1. Podstawowe własności fizyczne płynów.
1.1. Masa, gęstość, ciśnienie.
Masa jest właściwością płynu charakteryzującą jego ilość.
W układzie SI jednostką podstawową masy jest l kg. Oprócz jednostki podstawowej używa się
jednostek krotnych:
1 g = 10-3 kg
1 Mg = 103 kg = 1t
Gęstość � lub odwrotność objętości właściwej �; w dowolnym punkcie płynu określa zależność
1 dm
� = = ,
� dV
będąca stosunkiem elementarnej masy płynu dm do objętości dV w której jest ona zawarta.
Dla płynu nieściśliwego:
m
� = ,
V
Jednostką gęstości w układzie SI jest l kg/m3.
Gęstość gazu wyznaczamy z równania stanu gazu (Clapeyrona):
p
� =
RT
gdzie:
p - ciśnienie,
T - temperatura (w skali bezwzględnej Kelwina),
R - indywidualna stała gazowa;
Dla mieszaniny gazów stała gazowa wyrażona jest zależnością:
m1R1 + m2 R2 + ... + mn Rn
R =
m1 + m2 + ... + mn
gdzie
mn - masa n-tego składnika mieszaniny.
Podstawową jednostką ciśnienia w układzie SI jest l N/m2 = 1 Pa. Oprócz jednostki podstawowej
używa się jednostek krotnych:
l mN/m2 = 10-3 N/m2
l kN/m2 = 103 N/m2
l MN/m2 = 106 N/m2
Inne jednostki ciśnienia, nie należące do układu SI:
atmosfera techniczna l at = 98066,5 N/m2
atmosfera fizyczna l atm = 101325 N/m2
bar l bar = 103 mbar = 105 N/m2
milimetr słupa wody l mm H2O = 9,80665 N/m2 = 10-4 at
milimetr słupa rtęci l mmHg = 133,322 N/m2
tor 1 Tr = 1 mmHg = 133,322 N/m2
5
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 1.1 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.1, str. 16)
Obliczyć gęstość nafty wiedząc, że masa 4.25 kg zajmuje objętość 5 dm3.
Dane: Wyznaczyć:
m = 4.25 kg �
V = 5 dm3 = 0.005 m3
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru definicyjnego na gęstość dla przypadku płynu nieściśliwego:
m 4.25
� = = = 850 kg/m3
V 0.005
Zadanie 1.2 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.2, str. 16)
Obliczyć gęstość mieszaniny cieczy składającej się z 30% nafty (�n = 0.79 Mg/m3) i 70% mazutu
(�m = 0.89 Mg/m3). Udziały procentowe traktować jako udziały:
a) masowe,
b) objętościowe.
Dane: Wyznaczyć:
�n=0.79 Mg/m3 = 790 kg/m3 �
�m=0.89 Mg/m3 = 890 kg/m3
Rozwiązanie:
Gęstość płynu nieściśliwego:
m
� =
V
Przypadek a)
Masa mieszaniny: m = mn + mm ,
mn mm
objętość mieszaniny: V = Vn + Vm = +
�n �m
mn + mm
Więc: � =
mn mm
+
�n �m
Ale ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc:
mn = 0.3m, mm = 0.7m ,
0.3m + 0.7m �n �" �m
stąd: � = =
0.3m 0.7m
0.3�m + 0.7�n
+
�n �m
790�"890
� = = 857 kg/m3
0.3�"890 + 0.7 �"790
6
Przypadek b)
Masa mieszaniny:
m = mn + mm = �n �"Vn + �m �"Vm ,
objętość mieszaniny:
V = Vn +Vm ,
więc:
�n �"Vn + �m �"Vm
� =
Vn +Vm
Ale ponieważ:
Vn = 0.3 V , Vm = 0.7V ,
więc:
�n �"Vn + �m �"Vm
� = = 0.3�n + 0.7�m
Vn + Vm
� = 0.3�" 790 + 0.7 �"890 = 860 kg/m3
Zadanie 1.3 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.3, str. 16)
Obliczyć gęstość �1 dwutlenku węgla w temperaturze T1 = 773 K i przy ciśnieniu 101325 N/m2 (1
atm), jeżeli przy tym samym ciśnieniu i w temperaturze T0 = 273 K gęstość jego wynosi �0 = 1.98
kg/m3.
Dane: Wyznaczyć:
T1 = 773 K �1
p1 = 101325 N/m2
T0 = 273 K
�0 = 1.98 kg/m3
Rozwiązanie:
Korzystamy z równania stanu gazu doskonałego:
p
� =
RT
Gęstości w temperaturze T1 i T0 wynoszą:
p0 p1
�0 = �1 =
RT0 RT1
Ponieważ: p0 = p1 ,
więc:
�0RT0 = �1RT1
�0T0
Stąd: �1 =
T1
1.98�" 273
�1 = = 0.699 kg/m3
773
7
Zadanie 1.4 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.4, str. 16)
Obliczyć masę powietrza wypełniającego zbiornik o objętości V = 10 m3. Powietrze o temperaturze
T = 293 K znajduje się pod ciśnieniem bezwzględnym p = 500 kN/m2. Indywidualna stała gazowa
dla powietrza R = 287 J/kg�"K.
Dane: Wyznaczyć:
V = 10 m3 m
T = 293 K
p = 500 kN/m2 = 500000 N/m2
R = 287 J/kg�"K
Rozwiązanie:
p
m = � �"V = �"V
RT
500000 �"10
m = = 59.5 kg
287 �" 293
Zadanie 1.5 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.5, str. 16)
Mieszanina gazów składa się z 0.4% wodoru (indywidualna stała gazowa R1 = 4121.73 J/ kg�"K), 2%
metanu (R2 = 518.77 J/ kg�"K), 30% tlenku węgla (R3 = 296.95 J/ kg�"K), 7.6% dwutlenku węgla (R4 =
188.78 J/ kg�"K) i 60% azotu (R5 = 296.75 J/ kg�"K). Obliczyć gęstość mieszaniny w temperaturze T
= 273 K i przy ciśnieniu p = 100 kN/m2. Procenty odnoszą się do udziałów masowych.
Dane: Wyznaczyć:
R1 = 4121.73 J/ kg�"K, �
R2 = 518.77 J/ kg�"K
R3 = 296.95 J/ kg�"K
R4 = 188.78 J/ kg�"K
R5 = 296.75 J/ kg�"K
T = 273 K
p = 100 kN/m2 = 100000 N/m2
Rozwiązanie:
p
� =
RT
Dla mieszaniny gazów stałą gazową obliczamy ze wzoru:
Ri
"mi
R =
"m
i
p
p(m1 + m2 + m3 + m4 + m5 )
"mi
Więc: � = =
T Ri T(m1R1 + m2R2 + m3R3 + m4R4 + m5R5 )
"mi
Ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc:
m1 = 0.004 m, m2 = 0.02 m, m3 = 0.3 m, m4 = 0.076 m, m5 = 0.6 m,
p
stąd: � =
T �"(0.004 �" R1 + 0.02 �" R2 + 0.3�" R3 + 0.076 �" R4 + 0.6 �" R5 )
8
100000
� =
273�"(0.004 �" 4121.73 + 0.02 �" 518.77 + 0.3�" 296.95 + 0.076 �"188.78 + 0.6 �" 296.75)
� = 1.2 kg/m3
1.2. Ściśliwość i rozszerzalność płynów.
Płyny charakteryzują się ściśliwością i rozszerzalnością.
Jeżeli w zamkniętym naczyniu o objętości V znajduje się płyn, to zmiana jego objętości o dV
spowoduje, przy zachowaniu stałej temperatury, zmianę ciśnienia o dp. Miarą ściśliwości płynu jest
współczynnik ściśliwości definiowany jako:
1 dV
� = -
V dp
lub, dla skończonych przyrostów,
V1
1 -V2
� = .
V1 p2 - p1
Po przekształceniu otrzymamy:
V2 = V1[1- �(p2 - p1)]
Miarą rozszerzalności cieplnej płynów przy stałym ciśnieniu jest współczynnik rozszerzalności
objętościowej definiowany jako:
1 dV
ą =
V dT
lub, dla skończonych przyrostów
V2
1 - V1
ą = .
V1 T2 - T1
Po przekształceniu
V2 = V1[1+ą(T2 -T1)].
Dla gazów zmiany parametrów ujmuje równanie stanu gazu.
Zmianom objętości cieczy towarzyszą zmiany gęstości określone odpowiednio wzorami:
�1
�2 =
1- �(p2 - p1)
�1
�2 =
1+ą(T2 -T1)
Jednostki: współczynnik ściśliwości � m2/N
współczynnik rozszerzalności objętościowej ą K-1
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 1.6 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.1, str. 17)
Ropę naftową poddano ściskaniu w grubościennym naczyniu cylindrycznym.
Wyznaczyć współczynnik ściśliwości ropy naftowej, jeżeli przy wzroście ciśnienia
w naczyniu od 0 do 2.5 MN/m2 tłok zamykający naczynie przesunął się o "h = 1.8
mm. Początkowa wysokość słupa ropy naftowej h = 1000 mm.
Dane: Wyznaczyć:
9
"p = 2.5 MN/m2 = 2.5�"106 N/m2 �
"h = 1.8 mm = 0.0018 m
h = 1000 mm = 1 m
Rozwiązanie:
Współczynnik ściśliwości:
1 "V
� =
V "p
Zmiana objętości płynu wynosi:
2
ĄD
"V = "h �"
4
Objętość początkowa płynu:
ĄD2
V = h �"
4
"h 0.0018
Stąd: � = = = 0.72�"10-9 m2/N
h �" "p
1�" 2.5 �"106
Zadanie 1.7 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.2, str. 17)
Do zbiornika ciśnieniowego o objętości 50 dm3 wpompowano 50.5 dm3 alkoholu metylowego o
temperaturze 288 K. Pomijając odkształcenia zbiornika określić przyrost ciśnienia w nim.
Współczynnik ściśliwości alkoholu metylowego � wynosi 0.122�"10-8 m2/N.
Dane: Wyznaczyć:
V1 = 50 dm3 = 0.05 m3 "p = p2 - p1
V2 = 50.5 dm3 = 0.0505 m3
T1 = 288 K
� = 0.122�"10-8 m2/N
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na współczynnik ściśliwości:
V1
1 -V2
� =
V1 p2 - p1
Stąd:
V1 -V2
"p = p2 - p1 =
V1 �" �
0.05 - 0.0505
"p = p2 - p1 = = 8196721 N/m2 H" 8197 kN/m2
0.05�"0.122�"10-8
Zadanie 1.8 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.6, str. 18)
Nieodkształcalny zbiornik ciśnieniowy o objętości 0.10 m3 wypełniony całkowicie alkoholem
metylowym podgrzano od temperatury 273 K do temperatury 323 K. Obliczyć przyrost ciśnienia w
zbiorniku. Do obliczeń przyjąć � = 0.122�"10-8 m2/N, ą = 1.19�"10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
V1 = 0.10 m3 "p
T1 = 273 K
T2 = 323 K
� = 0.122�"10-8 m2/N
10
ą = 1.19�"10-3 K-1
Rozwiązanie:
Proces przemiany płynu w zbiorniku rozpatrujemy w dwóch etapach: podgrzanie ze zmianą
objętości i ściskanie do objętości początkowej.
Współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosi:
1 V2 -V1
ą =
V1 T2 - T1
Stąd po przekształceniu:
V2 = V1[1+ ą(T2 - T1)].
Ale ponieważ zbiornik ciśnieniowy jest nieodkształcalny, więc objętość ściskamy do rozmiarów
początkowych, co spowoduje przyrost ciśnienia w zbiorniku.
Ze wzoru na współczynnik ściśliwości:
1 V1 -V2
� =
V1 p2 - p1
wyznaczamy przyrost ciśnienia:
V1 -V2
p2 - p1 =
V1 �" �
Podstawiamy V2:
ą
p2 - p1 = (T2 - T1)
�
1.19�"10-3
p2 - p1 = (323 - 273) H" 48.8 MN/m2
0.122 �"10-8
1.3. Lepkość płynów
Lepkość jest charakterystyczną cechą płynów wyrażającą zdolność płynów do przenoszenia
naprężeń stycznych. Miarą lepkości jest wartość współczynnika lepkości płynu.
Współczynnik lepkości dynamicznej � wiąże naprężenia styczne � z gradientem prędkości:
dU
� = �
dn
Odnosząc współczynnik lepkości dynamicznej do gęstości płynu � otrzymamy współczynnik
lepkości kinematycznej:
�
� =
�
Jednostki w układzie SI:
współczynnik lepkości kinematycznej 1 m2/s
współczynnik lepkości dynamicznej 1 Pa�"s a" 1 kg/m�"s
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 1.9 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18)
Współczynnik lepkości dynamicznej nafty w temperaturze T2 = 323 K równa się � = 5.884�"10-3
N�"s/m2. Wyznaczyć lepkość kinematyczną nafty, jeżeli jej gęstość w temperaturze T1 = 293 K jest
�1 = 800 kg/m3, a współczynnik rozszerzalności objętościowej ą = 0.96�"10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
T2 = 323 K �
11
� = 5.884�"10-3 N�"s/m2
T1 = 293 K
�1 = 800 kg/m3
ą = 0.96�"10-3 K-1
Rozwiązanie:
�
� =
�2
Znając współczynnik rozszerzalności objętościowej możemy wyliczyć gęstość �2:
�1
�2 =
1+ą(T2 -T1)
Podstawiając do wzoru powyżej otrzymamy:
�[1+ą(T2 -T1)]
� =
�1
5.884 �"10-3 �"[1+ 0.96 �"10-3 �"(323 - 293)]
� = =
7.57�"10-6 m2/s
800
Zadanie 1.10 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.2, str. 19)
Kinematyczny współczynnik lepkości nafty w temperaturze T2 = 283 K równa się � = 12�"10-6 m2/s.
Wyznaczyć lepkość dynamiczną nafty znając jej gęstość w temperaturze T1 = 293 K (�1 = 800
kg/m3). Współczynnik rozszerzalności objętościowej nafty przyjąć ą = 0.96 �" 10-3 K-1.
Dane: Wyznaczyć:
T2 = 283 K �
� = 12�"10-6 m2/s
T1 = 293 K
�1 = 800 kg/m3
Rozwiązanie:
�
� =
�2
Stąd:
� = � �" �2
Zakładając, że znamy gęstość nafty �1 w temperaturze T1 i współczynnik rozszerzalności
objętościowej ą, możemy wyznaczyć gęstość �2:
�1
�2 =
1+ ą(T2 - T1)
Ostatecznie otrzymamy:
� �" �1
� =
1+ ą(T2 - T1)
12�"10-6 �"800
� = = 0.97�"10-2 N�"s/m2
1+ 0.96 �"10-3 �"(283 - 293)
12
Zadanie 1.11 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.4, str. 19)
Lepkość dynamiczną gazu jako funkcję temperatury można przedstawić w postaci zależności
3 2
�ł �ł
T0 + C T
�ł �ł
� = �0 ;
�ł
T + C T0 �ł
�ł łł
�0 oznacza tutaj lepkość w temperaturze T0, C jest stałym współczynnikiem zależnym od rodzaju
gazu. Wyznaczyć wartość stałej C gazu, dla którego w temperaturze T0 = 273 K lepkość �0 =
17.09�"10-5 N�"s/m2, a w temperaturze T1 = 313 K lepkość �1 = 19.04�"10-5 N�"s/m2. Obliczyć także
lepkość dynamiczną �2 tego gazu w temperaturze T2 = 353 K.
Dane: Wyznaczyć:
T0 = 273 K C, �2
�0 = 17.09�"10-5 N�"s/m2
T1 = 313 K
�1 = 19.04�"10-5 N�"s/m2
T2 = 353 K
Rozwiązanie:
3 2
�ł �ł
T0 + C T1
�ł �ł
�1 = �0
�ł
T1 + C T0 �ł
�ł łł
Wyznaczamy stałą C:
3 2
�ł �ł
T1
�ł �ł
�0T0�ł �ł - �1T1
T0
�ł łł
C =
3 2
�ł �ł
T1
�ł �ł
�1 - �0�ł �ł
T0
�ł łł
3 2
313
17.09 �"10-5 �" 273�"�ł �ł -19.04 �"10-5 �"313
�ł �ł
273łł
�ł
C = = 119.5
3 2
313
19.04 �"10-5 -17.09�"10-5 �"�ł �ł
�ł �ł
273łł
�ł
Znając stałą C wyliczamy �2:
3 2
�ł �ł
T0 + C T2 �ł
�ł
�2 = �0 �ł �ł
T2 + C T0 łł
�ł
3 2
273 +119.5 353
�ł �ł
�2 = 17.09�"10-5 �" = 20.87�"10-5 N�"s/m2
�ł �ł
353 +119.5 273łł
�ł
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zadanie 1.12 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.1, str. 9)
Pięć litrów ropy naftowej waży G = 41.69 N. Obliczyć gęstość � ropy naftowej.
Odpowiedz
: � = 850 kg/m3
13
Zadanie 1.13 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.2, str. 9)
Woda jest cięższa 1.3 raza od nafty. Obliczyć gęstość nafty w temperaturze T = 277 K (4oC).
Odpowiedz
: �n = 769.2 kg/m3
Zadanie 1.14 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.5, str. 10)
Wiedząc że stała gazowa powietrza wynosi R = 287.04 J/kg�"K obliczyć objętość właściwą � i
gęstość � powietrza w temperaturze 288 K (15 oC) i ciśnieniu p = 101.325 kPa.
Odpowiedz
: � = 0.816 m3/kg, � = 1.225 kg/m3
Zadanie 1.15 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.6, str. 10)
Obliczyć ciężar G powietrza zawarty w objętości V = 10 m3 przy ciśnieniu p = 490332.5 Pa i w
temperaturze 293 K (20 oC).
Odpowiedz
: G = 572 N
Zadanie 1.16 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.3, str. 17)
Kulisty zbiornik ciśnieniowy o średnicy d = 1 m wypełniono alkoholem metylowym o temperaturze
288 K. Obliczyć objętość alkoholu, którym należy dodatkowo wypełnić zbiornik aby ciśnienie
względne wzrosło w nim do 10 MN/m2.
Odpowiedz
: "V = 0.0064 m3
Zadanie 1.17 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.2, str. 13)
W autoklawie o objętości V0 = 50�"10-3 m3 (50 litrów) znajduje się 50.5�"10-3 m3 eteru. Obliczyć, przy
pominięciu odkształceń autoklawu, przyrost w nim ciśnienia "p, jeśli współczynnik ściśliwości
objętościowej eteru w temperaturze T = 293 K wynosi � = 19.45�"10-10 m2/N.
Odpowiedz
: "p = 5.14�"106 Pa
Zadanie 1.18 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.3, str. 13)
Autoklaw, którego część cylindryczna ma średnicę d = 1 m i długość l = 2 m posiada dno i
pokrywę w kształcie półkuli. Obliczyć objętość wody "V, jaką możemy dodatkowo wypełnić
zbiornik by wzrosło w nim ciśnienie o "p = 89.0665�"106 Pa, jeśli współczynnik ściśliwości
objętościowej wody wynosi: � = 4.2�"10-10 m2/N. Odkształcenie autoklawu pominąć.
Odpowiedz
: "V = 0.089 m3
Zadanie 1.19 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.5, str. 17)
Wyznaczyć względną zmianę gęstości gliceryny odpowiadającą zmianie temperatur od 293 K do
323 K. Do obliczeń przyjąć ą = 0.59�"10-3 K-1.
Odpowiedz
: "�/�1 = 0.0174
Zadanie 1.20 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18)
Dynamiczny współczynnik lepkości nafty w temperaturze T2 = 283 K wynosi � = 0.97�"10-2 kg/mźs.
Wyznaczyć kinematyczny współczynnik lepkości w tej temperaturze, jeśli gęstość nafty w
temperaturze T1 = 293 K wynosi �1 = 800 kg/m3 a współczynnik rozszerzalności objętościowej
wynosi ą = 0.96�"10-3 K-1.
Odpowiedz
: � = 12�"10-6 m2/s
14