1. Podstawowe własności fizyczne płynów.
1.1. Masa, gęstość, ciśnienie.
Masa jest właściwością płynu charakteryzującą jego ilość.
W układzie SI jednostką podstawową masy jest l kg. Oprócz jednostki podstawowej używa się
jednostek krotnych:
1 g = 10-3 kg
1 Mg = 103 kg = 1t
GÄ™stość Á lub odwrotność objÄ™toÅ›ci wÅ‚aÅ›ciwej Å; w dowolnym punkcie pÅ‚ynu okreÅ›la zależność
1 dm
Á = = ,
Å dV
będąca stosunkiem elementarnej masy płynu dm do objętości dV w której jest ona zawarta.
Dla płynu nieściśliwego:
m
Á = ,
V
Jednostką gęstości w układzie SI jest l kg/m3.
Gęstość gazu wyznaczamy z równania stanu gazu (Clapeyrona):
p
Á =
RT
gdzie:
p - ciśnienie,
T - temperatura (w skali bezwzględnej Kelwina),
R - indywidualna stała gazowa;
Dla mieszaniny gazów stała gazowa wyrażona jest zależnością:
m1R1 + m2 R2 + ... + mn Rn
R =
m1 + m2 + ... + mn
gdzie
mn - masa n-tego składnika mieszaniny.
Podstawową jednostką ciśnienia w układzie SI jest l N/m2 = 1 Pa. Oprócz jednostki podstawowej
używa się jednostek krotnych:
l mN/m2 = 10-3 N/m2
l kN/m2 = 103 N/m2
l MN/m2 = 106 N/m2
Inne jednostki ciśnienia, nie należące do układu SI:
atmosfera techniczna l at = 98066,5 N/m2
atmosfera fizyczna l atm = 101325 N/m2
bar l bar = 103 mbar = 105 N/m2
milimetr słupa wody l mm H2O = 9,80665 N/m2 = 10-4 at
milimetr słupa rtęci l mmHg = 133,322 N/m2
tor 1 Tr = 1 mmHg = 133,322 N/m2
5
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 1.1 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.1, str. 16)
Obliczyć gęstość nafty wiedząc, że masa 4.25 kg zajmuje objętość 5 dm3.
Dane: Wyznaczyć:
m = 4.25 kg Á
V = 5 dm3 = 0.005 m3
RozwiÄ…zanie:
Korzystamy ze wzoru definicyjnego na gęstość dla przypadku płynu nieściśliwego:
m 4.25
Á = = = 850 kg/m3
V 0.005
Zadanie 1.2 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.2, str. 16)
Obliczyć gÄ™stość mieszaniny cieczy skÅ‚adajÄ…cej siÄ™ z 30% nafty (Án = 0.79 Mg/m3) i 70% mazutu
(Ám = 0.89 Mg/m3). UdziaÅ‚y procentowe traktować jako udziaÅ‚y:
a) masowe,
b) objętościowe.
Dane: Wyznaczyć:
Án=0.79 Mg/m3 = 790 kg/m3 Á
Ám=0.89 Mg/m3 = 890 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
Gęstość płynu nieściśliwego:
m
Á =
V
Przypadek a)
Masa mieszaniny: m = mn + mm ,
mn mm
objętość mieszaniny: V = Vn + Vm = +
Án Ám
mn + mm
WiÄ™c: Á =
mn mm
+
Án Ám
Ale ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc:
mn = 0.3m, mm = 0.7m ,
0.3m + 0.7m Án Å" Ám
stÄ…d: Á = =
0.3m 0.7m
0.3Ám + 0.7Án
+
Án Ám
790Å"890
Á = = 857 kg/m3
0.3Å"890 + 0.7 Å"790
6
Przypadek b)
Masa mieszaniny:
m = mn + mm = Án Å"Vn + Ám Å"Vm ,
objętość mieszaniny:
V = Vn +Vm ,
więc:
Án Å"Vn + Ám Å"Vm
Á =
Vn +Vm
Ale ponieważ:
Vn = 0.3 V , Vm = 0.7V ,
więc:
Án Å"Vn + Ám Å"Vm
Á = = 0.3Án + 0.7Ám
Vn + Vm
Á = 0.3Å" 790 + 0.7 Å"890 = 860 kg/m3
Zadanie 1.3 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.3, str. 16)
Obliczyć gÄ™stość Á1 dwutlenku wÄ™gla w temperaturze T1 = 773 K i przy ciÅ›nieniu 101325 N/m2 (1
atm), jeżeli przy tym samym ciÅ›nieniu i w temperaturze T0 = 273 K gÄ™stość jego wynosi Á0 = 1.98
kg/m3.
Dane: Wyznaczyć:
T1 = 773 K Á1
p1 = 101325 N/m2
T0 = 273 K
Á0 = 1.98 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
Korzystamy z równania stanu gazu doskonałego:
p
Á =
RT
Gęstości w temperaturze T1 i T0 wynoszą:
p0 p1
Á0 = Á1 =
RT0 RT1
Ponieważ: p0 = p1 ,
więc:
Á0RT0 = Á1RT1
Á0T0
StÄ…d: Á1 =
T1
1.98Å" 273
Á1 = = 0.699 kg/m3
773
7
Zadanie 1.4 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.4, str. 16)
Obliczyć masę powietrza wypełniającego zbiornik o objętości V = 10 m3. Powietrze o temperaturze
T = 293 K znajduje się pod ciśnieniem bezwzględnym p = 500 kN/m2. Indywidualna stała gazowa
dla powietrza R = 287 J/kgÅ"K.
Dane: Wyznaczyć:
V = 10 m3 m
T = 293 K
p = 500 kN/m2 = 500000 N/m2
R = 287 J/kgÅ"K
RozwiÄ…zanie:
p
m = Á Å"V = Å"V
RT
500000 Å"10
m = = 59.5 kg
287 Å" 293
Zadanie 1.5 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.5, str. 16)
Mieszanina gazów skÅ‚ada siÄ™ z 0.4% wodoru (indywidualna staÅ‚a gazowa R1 = 4121.73 J/ kgÅ"K), 2%
metanu (R2 = 518.77 J/ kgÅ"K), 30% tlenku wÄ™gla (R3 = 296.95 J/ kgÅ"K), 7.6% dwutlenku wÄ™gla (R4 =
188.78 J/ kgÅ"K) i 60% azotu (R5 = 296.75 J/ kgÅ"K). Obliczyć gÄ™stość mieszaniny w temperaturze T
= 273 K i przy ciśnieniu p = 100 kN/m2. Procenty odnoszą się do udziałów masowych.
Dane: Wyznaczyć:
R1 = 4121.73 J/ kgÅ"K, Á
R2 = 518.77 J/ kgÅ"K
R3 = 296.95 J/ kgÅ"K
R4 = 188.78 J/ kgÅ"K
R5 = 296.75 J/ kgÅ"K
T = 273 K
p = 100 kN/m2 = 100000 N/m2
RozwiÄ…zanie:
p
Á =
RT
Dla mieszaniny gazów stałą gazową obliczamy ze wzoru:
Ri
"mi
R =
"m
i
p
p(m1 + m2 + m3 + m4 + m5 )
"mi
WiÄ™c: Á = =
T Ri T(m1R1 + m2R2 + m3R3 + m4R4 + m5R5 )
"mi
Ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc:
m1 = 0.004 m, m2 = 0.02 m, m3 = 0.3 m, m4 = 0.076 m, m5 = 0.6 m,
p
stÄ…d: Á =
T Å"(0.004 Å" R1 + 0.02 Å" R2 + 0.3Å" R3 + 0.076 Å" R4 + 0.6 Å" R5 )
8
100000
Á =
273Å"(0.004 Å" 4121.73 + 0.02 Å" 518.77 + 0.3Å" 296.95 + 0.076 Å"188.78 + 0.6 Å" 296.75)
Á = 1.2 kg/m3
1.2. Ściśliwość i rozszerzalność płynów.
Płyny charakteryzują się ściśliwością i rozszerzalnością.
Jeżeli w zamkniętym naczyniu o objętości V znajduje się płyn, to zmiana jego objętości o dV
spowoduje, przy zachowaniu stałej temperatury, zmianę ciśnienia o dp. Miarą ściśliwości płynu jest
współczynnik ściśliwości definiowany jako:
1 dV
² = -
V dp
lub, dla skończonych przyrostów,
V1
1 -V2
² = .
V1 p2 - p1
Po przekształceniu otrzymamy:
V2 = V1[1- ²(p2 - p1)]
Miarą rozszerzalności cieplnej płynów przy stałym ciśnieniu jest współczynnik rozszerzalności
objętościowej definiowany jako:
1 dV
Ä… =
V dT
lub, dla skończonych przyrostów
V2
1 - V1
Ä… = .
V1 T2 - T1
Po przekształceniu
V2 = V1[1+Ä…(T2 -T1)].
Dla gazów zmiany parametrów ujmuje równanie stanu gazu.
Zmianom objętości cieczy towarzyszą zmiany gęstości określone odpowiednio wzorami:
Á1
Á2 =
1- ²(p2 - p1)
Á1
Á2 =
1+Ä…(T2 -T1)
Jednostki: współczynnik Å›ciÅ›liwoÅ›ci ² m2/N
współczynnik rozszerzalności objętościowej ą K-1
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 1.6 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.1, str. 17)
Ropę naftową poddano ściskaniu w grubościennym naczyniu cylindrycznym.
Wyznaczyć współczynnik ściśliwości ropy naftowej, jeżeli przy wzroście ciśnienia
w naczyniu od 0 do 2.5 MN/m2 tłok zamykający naczynie przesunął się o "h = 1.8
mm. Początkowa wysokość słupa ropy naftowej h = 1000 mm.
Dane: Wyznaczyć:
9
"p = 2.5 MN/m2 = 2.5Å"106 N/m2 ²
"h = 1.8 mm = 0.0018 m
h = 1000 mm = 1 m
RozwiÄ…zanie:
Współczynnik ściśliwości:
1 "V
² =
V "p
Zmiana objętości płynu wynosi:
2
Ä„D
"V = "h Å"
4
Objętość początkowa płynu:
Ä„D2
V = h Å"
4
"h 0.0018
StÄ…d: ² = = = 0.72Å"10-9 m2/N
h Å" "p
1Å" 2.5 Å"106
Zadanie 1.7 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.2, str. 17)
Do zbiornika ciśnieniowego o objętości 50 dm3 wpompowano 50.5 dm3 alkoholu metylowego o
temperaturze 288 K. Pomijając odkształcenia zbiornika określić przyrost ciśnienia w nim.
Współczynnik Å›ciÅ›liwoÅ›ci alkoholu metylowego ² wynosi 0.122Å"10-8 m2/N.
Dane: Wyznaczyć:
V1 = 50 dm3 = 0.05 m3 "p = p2 - p1
V2 = 50.5 dm3 = 0.0505 m3
T1 = 288 K
² = 0.122Å"10-8 m2/N
RozwiÄ…zanie:
Korzystamy ze wzoru na współczynnik ściśliwości:
V1
1 -V2
² =
V1 p2 - p1
StÄ…d:
V1 -V2
"p = p2 - p1 =
V1 Å" ²
0.05 - 0.0505
"p = p2 - p1 = = 8196721 N/m2 H" 8197 kN/m2
0.05Å"0.122Å"10-8
Zadanie 1.8 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.6, str. 18)
Nieodkształcalny zbiornik ciśnieniowy o objętości 0.10 m3 wypełniony całkowicie alkoholem
metylowym podgrzano od temperatury 273 K do temperatury 323 K. Obliczyć przyrost ciśnienia w
zbiorniku. Do obliczeÅ„ przyjąć ² = 0.122Å"10-8 m2/N, Ä… = 1.19Å"10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
V1 = 0.10 m3 "p
T1 = 273 K
T2 = 323 K
² = 0.122Å"10-8 m2/N
10
Ä… = 1.19Å"10-3 K-1
RozwiÄ…zanie:
Proces przemiany płynu w zbiorniku rozpatrujemy w dwóch etapach: podgrzanie ze zmianą
objętości i ściskanie do objętości początkowej.
Współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosi:
1 V2 -V1
Ä… =
V1 T2 - T1
Stąd po przekształceniu:
V2 = V1[1+ Ä…(T2 - T1)].
Ale ponieważ zbiornik ciśnieniowy jest nieodkształcalny, więc objętość ściskamy do rozmiarów
początkowych, co spowoduje przyrost ciśnienia w zbiorniku.
Ze wzoru na współczynnik ściśliwości:
1 V1 -V2
² =
V1 p2 - p1
wyznaczamy przyrost ciśnienia:
V1 -V2
p2 - p1 =
V1 Å" ²
Podstawiamy V2:
Ä…
p2 - p1 = (T2 - T1)
²
1.19Å"10-3
p2 - p1 = (323 - 273) H" 48.8 MN/m2
0.122 Å"10-8
1.3. Lepkość płynów
Lepkość jest charakterystyczną cechą płynów wyrażającą zdolność płynów do przenoszenia
naprężeń stycznych. Miarą lepkości jest wartość współczynnika lepkości płynu.
Współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej µ wiąże naprężenia styczne Ä z gradientem prÄ™dkoÅ›ci:
dU
Ä = µ
dn
OdnoszÄ…c współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej do gÄ™stoÅ›ci pÅ‚ynu Á otrzymamy współczynnik
lepkości kinematycznej:
µ
½ =
Á
Jednostki w układzie SI:
współczynnik lepkości kinematycznej 1 m2/s
współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej 1 PaÅ"s a" 1 kg/mÅ"s
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 1.9 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18)
Współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej nafty w temperaturze T2 = 323 K równa siÄ™ µ = 5.884Å"10-3
NÅ"s/m2. Wyznaczyć lepkość kinematycznÄ… nafty, jeżeli jej gÄ™stość w temperaturze T1 = 293 K jest
Á1 = 800 kg/m3, a współczynnik rozszerzalnoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej Ä… = 0.96Å"10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
T2 = 323 K ½
11
µ = 5.884Å"10-3 NÅ"s/m2
T1 = 293 K
Á1 = 800 kg/m3
Ä… = 0.96Å"10-3 K-1
RozwiÄ…zanie:
µ
½ =
Á2
ZnajÄ…c współczynnik rozszerzalnoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej możemy wyliczyć gÄ™stość Á2:
Á1
Á2 =
1+Ä…(T2 -T1)
Podstawiając do wzoru powyżej otrzymamy:
µ[1+Ä…(T2 -T1)]
½ =
Á1
5.884 Å"10-3 Å"[1+ 0.96 Å"10-3 Å"(323 - 293)]
½ = =
7.57Å"10-6 m2/s
800
Zadanie 1.10 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.2, str. 19)
Kinematyczny współczynnik lepkoÅ›ci nafty w temperaturze T2 = 283 K równa siÄ™ ½ = 12Å"10-6 m2/s.
Wyznaczyć lepkość dynamicznÄ… nafty znajÄ…c jej gÄ™stość w temperaturze T1 = 293 K (Á1 = 800
kg/m3). Współczynnik rozszerzalnoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej nafty przyjąć Ä… = 0.96 Å" 10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
T2 = 283 K µ
½ = 12Å"10-6 m2/s
T1 = 293 K
Á1 = 800 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
µ
½ =
Á2
StÄ…d:
µ = ½ Å" Á2
ZakÅ‚adajÄ…c, że znamy gÄ™stość nafty Á1 w temperaturze T1 i współczynnik rozszerzalnoÅ›ci
objÄ™toÅ›ciowej Ä…, możemy wyznaczyć gÄ™stość Á2:
Á1
Á2 =
1+ Ä…(T2 - T1)
Ostatecznie otrzymamy:
½ Å" Á1
µ =
1+ Ä…(T2 - T1)
12Å"10-6 Å"800
µ = = 0.97Å"10-2 NÅ"s/m2
1+ 0.96 Å"10-3 Å"(283 - 293)
12
Zadanie 1.11 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.4, str. 19)
Lepkość dynamiczną gazu jako funkcję temperatury można przedstawić w postaci zależności
3 2
ëÅ‚ öÅ‚
T0 + C T
ìÅ‚ ÷Å‚
µ = µ0 ;
ìÅ‚
T + C T0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
µ0 oznacza tutaj lepkość w temperaturze T0, C jest staÅ‚ym współczynnikiem zależnym od rodzaju
gazu. Wyznaczyć wartość staÅ‚ej C gazu, dla którego w temperaturze T0 = 273 K lepkość µ0 =
17.09Å"10-5 NÅ"s/m2, a w temperaturze T1 = 313 K lepkość µ1 = 19.04Å"10-5 NÅ"s/m2. Obliczyć także
lepkość dynamicznÄ… µ2 tego gazu w temperaturze T2 = 353 K.
Dane: Wyznaczyć:
T0 = 273 K C, µ2
µ0 = 17.09Å"10-5 NÅ"s/m2
T1 = 313 K
µ1 = 19.04Å"10-5 NÅ"s/m2
T2 = 353 K
RozwiÄ…zanie:
3 2
ëÅ‚ öÅ‚
T0 + C T1
ìÅ‚ ÷Å‚
µ1 = µ0
ìÅ‚
T1 + C T0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczamy stałą C:
3 2
ëÅ‚ öÅ‚
T1
ìÅ‚ ÷Å‚
µ0T0ìÅ‚ ÷Å‚ - µ1T1
T0
íÅ‚ Å‚Å‚
C =
3 2
ëÅ‚ öÅ‚
T1
ìÅ‚ ÷Å‚
µ1 - µ0ìÅ‚ ÷Å‚
T0
íÅ‚ Å‚Å‚
3 2
313
17.09 Å"10-5 Å" 273Å"ëÅ‚ öÅ‚ -19.04 Å"10-5 Å"313
ìÅ‚ ÷Å‚
273Å‚Å‚
íÅ‚
C = = 119.5
3 2
313
19.04 Å"10-5 -17.09Å"10-5 Å"ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
273Å‚Å‚
íÅ‚
ZnajÄ…c staÅ‚Ä… C wyliczamy µ2:
3 2
ëÅ‚ öÅ‚
T0 + C T2 ÷Å‚
ìÅ‚
µ2 = µ0 ìÅ‚ ÷Å‚
T2 + C T0 Å‚Å‚
íÅ‚
3 2
273 +119.5 353
ëÅ‚ öÅ‚
µ2 = 17.09Å"10-5 Å" = 20.87Å"10-5 NÅ"s/m2
ìÅ‚ ÷Å‚
353 +119.5 273Å‚Å‚
íÅ‚
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zadanie 1.12 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.1, str. 9)
Pięć litrów ropy naftowej waży G = 41.69 N. Obliczyć gÄ™stość Á ropy naftowej.
Odpowiedz
: Á = 850 kg/m3
13
Zadanie 1.13 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.2, str. 9)
Woda jest cięższa 1.3 raza od nafty. Obliczyć gęstość nafty w temperaturze T = 277 K (4oC).
Odpowiedz
: Án = 769.2 kg/m3
Zadanie 1.14 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.5, str. 10)
WiedzÄ…c że staÅ‚a gazowa powietrza wynosi R = 287.04 J/kgÅ"K obliczyć objÄ™tość wÅ‚aÅ›ciwÄ… Å i
gÄ™stość Á powietrza w temperaturze 288 K (15 oC) i ciÅ›nieniu p = 101.325 kPa.
Odpowiedz
: Å = 0.816 m3/kg, Á = 1.225 kg/m3
Zadanie 1.15 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.6, str. 10)
Obliczyć ciężar G powietrza zawarty w objętości V = 10 m3 przy ciśnieniu p = 490332.5 Pa i w
temperaturze 293 K (20 oC).
Odpowiedz
: G = 572 N
Zadanie 1.16 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.3, str. 17)
Kulisty zbiornik ciśnieniowy o średnicy d = 1 m wypełniono alkoholem metylowym o temperaturze
288 K. Obliczyć objętość alkoholu, którym należy dodatkowo wypełnić zbiornik aby ciśnienie
względne wzrosło w nim do 10 MN/m2.
Odpowiedz
: "V = 0.0064 m3
Zadanie 1.17 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.2, str. 13)
W autoklawie o objÄ™toÅ›ci V0 = 50Å"10-3 m3 (50 litrów) znajduje siÄ™ 50.5Å"10-3 m3 eteru. Obliczyć, przy
pominięciu odkształceń autoklawu, przyrost w nim ciśnienia "p, jeśli współczynnik ściśliwości
objÄ™toÅ›ciowej eteru w temperaturze T = 293 K wynosi ² = 19.45Å"10-10 m2/N.
Odpowiedz
: "p = 5.14Å"106 Pa
Zadanie 1.18 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.3, str. 13)
Autoklaw, którego część cylindryczna ma średnicę d = 1 m i długość l = 2 m posiada dno i
pokrywę w kształcie półkuli. Obliczyć objętość wody "V, jaką możemy dodatkowo wypełnić
zbiornik by wzrosÅ‚o w nim ciÅ›nienie o "p = 89.0665Å"106 Pa, jeÅ›li współczynnik Å›ciÅ›liwoÅ›ci
objÄ™toÅ›ciowej wody wynosi: ² = 4.2Å"10-10 m2/N. OdksztaÅ‚cenie autoklawu pominąć.
Odpowiedz
: "V = 0.089 m3
Zadanie 1.19 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.5, str. 17)
Wyznaczyć względną zmianę gęstości gliceryny odpowiadającą zmianie temperatur od 293 K do
323 K. Do obliczeÅ„ przyjąć Ä… = 0.59Å"10-3 K-1.
Odpowiedz
: "Á/Á1 = 0.0174
Zadanie 1.20 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18)
Dynamiczny współczynnik lepkoÅ›ci nafty w temperaturze T2 = 283 K wynosi µ = 0.97Å"10-2 kg/mźs.
Wyznaczyć kinematyczny współczynnik lepkości w tej temperaturze, jeśli gęstość nafty w
temperaturze T1 = 293 K wynosi Á1 = 800 kg/m3 a współczynnik rozszerzalnoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej
wynosi Ä… = 0.96Å"10-3 K-1.
Odpowiedz
: ½ = 12Å"10-6 m2/s
14