å" g
Zadanie 2.28 (poz. bibl. [6], zad.2.1.4, str. 16)
Przez przewód prostoosiowy, nachylony do poziomu odniesienia
O-O, przepływa woda. Do pomiaru różnicy ciśnień "p użyto
manometru rtęciowego. Obliczyć wartość "p = p1  p2 w
przypadku, gdy różnica wysokości H pomiędzy otworami
piezometrycznymi wynosi 2 m, a wysokość słupa rtęci w
manometrze h = 1 m. Przyjąć Áw = 1000 kg/m3, Ám = 13500
kg/m3.
Odpowiedz
: "p = 0.143 MPa
Zadanie 2.29 (poz. bibl. [6], zad.2.1.5, str. 17)
Obliczyć różnicę ciśnień (w milimetrach słupa wody)
pomiędzy dwoma przekrojami rurociągu, przez który płynie
woda o gÄ™stoÅ›ci Áw = 1000 kg/m3. Do otworów
piezometrycznych w rurociągu podłączono manometr
różnicowy wypeÅ‚niony wodÄ… i olejem, którego gÄ™stość Á0 =
860 kg/m3. Różnica poziomów pomiędzy powierzchniami
rozdziału cieczy "h = 160 mm.
Odpowiedz
: "h1-2 = 22.4 mmH2O
Zadanie 2.30 (poz. bibl. [6], zad.2.1.6, str. 18)
Dwa przewody, z których jednym pÅ‚ynie olej o gÄ™stoÅ›ci Á = 815
kg/m3 a drugim woda, są przesunięte względem siebie o H = 2 m.
Obliczyć różnicę ciśnień panujących w rurociągach, jeśli podłączony
do nich manometr rtęciowy wskazuje różnicę poziomów h = 0.5 m.
Odległość osi dolnego rurociągu od niżej położonej płaszczyzny
rozdziału cieczy wynosi h1 = 0.8 m.
Odpowiedz
: "p = 77.25 kPa
38
Zadanie 2.31 (poz. bibl. [6], zad.2.1.11, str. 20)
Trzy tłoki o powierzchniach: F1 = 0.6 m2, F2 = 0.8 m2 i F3 = 0.4 m2,
obciążone odpowiednio siłami: P1 = 1 kN, P2 = 2 kN oraz P3 = 3 kN,
dziaÅ‚ajÄ… na wodÄ™ o gÄ™stoÅ›ci Á = 1000 kg/m3. OkreÅ›lić, dla jakich wartoÅ›ci h1
i h2 układ tłoków pozostanie w stanie równowagi ?
Odpowiedz
: h1 = 0.085 m, h2 = 0.51 m
Zadanie 2.32 (poz. bibl. [8], zad. 37, str. 45)
Jaką siłę P2 można wywołać w ręcznej prasie hydraulicznej przy
pomocy siły P = 245 N, jeżeli a = 600 mm, b = 50 mm, d = 40 mm,
D = 280 mm? Pominąć ciężary tłoków i siły tarcia.
Odpowiedz
: P2 = 144060 N
Zadanie 2.33 (poz. bibl. [3], zad.2.3.1, str. 23)
W ręcznej pompie do tłoczenia cieczy znajdują się dwa tłoki
o średnicach odpowiednio D i d połączone dz
wigniÄ… ABC
i spoczywające na powierzchni cieczy wypełniającej połączone
naczynia cylindryczne. Obliczyć wartość siły P jaką należy
przyłożyć do końca dz
wigni, by zaistniała równowaga, jeżeli
ciężar tłoka o średnicy D równa się G.
2
G Å" a Å" d
Odpowiedz
: P =
2
b(D2 + d )+ D2 Å" a
Zadanie 2.34 (poz. bibl. [6], zad.2.1.8, str. 19)
Na podstawie wskazań manometrów cieczowych,
podłączonych szeregowo do zbiornika
wypełnionego olejem napędowym, określić
nadciÅ›nienie "p = p  pa dla danych: Á0 = 860
kg/m3, Áw = 1000 kg/m3, Ám = 13600 kg/m3, h1 =
5 m, h2 = 2 m, h3 = 2.5 m, h4 = 1 m, h5 = 3 m, h6
= 1 m, h7 = 2.5 m, g = 9.81 m/s2.
Odpowiedz
: "p = p  pa = 474 kPa
Zadanie 2.35 (poz. bibl. [6], zad.2.3.5, str. 26)
Wyznaczyć napór hydrostatyczny oraz określić współrzędne środka naporu SN dla ściany pionowej
o kształcie i wymiarach jak na rysunku:
a) b) c)
39
2
Å‚ Å"b Å" H 2 a2
Odpowiedz
: a) N = , zN = H ; b) N = Å‚ Å" H Å" a2, zN = H + ;
2 3 12Å" H
2
Å‚ Å"Ä„ Å" d 17
c) N = , zN = D
4 16
Zadanie 2.36 (poz. bibl. [6], zad.2.3.6, str. 26)
Na jaką głębokość H należy zanurzyć płaską ścianę w kształcie
trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h = 6 m, aby
środek naporu znajdował się w odległości b = 10 m od zwierciadła
cieczy?
Odpowiedz
: H = 7.795 m
Zadanie 2.37 (poz. bibl. [8], zad. 30, str. 37)
Znalez
ć siły P1 i P2 przenoszone przez śruby kołnierza większego i
mniejszego w zbiorniku cylindrycznym wypełnionym cieczą o
gÄ™stoÅ›ci Á, jeżeli na ciecz dziaÅ‚a dodatkowo tÅ‚ok o Å›rednicy d
obciążony siłą P. Średnice i wysokości wynoszą odpowiednio d1, d2
i h1, h2.
2 2
Ä„ Å" d1 ëÅ‚ 4 Å" P Ä„ Å" d2
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Odpowiedz
: P1 = + Á Å" g Å" h1 ÷Å‚ + Å" Á Å" g Å" h2 ,
ìÅ‚
2
4 4
íÅ‚ Ä„ Å" d Å‚Å‚
2
Ä„ Å" d2 ëÅ‚ 4 Å" P
P2 = ìÅ‚ + Á Å" g Å"(h1 + h2)öÅ‚ .
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
4
íÅ‚ Ä„ Å" d Å‚Å‚
Zadanie 2.38 (poz. bibl. [6], zad.2.3.18, str. 29)
Zbiornik wodny zamknięto klapą obrotową w kształcie a) b)
czwartej części walca o promieniu R i długości L
(mierzonej prostopadle do płaszczyzny rysunku).
Wyznaczyć wielkość naporu hydrostatycznego
wywieranego na klapę, dla dwóch przypadków
przedstawionych na rysunkach.
Przyjąć ciężar właściwy wody równy ł, a wysokość
poziomu cieczy w zbiorniku  H.
2 2
R Ä„ Å" R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Odpowiedz
: a) N = Å‚ Å" R Å" L H - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
+ H ,
ìÅ‚
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
R Ä„ Å" R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b) N = Å‚ Å" R Å" L H - ÷Å‚ ìÅ‚ - R +
+ H
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
40
Zadanie 2.39 (poz. bibl. [6], zad.2.4.7, str. 37)
Naczynie półkoliste o średnicy D napełniono całkowicie cieczą i
przykryto płytą szklaną. Naczynie odwrócono i położono na
płaskiej poziomej powierzchni. Należy wyznaczyć ciężar Q
naczynia, jaki może zapobiec podniesieniu go przez parcie
zawartej w nim cieczy.
Ä„D3
Odpowiedz
: Q e" Á Å" g
24
Zadanie 2.40 (poz. bibl. [8], zad. 73, str. 96)
Powierzchnia boczna blaszanego stożka o średnicy podstaw d1 i d2,
wysokości h i ciężarze G jest dołem uszczelniona i przytwierdzona
śrubami do podłoża. Tak utworzony zbiornik jest napełniony
caÅ‚kowicie cieczÄ… o gÄ™stoÅ›ci Á. Kiedy Å›ruby zacznÄ… przenosić siÅ‚y
rozciągające od parcia cieczy i jaka jest wartość tych sił?
Ä„
2 2
Odpowiedz
: Prozc = Á Å" g Å" h(2 Å" d2 - d1 Å" d2 - d1 )- G
12
Zadanie 2.41 (poz. bibl. [6], zad.2.3.14, str. 28)
W dnie zbiornika wykonano otwór o średnicy d, zamykany zaworem
w kształcie stożka o średnicy D = 2d i wysokości h. Obliczyć siłę P
potrzebną do otwarcia zaworu jeżeli zbiornik wypełniono do
wysokoÅ›ci H cieczÄ… o gÄ™stoÅ›ci Á. GÄ™stość materiaÅ‚u którego
wykonano stożek przyjąć równÄ… Á1.
1
Odpowiedz
: P = Ä„ Å" D2 Å" g[(6H - 7h)Á + 8h Å" Á1]
96
Zadanie 2.42 (poz. bibl. [3], zad.2.4.4, str. 37)
Stożkowy zawór przelewowy o wysokości h, średnicy
podstawy D i ciężarze G, mający półkuliste wybranie o
średnicy d, zamyka przepływ wody między komorami
zbiornika. Wyznaczyć wysokość napełnienia z lewej części
zbiornika, dla której nastąpi otwarcie zaworu.
4G D2 h 1
ëÅ‚ öÅ‚
Odpowiedz
: z e" + H - ÷Å‚
+ d
ìÅ‚
2 2
Ä„ Å" d Å" Á Å" g d 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 2.43 (poz. bibl. [7], zad.2.31, str. 39)
Obliczyć napór na dno walcowego zbiornika o promieniu
podstawy r, stojącego pod kątem ą do poziomu. Obliczyć
głębokość zanurzenia środka naporu. Gdy zbiornik stoi pionowo,
poziom cieczy wynosi h0.
2
ëÅ‚ öÅ‚
r
2 2
ìÅ‚
Odpowiedz
: N = Å‚ Å"Ä„r h0 cosÄ… , zN = h0ìÅ‚1+ tg Ä… ÷Å‚
2
4h0 ÷Å‚cosÄ…
íÅ‚ Å‚Å‚
41