ÿþ3 . R ó w n a n i a r u c h u p By n u
R ó w n a n i a r u c h u p By n u , p o d o b n i e j a k w m e c h a n i c e c i a Ba s t a Be g o , s w y p r o w a d z o n e z
’!
d r u g i e j z a s a d y N e w t o n a , k t ó r a d l a c i a Ba o m a s i e m z m i e n i a j c e g o p r d k o [ z U 1 w c h w i l i t 1
’! ’!
d o p r d k o [c i U 2 w c h w i l i , p o z w a l a o b l i c z y s i B F n i e z b d n d o w y w o Ba n i a t e j
t 2
z m i a n y :
’! ’! ’!
( 3 . 1 )
F t 2 - t 1 = m U - m U
( ) 2 1
I l o c z y n m a s y i p r d k o [c i j e s t w i e l k o [c i w e k t o r o w n a z y w a n p d e m , z a [ i l o c z y n s i By i c z a s u
j e j d z i a Ba n i a n a z y w a n y j e s t p o p d e m s i By , c o p o z w a l a w y r a z i d r u g z a s a d d y n a m i k i w
n a s t p u j c e j p o s t a c i :
p o p d z m i a n a
s i By = p d u ( 3 . 1 a )
u k Ba d u
J e |e l i z a Bo |y m y , |e r o z p a t r y w a b d z i e m y z m i a n y z a c h o d z c e w n i e s k o Dc z e n i e m a By m
c z a s i e , w ó w c z a s d r u g z a s a d d y n a m i k i , p o o b u s t r o n n y m p o d z i e l e n i u w z . ( 3 . 1 )
p r z e z c z a s w y r a z i b d z i e m o |n a n a s t p u j c o :
s i Ba b e z w Ba d n o [c i s u m a s i B z e w n t r z n y c h
p r z y s p i e s z a n e g o = d z i a Ba j c y c h n a ( 3 . 2 )
e l e m e n t u p By n u e l e m e n t p By n u
S i Ba m i z e w n t r z n y m i s s i By c i |k o [c i ( n a l e |c e d o g r u p y s i B m a s o w y c h ) o r a z s i By
p o c h o d z c e o d c i [n i e n i a i s i By l e p k o [c i , k t ó r e s s i Ba m i p o w i e r z c h n i o w y m i .
n
U 0
U 0
´
R y s . 3 . 1 . I l u s t r a c j a w p By w u l e p k o [c i n a o b r a z o p By w u p r o f i l u .
W s z y s t k i e p By n y s o [r o d k a m i l e p k i m i , j e d n a k n i e w e w s z y s t k i c h p r z e p By w a c h
l e p k o [ j e s t j e d n a k o w o i s t o t n a . N a r y s u j m y r o z k Ba d p r d k o [c i w o k ó B p r o f i l u p o k a z a n e g o n a
’!
r y s . 3 . 1 , k t ó r y z a n u r z o n y j e s t w p By n i e p o r u s z a j c y m s i z p r d k o [c i U r ó w n o l e g l e d o o s i
o
s y m e t r i i p r o f i l u . L e p k o [ p o w o d u j e , |e n a p o w i e r z c h n i p r o f i l u p r d k o [ j e s t z e r o w a , g d y |
i s t n i e n i e a d h e z j i p By n u s p r a w i a , |e m o l e k u By p By n u p o Bo |o n e w b e z p o [r e d n i m s s i e d z t w i e
[c i a n y m u s z m i e p r d k o [ z e r o w . J e |e l i o d d a l a m y s i o d [c i a n y ( k i e r u n e k n n a r y s . 3 . 1 )
w ó w c z a s p r d k o [ r o [n i e w s p o s ó b o k r e [l o n y l e p k o [c i p By n u , t z n . d l a p By n ó w o m n i e j s z e j
"U
l e p k o [c i g r a d i e n t p r d k o [c i m o |e b y w i k s z y n i | d l a o [r o d k a o l e p k o [c i w i k s z e j .
"n
4 1
G r u b o [ w a r s t w y p By n u o z n a c z o n a n a r y s . 3 . 1 s y m b o l e m ´ , w k t ó r e j n a s k u t e k l e p k o [c i
i s t n i e j e n i e z e r o w y g r a d i e n t p r d k o [c i :
"U
`" 0
"n
w y z n a c z a g r a n i c t z w . w a r s t w y p r z y [c i e n n e j , w k t ó r e j l e p k o [ o d g r y w a i s t o t n r o l . G r u b o [
w a r s t w y p r z y [c i e n n e j j e s t j e d n a k z a z w y c z a j n i e w i e l k a i p r z y k Ba d o w o n a p o w i e r z c h n i Bo p a t k i
w e n t y l a t o r a c z y t u r b i n y g a z o w e j l u b p a r o w e j w y m i a r t e n j e s t r z d u :
´ H" 1 m m
a p r z y o p By w i e w o d y w o k ó B k a d Bu b a s t a t k u o d Bu g o [c i k i l k u s e t m e t r ó w g r u b o [ ´ j e s t c o
n a j w y |e j r z d u k i l k u d z i e s i c i u c e n t y m e t r ó w . O z n a c z a t o , |e k s z t a Bt l i n i i p r d u p o Bo |o n y c h w
o d l e g Bo [c i w i k s z e j n i | ´ o d p o w i e r z c h n i c i a Ba m o |e b y w y z n a c z o n y b e z u w z g l d n i e n i a
l e p k o [c i p By n u . P o m i n i c i e l e p k o [c i w r ó w n a n i a c h r u c h u u p r a s z c z a o b l i c z e n i a i d l a t e g o t e |, w
p r z y b l i |o n e j a n a l i z i e w i e l u z a g a d n i e D s t o s u j e s i o p i s r u c h u d l a t z w . p By n u i d e a l n e g o
( n i e l e p k i e g o ) . P o n a d t o , z e w z g l d ó w d y d a k t y c z n y c h Ba t w i e j j e s t w y p r o w a d z i r ó w n a n i e
r u c h u d l a p By n u n i e l e p k i e g o a n a s t p n i e w p r o w a d z i d o n i e g o s i By l e p k o [c i i t e n s p o s ó b
p o s t p o w a n i a z o s t a n i e z a s t o s o w a n y w n i n i e j s z y m r o z d z i a l e .
3 . 1 . R ó w n a n i e r u c h u p By n u i d e a l n e g o r ó w n a n i e E u l e r a
D o s f o r m u Bo w a n i a o p i s u r u c h u p By n u i d e a l n e g o z a s t o s u j e m y m e t o d E u l e r a
w y o d r b n i a j c z c a Be j o b j t o [c i p By n u V j e g o e l e m e n t d V ( r y s . 3 . 2 ) i e l e m e n t a r n
p o w i e r z c h n i d S . N a r o z p a t r y w a n y p By n d z i a Ba j e d n o s t k o w a s i Ba m a s o w a , k t ó r e j s k Ba d o w e w
k a r t e z j a Ds k i m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h z a p i s a m o |n a :
’! ’! ’! ’!
F = X i + Y j + Z k
n
- p n d S
d S
z
d V
S
F Ád V
y V
x
R y s . 3 . 2 . S i By m a s o w e i p o w i e r z c h n i o w e d z i a Ba j c e n a e l e m e n t p By n u i d e a l n e g o .
N a e l e m e n t p By n u o o b j t o [c i d V d z i a Ba s i Ba m a s o w a
’!
F Å" Á Å" d V
g d z i e Á j e s t g s t o [c i p By n u , a c a Bk o w i t a s i Ba m a s o w a d z i a Ba j c a n a o b j t o [ V
r o z p a t r y w a n e g o p By n u w y n o s i :
’!
F Å" Á Å" d V ( 3 . 3 a )
+"
V
W p By n i e i d e a l n y m n i e w y s t p u j s k Ba d o w e s t y c z n e s i B p o w i e r z c h n i o w y c h i d l a t e g o n a k a |d y
e l e m e n t p o w i e r z c h n i p By n u d z i a Ba w e k t o r s i By n o r m a l n e j , s k i e r o w a n y p r z e c i w n i e d o z w r o t u
’!
o s i n , c o p o z w a l a z a p i s a :
4 2
’! ’!
p = - p Å" n
g d z i e p j e s t c i [n i e n i e m w d a n y m p u n k c i e p o w i e r z c h n i S . E l e m e n t a r n a s i Ba p o w i e r z c h n i o w a
w y n o s i :
’!
p Å" d S
a c a Bk o w i t a s i Ba p o w i e r z c h n i o w a b d z i e r ó w n a :
’!
p d S ( 3 . 3 b )
+"
S
S i By z a p i s a n e z a l e |n o [c i a m i ( 3 . 3 a ) i ( 3 . 3 b ) s j e d y n y m i s i Ba m i z e w n t r z n y m i w y s t p u j c y m i
w p By n i e i d e a l n y m i d l a k o m p l e t n o [c i r ó w n a n i a ( 3 . 2 ) p o t r z e b n a j e s t j e d y n i e s i Ba
b e z w Ba d n o [c i , k t ó r a d l a e l e m e n t a r n e j o b j t o [c i z a p i s a n a b y m o |e :
’!
D U
Å" Á Å" d V
D t
C a Bk o w i t a s i Ba b e z w Ba d n o [c i b d z i e r ó w n a :
’!
D U
Á Å" d V ( 3 . 3 c )
+"
D t
v
i p o u w z g l d n i e n i u w r ó w n . ( 3 . 2 ) z w i z k ó w ( 3 . 3 a ) , ( 3 . 3 b ) i ( 3 . 3 c ) o t r z y m a m y :
ëø’! ’! öø
’!
ìø D U ÷ø
p d S = 0
+"ìø F - ÷ø Ád V + +"
D t
V ìø ÷ø S
íø øø
C a Bk o w a n i e p o w y |s z e g o z w i z k u w y m a g a p r z e k s z t a Bc e n i a c a Bk i p o w i e r z c h n i o w e j w
o b j t o [c i o w z w y k o r z y s t a n i e m p r z e k s z t a Bc e n i a G a u s s a - O s t r o g r a d s k i e g o :
’! ’!
p d S = p n d S = - g r a d p d V
+"+"
+"
S S V
c o p o z w a l a z a p i s a :
ëø’! ’! öø
ìø D U 1 ÷ø
+"ìø F - - g r a d p ÷ø Ád V = 0
D t Á
S ìø ÷ø
íø øø
O b j t o [ V z o s t a Ba w y b r a n a w s p o s ó b c a Bk o w i c i e d o w o l n y , c o o z n a c z a , |e z w i z e k
p o w y |s z y z a c h o w u j e w a |n o [ w k a |d y m p u n k c i e p By n u , c o p o z w a l a z a p i s a :
’!
’!
D U 1
= F - g r a d p ( 3 . 4 )
D t Á
Z a l e |n o [ p o w y |s z a t o r ó w n a n i e r u c h u p By n u i d e a l n e g o n a z y w a n e r ó w n i e | r ó w n a n i e m
’!
E u l e r a d l a p By n u i d e a l n e g o , k t ó r e w i |e z e s o b j e d n o s t k o w s i B m a s o w F , g r a d i e n t
’!
D U
c i [n i e n i a w d a n y m p u n k c i e p By n u z g s t o [c i Á i p r z y s p i e s z e n i e m d z i a Ba j c y m n a d a n y
D t
e l e m e n t p By n u .
R ó w n a n i e ( 3 . 4 ) z a p i s a m o |n a d l a k a r t e z j a Ds k i e g o u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h j a k o u k Ba d
t r z e c h r ó w n a D s k a l a r n y c h :
D U x 1 "p
= X -
D t Á "x
D U y
1 "p
= Y - ( 3 . 5 )
D t Á "y
4 3
D U z 1 "p
= Z -
D t Á "z
a p o r o z w i n i c i u w y r a |e D n a p o c h o d n e s u b s t a n c j a l n e u z y s k a m y n a s t p u j c p o s t a r ó w n a n i a
E u l e r a d l a p r z e p By w u n i e s t a c j o n a r n e g o p By n u i d e a l n e g o :
"U x + U x "U x + U y "U x + U z "U x 1 "p
= X -
"t "x "y "z Á "x
"U y "U y "U y "U y
1 "p
+ U x + U y + U z = Y - ( 3 . 6 )
"t "x "y "z Á "y
"U z "U z "U z "U z 1 "p
+ U x + U y + U z = Z -
"t "x "y "z Á "z
J e |e l i o g r a n i c z y m y r o z w a |a n i a d o p r z e p By w ó w u s t a l o n y c h , w ó w c z a s z w i z e k p o w y |s z y
m o |n a u p r o [c i o t r z y m u j c r ó w n a n i e E u l e r a d l a p r z e p By w u u s t a l o n e g o p By n u i d e a l n e g o :
"U x "U x "U x 1 "p
U x + U y + U z = X -
"x "x "z Á "x
"U y "U y "U y
1 "p
U x + U y + U z = Y - ( 3 . 7 )
"x "y "z Á "y
"U z "U z "U z 1 "p
U x + U y + U z = Z -
"x "y "z Á "z
W z w i z k a c h ( 3 . 6 ) i ( 3 . 7 ) n i e n a k Ba d a l i [m y |a d n y c h o g r a n i c z e D n a g s t o [ p By n u i s t d t e |
r ó w n a n i e E u l e r a j e s t w a |n e z a r ó w n o d l a p r z e p By w u [c i [l i w e g o j a k i n i e [c i [l i w e g o .
3 . 2 . M e t o d y k a r o z w i z y w a n i a r ó w n a n i a E u l e r a
R ó w n a n i e E u l e r a b d c e o p i s e m r u c h u p By n u i d e a l n e g o
’!
’!
D U 1
= F - g r a d p ( 3 . 4 )
D t Á
j e s t b i l a n s e m r ó w n o w a g i s i B d z i a Ba j c y c h n a e l e m e n t p By n u i n a z y w a n e j e s t z t e g o p o w o d u
w a r u n k i e m d y n a m i c z n y m m o |l i w o [c i p r z e p By w u . W r ó w n a n i u t y m z a p i s a n y m w
k a r t e z j a Ds k i m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h w y s t p u j e p i n i e w i a d o m y c h :
U x , U y , U z , p , Á
p o d c z a s g d y r ó w n a n i e E u l e r a , z a p i s a n e w p o s t a c i s k a l a r n e j t o t y l k o t r z y r ó w n a n i a , w i |c e z e
s o b n i e w i a d o m e d a n e p o w y |s z y m z w i z k i e m . K a |d y j e d n a k p r z e p By w s p e Bn i a m u s i
r ó w n a n i e c i g Bo [c i :
’!
1 D Á
+ d i v U = 0
Á D t
k t ó r e t o r ó w n a n i e n a z y w a n e j e s t r ó w n i e | w a r u n k i e m k i n e t y c z n y m m o |l i w o [c i p r z e p By w u ,
s t a n o w i c y m c z w a r t e r ó w n a n i e u k Ba d u o p i s u j c e g o r u c h p By n u . D o z a m k n i c i a u k Ba d u
r ó w n a D ( r o z u m i a n e g o j a k o z r ó w n a n i e l i c z b y r ó w n a D i n i e w i a d o m y c h ) p o t r z e b n y j e s t j e s z c z e
j e d e n w a r u n e k , k t ó r y m j e s t r ó w n a n i e s t a n u o p i s u j c e z m i e n n o [ g s t o [c i p By n u .
N a j p r o s t s z p o s t a c i t e g o z w i z k u m o |n a s i p o s Bu |y w p r z y p a d k u o p i s u r u c h u
c i e c z y , d l a k t ó r e j m o |n a p r z y j , |e g s t o [ n i e z a l e |y o d c i [n i e n i a i t e m p e r a t u r y , c o p o z w a l a
z a p i s a p i t e , b r a k u j c e r ó w n a n i e w p o s t a c i :
Á = i d e m ( 3 . 8 a )
R ó w n a n i e p o w y |s z e n i e m o |e b y r ó w n a n i e m s t a n u d l a g a z ó w , w [r ó d k t ó r y c h w y d z i e l i
n a l e |y d w i e o d r b n e k l a s y . P i e r w s z z n i c h t w o r z y b d p By n y b a r o t r o p o w e d l a k t ó r y c h
g s t o [ z a l e |y t y l k o o d c i [n i e n i a , c z y l i :
Á = f ( p ) ( 3 . 9 )
4 4
D l a p By n ó w b a r o t r o p o w y c h o w Ba s n o [c i a c h z b l i |o n y c h d o g a z u d o s k o n a Be g o , k t ó r y w c a By m
r o z w a |a n y m p r z e p By w i e b d z i e m i a B s t a B t e m p e r a t u r , r ó w n a n i e s t a n u b d z i e r ó w n a n i e m
p r z e m i a n y i z o t e r m i c z n e j :
p
= c o n s t ( 3 . 8 b )
Á
J e |e l i n a t o m i a s t w p r z e p By w i e p By n u b a r o t r o p o w e g o p r z e m i a n y z a c h o d z i b d p r z y s t a Be j
w a r t o [c i c i e p Ba w Ba [c i w e g o , w ó w c z a s r ó w n a n i e m s t a n u b d z i e r ó w n a n i e p r z e m i a n y
p o l i t r o p o w e j :
p
= c o n s t ( 3 . 8 c )
Ám
w k t ó r e j t o z a l e |n o [c i m j e s t w i e l k o [c i s t a B n a z y w a n w y k Ba d n i k i e m p o l i t r o p y .
D r u g k l a s p By n ó w s t z w . p By n y b a r o k l i n o w e , d l a k t ó r y c h g s t o [ n i e j e s t w y Bc z n i e
f u n k c j c i [n i e n i a l e c z z a l e |y t a k |e o d i n n y c h p a r a m e t r ó w , n p . t e m p e r a t u r y :
Á = f ( p , T , . . . ) ( 3 . 1 0 )
W p r z e p By w a c h p By n ó w b a r o k l i n o w y c h w y m i a n a c i e p Ba z o t o c z e n i e m j e s t u t r u d n i o n a z d w ó c h
p r z y n a j m n i e j p o w o d ó w . P o p i e r w s z e w s p ó Bc z y n n i k p r z e j m o w a n i a c i e p Ba d l a g a z ó w j e s t z
r e g u By n i e w i e l k i ( z n a c z n i e m n i e j s z y n i | n p . d l a c i e c z y ) a p o d r u g i e w y s t p u j c e w p r a k t y c e
p r z e p By w y c h a r a k t e r y z u j s i d u |y m i p r d k o [c i a m i , c o s p r a w i a , |e e f e k t y w n y c z a s w y m i a n y
c i e p Ba z j e d n o s t k p o w i e r z c h n i j e s t k r ó t k i . O b y d w a t e c z y n n i k i u z a s a d n i a j m o |l i w o [
z a Bo |e n i a , |e p r z e p By w m o |e o d b y w a s i b e z w y m i a n y c i e p Ba z o t o c z e n i e m i w t y m
p r z y p a d k u r ó w n a n i e m s t a n u j e s t r ó w n a n i e p r z e m i a n y a d i a b a t y c z n e j :
Á
= c o n s t ( 3 . 8 d )
Áº
R u c h p By n u i d e a l n e g o b d z i e z a t e m o p i s a n y u k Ba d e m t r z e c h r ó w n a D E u l e r a w z . ( 3 . 4 ) ,
r ó w n a n i e m c i g Bo [c i w z . ( 2 . 2 4 a ) o r a z j e d n y m z c z t e r e c h m o |l i w y c h r ó w n a D s t a n u w z . ( 3 . 8 ) , z
k t ó r y c h n a l e |y w y z n a c z y r z u t y w e k t o r a p r d k o [c i U x , U y , U z , c i [n i e n i e p i g s t o [ Á .
K o n i e c z n e b d z i e z a t e m s c a Bk o w a n i e r ó w n a D E u l e r a i c i g Bo [c i , w w y n i k u k t ó r e g o
r o z w i z a n i e z a w i e r a b d z i e s t a Be c a Bk o w a n i a i d o w o l n e f u n k c j e . D l a w y z n a c z e n i a t y c h
w i e l k o [c i n i e z b d n e b d d o d a t k o w e w a r u n k i , k t ó r e m u s z b y s p e Bn i o n e a b y p r z e p By w b y B
j e d n o z n a c z n i e o k r e [l o n y .
P o p i e r w s z e s p e Bn i o n e m u s z b y w a r u n k i p o c z t k o w e , k t ó r e m o g b y p r z y j t e w
d a n e j c h w i l i p r z y j m o w a n e j j a k o p o c z t k o w a , t z n . d l a t = 0 m u s z b y z n a n e w a r t o [c i
s k Ba d o w y c h p r d k o [c i :
U x o = U x ( x , y , z , 0 )
U y o = U y ( x , y , z , 0 )
U z o = U z ( x , y , z , 0 )
o r a z c i [n i e n i e :
p o = p ( x , y , z , 0 )
c o p o z w a l a t a k |e w y z n a c z y z r ó w n a n i a s t a n u g s t o [ w c h w i l i p o c z t k o w e j :
Áo = Á ( x , y , z , 0 )
R o z w i z a n i e s p e Bn i a m u s i t a k |e w a r u n k i b r z e g o w e z a r ó w n o k i n e m a t y c z n e j a k i d y n a m i c z n e .
K i n e m a t y c z n y w a r u n e k b r z e g o w y d o t y c z y r o z k Ba d u p r d k o [c i n a s z t y w n e j ,
n i e r u c h o m e j [c i a n i e o g r a n i c z a j c e j p r z e p By w . J e |e l i w k a |d y m p u n k c i e [c i a n y w e k t o r
p r d k o [c i r o z Bo |y m y n a s k Ba d o w e n o r m a l n U n o r a z s t y c z n U s :
’! ’! ’!
U = U n n + U s s
g d z i e :
4 5
’! ’!
n , s - w e k t o r y j e d n o s t k o w e o d p o w i e d n i o n o r m a l n y i s t y c z n y d o p o w i e r z c h n i ,
w ó w c z a s d l a s z t y w n e j n i e p r z e p u s z c z a l n e j [c i a n y s t y c z n e j m u s i b y s p e Bn i o n y w a r u n e k :
U n = 0
J e |e l i k s z t a Bt s z t y w n e j [c i a n y d a n y b d z i e r ó w n a n i e m :
f ( x , y , z ) = 0
w ó w c z a s w k a |d y m p u n k c i e t e j p o w i e r z c h n i p r z e p By w o d b y w a s i b d z i e t y l k o w k i e r u n k u
s t y c z n y m . S k Ba d o w a n o r m a l n a p r d k o [c i z w i z a n a b d z i e z n i e w i a d o m y m i s k Ba d o w y m i
p r d k o [c i U x , U y , U x n a s t p u j c y m z w i z k i e m :
’! ’!
ëø’! ’!öø ëø öø ëø’! ’!öø
U n = U x c o s n , i + U y c o s n , j + U z c o s n , k ( 3 . 1 1 )
ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø
íø øø íø øø íø øø
a d l a s p e Bn i e n i a k i n e m a t y c z n e g o w a r u n k u b r z e g o w e g o k o n i e c z n e b d z i e , a b y s k Ba d o w e
p r d k o [c i b y By z w i z a n e n a s t p u j c y m z w i z k i e m :
’! ’!
ëø’! ’!öø ëø öø ëø’! ’!öø
U n = U x c o s n , i + U y c o s n , j + U z c o s n , k = 0
ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø
íø øø íø øø íø øø
( 3 . 1 1 )
K o s i n u s y k i e r u n k o w e w y s t p u j c e w p o w y |s z y m r ó w n a n i u w y l i c z y m o |n a n a s t p u j c o :
"f
’! ’!
ëø öø
"x
c o s n , i =
ìø ÷ø
2
2 2
íø øø
ëø öø
"f "f "f
ëø öø ëø öø
+ ìø ÷ø +
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
"x "y "z
íø øø íø øø
íø øø
"f
’! ’!
ëø öø "y
c o s n , j =
ìø ÷ø
2
2 2
íø øø
ëø öø
"f "f "f
ëø öø ëø öø
+ ìø ÷ø +
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
"x "y "z
íø øø íø øø
íø øø
"f
’! ’!
ëø öø
"z
c o s n , k =
ìø ÷ø
2
2 2
íø øø
ëø öø
"f "f "f
ëø öø ëø öø
+ ìø ÷ø +
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
"x "y "z
íø øø íø øø
íø øø
i p o p o d s t a w i e n i u i c h d o w a r u n k u z e r o w o [c i s k Ba d o w e j p r d k o [c i n o r m a l n e j d o [c i a n y ( w z .
( 3 . 1 1 ) ) u z y s k u j e m y o s t a t e c z n p o s t a k i n e m a t y c z n e g o w a r u n k u b r z e g o w e g o :
"f "f "f
U x + U y + U z = 0 ( 3 . 1 2 )
"x "y "z
D y n a m i c z n y w a r u n e k b r z e g o w y d o t y c z y r o z k Ba d u p r d k o [c i i w a r t o [c i c i [n i e n i a n a
s w o b o d n e j p o w i e r z c h n i p By n u , k t ó r e j k s z t a Bt d a n y j e s t r ó w n a n i e m :
F ( x , y , z , t ) = 0 ( 3 . 1 3 )
Z a k Ba d a j c , |e s w o b o d n a p o w i e r z c h n i a j e s t n i e r u c h o m a m o |e m y z a p i s a n a s t p u j c y
w a r u n e k b r z e g o w y :
D F "F "F "F "F
= + U x + U y + U z = 0 ( 3 . 1 4 )
D t "t "x "y "z
k t ó r y m u s i b y u z u p e Bn i o n y d o d a t k o w y m i w a r u n k a m i d o t y c z c y m i c i [n i e n i a , k t ó r e n a
s w o b o d n e j p o w i e r z c h n i m u s i b y p o p i e r w s z e n i e z m i e n n e , a p o d r u g i e r ó w n e c i [n i e n i u
o t o c z e n i a P a , c o m o |n a z a p i s a :
p ( x , y , z , t ) = p a = c o n s t ( 3 . 1 5 )
P o d a n e w t y m r o z d z i a l e p r z y k Ba d y w a r u n k ó w b r z e g o w y c h n i e w y c z e r p u j w s z y s t k i c h
m o |l i w y c h s y t u a c j i , t a k i c h j a k n p . s w o b o d n a p o w i e r z c h n i a z n a Bo |o n y m i f a l a m i
p o w i e r z c h n i o w y m i , d l a k t ó r e j n a l e |y z a Bo |y r ó w n o [ p r z e m i e s z c z e n i a s w o b o d n e j
p o w i e r z c h n i i e l e m e n t ó w p By n u z n a j d u j c y c h s i w b e z p o [r e d n i e j b l i s k o [c i t e j p o w i e r z c h n i .
4 6
D o d a t k o w e m o d y f i k a c j e w a r u n k ó w b r z e g o w y c h b d k o n i e c z n e w p r z y p a d k u s w o b o d n e j
p o w i e r z c h n i z f a l a m i p o w i e r z c h n i o w y m i d l a w a r s t w y p By n u o n i e w i e l k i e j g Bb o k o [c i , w
k t ó r e j p o t r z e b n e j e s t n a Bo |e n i e d o d a t k o w e g o w a r u n k u o z e r o w e j w a r t o [c i s k Ba d o w e j p i o n o w e j
p r d k o [c i p By n u ( w y m u s z o n e j f a l o w a n i e m ) n a p o w i e r z c h n i d n a .
O d r b n g r u p w a r u n k ó w b r z e g o w y c h s t a n o w i z a l e |n o [c i , k t ó r e m u s z b y
s p e Bn i o n e d l a p o w i e r z c h n i n i e c i g Bo [c i o d d z i e l a j c y c h d w a n i e m i e s z a j c e s i p By n y .
N a l e |y t u r ó w n i e | z w r ó c i u w a g , |e r ó w n a n i e E u l e r a j e s t n i e l i n i o w e , a w y s t p u j c e
w n i m n i e w i a d o m e s f u n k c j a m i w s p ó Br z d n y c h p r z e s t r z e n i i c z a s u , c o z n a c z n i e k o m p l i k u j e
c a Bk o w a n i e t y c h r ó w n a D. Z a g a d n i e n i a t e w y k r a c z a j j e d n a k p o z a z a k r e s p o d s t a w o w e g o
w y k Ba d u m e c h a n i k i p By n ó w i s p r z e d m i o t e m o d r b n e g o d z i a Bu m e c h a n i k i p By n ó w z w a n e g o
C F D o d a n g i e l s k i e g o o k r e [l e n i a C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s .
3 . 3 . R ó w n a n i e r u c h u p By n u l e p k i e g o r ó w n a n i e N a v i e r - S t o k e s a .
R ó w n a n i e E u l e r a d l a p By n u i d e a l n e g o z a p i s a n e w p o p r z e d n i m r o z d z i a l e w p o s t a c i :
’!
’!
D U 1
= F - g r a d p ( 3 . 4 )
D t Á
w y r a |a w a r u n e k r ó w n o w a g i s i B b e z w Ba d n o [c i , m a s o w y c h i c i [n i e n i o w y c h . J e |e l i w o p i s i e
r u c h u p By n u u w z g l d n i m y l e p k o [, w ó w c z a s w r ó w n . ( 3 . 4 ) z a m i a s t s i B c i [n i e n i o w y c h
’!
w y s t p o w a b d z i e s i Ba p o w i e r z c h n i o w a P , k t ó r a z a w i e r a b d z i e z a r ó w n o s k Ba d o w
n o r m a l n P n j a k i s t y c z n P s :
’! ’! ’!
P = P n n + P s s
U w z g l d n i e n i e t e g o z w i z k u p o z w a l a z a p i s a w z . ( 3 . 4 ) w z m o d y f i k o w a n e j p o s t a c i :
’!
’! ’!
D U
Á = Á F + P ( 3 . 1 6 )
D t
S k Ba d o w e n o r m a l n i s t y c z n s i By p o w i e r z c h n i o w e j w y r a |a m y p r z e z n a p r |e n i a , c z y l i s i By
o d n i e s i o n e d o j e d n o s t k i p o w i e r z c h n i z g o d n i e z n a s t p u j c k o n w e n c j :
P n = Ãn Å" S
P s = Än s Å" S
W o z n a c z e n i a c h n a p r |e D n o r m a l n y c h Ãn i n d e k s n o z n a c z a k i e r u n e k n o r m a l n y d o
p o w i e r z c h n i S , a i n d e k s y n a p r |e D s t y c z n y c h Än s o z n a c z a j o d p o w i e d n i o k i e r u n e k
’! ’!
n o r m a l n y n d o p o w i e r z c h n i S o r a z k i e r u n e k s w z d Bu | k t ó r e g o d z i a Ba j n a p r |e n i a
s t y c z n e , c o p o k a z a n o n a r y s . 3 . 3 .
J e |e l i r o z w a |a b d z i e m y o p i s r ó w n o w a g i e l e m e n t u p By n u w k a r t e z j a Ds k i m u k Ba d z i e
w s p ó Br z d n y c h , w ó w c z a s s i B p o w i e r z c h n i o w w y s t p u j c w e w z . ( 3 . 1 6 ) z a p i s a b d z i e m y
m o g l i n a s t p u j c o :
’! ’! ’! ’!
P = P x i + P y j + P z k ( 3 . 1 7 )
R o z w a |m y s t a n n a p r |e D d z i a Ba j c y c h n a p o w i e r z c h n i e , d o k t ó r y c h p r o s t o p a d Ba j e s t o [ u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h , j a k p o k a z a n o n a r y s . 3 . 4 . R o z p a t r y w a n y e l e m e n t p By n u p o d d a n y j e s t
[c i s k a n i u p r z e z e l e m e n t y o t a c z a j c e i s t d t e | n a p r |e n i a n o r m a l n e à b d p r z e d s t a w i a
r e a k c j e l e m e n t u p By n u n a o t o c z e n i e i b d o n e s k i e r o w a n e n a z e w n t r z . N a p o w i e r z c h n i
d x d z d z i a Ba b d n a p r |e n i a Äy x i Äy z , k t ó r e w z d Bu | o s i y b d w y k a z y w a p r z y r o s t
( g r a d i e n t ) r ó w n y o d p o w i e d n i o :
4 7
"Äy z "Äy x
;
"y "y
n
Ãn
Ä
n s
s
S
R y s . 3 . 3 . I l u s t r a c j a p r z y j t e j k o n w e n c j i o z n a c z e D d l a n a p r |e D n o r m a l n y c h i s t y c z n y c h .
z
d z
y z
+
y z
y d y
y x
y
y
+
y
y d y
y z
y x
d y
+
y x
d x
y d y
0
z y
x
x
y
R y s . 3 . 4 . N a p r |e n i a d z i a Ba j c e n a p o w i e r z c h n i e p r o s t o p a d Be d o o s i y .
J e |e l i n a r ó w n o l e g Be p o w i e r z c h n i e d z i a Ba b d n a p r |e n i a o r ó |n e j w a r t o [c i , w ó w c z a s d l a
o b s e r w a t o r a z n a j d u j c e g o s i w e w n t r z e l e m e n t u p By n u e f e k t y w n e n a p r |e n i a b d
s k i e r o w a n e p r z e c i w n i e , p o d o b n i e j a k m i a Bo b y t o m i e j s c e w p r z y p a d k u r ó |n i c y p r d k o [c i .
J e |e l i z a Bo |y m y , |e g r a d i e n t y n a p r |e D s d o d a t n i e , w ó w c z a s b d z i e m y m o g l i p r z e d s t a w i
n a p r |e n i a d z i a Ba j c e n a [c i a n b l i |s z p o c z t k o w i u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h j a k o s k i e r o w a n e
p r z e c i w n i e d o z w r o t u o s i . P r z y j m u j c t k o n w e n c j , n a p r |e n i o m s t y c z n y m d z i a Ba j c y m n a
p o w i e r z c h n i d x d z o d d a l o n o d y w z d Bu | o s i y p r z y p o r z d k u j e m y z w r o t y z g o d n e z
k i e r u n k a m i o s i u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h j a k z a z n a c z o n o n a r y s . 3 . 4 .
P o d o b n e r o z u m o w a n i e p r z e p r o w a d z i m o |n a d l a n a p r |e D d z i a Ba j c y c h n a
p o w i e r z c h n i e , d o k t ó r y c h p r o s t o p a d Be s o d p o w i e d n i o o s i e z ( r y s . 3 . 5 ) o r a z x ( r y s . 3 . 6 ) i
w ó w c z a s m o |l i w e b d z i e n a p i s a n i e w a r u n k u r ó w n o w a g i d l a s i B p o w i e r z c h n i o w y c h w p o s t a c i
r z u t ó w n a p r |e D n a o d p o w i e d n i e k i e r u n k i p r z y j t e g o u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h . P r z y k Ba d o w o ,
s u m a s i B p o w i e r z c h n i o w y c h d z i a Ba j c y c h w z d Bu | k i e r u n k u x z a p i s a n a b d z i e n a s t p u j c o :
- Ãx d y d z - Äy x d x d z - Äz x d y d x +
4 8
"Äy x
ëø öø
"Ãx
ëø öø
ìøÄ
ìøÃ
+ + d x ÷ød y d z + + d y ÷ød x d z +
ìø x ÷ø x y
ìø ÷ø
"x "y
íø øø
íø øø
"Äz x
ëø öø
ìøÄ
+ + d z ÷ø d y d x
ìø z x ÷ø
"z
íø øø
a p o w y k o n a n i u e l e m e n t a r n y c h p r z e k s z t a Bc e D p r z y b i e r z e o n a p o s t a :
"Äy x
"Ãx "Äz x
d x d y d z + d x d y d z + d x d y d z
"x "y "z
z
z
z y
d z
z +
z x
d z
z y +
z
d z z
z x +
z
z x
z y
z
z y
x
x
y
R y s . 3 . 5 . N a p r |e n i a d z i a Ba j c e n a p o w i e r z c h n i e p r o s t o p a d Be d o o s i z .
z
x z
+
x z
x y
x d x
x
x z
x
+ d x
x
x
x y
d x
x y +
x
z y
x
x
y
R y s . 3 . 6 . N a p r |e n i a d z i a Ba j c e n a p o w i e r z c h n i e p r o s t o p a d Be d o o s i x .
4 9
Z w i z e k p o w y |s z y m o |n a p r z e k s z t a Bc i d o p o s t a c i p r z e d s t a w i a j c e j s i B p o w i e r z c h n i o w
o d n i e s i o n d o j e d n o s t k i o b j t o [c i , c o p o u w z g l d n i e n i u z w . ( 3 . 1 7 ) p o z w o l i z a p i s a :
"Ãx "Äy x "Äz x
P x = + +
"x "y "z
o r a z p r z e z a n a l o g i d l a p o z o s t a By c h k i e r u n k ó w :
"Ãy "Äx y "Äy z
P y = + +
"y "x "z
"Ãz "Äy z "Äx z
P z = + +
"z "y "x
P o u w z g l d n i e n i u p o w y |s z y c h z a l e |n o [c i w e w z o r a c h ( 3 . 1 6 ) o r a z ( 3 . 1 7 ) r ó w n a n i e r u c h u
p By n u l e p k i e g o z a p i s a m o |n a w p o s t a c i r z u t ó w n a o s i e u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h :
ëø
D U x "Ãx "Äy x "Äz x öø
1
ìø ÷ø
= X + + +
ìø ÷ø
D t Á "x "y "z
íø øø
D U y "Ãy "Äx y "Äy x
ëø öø
1
ìø ÷ø
= Y + + + ( 3 . 1 8 )
ìø ÷ø
D t Á "y "x "z
íø øø
D U z 1 ëø "Ãz "Äy z "Äx z öø
ìø ÷ø
= Z + + +
ìø ÷ø
D t Á "z "y "x
íø øø
W y s t p u j c e w r ó w n . ( 3 . 1 8 ) n a p r |e n i a s t a n o w i n o w e n i e w i a d o m e , k t ó r y c h o b l i c z e n i e
w y m a g a Bo b y w p r o w a d z e n i a n o w y c h r ó w n a D. Z n a c z n i e p r o s t s z y m w y j [c i e m b d z i e j e d n a k
w y r a |e n i e n i e w i a d o m y c h n a p r |e D p r z e z z n a n e j u | z a l e |n o [c i o p i s u j c e d e f o r m a c j e p By n u .
N a p r |e n i a n o r m a l n e à b d b o w i e m w y w o By w a o d k s z t a Bc e n i a o b j t o [c i o w e µ a
n a p r |e n i a s t y c z n e Ä w y w o By w a b d o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e » , p r z y c z y m n a p r |e n i a t e
z d e f i n i o w a n o w r o z d z i a l e 2 . 6 w s p o s ó b n a s t p u j c y :
- o d k s z t a Bc e n i a o b j t o [c i o w e :
"U x
µx =
"x
"U y
µy = ( 2 . 3 5 )
"y
"U z
µz =
"z
- o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e :
ëø öø
"U x "U y
ìø
»x y = »y x = + ÷ø
ìø ÷ø
"y "x
íø øø
"U y "U z
ëø öø
ìø ÷ø
»y z = »z y = + ( 2 . 3 6 )
ìø ÷ø
"z "y
íø øø
"U x "U z
ëø öø
»x z = »z x = +
ìø ÷ø
"z "x
íø øø
S t o s u n k o w o p r o s t y m z a g a d n i e n i e m j e s t p o w i z a n i e n a p r |e D s t y c z n y c h Ä z d e f o r m a c j a m i
p o s t a c i o w y m i » , d l a p o w i z a n i a k t ó r y c h p u n k t e m w y j [c i a m o |e b y p r a w o N e w t o n a , k t ó r e
w r o z d z i a l e 1 z o s t a Bo p o d a n e w p o s t a c i :
d U
Ä = µ ( 1 . 7 )
d y
5 0
z k t ó r e j w y n i k a , |e w s p ó Bc z y n n i k i e m p r o p o r c j o n a l n o [c i m i d z y n a p r |e n i a m i s t y c z n y m i i
g r a d i e n t e m p r d k o [c i j e s t w s p ó Bc z y n n i k l e p k o [c i µ . P o z w a l a t o z a p i s a n a p r |e n i a s t y c z n e
w y s t p u j c e w e w z . ( 3 . 1 8 ) w n a s t p u j c e j p o s t a c i :
ëø öø
"U x "U y
ìø
Äx y = Äy x = µ + ÷ø
ìø ÷ø
"y "x
íø øø
"U y "U z
ëø öø
ìø
Äy z = Äz y = µ ìø + ÷ø ( 3 . 1 9 )
÷ø
"z "y
íø øø
"U z "U x
öø
Äx z = Äz x = µ ëø +
ìø ÷ø
"x "z
íø øø
P o w s t a j e o c z y w i s t e p y t a n i e , c z y t e n s a m s t o s u n e k p r o p o r c j o n a l n o [c i z a c h o d z i b d z i e m i d z y
n a p r |e n i a m i i p r d k o [c i d e f o r m a c j i k t o w e j j a k p o k a z a n o n a r y s . 3 . 7 .
y U x
U + d y
x
y
d y
d x
x
U
x
y U x
d ²= d y d t
y
U y
d ±= d x d t
x
d y
d x
x
R y s . 3 . 7 . O d k s z t a Bc e n i e p o s t a c i o w e e l e m e n t u p By n u j a k o d e f o r m a c j a k t a m i d z y
[c i a n a m i .
D e f o r m a c j a k t a p r o s t e g o u t w o r z o n e g o p r z e z [c i a n y e l e m e n t u p By n u j e s t s u m d e f o r m a c j i :
d ± + d ²
i d l a t e g o m o |n a w p r o w a d z i p o j c i e [r e d n i e j p r d k o [c i o d k s z t a Bc a n i a k t o w e g o :
"U y "U x
ëø öø
1
÷ø
( »x y ) [r = ( »y x ) [r = ìø +
ìø ÷ø
2 "x "y
íø øø
ëø öø
1 "U z "U y ÷ø
ìø
( »y z ) [r = ( »z y ) [r = + ( 3 . 2 0 )
ìø ÷ø
2 "y "z
íø øø
1 "U x "U z
ëø öø
( »x z ) [r = ( »z x ) [r = +
ìø ÷ø
2 "z "x
íø øø
5 1
i w ó w c z a s w s p ó Bc z y n n i k p r o p o r c j o n a l n o [c i n a p r |e D d o [r e d n i e j p r d k o [c i o d k s z t a Bc e n i a
w y n i e s i e :
Ä = 2 µ »[r ( 3 . 2 1 )
g d y | t y l k o w t y m p r z y p a d k u o t r z y m a m y z a l e |n o [c i ( 3 . 1 9 ) o p o s t a c i z g o d n e j z p r a w e m
N e w t o n a . Z g o d n i e z t k o n w e n c j , w p r a w i e N e w t o n a z a p i s a n y m j a k w e w z . ( 1 . 7 ) , g r a d i e n t
"U
p r d k o [c i s t a n o w i p o d w o j o n r ó |n i c p r d k o [c i [r e d n i e j d l a o b s e r w a t o r a z n a j d u j c e g o
"n
s i w [r o d k u e l e m e n t u p By n u i p o r u s z a j c e g o s i z p r d k o [c i U C ( p a t r z r y s . 3 . 8 ) .
a ) b )
"U
n n
2
"n
2
"n
U U
c c
"n
2
"U
2
"U
R y s . 3 . 8 . I l u s t r a c j a p r d k o [c i d e f o r m a c j i w n i e r u c h o m y m u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a a ) o r a z
w i d z i a n e j p r z e z o b s e r w a t o r a p o r u s z a j c e g o s i z p By n e m b ) .
W t y m p r z y p a d k u p r a w o N e w t o n a n a l e |a Bo b y z a p i s a w p o s t a c i :
1 "U "U
ñø üø
Ä = 2 µ Å" = µ
òø2 "n ýø
"n
óø þø
w s k a z u j c e j , |e p r z y j c i e w s p ó Bc z y n n i k a p r o p o r c j o n a l n o [c i 2 µ d a j e p r a w o N e w t o n a
o k r e [l o n e p o s t a c i ( 1 . 7 ) .
W p r z y p a d k u n a p r |e D n o r m a l n y c h à w y s t p u j c y c h w e w z . ( 3 . 1 8 ) z a k Ba d a m y , |e w
p r z y p a d k u p By n u n i e l e p k i e g o b y By b y o n e r ó w n e c i [n i e n i u , t z n . :
Ãx = - p
Ãy = - p
Ãz = - p
W p By n i e l e p k i m n a p r |e n i a n o r m a l n e b y By b y s u m c i [n i e n i a i d o d a t k o w y c h n a p r |e D
w y w o Ba n y c h l e p k o [c i :
Ãx = - p + Ã'
x
Ãy = - p + Ã' ( 3 . 2 2 )
y
Ãz = - p + Ã'
z
p r z y c z y m n a p r |e n i a t e m u s i a By b y s p e Bn i a d e f i n i c y j n z a l e |n o [:
Ãz + Ãy + Ãz
= - p ( 3 . 2 2 )
3
5 2
g d y | w k a |d y m p u n k c i e p By n u l e p k i e g o m u s i a Ba b y i s t n i e o k r e [l o n a w a r t o [ c i [n i e n i a .
I n n y m i s Bo w y z a k Ba d a m y , |e d o d a t k o w e n a p r |e n i a Ã' , Ã' , Ã' d a j s u m z e r o w , a
x y z
p o n i e w a | p o c h o d z o n e o d l e p k o [c i , s t d t e | n a l e |y z a Bo |y , |e w s p ó Bc z y n n i k
p r o p o r c j o n a l n o [c i t y c h |e n a p r |e D o d o d k s z t a Bc e D b d z i e i d e n t y c z n y j a k w p r z y p a d k u
n a p r |e D s t y c z n y c h , c o p o z w o l i z a p i s a :
Ã' = 2 µ µx
x
Ã' y = 2 µ µy ( 3 . 2 3 )
Ã' = 2 µ µz
z
Z a l e |n o [ p o w y |s z a s Bu s z n a j e s t d l a p By n ó w n i e [c i [l i w y c h , g d y | z a Bo |y l i [m y , |e d o d a t k o w e
n a p r |e n i a d a j s u m z e r o w :
Ã' + Ã' y + Ã' = 2 µ ( µx + µy + µz ) =
x z
’!
ëø "U "U "U öø
= 2 µ ìø + + ÷ø = 2 µ d i v U = 0
ìø ÷ø
"x "y "z
íø øø
c o o z n a c z a , |e w o b e c z e r o w o [c i d i w e r g e n c j i w e k t o r a p r d k o [c i
’!
d i v U = 0
|e m u s i t o b y p By n n i e [c i [l i w y .
J e |e l i z a l . ( 3 . 2 2 ) m i a Ba b y b y w a |n a d l a p r z y p a d k u o g ó l n e g o t z n . t a k |e i d l a p By n ó w
[c i [l i w y c h , w ó w c z a s z a l . ( 3 . 2 2 ) n a l e |y z a p i s a w p o s t a c i :
’!
Ãx = - p + 2 µ µx + » d i v U
’!
Ãy = - p + 2 µ µy + » d i v U ( 3 . 2 4 )
’!
Ãz = - p + 2 µ µz + » d i v U
g d z i e c z Bo n
’!
» d i v U
’!
o z n a c z a d o d a t k o w e n a p r |e n i a p r o p o r c j o n a l n e d o j e d n o s t k o w e j z m i a n y o b j t o [c i d i v U
p By n u [c i [l i w e g o . W s p ó Bc z y n n i k p r o p o r c j o n a l n o [c i » j e s t n i e w i a d o m y i n a l e |y g o o k r e [l i z
w a r u n k u ( 3 . 2 2 ) , k t ó r y m u s i b y s p e Bn i o n y t a k |e i d l a p By n ó w [c i [l i w y c h , c o p o p o d s t a w i e n i u
( 3 . 2 4 ) d o ( 3 . 2 2 ) p o z w a l a z a p i s a :
’!
îø ùø
ëø öø
1 "U x "U y "U z
ïø- 3 p + 2 µ ìø + + ÷ø + 3 » d i v U úø = - p
ìø ÷ø
3 "x "y "z
íø øø
ðø ûø
i p o p r z e k s z t a Bc e n i u :
’! ’!
2 µ d i v U + 3 » d i v U = 0
B i o r c p o d u w a g , |e d l a p By n u [c i [l i w e g o
’!
d i v U `" 0
m o |n a p o d z i e l i o b i e s t r o n y p r z e z t w i e l k o [ o t r z y m u j c :
2 µ + 3 » = 0
O s t a t e c z n i e o t r z y m u j e m y w a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k a p r o p o r c j o n a l n o [c i :
2
» = - µ
3
c o p o p o d s t a w i e n i u d o ( 3 . 2 4 ) p o z w a l a z a p i s a w y r a |e n i e o k r e [l a j c e n a p r |e n i a n o r m a l n e w
p By n i e l e p k i m :
5 3
’!
2
Ãx = - p + 2 µ µx - d i v U
3
’!
2
Ãy = - p + 2 µ µy - d i v U ( 3 . 2 5 )
3
’!
2
Ãz = - p + 2 µ µz - d i v U
3
P o d s t a w i a j c w z . ( 3 . 2 5 ) o r a z ( 3 . 1 9 ) d o z a l . ( 3 . 1 8 ) o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e r u c h u d l a p By n u
l e p k i e g o , k t ó r e w p o s t a c i r z u t ó w n a t r z y o s i e z a p i s a m o |n a n a s t p u j c o :
’!
D U x 1 "p 1 " ëø öø
= X - + ½"2 U x + ½ d i v U
ìø ÷ø
D t Á "x 3 "x
íø øø
’!
D U y 1 "p
1 " ëø öø
= Y - + ½"2 U y + ½ d i v U ( 3 . 2 6 )
ìø ÷ø
D t Á "y 3 "y
íø øø
’!
D U z 1 "p 1 " ëød i v U öø
= Z - + ½"2 U z + ½ ìø ÷ø
D t Á "z 3 "z
íø øø
l u b w p o s t a c i w e k t o r o w e j :
’!
’! ’! ’!
D U 1 1 ëø öø
= F - g r a d p + ½"2 U + ½g r a d d i v U ( 3 . 2 7 )
ìø ÷ø
D t Á 3
íø øø
R ó w n a n i a t e z n a n e s j a k o r ó w n a n i a N a v i e r - S t o k e s a i s t a n o w i n a j b a r d z i e j o g ó l n y p r z y p a d e k
o p i s u r u c h u n e w t o n o w s k i e g o p By n u [c i [l i w e g o p r z y s t a Be j w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a l e p k o [c i .
R ó w n a n i e ( 3 . 2 7 ) m o |e z o s t a u p r o s z c z o n e , j e |e l i r o z p a t r y w a b d z i e m y p r z e p By w
c i e c z y , d l a k t ó r e j p o m i n m o |n a w p By w [c i [l i w o [c i , c o p o z w a l a z a p i s a :
’!
’! ’!
D U
= F - g r a d p + ½"2 U ( 3 . 2 8 )
D t
W p r z y p a d k u p r z e p By w ó w g a z u o d b y w a j c y c h s i z u m i a r k o w a n y m i p r d k o [c i a m i ( M a <
0 . 3 ) o p r ó c z s i B [c i [l i w o [c i p o m i n m o |n a t a k |e s i By m a s o w e , g d y | s i Ba m a s o w a
r ó w n o w a |o n a j e s t c i [n i e n i e m h y d r o s t a t y c z n y m . J e |e l i z a t e m p r z e z c i [n i e n i e p r o z u m i e
b d z i e m y c i [n i e n i e h y d r o d y n a m i c z n e b d c e r ó |n i c m i d z y c i [n i e n i e m c a Bk o w i t y m i
c i [n i e n i e m h y d r o s t a t y c z n y m , w ó w c z a s r ó w n a n i e N a v i e r - S t o k e s a b d z i e m o |n a z a p i s a
n a s t p u j c o :
’!
’!
D U 1
= - g r a d p + ½"2 U ( 3 . 2 9 )
D t Á
R ó w n a n i e N a v i e r - S t o k e s a z a w i e r a t s a m l i c z b n i e w i a d o m y c h c o r ó w n a n i e E u l e r a i
u z u p e Bn i o n e b y m u s i r ó w n i e | o r ó w n a n i e c i g Bo [c i i r ó w n a n i e s t a n u . P o d o b n i e j a k w
p r z y p a d k u r ó w n a n i a E u l e r a t a k |e i r ó w n a n i e N a v i e r - S t o k e s a m u s i b y u z u p e Bn i o n e
w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i i b r z e g o w y m i , p r z y c z y m s t o p i e D z Bo |o n o [c i w a r u n k ó w
b r z e g o w y c h j e s t w t y m p r z y p a d k u z n a c z n i e w i k s z y . P r z y k Ba d e m m o |e b y w a r u n e k
b r z e g o w y d l a p r d k o [c i n a s z t y w n e j [c i a n i e , k t ó r y w y m a g a , a b y z a r ó w n o s k Ba d o w a n o r m a l n a
p r d k o [c i j a k i s k Ba d o w a s t y c z n a n a [c i a n i e b y By r ó w n e z e r u , t z n . :
U n = U s = 0 ( 3 . 3 0 )
g d y | s i By a d h e z j i m i d z y m a t e r i a Be m [c i a n y i p By n e m p o w o d u j , |e p r d k o [ n a [c i a n i e m u s i
b y r ó w n a z e r u . P r o b l e m a t y k a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h i r o z w i z y w a l n o [c i r ó w n a D N a v i e r -
S t o k e s a j e s t z b y t z Bo |o n a , a b y m o g Ba b y r o z p a t r y w a n a w n i n i e j s z y m w y k Ba d z i e . W d a l s z y c h
r o z d z i a Ba c h r o z p a t r y w a n e b d w y n i k i a n a l i z y u z y s k a n e p r z y p o m o c y u p r o s z c z o n y c h r ó w n a D
N a v i e r - S t o k e s a , p r z y c z y m z e w z g l d u n a w y g o d d l a o z n a c z e n i a t y c h r ó w n a D u |y w a n a
b d z i e s k r ó c o n a n a z w a r ó w n a D N - S .
5 4
3 . 4 . P r z y k Ba d r o z w i z a n i a r ó w n a n i a N - S , p r a w o H a g e n a - P o i s e u i l l e a .
S t o p i e D z Bo |o n o [c i m a t e m a t y c z n e j r ó w n a n i a N - S , w y n i k a j c y z a r ó w n o z j e g o
n i e l i n i o w o [c i j a k i s k o m p l i k o w a n e g o c h a r a k t e r u w a r u n k ó w b r z e g o w y c h s p r a w i a , |e z n a n y c h
j e s t z a l e d w i e k i l k a [c i s By c h r o z w i z a D u z y s k a n y c h d l a p r z y p a d k ó w , w k t ó r y c h r ó w n a n i a N - S
u p r a s z c z a j s i d o p o s t a c i l i n i o w e j .
P r z y k Ba d e m t a k i e g o [c i s Be g o r o z w i z a n i a j e s t u z y s k a n e z r ó w n a n i a N - S a n a l i t y c z n e
p o t w i e r d z e n i e e m p i r y c z n e g o p r a w a s f o r m u Bo w a n e g o n i e z a l e |n i e p r z e z H a g e n a ( 1 8 3 9 ) i
P o i s e u i l l e a ( 1 8 4 0 ) :
W y d a t e k c i e c z y p r z e p By w a j c e j p r z e z r u r k o m a Be j [r e d n i c y j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o r ó |n i c y
c i [n i e D p o w o d u j c e j p r z e p By w , p r o p o r c j o n a l n y d o c z w a r t e j p o t g i [r e d n i c y r u r k i i o d w r o t n i e
p r o p o r c j o n a l n y d o j e j d Bu g o [c i .
h
l
d
R y s . 3 . 9 . S c h e m a t d o [w i a d c z e n i a i l u s t r u j c e g o p r a w o H a g e n - P o i s e u i l l e a .
N a r y s . 3 . 9 p o k a z a n o s c h e m a t d o [w i a d c z e n i a i l u s t r u j c e g o p r a w o H a g e n - P o i s e u i l l e a ,
w k t ó r y m r u r k a o [r e d n i c y d i d Bu g o [c i l p o Bc z o n a j e s t z e z b i o r n i k i e m n a p e Bn i o n y m d o
w y s o k o [c i h . W y d a t e k c i e c z y Q z m i e r z o n y b y m o |e p o k a z a n s c h e m a t y c z n i e n a r y s . 3 . 9
m e t o d o b j t o [c i o w , t z n . p r z e z p o m i a r c z a s u n a p e Bn i a n i a T z b i o r n i k a o z n a n e j o b j t o [c i V ,
c o p o z w a l a o b l i c z y :
V
Q =
T
P o n i e w a | w y p By w c i e c z y z r u r k i o d b y w a s i d o o t o c z e n i a , s t d t e | r ó |n i c a c i [n i e D
w y m u s z a j c a p r z e p By w w y n o s i :
"p = h Å" Á Å" g
i w o b e c s t a Bo [c i g s t o [c i c i e c z y Á i p r z y s p i e s z e n i a z i e m s k i e g o g r ó |n i c a c i [n i e D j e s t
p r o p o r c j o n a l n a d o w y s o k o [c i n a p e Bn i e n i a z b i o r n i k a h .
P r a w o H a g e n a - P o i s e u i l l e a z a p i s a m o |n a u k Ba d e m n a s t p u j c y c h z w i z k ó w
p r o p o r c j o n a l n o [c i :
Q ~ "p
1
Q ~
l
Q ~ d 4
P r o p o r c j o n a l n o [ w y d a t k u d o r ó |n i c y c i [n i e D i j e g o o d w r o t n a p r o p o r c j o n a l n o [ d o d Bu g o [c i
r u r k i j e s t i n t u i c y j n i e Ba t w a d o p r z e w i d z e n i a , g d y | r ó |n i c a c i [n i e D n a k o Dc a c h r u r k i d a j e
p r z e c i e | w y p a d k o w s i B c i [n i e n i o w w y m u s z a j c r u c h p By n u i w i k s z a w a r t o [ r ó |n i c y
5 5
c i [n i e D t o w i k s z a s i Ba w y m u s z a j c a p r z y r o s t p r d k o [c i p r z e p By w u i p r z y r o s t w y d a t k u .
D Bu g o [ r u r k i p r o p o r c j o n a l n a j e s t z k o l e i d o s i By o p o r u w y w o Ba n e j t a r c i e m , k t ó r e j d z i a Ba n i e
p r z e c i w s t a w i a s i s i l e w y m u s z a j c e j r u c h c o s p r o w a d z a s i m u s i d o z m n i e j s z e n i a p r d k o [c i
i w y d a t k u j e |e l i d Bu g o [ r u r k i b d z i e w i k s z a . Z a s k a k u j c a j e s t n a t o m i a s t p r o p o r c j o n a l n o [
w y d a t k u d o c z w a r t e j p o t g i [r e d n i c y , g d y | i n t u i c y j n i e m o |n a b y o c z e k i w a , |e w y d a t e k
c i e c z y b d z i e p r o p o r c j o n a l n y d o p o l a p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o r u r k i , k t ó r e j e d n a k
p r o p o r c j o n a l n e j e s t d o k w a d r a t u [r e d n i c y .
U z y s k a n i e a n a l i t y c z n e g o r o z w i z a n i a d l a t e g o p r z y p a d k u w y m a g a b d z i e
s c a Bk o w a n i a n a s t p u j c e g o u k Ba d u r ó w n a D:
- r ó w n a n i a N - S w p o s t a c i w Ba [c i w e j d l a u s t a l o n e g o p r z e p By w u c i e c z y , d l a k t ó r e j
p o m i n m o |n a c z Bo n [c i [l i w o [c i :
’!
’! ’!
D U 1
= F - g r a d p + ½ "2 U ( 3 . 3 1 a )
D t Á
- r ó w n a n i a c i g Bo [c i w p o s t a c i w Ba [c i w e j d l a u s t a l o n e g o p r z e p By w u p By n u
n i e [c i [l i w e g o :
"U x "U y "U z
+ + = 0 ( 3 . 3 1 b )
"x "y "z
- r ó w n a n i a s t a n u , w y r a |a j c e g o s t a Bo [ g s t o [c i c i e c z y :
Á = i d e m ( 3 . 3 1 c )
W a r u n e k b r z e g o w y s p r o w a d z i s i d o z e r o w e j p r d k o [c i p r z e p By w u n a [c i a n i e r u r k i , z g o d n i e z
u w a g a m i z a m i e s z c z o n y m i w r o z d z i a l e p o p r z e d n i m .
P r z y j m i j m y , |e o [ r u r k i p o k r y w a s i z k i e r u n k i e m o s i x k a r t e z j a Ds k i e g o u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h , j a k p o k a z a n o n a r y s . 3 . 1 0 .
z
R
x
x
y
R y s . 3 . 1 0 . G e o m e t r i a p r z e p By w u H a g e n - P o i s e u i l l e a .
J e d n o s t k o w a s i Ba m a s o w a :
’! ’! ’! ’!
F = X i + Y j + Z k
m a w p r z y j t e j g e o m e t r i i n a s t p u j c e s k Ba d o w e :
X = 0 ; Y = 0 ; Z = - g
n a t o m i a s t w e k t o r p r d k o [c i
’! ’! ’! ’!
U = U x i + U y j + U z k
w r u r c e o m a Be j [r e d n i c y m a n i e z e r o w s k Ba d o w j e d y n i e w k i e r u n k u p r z e p By w u , t z n . :
U x `" 0 ; U y = 0 ; U z = 0 ;
c o o z n a c z a , |e j e s t t o p r z e p By w j e d n o w y m i a r o w y . P r z e p By w j e s t u s t a l o n y c o o z n a c z a , |e
m o |n a p o m i n p o c h o d n l o k a l n , w o b e c t e g o p o c h o d n e s u b s t a n c j a l n e p r d k o [c i d l a
p r z e p By w u j e d n o w y m i a r o w e g o p r z y j m p o s t a :
5 6
D U x "U x
= U x
D t "x
D U y
= 0
D t
D U z
= 0
D t
c o p o z w a l a z a p i s a w y j [c i o w y u k Ba d r ó w n a D N - S w p o s t a c i :
ëø
"U x 1 "p "2 U x "2 U x "2 U x öø
ìø ÷ø
U x = - + ½ìø + +
"x Á "x
"x 2 "y 2 "z 2 ÷ø
íø øø
1 "p
0 = - ( 3 . 3 2 )
Á "y
1 "p
0 = - g -
Á "z
n a t o m i a s t r ó w n a n i e c i g Bo [c i
"U x "U y "U z
+ + = 0
"x "y "z
d l a p r z e p By w u j e d n o w y m i a r o w e g o p r z e k s z t a Bc i m o |n a n a s t p u j c o :
"U x
= 0 ( 3 . 3 3 )
"x
R ó w n a n i e s t a n u s p r o w a d z a s i d o s t a Bo [c i g s t o [c i Á w r ó w n . ( 3 . 3 2 ) o r a z ( 3 . 3 3 ) . W t r z e c i m
r ó w n a n i u u k Ba d u ( 3 . 3 2 ) w o b e c m a Be j [r e d n i c y r u r k i p o m i n m o |n a z m i e n n o [ c i [n i e n i a
h y d r o s t a t y c z n e g o , a w o b e c z e r o w e j w a r t o [c i g r a d i e n t u c i [n i e n i a w z d Bu | k i e r u n k u y ( p a t r z
d r u g i e r ó w n . ( 3 . 3 2 ) ) p r z y j m o |n a , |e c i [n i e n i e j e s t f u n k c j j e d y n i e k i e r u n k u x , t z n . :
p = p ( x )
P o z w a l a t o z a s t p i w p i e r w s z y m r ó w n a n i u ( 3 . 3 2 ) p o c h o d n c z s t k o w :
1 "p
Á "x
r ó |n i c z k z w y c z a j n :
1 d p
Á d x
Z r ó w n a n i a c i g Bo [c i ( 3 . 3 3 ) w y n i k a , |e s k Ba d o w a p r d k o [c i U x m o |e b y j e d y n i e f u n k c j :
U x ( y , z )
a p o u w z g l d n i e n i u t y c h w n i o s k ó w o r a z w z . ( 3 . 3 3 ) w r ó w n . ( 3 . 3 2 ) , t e n o s t a t n i z w i z e k
z a p i s a m o |n a :
ëø
1 d p "2 U x "2 U x öø
ìø ÷ø
0 = - + ½ +
ìø
Á d x "y 2 "z 2 ÷ø
íø øø
c o p o p r o s t y m p r z e k s z t a Bc e n i u p o z w a l a n a m z a p i s a r ó w n a n i e r u c h u w p o s t a c i :
ëø
"2 U x "2 U x öø d p
ìø ÷ø
µ + = ( 3 . 3 4 )
ìø
d x
"y 2 "z 2 ÷ø
íø øø
C i [n i e n i e p m o |e z m i e n i a s i t y l k o w k i e r u n k u x , c o z g o d n i e z t y s . 3 . 1 1 p o z w a l a z a p i s a :
d p "p
=
d x l
g d z i e "p o z n a c z a r ó |n i c c i [n i e D d z i a Ba j c y c h n a p r z e k r o j e 1 o r a z 2 w a l c o w e g o e l e m e n t u
p By n u . R ó w n a n i e r u c h u ( 3 . 3 4 ) m o |n a z a t e m p r z e k s z t a Bc i d o p o s t a c i :
"2 U x "2 U x "p
+ = - ( 3 . 3 5 )
l
"y 2 "z 2
5 7
a p o w p r o w a d z e n i u n o w e j z m i e n n e j :
r = y 2 + z 2
w a r u n e k b r z e g o w y z a p i s a m o |n a :
U x = 0 ( d l a r = R ) ( 3 . 3 6 )
Ä
2
1
R
x
r
Ä
l
R y s . 3 . 1 1 . W a l c o w y e l e m e n t p By n u p r z y p r z e p By w i e p r z e z c i e n k r u r k .
C a Bk a r ó w n a n i a ( 3 . 3 5 ) b d z i e w y n o s i :
ëø
y 2 + z 2 öø ëø r 2 öø
ìø ÷ø ìø - ÷ø
U x = C = C ( 3 . 3 7 )
ìø1 -
R 2 ÷ø ìø1 R 2 ÷ø
íø øø íø øø
D w u k r o t n e r ó |n i c z k o w a n i e w z . ( 3 . 3 7 ) w z g l d e m y o r a z z o r a z p o d s t a w i e n i e d o ( 3 . 3 5 ) d a j e :
4 C "p
=
R 2 µ l
s t d m o |n a o b l i c z y w a r t o [ s t a Be j c a Bk o w a n i a w y s t p u j c e j w ( 3 . 3 7 ) j a k o :
"p R 2
C =
4 µ l
c o p o p o d s t a w i e n i u d o ( 3 . 3 7 ) d a j e n a s t p u j c e w y r a |e n i e o k r e [l a j c e r o z k Ba d p r d k o [c i w
p o p r z e c z n y m p r z e k r o j u r u r k i :
"p
U x = ( R 2 - r 2 ) ( 3 . 3 8 )
4 µ l
O t r z y m a n a z a l e |n o [ o k r e [l a p a r a b o l i c z n y r o z k Ba d p r d k o [c i , c o p o k a z a n o n a r y s . 3 . 1 2 .
U x [r
U x
d r
R
x
r
U x m a x
p a r a b o l i c z n y r o z k Ba d
p r d k o [c i
R y s . 3 . 1 2 . R o z k Ba d p r d k o [c i w p o p r z e c z n y m p r z e k r o j u r u r k i p r z y p r z e p By w i e H a g e n -
P o i s e u i l l e a .
5 8
Z w i z e k ( 3 . 3 8 ) s p e Bn i a w a r u n e k b r z e g o w y g d y | d l a r = R :
U x = 0
n a t o m i a s t m a k s y m a l n a w a r t o [ p r d k o [c i w y s t p u j e w o s i r u r k i ( d l a r = 0 ) i w y n o s i :
"p
U x m a x = R 2 ( 3 . 3 9 )
4 µ l
R o z k Ba d p r d k o [c i d a n y w z . ( 3 . 3 8 ) p o z w a l a r ó w n i e | o b l i c z y w y d a t e k c i e c z y p r z e p By w a j c e j
p r z e z r u r k i w t y m c e l u z g o d n i e z r y s . 3 . 1 2 o b l i c z y n a l e |y n a j p i e r w w y d a t e k e l e m e n t a r n y
b d c y i l o c z y n e m p o l a e l e m e n t a r n e g o p r z e k r o j u i p r d k o [c i :
d Q = 2 Àr d r U x
a n a s t p n i e p o p o d s t a w i e n i u z a U x z a l e |n o [c i ( 3 . 3 8 ) i s c a Bk o w a n i u o t r z y m u j e m y :
R
"p
Q = ( R 2 - r 2 ) 2 Àr d r
+"
4 µ l
0
c o p o p r z e k s z t a Bc e n i a c h d a j e o s t a t e c z n i e w y d a t e k p r z e p By w a j c e j c i e c z y r ó w n y :
À"p À "p
Q = R 4 = d 4 ( 3 . 4 0 )
8 l µ 1 2 8 µ l
Z a l e |n o [ t a j e s t a n a l i t y c z n y m p o t w i e r d z e n i e m e m p i r y c z n i e s f o r m u Bo w a n e g o p r a w a H a g e n a -
P o i s e u i l l e a , |e w y d a t e k p r z e p By w a j c y p r z e z r u r k j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o r ó |n i c y c i [n i e D
"p o c z w a r t e j p o t g i [r e d n i c y d 4 o r a z o d w r o t n i e p r o p o r c j o n a l n y d o d Bu g o [c i r u r k i .
Z w i z e k ( 3 . 4 0 ) j e s t r ó w n i e | d o w o d e m p o p r a w n o [c i r ó w n a n i a N a v i e r - S t o k e s a i j e |e l i n a w e t
n i e m a o n c h a r a k t e r u o g ó l n e g o , t o w y k a z u j e , |e j e s t o n o s Bu s z n e p r z y n a j m n i e j d l a p r z e p By w u
c i e c z y n e w t o n o w s k i e j p r z e z p r z e w o d y o m a Be j [r e d n i c y .
W y d a t e k Q m o |n a r ó w n i e | o b l i c z y b e z p o t r z e b y c a Bk o w a n i a , g d y | z e l e m e n t a r n e j
g e o m e t r i i w y n i k a , |e o b j t o [ p a r a b o l o i d y o b r o t o w e j j e s t r ó w n a o b j t o [c i w a l c a o p o l u
p o d s t a w y r ó w n y m p o d s t a w i e p a r a b o l o i d y i w y s o k o [c i r ó w n e j p o Bo w i e w y s o k o [c i
p a r a b o l o i d y . Z r y s . 3 . 1 2 w y n i k a , |e p o l e p o d s t a w y p a r a b o l o i d y w y n o s i :
ÀR 2
1
n a t o m i a s t p o Bo w a j e j w y s o k o [c i r ó w n a j e s t U x m a x , c o p o u w z g l d n i e n i u w z o r u ( 3 . 3 9 )
2
p o z w a l a z a p i s a :
1 "p
Q = ÀR 2 Å" Å" R 2
2 4 µ l
c o j e s t w y n i k i e m i d e n t y c z n y m z z a l e |n o [c i ( 3 . 4 0 ) .
P r a w o H a g e n - P o i s e u i l l e a w y p r o w a d z i m o |n a r ó w n i e | b e z p o [r e d n i o , b e z
k o n i e c z n o [c i c a Bk o w a n i a r ó w n a D N - S . J e |e l i b o w i e m r o z p a t r z y m y b i l a n s s i B d z i a Ba j c y c h n a
w a l c o w y e l e m e n t p By n u z r y s . 3 . 1 1 , w ó w c z a s z a u w a |y m y , |e r u c h t e g o e l e m e n t u o k r e [l o n y
j e s t p r z e z w z a j e m n r ó w n o w a g s i B c i [n i e n i a d z i a Ba j c y c h n a p o w i e r z c h n i e c z o Bo w i t y l n
o r a z s i B l e p k o [c i d z i a Ba j c y c h n a p o w i e r z c h n i e b o c z n e w a l c a . J a k p o k a z a n o n a r y s . 3 . 1 0 r u c h
p By n u w y m u s z o n y j e s t r ó |n i c c i [n i e D "p , c o n a l e |y r o z u m i e j a k o n a d w y |k c i [n i e n i a
p o n a d c i [n i e n i e a t m o s f e r y c z n e p r z y Bo |o n n a w l o c i e d o r u r y . N a k o Dc u r u r y n a d w y |k a
c i [n i e n i a r ó w n a j e s t z e r u , g d y | n a w y l o c i e c i [n i e n i e m u s i b y r ó w n e c i [n i e n i u
a t m o s f e r y c z n e m u . O z n a c z a t o , |e w k o l e j n y c h p r z e k r o j a c h c i [n i e n i e j e s t c o r a z m n i e j s z e , c o
u j m o |n a n a s t p u j c o :
"p
< 0
"x
J e |e l i n a t y l n e j p o w i e r z c h n i w a l c a c i [n i e n i e w y n o s i p 1 , w ó w c z a s d l a s p o w o d o w a n i a r u c h u
e l e m e n t u w k i e r u n k u x z a c h o d z i m u s i z w i z e k :
p 1 > p 2
a r ó |n i c t y c h c i [n i e D z a p i s a m o |e m y j a k o :
5 9
"p = p 1 - p 2
J e |e l i r ó |n i c a c i [n i e D n a p o w i e r z c h n i a c h c z o Ba i t y Bu w a l c a w y n o s i "p , w ó w c z a s w y p a d k o w a
s i Ba c i [n i e n i a w y n o s i b d z i e :
Àr 2 "p
S i By c i [n i e n i o w e s r ó w n o w a |o n e s i Ba m i l e p k o [c i , k t ó r e d z i a Ba j w k i e r u n k u p r z e c i w n y m d o
p r z e p By w u ( p a t r z r y s . 3 . 1 1 ) a p o n i e w a | s i By o p o r u l e p k i e g o b d i l o c z y n e m p o l a p o w i e r z c h n i
i n a p r |e D, s t d t e | z a p i s a m o |n a :
"U x
2 Àr Å" l Å" Ä = 2 Àr Å" l Å" µ Å"
"r
P r z e p By w p r z e z c i e n k r u r k j e s t p r z e p By w e m j e d n o w y m i a r o w y m i s t d t e |:
"U x d U x
=
"r d r
i b i l a n s r ó w n o w a g i s i B d z i a Ba j c y c h n a c y l i n d r y c z n y e l e m e n t p By n u z a p i s a m o |n a :
d U x
Àr 2 "p - 2 Àr Å" l Å" µ = 0
d r
s t d
d U x "p r
= - ( 3 . 4 1 )
d r 2 l µ
p r z y c z y m z m i a n a z n a k u w y n i k a z u w z g l d n i e n i a z n a k u p r o m i e n i o w e g o g r a d i e n t u p r d k o [c i :
d U x
< 0
d r
P o s c a Bk o w a n i u r ó w n a n i a ( 3 . 4 1 ) o t r z y m u j e m y :
"p r 2
U x = - + C
4 l µ
a s t a B c a Bk o w a n i a w y z n a c z a m y z w a r u n k u b r z e g o w e g o d l a r = R :
U x = 0
s t d
R 2
C = "p
4 l µ
i o s t a t e c z n i e o t r z y m u j e m y z a l e |n o [ o p i s u j c p r o m i e n i o w y r o z k Ba d p r d k o [c i :
"p
U x = ( R 2 - r 2 )
4 µ l
i d e n t y c z n z e w z . ( 3 . 3 8 ) .
A n a l i t y c z n a p o s t a p r a w a H a g e n - P o i s e u i l l e a m a r ó w n i e | w a |n e z a s t o s o w a n i e
p r a k t y c z n e , k t ó r e w y n i k a z n a s t p u j c e g o p r z e k s z t a Bc e n i a w z . ( 3 . 4 0 ) :
À "p
µ = d 4 ( 3 . 4 2 )
1 2 8 Q l
s k d w y n i k a , |e z n a j o m o [ "p , Q , l o r a z d p o z w a l a w y z n a c z y w s p ó Bc z y n n i k l e p k o [c i µ
w y p By w a j c e j c i e c z y . P r z y r z d y o p a r t e n a t e j z a s a d z i e i s Bu |c e d o w y z n a c z a n i a l e p k o [c i
c i e c z y n a z y w a n e s w i s k o z y m e t r a m i .
P r z e p By w H a g e n - P o i s e u i l l e a n i e j e s t j e d y n y m a n a l i t y c z n y m r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a
N - S . N a j b a r d z i e j z n a n y m p r z y k Ba d e m j e s t t u p r z e p By w C o u e t t e a m i d z y d w i e m a
r ó w n o l e g By m i , n i e s k o Dc z o n y m i p By t a m i p o Bo |o n y m i w m a Be j o d l e g Bo [c i o d s i e b i e , p r z y c z y m
j e d n a z t y c h p By t j e s t n i e r u c h o m a a d r u g a p o r u s z a s i z j e d n o s t a j n p r d k o [c i w y m u s z a j c w
t e n s p o s ó b p r z e p By w c h a r a k t e r y z u j c y s i l i n i o w y m r o z k Ba d e m p r d k o [c i . D r u g i m z n a n y m
r o z w i z a n i e m j e s t p r z e p By w P o i s e u i l l e a w s z c z e l i n i e m i d z y d w i e m a r ó w n o l e g By m i ,
n i e s k o Dc z o n y m i p By t a m i c h a r a k t e r y z u j c y s i p a r a b o l i c z n y m r o z k Ba d e m p r d k o [c i . O b y d w a
t e r o z w i z a n i a z n a j d u j p r a k t y c z n e z a s t o s o w a n i e w t e o r i i s m a r o w a n i a , p r z y c z y m w
o d r ó |n i e n i u o d j e d n o w y m i a r o w e g o p r z e p By w u H a g e n - P o i s e u i l l e a z a r ó w n o p r z e p By w
6 0
C o u e t t e a j a k i p r z e p By w P o i s e u i l l e a s p r z e p By w a m i d w u w y m i a r o w y m i . N a l e |y t u j e d n a k
z a u w a |y , |e l i c z b a z n a n y c h r o z w i z a D a n a l i t y c z n y c h r ó w n a n i a N - S j e s t b a r d z o o g r a n i c z o n a
a p o w o d e m j e s t z Bo |o n o [ m a t e m a t y c z n a t e g o r ó w n a n i a , w y n i k a j c a z n i e l i n i o w o [c i c z Bo n u
k o n w e k c y j n e g o w y s t p u j c e g o w p o c h o d n e j s u b s t a n c j a l n e j . W y m i e n i o n e t u p r z y k Ba d y
r o z w i z a D d o t y c z p r z e p By w ó w b a r d z o p r o s t y c h , d l a k t ó r y c h c z Bo n k o n w e k c y j n y s t a j e s i
r ó w n y z e r o . I s t n i e j r ó w n i e | p r z e p By w y z n i e z e r o w w a r t o [c i t e g o c z Bo n u , d l a k t ó r y c h u d a Bo
s i z n a l e z r o z w i z a n i e a n a l i t y c z n e , j e d n a k z a g a d n i e n i e t o w y k r a c z a p o z a p r z y j t e r a m y
w y k Ba d u a z a i n t e r e s o w a n i C z y t e l n i c y m o g z n a l e z i n f o r m a c j e d o t y c z c e t y c h z a g a d n i e D
m . i n . w k s i |k a c h I . G . C u r r i e c z y T . F a b e r a .
3 . 5 . R u c h l a m i n a r n y i t u r b u l e n t n y . D o [w i a d c z e n i e R e y n o l d s a .
Z Bo |o n o [ m a t e m a t y c z n a r ó w n a n i a N - S j e s t w a |n a l e n i e j e d y n p r z y c z y n t r u d n o [c i
w u z y s k a n i u r o z w i z a D a n a l i t y c z n y c h . B a r d z o w a |n r o l o d g r y w a t u t a k |e z Bo |o n y c h a r a k t e r
s a m e g o p r z e p By w u p By n u l e p k i e g o , c z e g o p r z y k Ba d e m m o |e b y z a s k a k u j c a p o s t a p r a w a
H a g e n - P o i s e u i l l e a s u g e r u j c a n i e z g o d n z i n t u i c j p r o p o r c j o n a l n o [ w y d a t k u d o c z w a r t e j
p o t g i [r e d n i c y r u r k i . K o l e j n y m p r z y k Ba d e m p a r a d o k s a l n e g o ( t . j . n i e z g o d n e g o z i n t u i c j )
z a c h o w a n i a p By n u j e s t o p ó r t o w a r z y s z c y p r z e p By w o w i c i e c z y l e p k i e j p r z e z r u r k o m a Be j
[r e d n i c y , o k r e [l o n y p r z e z r ó |n i c c i [n i e D "p n i e z b d n d o p r z e t Bo c z e n i a z a d a n e g o w y d a t k u
Q . D l a z i l u s t r o w a n i a t e g o p r o b l e m u p r z e k s z t a Bm y w z . ( 3 . 4 0 ) d o p o s t a c i :
1 2 8 µ l
"p = Q ( 3 . 4 3 )
À d 4
Z a Bó |m y , |e r o z p a t r y w a b d z i e m y d w a p r z e p By w y t e j s a m e j c i e c z y ( µ = i d e m ) p r z e z r u r k i o
t e j s a m e j d Bu g o [c i l , k t ó r e c h a r a k t e r y z o w a s i b d t y m s a m y m w y d a t k i e m Q . P i e r w s z y
p r z e p By w o d b y w a s i p r z e z r u r k o [r e d n i c y d 1 p r z y s t r a c i e c i [n i e n i a "p 1 n a t o m i a s t d r u g i
o d b y w a s i p r z e z r u r k o d w u k r o t n i e w i k s z e j [r e d n i c y d 2 = 2 d 1 i t o w a r z y s z y m u s p a d e k
c i [n i e n i a "p 2 . P o d s t a w i e n i e t y c h w i e l k o [c i d o w z . ( 3 . 4 3 ) d a j e s t o s u n e k s p a d k ó w c i [n i e D
( o p o r ó w p r z e p By w u ) w y n o s z c y :
4
ëø öø
"p 1 d 2
ìø ÷ø
= = 1 6
"p 2 ìø d 1 ÷ø
íø øø
O z n a c z a t o , |e p r z y z a c h o w a n i u i d e n t y c z n e g o w y d a t k u p r z e p By w a j c e j c i e c z y d w u k r o t n y
w z r o s t [r e d n i c y d a j c y c z t e r o k r o t n y w z r o s t p o l a p r z e k r o j u p r o w a d z i d o 1 6 - k r o t n e g o
z m n i e j s z e n i a o p o r ó w p r z e p By w u , c o j e s t z p e w n o [c i w y n i k i e m t r u d n y m d o i n t u i c y j n e g o
w y j a [n i e n i a .
Z n a c z n i e w a |n i e j s z y p a r a d o k s d o t y c z y j e d n a k w z a j e m n e g o z w i z k u m i d z y o p o r e m
p r z e p By w u a [r e d n i p r d k o [c i d e f i n i o w a n j a k o i l o r a z w y d a t k u i p o l a p r z e k r o j u
p o p r z e c z n e g o r u r y :
Q
U x s r =
Àd 2
4
c o p o p o d s t a w i e n i u d o w z . ( 3 . 4 3 ) d a j e z a l e |n o [:
3 2 µ l
"p = U x [[ ( 3 . 4 4 )
d 2
[w i a d c z c o p r o p o r c j o n a l n o [c i o p o r ó w p r z e p By w u d o [r e d n i e j p r d k o [c i p r z e p By w u . D l a
p r o j e k t a n t a r u r o c i g u w z . ( 3 . 4 4 ) s u g e r u j e , |e j e |e l i p r z y U x [[1 r u r o c i g c h a r a k t e r y z u j e s i
o p o r e m "p 1 , t o p o d w o j e n i e w y d a t k u c i e c z y p r z e p By w a j c e j p r z e z t e n s a m r u r o c i g
o z n a c z a j c e d w u k r o t n e z w i k s z e n i e [r e d n i e j p r d k o [c i ( U x [[2 = 2 U x [[) w i n n o d a d w u k r o t n y
w z r o s t o p o r u "p 2 , c o Ba t w o s p r a w d z i p o p o d s t a w i e n i u d o ( 3 . 4 4 ) :
6 1
"p 2 U x s r 2
= = 2
"p 1 U x s r 1
D o [w i a d c z e n i e w y k a z a Bo p r a w d z i w o [ t e g o w n i o s k u a l e j e d y n i e d l a b a r d z o m a By c h p r d k o [c i
p r z e p By w u . D l a w i k s z y c h p r d k o [c i p r z e p By w u s t r a t y w y k a z y w a By p r o p o r c j o n a l n o [ d o
k w a d r a t u p r d k o [c i [r e d n i e j c o o z n a c z a Bo , |e d w u k r o t n e z w i k s z e n i e w y d a t k u p o w o d o w a Bo
c z t e r o k r o t n i e w i k s z e s t r a t y . I d e n t y c z n y s k u t e k d a w a Bo r ó w n i e | z w i k s z e n i e [r e d n i c y r u r y
o r a z z m n i e j s z e n i e l e p k o [c i p By n u , p r z y c z y m d o d a t k o w e k o m p l i k a c j e w p r o w a d z a B b r a k
p o w t a r z a l n o [c i t e g o z j a w i s k a . W t y c h s a m y c h b o w i e m w a r u n k a c h p r z e p By w m ó g B s p e Bn i a
z a Bo |e n i a p r a w a H a g e n - P o i s e u i l l e a l u b t e | w y k a z y w a p r o p o r c j o n a l n o [ s t r a t p r z e p By w u d o
k w a d r a t u p r d k o [c i [r e d n i e j c o o z n a c z a Bo , |e p r a w o t o p r z e s t a w a Bo o b o w i z y w a .
P o d s t a w o w t r u d n o [c i w z n a l e z i e n i u r o z w i z a n i a b y Ba n i e m o |n o [ w y k o n a n i a p o m i a r ó w
p r d k o [c i i c i [n i e n i a , g d y | w p r o w a d z e n i e j a k i e g o k o l w i e k p r z y r z d u p o m i a r o w e g o z a b u r z a Bo
p r z e p By w i z m i e n i a Bo o b r a z z j a w i s k a . N i e m o |l i w e b y Bo r ó w n i e | [l e d z e n i e t r a j e k t o r i i r u c h u
p r z e z r o c z y s t e g o p By n u . P r o b l e m z o s t a B r o z w i z a n y w r . 1 8 8 3 p r z e z O s b o r n a R e y n o l d s a , k t ó r y
d o k o n a B t z w . w i z u a l i z a c j i p r z e p By w u w o d y , w p r o w a d z a j c d o n i e j s m u g b a r w n i k a o
i d e n t y c z n e j g s t o [c i i p r d k o [c i . P r z e p By w o d b y w a B s i w s z k l a n e j r u r c e , c o u m o |l i w i a Bo
o b s e r w a c j z a c h o w a n i a s m u g i b a r w n i k a c o p o k a z a n o n a r y s . 3 . 1 3 .
b a r w n i k
s m u g a b a r w n i k a
w a r s t w a ( l a m i n a )
R y s . 3 . 1 3 . S c h e m a t w i z u a l i z a c j i r u c h u p By n u w d o [w i a d c z e n i u R e y n o l d s a o r a z o b r a z
s m u g i b a r w n i k a w r u c h u l a m i n a r n y m .
R e y n o l d s w y k a z a B, |e p r z e p By w p By n u o d b y w a s i m o |e w d w ó c h s t a n a c h , k t ó r y m
o d p o w i a d a z u p e Bn i e o d m i e n n e z a c h o w a n i e s t r u g i b a r w n i k a . W s t a n i e I s m u g a b a r w n i k a
z a c h o w y w a Ba s p ó j n o [ w z d Bu | d o w o l n i e d u |e j d Bu g o [c i , c o o z n a c z a Bo , |e p o s z c z e g ó l n e
w a r s t w y p By n u p o r u s z a j s i w e w z a j e m n e j i z o l a c j i l u b r a c z e j [l i z g a j s i p o s o b i e i
o b j t o [c i p By n u z s s i e d n i c h w a r s t w n i e p o d l e g a j m i e s z a n i u . U w a |n e o b s e r w a c j e w y k a z a By
j e d y n i e , |e w d a l s z y c h o d l e g Bo [c i a c h k o n t u r y s m u g i b a r w n i k a u l e g a By n i e w i e l k i e m u
r o z m y c i u , i d e n t y c z n e m u j a k w z j a w i s k u m o l e k u l a r n e j d y f u z j i r e a l i z o w a n e j p r z e z r u c h y
B r o w n a . R e y n o l d s w y k a z a B, |e w t y m s t a n i e r u c h u p By n u s t r a t y s p r o p o r c j o n a l n e d o
p i e r w s z e j p o t g i p r d k o [c i [r e d n i e j c o o z n a c z a Bo , |e j e s t t o p r z e p By w o p i s a n y p r a w e m H a g e n -
P o i s e u i l l e a a w i c c h a r a k t e r y z u j c y s i p a r a b o l i c z n y m p r o f i l e m p r d k o [c i . B i o r c p o d
u w a g , |e u w a r s t w i e n i e p r z e p By w u b y Bo d o m i n u j c c e c h t e g o s t a n u r u c h u , R e y n o l d s
6 2
z a p r o p o n o w a B p o w s z e c h n i e d z i [ p r z y j t y t e r m i n r u c h l a m i n a r n y ( o d Ba c i Ds k i e g o o k r e [l e n i a
l a m i n a w a r s t w a ) .
a )
U
b )
U
R y s . 3 . 1 4 . O b r a z s m u g i b a r w n i k a w r u c h u t u r b u l e n t n y m .
Z w i k s z e n i e p r d k o [c i p r z e p By w u p o w o d o w a Bo w y r a zn z m i a n z a c h o w a n i a s m u g i b a r w n i k a ,
k t ó r a n a j p i e r w w y k o n y w a Ba s i n u s o i d a l n e o s c y l a c j e ( r y s . 3 . 1 4 a ) a p r z y d a l s z y m z w i k s z a n i u
p r d k o [c i p r z e p By w u b a r w n i k u l e g a B g w a Bt o w n e m u r o z m y c i u ( r y s . 3 . 1 4 b ) . W t y m s t a n i e r u c h u
s t r a t y c i [n i e n i a b y By p r o p o r c j o n a l n e d o k w a d r a t u p r d k o [c i [r e d n i e j c o o z n a c z a Bo , |e n i e b y B
t o p r z e p By w H a g e n - P o i s e u i l l e a . U w a |n e o b s e r w a c j e t r a j e k t o r i i e l e m e n t ó w p By n u w y k a z a By ,
|e w o d r ó |n i e n i u o d r u c h u l a m i n a r n e g o , w k t ó r y m t r a j e k t o r i e b y By r e g u l a r n y m i ,
p o w t a r z a l n y m i l i n i a m i ( r y s . 3 . 1 5 a ) , t r a j e k t o r i e w I I s t a n i e r u c h u s t a w a By s i c h a o t y c z n e ( r y s .
3 . 1 5 b ) c o o z n a c z a Bo , |e o p r ó c z s k Ba d o w e j [r e d n i e j p r d k o [c i p o j a w i a Ba s i t u l o s o w o z m i e n n a
d o d a t k o w a s k Ba d o w a p r d k o [c i .
a ) b )
R u c h l a m i n a r n y R u c h t u r b u l e n t n y
R y s . 3 . 1 5 . T r a j e k t o r i a e l e m e n t ó w p By n u w r u c h u l a m i n a r n y m a ) i t u r b u l e n t n y m b ) .
T a w Ba [n i e l o s o w a z m i e n n o [ c h w i l o w e j p r d k o [c i i l o s o w e b Bd z e n i e e l e m e n t u p By n u b y By
p o w o d e m w p r o w a d z e n i a t e r m i n u r u c h t u r b u l e n t n y d l a o z n a c z e n i a t e g o s t a n u p r z e p By w u .
D a l s z e p r a c e d o [w i a d c z a l n e p o z w o l i By w y j a [n i m e c h a n i z m z j a w i s k a o d p o w i e d z i a l n e g o z a
r o z m y w a n i e s t r u g i b a r w n i k a . J e |e l i w p r z e p By w i e t u r b u l e n t n y m w y o b r a z i m y s o b i e d w i e
s s i a d u j c e z e s o b w a r s t w y p By n u ( r y s . 3 . 1 6 ) , w ó w c z a s o b e c n o [ l o s o w y c h z a k Bó c e D p o l a
p r d k o [c i o z n a c z a b d z i e , |e m i d z y m y [l o w o w y o d r b n i o n y m i w a r s t w a m i p By n u
p r z e m i e s z c z a n e s c a Be e l e m e n t y p By n u a n i e t y l k o p o j e d y n c z e m o l e k u By , j a k m i a Bo t o m i e j s c e
w r u c h u l a m i n a r n y m . S s i a d u j c e z e s o b w a r s t w y p By n u m o g m i e r ó |n p r d k o [ ( r y s .
3 . 1 6 ) c o p o w o d u j e , |e w p r z e p By w i e t u r b u l e n t n y m z a c h o d z i m o |e i n t e n s y w n a w y m i a n a n i e
t y l k o m a s y l e c z t a k |e i p d u , p r z y c z y m z e w z g l d u n a p o d o b i e Ds t w o t e g o z j a w i s k a d o
d y f u z j i m o l e k u l a r n e j n a z w a n e o n o z o s t a Bo d y f u z j t u r b u l e n t n .
6 3
w y m i a n a e l e m e n t ó w
U
p By n u m i d z y
w a r s t w a m i
U + "U
d y f u z j a t u r b u l e n t n a
R y s . 3 . 1 6 . I l u s t r a c j a t u r b u l e n t n e j d y f u z j i p d u .
N a l e |y t u z a u w a |y , |e t u r b u l e n t n a d y f u z j a p o w o d u j e i n t e n s y w n y t r a n s p o r t m a s y i p d u w
k i e r u n k u p o p r z e c z n y m d o z a s a d n i c z e g o k i e r u n k u p r z e p By w u w r o z w a |a n y m p r z e p By w i e w
r u r z e j e s t t o t r a n s p o r t w k i e r u n k u p r o m i e n i o w y m . B a r d z i e j s z c z e g ó Bo w a d y s k u s j a r ó |n i c
m i d z y d y f u z j t u r b u l e n t n i m o l e k u l a r n z o s t a n i e p r z e p r o w a d z o n a w j e d n y m z d a l s z y c h
w y k Ba d ó w m e c h a n i k i p By n ó w , a o b e c n i e w y s t a r c z y m u s i i n f o r m a c j a , |e i n t e n s y w n o [ d y f u z j i
t u r b u l e n t n e j j e s t w i k s z a o t r z y d o c z t e r e c h r z d ó w w i e l k o [c i o d d y f u z j i m o l e k u l a r n e j . Z
p e w n d o z u p r o s z c z e n i a m o |n a p r z y j , |e t a k i n t e n s y w n y t r a n s p o r t c a By c h e l e m e n t ó w
p By n u w y m a g a w y d a t k o w a n i a e n e r g i i , k t ó r a m o |e b y c z e r p a n a j e d y n i e z e n e r g i i z a w a r t e j w
p r z e p By w i e , c o t Bu m a c z y m o |e w Ba [c i w d l a p r z e p By w u t u r b u l e n t n e g o p r o p o r c j o n a l n o [ s t r a t
c i [n i e n i a ( e n e r g i i p o t e n c j a l n e j p r z e p By w u ) d o k w a d r a t u p r d k o [c i .
W a r t o [ d o [w i a d c z e n i a R e y n o l d s a z a w a r t a j e s t n i e t y l k o w r o z p o z n a n i u i s t n i e n i a
d w ó c h s t a n ó w p r z e p By w u t j . r u c h u l a m i n a r n e g o i t u r b u l e n t n e g o . P r z e p r o w a d z a j c b o w i e m
s z e r e g d o [w i a d c z e D z r ó |n y m i p By n a m i i [r e d n i c a m i r u r R e y n o l d s w y k a z a B, |e o i s t n i e n i u
r u c h u l a m i n a r n e g o l u b t u r b u l e n t n e g o d e c y d u j e n i e s a m a p r d k o [ p r z e p By w u , [r e d n i c a r u r y
c z y t e | l e p k o [ p By n u , l e c z i c h b e z w y m i a r o w a k o m b i n a c j a , n a z w a n a p ó zn i e j l i c z b
R e y n o l d s a :
U s r Å" d
R e = ( 3 . 4 5 )
½
w k t ó r e j :
R e - b e z w y m i a r o w a l i c z b a
U s r - [r e d n i a p r d k o [ p r z e p By w u
d - [r e d n i c a r u r y
½ - l e p k o [ k i n e m a t y c z n a p By n u .
D o [w i a d c z e n i e w y k a z a Bo , |e j e |e l i d l a p r z e p By w u w r u r z e l i c z b a R e y n o l d s a z a w a r t a j e s t w
z a k r e s i e :
R e < 2 3 0 0
w ó w c z a s m a m y z a w s z e p r z e p By w l a m i n a r n y a j a k i e k o l w i e k z a b u r z e n i a w p r o w a d z o n e d o
p r z e p By w u z a n i k a j s a m o c z y n n i e g d y | s p r z e z p r z e p By w t Bu m i o n e . J e |e l i o d p o w i e d n i a
k o m b i n a c j a [r e d n i c y , p r d k o [c i i l e p k o [c i d a j e l i c z b R e y n o l d s a s p e Bn i a j c w a r u n e k :
R e > 2 3 0 0
w ó w c z a s l a m i n a r n y p o c z t k o w o p r z e p By w m o |e p r z e j [ w t u r b u l e n t n y , j e |e l i t y l k o w y s t p i
j a k i e k o l w i e k z a b u r z e n i e ( d r g a n i a u k Ba d u , z a w i r o w a n i e w o d y n a w l o c i e ) . I m w i k s z a j e s t
w a r t o [ R e t y m m n i e j s z a a m p l i t u d a z a b u r z e n i a w y s t a r c z a d o p r z e j [c i a l a m i n a r n e g o w
t u r b u l e n t n y . Z a c h o w a n i e s p e c j a l n y c h [r o d k ó w o s t r o |n o [c i , s p r o w a d z a j c y c h s i d o
Ba g o d n e g o u k s z t a Bt o w a n i a w l o t u i e l i m i n a c j i d r g a D ( d o [w i a d c z e n i e p r z e p r o w a d z o n e w
w y r o b i s k u k o p a l n i s o l i ) , p o z w o l i Bo u t r z y m a r u c h l a m i n a r n y d o w a r t o [c i :
R e H" 5 Å"1 0 5
D o [w i a d c z e n i a t e n i e p o z w o l i By n a u s t a l e n i e d o k Ba d n e j w a r t o [c i l i c z b y R e p r z y k t ó r e j
p r z e p By w z m i e n i a Bb y s i z l a m i n a r n e g o w t u r b u l e n t n y , g d y | z j a w i s k o t o w y k a z u j e b a r d z o
d u | w r a |l i w o [ n a n i e k o n t r o l o w a n e ( i c z s t o n i e z n a n e ) c z y n n i k i z e w n t r z n e i d l a t e g o t e |
p r o b l e m t e n d o d z i [ n i e d o c z e k a B s i r o z w i z a n i a . Z a m i a s t t e g o z d e f i n i o w a n o d w i e k r y t y c z n e
w a r t o [c i l i c z b y R e , z k t ó r y c h p i e r w s z a w a r t o [ k r y t y c z n a
R e k r 1 E" 2 3 0 0 ( 3 . 4 6 )
6 4
o z n a c z a g r a n i c s t a b i l n o [c i p r z e p By w u w r u r z e , r o z u m i a n j a k o n a j w y |s z a w a r t o [ R e p r z y
k t ó r e j z a b u r z e n i a s t Bu m i o n e a p r z e p By w p o z o s t a j e z a w s z e w s t a n i e r u c h u l a m i n a r n e g o .
D r u g a w a r t o [ k r y t y c z n a w y n o s i
R e k r 2 E" 5 0 0 0 0 ( 3 . 4 7 )
i o z n a c z a g ó r n g r a n i c w y s t p o w a n i a p r z e p By w u l a m i n a r n e g o , p o w y |e j k t ó r e j p r z e p By w
b d z i e z a w s z e t u r b u l e n t n y .
Z a k r e s m i d z y R e k r 1 i R e k r 2 j e s t b a r d z o s z e r o k i i m i e s z c z s i w n i m w s z y s t k i e p r z y p a d k i , w
k t ó r y c h l o s o w o w y s t p u j c e z a b u r z e n i e m o |e p r z e p r o w a d z i p r z e p By w l a m i n a r n y w
t u r b u l e n t n y .
s z c z e g ó l n e [r o d k i
U
o s t r o |n o [c i
R e k r 2
p r z y p a d k o w e
z a b u r z e n i e
z a b u r z e n i e
R e k r 1
t
R y s . 3 . 1 7 . Z a l e |n o [ m i d z y w a r t o [c i l i c z b y R e y n o l d s a i s t a n e m p r z e p By w u .
I l u s t r a c j z a c h o w a n i a p r z e p By w u w r u r z e p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 3 . 1 7 , n a k t ó r y m o [
o d c i t y c h p r z e d s t a w i a c z a s a o [ r z d n y c h p r d k o [ p r z e p By w u m i e r z o n w d o w o l n y m m i e j s c u
w p r z e p By w i e . N a n i e s i o n o t u r ó w n i e | l i n i a m i p r z e r y w a n y m i p i e r w s z i d r u g l i c z b k r y t y c z n
R e y n o l d s a , o b l i c z o n d l a d a n e j [r e d n i c y r u r y i l e p k o [c i p By n u . Z a Bó |m y , |e w c h w i l i t = 0
p r z e p By w z a c z y n a s i o d z e r o w e j w a r t o [c i p r d k o [c i U i p r z y s p i e s z a n y j e s t d o o s i g n i c i a
z a d a n e j w a r t o [c i . J e |e l i t y l k o p r d k o [ p r z e p By w u a z a t e m i l i c z b a R e u t r z y m y w a n a b d z i e w
z a k r e s i e :
R e < R e k r 1 ( 3 . 4 8 )
t o p r z e p By w b d z i e l a m i n a r n y . J e |e l i p r d k o [ z o s t a n i e z w i k s z o n a t a k a b y :
R e > R e k r 1 ( 3 . 4 8 )
w ó w c z a s k a |d e z a b u r z e n i e s p o w o d u j e , |e p r z e p By w l a m i n a r n y p r z e j d z i e w t u r b u l e n t n y i
p o z o s t a n i e w t y m s t a n i e p r z e z c z a s d o w o l n i e d Bu g i . O s c y l a c j e p o k a z a n e n a r y s u n k u w y n i k a j
z l o s o w y c h f l u k t u a c j i p r d k o [c i c h a r a k t e r y s t y c z n y c h d l a p r z e p By w u t u r b u l e n t n e g o . K o l e j n y
c y k l z m i a n p r d k o [c i p o k a z u j e , |e p o w t ó r n e u z y s k a n i e p r z e p By w u l a m i n a r n e g o m o |l i w e j e s t
t y l k o w ó w c z a s , j e |e l i p r d k o [ z o s t a n i e z m n i e j s z o n a n a t y l e , a b y s p e Bn i o n y b y B w a r u n e k
( 3 . 4 8 ) . J e |e l i p o w t ó r n i e z a c z n i e m y z w i k s z a p r d k o [, w ó w c z a s p o p r z e k r o c z e n i u R e k r 1
p r z e p By w s t a n i e s i t u r b u l e n t n y a l b o p o w y s t p i e n i u p r z y p a d k o w e g o z a b u r z e n i a , l u b t e | p r z y
z a c h o w a n i u w s z e l k i c h [r o d k ó w o s t r o |n o [c i p r z y p r d k o [c i o d p o w i a d a j c e j :
6 5
R e = R e k r 2
W a r t o [c i k r y t y c z n y c h l i c z b R e y n o l d s a o k r e [l o n e w a r u n k a m i ( 3 . 4 6 ) i ( 3 . 4 7 ) z o s t a By u s t a l o n e
d o [w i a d c z a l n i e i o b a r c z o n e s o n e b Bd e m p o m i a r u . D l a t e g o t e | w w i e l u zr ó d Ba c h s p o t k a
m o |n a i n n e m o |l i w e w a r t o [c i , k t ó r e z a w i e r a j s i w z a k r e s i e :
R e k r 1 = 2 0 0 0 ÷ 3 0 0 0
R e k r 2 = 4 0 0 0 0 ÷ 5 0 0 0 0
N a l e |y r ó w n i e | p a m i t a , |e w a r t o [c i t e w Ba [c i w e s d l a p r z e p By w u w r u r z e , p o d c z a s g d y d l a
i n n y c h t y p ó w p r z e p By w u w a r t o [c i t e s o c z y w i [c i e i n n e .
P r z e p By w l a m i n a r n y w z a s t o s o w a n i a c h t e c h n i c z n y c h w y s t p u j e j e d y n i e w ó w c z a s , g d y
m a m y d o c z y n i e n i a z p r z e p By w a m i o m a By c h p r d k o [c i a c h n p . w k a p i l a r a c h , n a c z y n i a c h
w Bo s k o w a t y c h , k l i n a c h s m a r o w y c h w o l n o b i e |n y c h Bo |y s k [l i z g o w y c h c z y w k o n w e k c j i
n a t u r a l n e j s p o w o d o w a n e j w y p o r e m c i e p l n y m . W z d e c y d o w a n e j w i k s z o [c i z a s t o s o w a D
t e c h n i c z n y c h w y s t p u j e p r z e p By w t u r b u l e n t n y , c o p o z w a l a s t w i e r d z i , |e r u c h l a m i n a r n y j e s t
w p r z y r o d z i e w y j t k i e m , t u r b u l e n t n y z a [ r e g u B. W o s t a t n i c h j e d n a k l a t a c h , d z i k i r o z w o j o w i
m e t o d r o z w i z y w a n i a r ó w n a D N - S u d a Bo s i o p r a c o w a m e t o d y t a k i e g o k s z t a Bt o w a n i a
o p By w a n y c h p o w i e r z c h n i , a b y n a w e t p r z y b a r d z o d u |y c h w a r t o [c i a c h l i c z b R e y n o l d s a
m o |l i w e b y Bo u t r z y m a n i e p r z e p By w u l a m i n a r n e g o , c h a r a k t e r y z u j c e g o s i z n a c z n i e n i |s z y m i
w a r t o [c i a m i o p o r u . P r z y k Ba d e m m o |e t u b y k s z t a Bt t z w . s k r z y d Ba l a m i n a r n e g o , k t ó r y j e s z c z e
w l a t a c h s z e [d z i e s i t y c h m ó g B b y s t o s o w a n y j e d y n i e w s z y b o w c a c h , n a t o m i a s t d z i [,
u |y w a n y j e s t w s a m o l o t a c h k o n s o r c j u m A i r b u s , k t ó r e d z i k i t e m u z u |y w a j z n a c z n i e m n i e j
p a l i w a n i | s t a r s z e k o n s t r u k c j e .
3 . 6 . R o z k Ba d p r d k o [c i w p o p r z e c z n y m p r z e k r o j u r u r y w p r z e p By w i e t u r b u l e n t n y m
A n a l i z u j c p r a w o H a g e n - P o i s e u i l l e a w y p r o w a d z i l i [m y w z ó r ( 3 . 3 8 ) w y k a z u j c y , |e
w r u c h u l a m i n a r n y m w y s t p u j e p a r a b o l i c z n y r o z k Ba d p r d k o [c i w p o p r z e c z n y m p r z e k r o j u
r u r y ( p a t r z r y s . 3 . 1 2 ) . J e |e l i p r z e p By w l a m i n a r n y p r z e j d z i e w t u r b u l e n t n y i u t r z y m a m y t e n s a m
w y d a t e k c i e c z y Q , w ó w c z a s r o z k Ba d p r d k o [c i s t a j e s i z u p e Bn i e i n n y , c o w y k a z a By w y n i k i
l i c z n y c h p o m i a r ó w w y k o n a n y c h p o o p u b l i k o w a n i u w y n i k ó w d o [w i a d c z e n i a R e y n o l d s a .
U m a x
U
[r
s t a n I I
s t a n I I :
U [r = 0 , 7 9 0 , 8 6 U m a x
s t a n I
U
[r
s t a n I : U [r = 1 / 2 U m a x
U m a x
R y s . 3 . 1 8 . P o r ó w n a n i e r o z k Ba d ó w p r d k o [c i w p o p r z e c z n y m p r z e k r o j u r u r y d l a
p r z e p By w u l a m i n a r n e g o ( s t a n I ) i t u r b u l e n t n e g o ( s t a n I I ) .
N a r y s . 3 . 1 8 p o k a z a n o p r o f i l e p r d k o [c i d l a p r z e p By w u l a m i n a r n e g o ( o z n a c z o n e g o n a r y s u n k u
j a k o s t a n I ) i t u r b u l e n t n e g o ( s t a n I I ) , k t ó r e c h a r a k t e r y z u j s i t s a m w a r t o [c i p r d k o [c i
[r e d n i e j U s r . Z a m i e s z c z o n e t u w y k r e s y w y k a z u j , |e w p r z e p By w i e t u r b u l e n t n y m w
6 6
b e z p o [r e d n i e j b l i s k o [c i [c i a n y p r o m i e n i o w y g r a d i e n t p r d k o [c i j e s t z n a c z n i e w i k s z y n i | w
p r z e p By w i e l a m i n a r n y m :
d U d U
ëø öø ëø öø
>
ìø ÷ø ìø ÷ø
d r d r
íø øøt u r b íø øøl a m
P o n i e w a | z g o d n i e z p r a w e m N e w t o n a n a p r |e n i a s t y c z n e s p r o p o r c j o n a l n e d o g r a d i e n t u
p r d k o [c i w k i e r u n k u n o r m a l n y m d o p o w i e r z c h n i
"U
Ä = µ
"r
m o |n a s t d w n i o s k o w a , |e n a p r |e n i a s t y c z n e n a [c i a n i e ( d l a r = R ) w p r z e p By w i e
t u r b u l e n t n y m s z n a c z n i e w i k s z e n i | w p r z e p By w i e l a m i n a r n y m
( Ät u r b ) > ( Äl a m )
r = R r = R
W n i o s e k t e n u z a s a d n i a w i k s z w a r t o [ o p o r u p r z e p By w u w r u c h u t u r b u l e n t n y m
( p r o p o r c j o n a l n d o k w a d r a t u p r d k o [c i [r e d n i e j ) w p o r ó w n a n i u z o p o r a m i p r z e p By w u
( t o |s a m y m i z e s t r a t c i [n i e n i a "p ) w p r z e p By w i e l a m i n a r n y m . O p ó r p r z e p By w u j e s t b o w i e m
r e z u l t a t e m s i B l e p k o [c i ( n a p r |e D s t y c z n y c h ) , k t ó r e d z i a Ba j w k i e r u n k u p r z e c i w n y m d o
p r z e p By w u . D r u g c h a r a k t e r y s t y c z n c e c h p r o f i l u p r d k o [c i w r u c h u t u r b u l e n t n y m j e s t j e g o
s p Ba s z c z e n i e w o b s z a r z e w e w n t r z n y m p r z e p By w u p o w o d u j c e , |e w a r t o [ p r d k o [c i [r e d n i e j
w y n o s i :
U s r = ( 0 . 7 9 ÷ 0 . 8 6 ) U m a x
g d z i e U m a x o z n a c z a w a r t o [ m a k s y m a l n p r d k o [c i w y s t p u j c w o s i r u r y ( d l a r = 0 ) .
P o w o d e m j e s t i n t e n s y w n y t r a n s p o r t p r o m i e n i o w y p d u b d c y r e z u l t a t e m t u r b u l e n t n e j
d y f u z j i , o k t ó r e j m ó w i l i [m y d y s k u t u j c r y s u n e k 3 . 1 6 . M o |n a s o b i e w y o b r a z i , |e p o p r z e j [c i u
z r u c h u l a m i n a r n e g o d o t u r b u l e n t n e g o p r z e m i e s z c z a n i e e l e m e n t ó w p By n u z o b s z a r u b l i s k i e g o
o s i p r z e p By w u w k i e r u n k u [c i a n y s p o w o d u j e , |e p d p By n u p o r u s z a j c e g o s i z w i k s z
p r d k o [c i z o s t a n i e p r z e m i e s z c z o n y w k i e r u n k u [c i a n y , c z e g o w y n i k i e m b d z i e w y r ó w n a n i e
p r o f i l u p r d k o [c i .
y
U
R
U [r
U m a x
R y s . 3 . 1 9 . P r o f i l p r d k o [c i w r u c h u t u r b u l e n t n y m o r a z w s p ó Br z d n e P r a n d t l a .
P r o f i l p r d k o [c i z a r e j e s t r o w a n y w r u c h u t u r b u l e n t n y m z o s t a B p o k a z a n y r a z j e s z c z e n a
r y s u n k u 3 . 1 9 , n a k t ó r y m z a z n a c z o n o r ó w n i e | w s p ó Br z d n y , p r z y j t p r z e z P r a n d t l a d o
o p i s u t e g o p r o f i l u . W o b e c b r a k u m o |l i w o [c i u z y s k a n i a r o z w i z a n i a r ó w n a n i a N - S d l a
p r z e p By w u t u r b u l e n t n e g o P r a n d t l z a p r o p o n o w a B n a s t p u j c y , e m p i r y c z n y w z ó r o p i s u j c y
p r o m i e n i o w y r o z k Ba d p r d k o [c i :
6 7
1
y
U = U m a x ëø öøn ( 3 . 5 0 )
ìø ÷ø
R
íø øø
w k t ó r y m U m a x j e s t m a k s y m a l n w a r t o [c i p r d k o [c i w y s t p u j c w o s i r u r y , w s p ó Br z d n a y
m i e r z o n a j e s t w k i e r u n k u o d [c i a n y d o o s i r u r y , t z n . :
y "[ 0 , R ]
n a t o m i a s t n j e s t w y k Ba d n i k i e m p o t g o w y m o k r e [l a n y m d o [w i a d c z a l n i e w t a k i s p o s ó b , a b y
u z y s k a m o |l i w i e n a j l e p s z z g o d n o [ z r e z u l t a t a m i e k s p e r y m e n t u .
Z a l e |n o [ t a z n a n a j a k o w z ó r p o t g o w y P r a n d t l a w y k a z u j e b a r d z o d o b r z g o d n o [ z
d o [w i a d c z e n i e m i w y k o r z y s t y w a n a j e s t w u p r o s z c z o n y c h m e t o d a c h o b l i c z e D o p o r ó w
h y d r a u l i c z n y c h .
W y n i k i p o m i a r ó w w y k a z a By , |e d l a r u r s z o r s t k i c h d o b r z g o d n o [ z e k s p e r y m e n t e m
u z y s k u j e s i d l a w a r t o [c i
n = 6 ,
d l a k t ó r e j p r o f i l p r d k o [c i s p e Bn i a n a s t p u j c z a l e |n o [:
U s r
= 0 . 7 9 1
U m a x
D l a r u r g Ba d k i c h w z a k r e s i e l i c z b R e y n o l d s a :
4 Å"1 0 4 < R e < 8 Å"1 0 4
o p t y m a l n w a r t o [c i w y k Ba d n i k a j e s t
n = 7
d l a k t ó r e j p r o f i l p r d k o [c i s p e Bn i a z a l e |n o [:
U s r
= 0 . 8 1 7
U m a x
c o [w i a d c z y , |e w t u r b u l e n t n y m p r z e p By w i e w r u r z e g Ba d k i e j p r o f i l p r d k o [c i j e s t b a r d z i e j
p Ba s k i n i | w r u r z e s z o r s t k i e j .
D l a w i k s z y c h w a r t o [c i l i c z b y R e y n o l d s a p r z y p r z e p By w i e w r u r a c h g Ba d k i c h n a l e |y
p r z y j m o w a w i k s z e w a r t o [c i w y k Ba d n i k a n a b y u z y s k a z g o d n o [ z d o [w i a d c z e n i e m . D l a
u o g ó l n i e n i a t e g o w n i o s k u o b l i c z m y w y d a t e k Q c i e c z y p r z e p By w a j c e j p r z e z r u r , o b l i c z a j c
n a j p i e r w w y d a t e k e l e m e n t a r n y p r z e p By w a j c y p r z e z z a z n a c z o n e n a r y s . 3 . 2 0 e l e m e n t a r n e p o l e
o p o w i e r z c h n i :
2 À ( R - y ) d y
c o d a j e e l e m e n t a r n y w y d a t e k :
d Q = U Å" 2 À ( R - y ) d y
R
R y s . 3 . 2 0 . O z n a c z e n i a p r z y j t e p r z y c a Bk o w a n i u w z o r u P r a n d t l a .
6 8
y
d
y
S c a Bk o w a n i e p o w y |s z e j z a l e |n o [c i w g r a n i c a c h o d 0 d o R p o p o d s t a w i e n i u w z o r u ( 3 . 5 0 )
d a j e :
2 À R 2 U m a x
Q = ( 3 . 5 1 )
1 1
ëø
+ 2 öøëø + 1 öø
ìø ÷øìø ÷ø
n n
íø øøíø øø
U z a l e |n i e n i e w y d a t k u o d p r d k o [c i [r e d n i e j p o z w a l a z a p i s a :
Q = À R 2 U s r ( 3 . 5 2 )
a p o r ó w n a n i e w y d a t k u o b l i c z o n e g o z ( 3 . 5 1 ) i ( 3 . 5 2 ) d a j e o s t a t e c z n i e n a s t p u j c z a l e |n o [:
U s r 2
= ( 3 . 5 3 )
1 1
U m a x ëø
+ 2 öøëø + 1 öø
ìø ÷øìø ÷ø
n n
íø øøíø øø
w k t ó r e j s t o s u n e k p r d k o [c i [r e d n i e j d o m a k s y m a l n e j ( b d c y m i a r s p Ba s z c z e n i a p r o f i l u
p r d k o [c i ) j e s t w y Bc z n f u n k c j w y k Ba d n i k a p o t g o w e g o P r a n d t l a .
N a j l e p s z z g o d n o [ z d o [w i a d c z e n i e m d l a p r z e p By w ó w w r u r a c h g Ba d k i c h u z y s k a n o
p r z y j m u j c :
- d l a R e = 2 Å"1 0 5
U s r
n = 8 ; = 0 . 8 3 7
U m a x
- d l a R e = 6 . 4 Å"1 0 5
U s r
n = 9 ; = 0 . 8 5 3
U m a x
- d l a R e = 2 Å"1 0 6
U s r
n = 1 0 ; = 0 . 8 6 6
U m a x
A n a l i z a t y c h d a n y c h w y k a z u j e , |e d l a r u r g Ba d k i c h w z r o s t l i c z b y R e y n o l d s a p r o w a d z i
p o c z t k o w o d o w y p Ba s z c z e n i a p r o f i l u p r d k o [c i , k t ó r y j e d n a k p r z y b a r d z o d u |y c h R e z n ó w
s t a j e s i b a r d z i e j w y p u k By .
W z ó r P r a n d t l a o p i s u j e z d u | d o k Ba d n o [c i p r o f i l p r d k o [c i w c a By m p r a w i e p r z e k r o j u
p o p r z e c z n y m z a w o d z c j e d y n i e w b e z p o [r e d n i e j b l i s k o [c i [c i a n y , g d z i e n a w e t d l a b a r d z o
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