1. Podstawowe własności fizyczne płynów.
1.1. Masa, gęstość, ciśnienie.
Masa jest właściwością płynu charakteryzującą jego ilość.
W układzie SI jednostką podstawową masy jest l kg. Oprócz jednostki podstawowej używa się
jednostek krotnych:
1 g = 10-3 kg
1 Mg = 103 kg = 1t
Gęstość � lub odwrotność objętości właściwej �; w dowolnym punkcie płynu określa zależność
1 dm
� = = ,
� dV
będąca stosunkiem elementarnej masy płynu dm do objętości dV w której jest ona zawarta.
Dla płynu nieściśliwego:
m
� = ,
V
Jednostką gęstości w układzie SI jest l kg/m3.
Gęstość gazu wyznaczamy z równania stanu gazu (Clapeyrona):
p
� =
RT
gdzie:
p - ciśnienie,
T - temperatura (w skali bezwzględnej Kelwina),
R - indywidualna stała gazowa;
Dla mieszaniny gazów stała gazowa wyrażona jest zależnością:
m1R1 + m2 R2 + ... + mn Rn
R =
m1 + m2 + ... + mn
gdzie
mn - masa n-tego składnika mieszaniny.
Podstawową jednostką ciśnienia w układzie SI jest l N/m2 = 1 Pa. Oprócz jednostki podstawowej
używa się jednostek krotnych:
l mN/m2 = 10-3 N/m2
l kN/m2 = 103 N/m2
l MN/m2 = 106 N/m2
Inne jednostki ciśnienia, nie należące do układu SI:
atmosfera techniczna l at = 98066,5 N/m2
atmosfera fizyczna l atm = 101325 N/m2
bar l bar = 103 mbar = 105 N/m2
milimetr słupa wody l mm H2O = 9,80665 N/m2 = 10-4 at
milimetr słupa rtęci l mmHg = 133,322 N/m2
tor 1 Tr = 1 mmHg = 133,322 N/m2
5
PRZYKAADOWE ZADANIA
Zadanie 1.1 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.1, str. 16)
Obliczyć gęstość nafty wiedząc, że masa 4.25 kg zajmuje objętość 5 dm3.
Dane: Wyznaczyć:
m = 4.25 kg �
V = 5 dm3 = 0.005 m3
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru definicyjnego na gęstość dla przypadku płynu nieściśliwego:
m 4.25
� = = = 850 kg/m3
V 0.005
Zadanie 1.2 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.2, str. 16)
Obliczyć gęstość mieszaniny cieczy składającej się z 30% nafty (�n = 0.79 Mg/m3) i 70% mazutu
(�m = 0.89 Mg/m3). Udziały procentowe traktować jako udziały:
a) masowe,
b) objętościowe.
Dane: Wyznaczyć:
�n=0.79 Mg/m3 = 790 kg/m3 �
�m=0.89 Mg/m3 = 890 kg/m3
Rozwiązanie:
Gęstość płynu nieściśliwego:
m
� =
V
Przypadek a)
Masa mieszaniny: m = mn + mm ,
mn mm
objętość mieszaniny: V = Vn + Vm = +
�n �m
mn + mm
Więc: � =
mn mm
+
�n �m
Ale ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc:
mn = 0.3m, mm = 0.7m ,
0.3m + 0.7m �n �" �m
stąd: � = =
0.3m 0.7m
0.3�m + 0.7�n
+
�n �m
790�"890
� = = 857 kg/m3
0.3�"890 + 0.7 �"790
6
Przypadek b)
Masa mieszaniny:
m = mn + mm = �n �"Vn + �m �"Vm ,
objętość mieszaniny:
V = Vn +Vm ,
więc:
�n �"Vn + �m �"Vm
� =
Vn +Vm
Ale ponieważ:
Vn = 0.3 V , Vm = 0.7V ,
więc:
�n �"Vn + �m �"Vm
� = = 0.3�n + 0.7�m
Vn + Vm
� = 0.3�" 790 + 0.7 �"890 = 860 kg/m3
Zadanie 1.3 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.3, str. 16)
Obliczyć gęstość �1 dwutlenku węgla w temperaturze T1 = 773 K i przy ciśnieniu 101325 N/m2 (1
atm), jeżeli przy tym samym ciśnieniu i w temperaturze T0 = 273 K gęstość jego wynosi �0 = 1.98
kg/m3.
Dane: Wyznaczyć:
T1 = 773 K �1
p1 = 101325 N/m2
T0 = 273 K
�0 = 1.98 kg/m3
Rozwiązanie:
Korzystamy z równania stanu gazu doskonałego:
p
� =
RT
Gęstości w temperaturze T1 i T0 wynoszą:
p0 p1
�0 = �1 =
RT0 RT1
Ponieważ: p0 = p1 ,
więc:
�0RT0 = �1RT1
�0T0
Stąd: �1 =
T1
1.98�" 273
�1 = = 0.699 kg/m3
773
7
Zadanie 1.4 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.4, str. 16)
Obliczyć masę powietrza wypełniającego zbiornik o objętości V = 10 m3. Powietrze o temperaturze
T = 293 K znajduje się pod ciśnieniem bezwzględnym p = 500 kN/m2. Indywidualna stała gazowa
dla powietrza R = 287 J/kg�"K.
Dane: Wyznaczyć:
V = 10 m3 m
T = 293 K
p = 500 kN/m2 = 500000 N/m2
R = 287 J/kg�"K
Rozwiązanie:
p
m = � �"V = �"V
RT
500000 �"10
m = = 59.5 kg
287 �" 293
Zadanie 1.5 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.5, str. 16)
Mieszanina gazów składa się z 0.4% wodoru (indywidualna stała gazowa R1 = 4121.73 J/ kg�"K), 2%
metanu (R2 = 518.77 J/ kg�"K), 30% tlenku węgla (R3 = 296.95 J/ kg�"K), 7.6% dwutlenku węgla (R4 =
188.78 J/ kg�"K) i 60% azotu (R5 = 296.75 J/ kg�"K). Obliczyć gęstość mieszaniny w temperaturze T
= 273 K i przy ciśnieniu p = 100 kN/m2. Procenty odnoszą się do udziałów masowych.
Dane: Wyznaczyć:
R1 = 4121.73 J/ kg�"K, �
R2 = 518.77 J/ kg�"K
R3 = 296.95 J/ kg�"K
R4 = 188.78 J/ kg�"K
R5 = 296.75 J/ kg�"K
T = 273 K
p = 100 kN/m2 = 100000 N/m2
Rozwiązanie:
p
� =
RT
Dla mieszaniny gazów stałą gazową obliczamy ze wzoru:
Ri
"mi
R =
"m
i
p
p(m1 + m2 + m3 + m4 + m5 )
"mi
Więc: � = =
T Ri T(m1R1 + m2R2 + m3R3 + m4R4 + m5R5 )
"mi
Ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc:
m1 = 0.004 m, m2 = 0.02 m, m3 = 0.3 m, m4 = 0.076 m, m5 = 0.6 m,
p
stąd: � =
T �"(0.004 �" R1 + 0.02 �" R2 + 0.3�" R3 + 0.076 �" R4 + 0.6 �" R5 )
8
100000
� =
273�"(0.004 �" 4121.73 + 0.02 �" 518.77 + 0.3�" 296.95 + 0.076 �"188.78 + 0.6 �" 296.75)
� = 1.2 kg/m3
1.2. Ściśliwość i rozszerzalność płynów.
Płyny charakteryzują się ściśliwością i rozszerzalnością.
Jeżeli w zamkniętym naczyniu o objętości V znajduje się płyn, to zmiana jego objętości o dV
spowoduje, przy zachowaniu stałej temperatury, zmianę ciśnienia o dp. Miarą ściśliwości płynu jest
współczynnik ściśliwości definiowany jako:
1 dV
� = -
V dp
lub, dla skończonych przyrostów,
V1
1 -V2
� = .
V1 p2 - p1
Po przekształceniu otrzymamy:
V2 = V1[1- �(p2 - p1)]
Miarą rozszerzalności cieplnej płynów przy stałym ciśnieniu jest współczynnik rozszerzalności
objętościowej definiowany jako:
1 dV
ą =
V dT
lub, dla skończonych przyrostów
V2
1 - V1
ą = .
V1 T2 - T1
Po przekształceniu
V2 = V1[1+ą(T2 -T1)].
Dla gazów zmiany parametrów ujmuje równanie stanu gazu.
Zmianom objętości cieczy towarzyszą zmiany gęstości określone odpowiednio wzorami:
�1
�2 =
1- �(p2 - p1)
�1
�2 =
1+ą(T2 -T1)
Jednostki: współczynnik ściśliwości � m2/N
współczynnik rozszerzalności objętościowej ą K-1
PRZYKAADOWE ZADANIA
Zadanie 1.6 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.1, str. 17)
Ropę naftową poddano ściskaniu w grubościennym naczyniu cylindrycznym.
Wyznaczyć współczynnik ściśliwości ropy naftowej, jeżeli przy wzroście ciśnienia
w naczyniu od 0 do 2.5 MN/m2 tłok zamykający naczynie przesunął się o "h = 1.8
mm. Początkowa wysokość słupa ropy naftowej h = 1000 mm.
Dane: Wyznaczyć:
9
"p = 2.5 MN/m2 = 2.5�"106 N/m2 �
"h = 1.8 mm = 0.0018 m
h = 1000 mm = 1 m
Rozwiązanie:
Współczynnik ściśliwości:
1 "V
� =
V "p
Zmiana objętości płynu wynosi:
2
ĄD
"V = "h �"
4
Objętość początkowa płynu:
ĄD2
V = h �"
4
"h 0.0018
Stąd: � = = = 0.72�"10-9 m2/N
h �" "p
1�" 2.5 �"106
Zadanie 1.7 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.2, str. 17)
Do zbiornika ciśnieniowego o objętości 50 dm3 wpompowano 50.5 dm3 alkoholu metylowego o
temperaturze 288 K. Pomijając odkształcenia zbiornika określić przyrost ciśnienia w nim.
Współczynnik ściśliwości alkoholu metylowego � wynosi 0.122�"10-8 m2/N.
Dane: Wyznaczyć:
V1 = 50 dm3 = 0.05 m3 "p = p2 - p1
V2 = 50.5 dm3 = 0.0505 m3
T1 = 288 K
� = 0.122�"10-8 m2/N
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na współczynnik ściśliwości:
V1
1 -V2
� =
V1 p2 - p1
Stąd:
V1 -V2
"p = p2 - p1 =
V1 �" �
0.05 - 0.0505
"p = p2 - p1 = = 8196721 N/m2 H" 8197 kN/m2
0.05�"0.122�"10-8
Zadanie 1.8 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.6, str. 18)
Nieodkształcalny zbiornik ciśnieniowy o objętości 0.10 m3 wypełniony całkowicie alkoholem
metylowym podgrzano od temperatury 273 K do temperatury 323 K. Obliczyć przyrost ciśnienia w
zbiorniku. Do obliczeń przyjąć � = 0.122�"10-8 m2/N, ą = 1.19�"10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
V1 = 0.10 m3 "p
T1 = 273 K
T2 = 323 K
� = 0.122�"10-8 m2/N
10
ą = 1.19�"10-3 K-1
Rozwiązanie:
Proces przemiany płynu w zbiorniku rozpatrujemy w dwóch etapach: podgrzanie ze zmianą
objętości i ściskanie do objętości początkowej.
Współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosi:
1 V2 -V1
ą =
V1 T2 - T1
Stąd po przekształceniu:
V2 = V1[1+ ą(T2 - T1)].
Ale ponieważ zbiornik ciśnieniowy jest nieodkształcalny, więc objętość ściskamy do rozmiarów
początkowych, co spowoduje przyrost ciśnienia w zbiorniku.
Ze wzoru na współczynnik ściśliwości:
1 V1 -V2
� =
V1 p2 - p1
wyznaczamy przyrost ciśnienia:
V1 -V2
p2 - p1 =
V1 �" �
Podstawiamy V2:
ą
p2 - p1 = (T2 - T1)
�
1.19�"10-3
p2 - p1 = (323 - 273) H" 48.8 MN/m2
0.122 �"10-8
1.3. Lepkość płynów
Lepkość jest charakterystyczną cechą płynów wyrażającą zdolność płynów do przenoszenia
naprężeń stycznych. Miarą lepkości jest wartość współczynnika lepkości płynu.
Współczynnik lepkości dynamicznej � wiąże naprężenia styczne � z gradientem prędkości:
dU
� = �
dn
Odnosząc współczynnik lepkości dynamicznej do gęstości płynu � otrzymamy współczynnik
lepkości kinematycznej:
�
� =
�
Jednostki w układzie SI:
współczynnik lepkości kinematycznej 1 m2/s
współczynnik lepkości dynamicznej 1 Pa�"s a" 1 kg/m�"s
PRZYKAADOWE ZADANIA
Zadanie 1.9 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18)
Współczynnik lepkości dynamicznej nafty w temperaturze T2 = 323 K równa się � = 5.884�"10-3
N�"s/m2. Wyznaczyć lepkość kinematyczną nafty, jeżeli jej gęstość w temperaturze T1 = 293 K jest
�1 = 800 kg/m3, a współczynnik rozszerzalności objętościowej ą = 0.96�"10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
T2 = 323 K �
11
� = 5.884�"10-3 N�"s/m2
T1 = 293 K
�1 = 800 kg/m3
ą = 0.96�"10-3 K-1
Rozwiązanie:
�
� =
�2
Znając współczynnik rozszerzalności objętościowej możemy wyliczyć gęstość �2:
�1
�2 =
1+ą(T2 -T1)
Podstawiając do wzoru powyżej otrzymamy:
�[1+ą(T2 -T1)]
� =
�1
5.884 �"10-3 �"[1+ 0.96 �"10-3 �"(323 - 293)]
� = =
7.57�"10-6 m2/s
800
Zadanie 1.10 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.2, str. 19)
Kinematyczny współczynnik lepkości nafty w temperaturze T2 = 283 K równa się � = 12�"10-6 m2/s.
Wyznaczyć lepkość dynamiczną nafty znając jej gęstość w temperaturze T1 = 293 K (�1 = 800
kg/m3). Współczynnik rozszerzalności objętościowej nafty przyjąć ą = 0.96 �" 10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
T2 = 283 K �
� = 12�"10-6 m2/s
T1 = 293 K
�1 = 800 kg/m3
Rozwiązanie:
�
� =
�2
Stąd:
� = � �" �2
Zakładając, że znamy gęstość nafty �1 w temperaturze T1 i współczynnik rozszerzalności
objętościowej ą, możemy wyznaczyć gęstość �2:
�1
�2 =
1+ ą(T2 - T1)
Ostatecznie otrzymamy:
� �" �1
� =
1+ ą(T2 - T1)
12�"10-6 �"800
� = = 0.97�"10-2 N�"s/m2
1+ 0.96 �"10-3 �"(283 - 293)
12
Zadanie 1.11 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.4, str. 19)
Lepkość dynamiczną gazu jako funkcję temperatury można przedstawić w postaci zależności
3 2
�ł �ł
T0 + C T
�ł �ł
� = �0 ;
�ł
T + C T0 �ł
�ł łł
�0 oznacza tutaj lepkość w temperaturze T0, C jest stałym współczynnikiem zależnym od rodzaju
gazu. Wyznaczyć wartość stałej C gazu, dla którego w temperaturze T0 = 273 K lepkość �0 =
17.09�"10-5 N�"s/m2, a w temperaturze T1 = 313 K lepkość �1 = 19.04�"10-5 N�"s/m2. Obliczyć także
lepkość dynamiczną �2 tego gazu w temperaturze T2 = 353 K.
Dane: Wyznaczyć:
T0 = 273 K C, �2
�0 = 17.09�"10-5 N�"s/m2
T1 = 313 K
�1 = 19.04�"10-5 N�"s/m2
T2 = 353 K
Rozwiązanie:
3 2
�ł �ł
T0 + C T1
�ł �ł
�1 = �0
�ł
T1 + C T0 �ł
�ł łł
Wyznaczamy stałą C:
3 2
�ł �ł
T1
�ł �ł
�0T0�ł �ł - �1T1
T0
�ł łł
C =
3 2
�ł �ł
T1
�ł �ł
�1 - �0�ł �ł
T0
�ł łł
3 2
313
17.09 �"10-5 �" 273�"�ł �ł -19.04 �"10-5 �"313
�ł �ł
273łł
�ł
C = = 119.5
3 2
313
19.04 �"10-5 -17.09�"10-5 �"�ł �ł
�ł �ł
273łł
�ł
Znając stałą C wyliczamy �2:
3 2
�ł �ł
T0 + C T2 �ł
�ł
�2 = �0 �ł �ł
T2 + C T0 łł
�ł
3 2
273 +119.5 353
�ł �ł
�2 = 17.09�"10-5 �" = 20.87�"10-5 N�"s/m2
�ł �ł
353 +119.5 273łł
�ł
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIZANIA
Zadanie 1.12 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.1, str. 9)
Pięć litrów ropy naftowej waży G = 41.69 N. Obliczyć gęstość � ropy naftowej.
Odpowiedz: � = 850 kg/m3
13
Zadanie 1.13 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.2, str. 9)
Woda jest cięższa 1.3 raza od nafty. Obliczyć gęstość nafty w temperaturze T = 277 K (4oC).
Odpowiedz: �n = 769.2 kg/m3
Zadanie 1.14 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.5, str. 10)
Wiedząc że stała gazowa powietrza wynosi R = 287.04 J/kg�"K obliczyć objętość właściwą � i
gęstość � powietrza w temperaturze 288 K (15 oC) i ciśnieniu p = 101.325 kPa.
Odpowiedz: � = 0.816 m3/kg, � = 1.225 kg/m3
Zadanie 1.15 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.6, str. 10)
Obliczyć ciężar G powietrza zawarty w objętości V = 10 m3 przy ciśnieniu p = 490332.5 Pa i w
temperaturze 293 K (20 oC).
Odpowiedz: G = 572 N
Zadanie 1.16 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.3, str. 17)
Kulisty zbiornik ciśnieniowy o średnicy d = 1 m wypełniono alkoholem metylowym o temperaturze
288 K. Obliczyć objętość alkoholu, którym należy dodatkowo wypełnić zbiornik aby ciśnienie
względne wzrosło w nim do 10 MN/m2.
Odpowiedz: "V = 0.0064 m3
Zadanie 1.17 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.2, str. 13)
W autoklawie o objętości V0 = 50�"10-3 m3 (50 litrów) znajduje się 50.5�"10-3 m3 eteru. Obliczyć, przy
pominięciu odkształceń autoklawu, przyrost w nim ciśnienia "p, jeśli współczynnik ściśliwości
objętościowej eteru w temperaturze T = 293 K wynosi � = 19.45�"10-10 m2/N.
Odpowiedz: "p = 5.14�"106 Pa
Zadanie 1.18 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.3, str. 13)
Autoklaw, którego część cylindryczna ma średnicę d = 1 m i długość l = 2 m posiada dno i
pokrywę w kształcie półkuli. Obliczyć objętość wody "V, jaką możemy dodatkowo wypełnić
zbiornik by wzrosło w nim ciśnienie o "p = 89.0665�"106 Pa, jeśli współczynnik ściśliwości
objętościowej wody wynosi: � = 4.2�"10-10 m2/N. Odkształcenie autoklawu pominąć.
Odpowiedz: "V = 0.089 m3
Zadanie 1.19 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.5, str. 17)
Wyznaczyć względną zmianę gęstości gliceryny odpowiadającą zmianie temperatur od 293 K do
323 K. Do obliczeń przyjąć ą = 0.59�"10-3 K-1.
Odpowiedz: "�/�1 = 0.0174
Zadanie 1.20 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18)
Dynamiczny współczynnik lepkości nafty w temperaturze T2 = 283 K wynosi � = 0.97�"10-2 kg/mźs.
Wyznaczyć kinematyczny współczynnik lepkości w tej temperaturze, jeśli gęstość nafty w
temperaturze T1 = 293 K wynosi �1 = 800 kg/m3 a współczynnik rozszerzalności objętościowej
wynosi ą = 0.96�"10-3 K-1.
Odpowiedz: � = 12�"10-6 m2/s
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wymagania do opracowania zadania problemowego Mechanika Płynówstatyka plynow zadaniaMechanika płynów dzienne energetyka0h Wyklad 6mechanika plynow zagadnienia do egzaminuMechanika płynów sprawozdanie 1Mechanika Płynów Egzamin 2014 Termin 1mechanika plynow opracowanie zagadnienelementy mechaniki plynow materialyMechanika płynówmechanika płynów opracowanieS Kryszewski Mechanika kwantowa zadaniaMechanika płynów dzienne energetyka0h Wyklad 9Mechanika grA zadaniawięcej podobnych podstron