Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 1
Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a
=
=
e" 0
gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0.
Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znalez
ć linię prądu. Pokazać, że ruch jest ustalony.
Rozwiązanie
Prędkość we współrzędnych Lagrange a oblicza się jako:
( )
� , ,

� �
( )

� , , = = - - , e" 0

( )
Funkcja odwrotna do funkcji , daje prawo ruchu w zmiennych Eulera:
=
=
e" 0
Po podstawieniu wyrażenia na X i Y do wzoru na prędkość w zmiennych Lagrange a otrzyma się pole
prędkości w zmiennych Eulera (przestrzennych):
� �

� = -
Równanie linii prądu znajdujemy po scałkowaniu równania:

=

stąd
| | | |
ln = - ln +
A więc równanie linii prądu ma postać wzoru:
=
Ponieważ prędkość wyrażona w zmiennych Eulera nie zależy w sposób jawny od czasu = 0, więc

ruch jest ustalony. Równanie określające tor cząstki, zadane dwzorowaniem
� , musi być identyczne z
równaniem linii prądu. Rzeczywiście, po wyeliminowaniu z równań = , = , czasu t,
otrzymuje się:
= =
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 2
Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a:
= + ( - 1)
( )
= - +
=
gdzie (X,Y,Z)  współrzędne materialne
Sprawdzić, czy jakobian J dla zadanego prawa ruchu jest różny od zera. Znalez
ć prawo ruchu w
zmiennych Eulera.
Rozwiązanie:
Sprawdzamy czy jakobian jest różny od zera:


0 1
-

= = = `" 0
0 1 -


0 0 1

Po prostych przekształceniach można znalez
ć funkcję odwrotną:
= + ( - 1)
( )
= - -
=
Zwróćmy uwagę, że przy obu sposobach opisu prawa ruch dla t = 0 otrzymujemy x = X, y = Y, z = Z.
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 3
Zadane jest prawo ruchu:
=
= +
=
a) Znalez
ć prawo ruchu we współrzędnych Eulera.
b) Określić prędkość i przyspieszenie cząstki we współrzędnych Lagrange a i Eulera.
c) Dla danego pola prędkości zadane jest pole temperatury T = Axy. Obliczyć pochodną
substancjalną dT/dt.
Rozwiązanie:
a) Odwzorowanie odwrotne, dające opis w zmiennych Eulera, równa się:
=
= -
=
b) Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych Lagrange a

�
�
( )
, , , = = + 2 +
� � �


= = 2
� �

Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych Eulera otrzymujemy po podstawieniu za X = x.
( )
, , , = 2
� �
( )
, , , = 2
� �
c) Pochodna substancjalna temperatury równa się:

= + + = 2 = 2

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 4
Zadane jest prawo ruchu:
= +
= +
=
= = 1/2
a) W chwili t = 0 wierzchołki kwadratu ABCD mają współrzędne A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0),
D(1,0,0). Określić położenie A, B,C,D w chwili t = 2 i naszkicować nowy kształt czworokąąta.
b) Określić prędkość i przyspieszenie we współrzędnych materialnych i przestrzennych.
Rozwiązanie:
a) Obliczamy przemieszczenie każdego wierzchołka kwadratu według zadanego prawa ruchu
(rysynek poniżej). Wierzchołek A(0,0,0) i D(1,0,0) nie zmieni swojego położenia, a więc linia
materialna AD przez cały czas ruchu nie będzie ulegała zmianie, wierzchołek C(1,1,0)
przejdzie do punktu:
1
= + = " 1 " 4 + 1 = 3
2
= + = 2
= 0
Wierzchołek B(0,1,0) przejdzie do punktu x = 2, y = 2. Boki nowego czworokąta nie będą jednak już
odcinkami prostych. Obliczmy jak przeniosą się środki boków AB i CD. B (0,1/2,0) oraz C (1,1/2,0). B
przejdzie do B  o współrzędnych (1/2,1,0), a punkt C do punktu C  o współrzędnych (1,5,1,0).
Przybliżony kształt nowego czworokąta zaznaczono linią przerywaną.
b) Prędkość i przyspieszenie we spółrzędnych Lagrange a:

�
( )
, , , = = 2 +
� � �

= 2
� �
Opis ruchu w zmiennych Eulera dany jest wzorami:


= -
+ 1

=
+ 1
=
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 5
Zadane jest pole prędkości:
= 0
( )
= -
( )
= -
A i B są pewnymi stałymi. Wyznaczyć gradient prędkości gradient prędkości, tensor deformacji oraz
wirowość w punkcie P(1,0,3) w chwili t = 0.
Rozwiązanie:


�# ś#
0 0 0

ś# ź# -2z
( ) = =
�
ś# ź#

ś# ź# - 2 -

�# #
W punkcie P(1,0,3) i czasie t = 0 tensor ma wartość:
0 0 0
( ) =
� 0 -6
-3 0 -
Tensor deformacji obliczamy z wzoru:
0 0 0 0 0 -3 0 0 -1,5
1 1 1

( ) ( )
= + = + = 0 -3
� � 0 -6 0 0
2 2 2
-3 0 - 0 -6 - -1,5 -3 -
Tensor wirowości obliczamy z następującego wzoru:
0 0 1,5
1

( ) ( )
� = - = 0 0 -3
� �
2
-1,5 3 0
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 6
Znalez
ć równanie linii wirowych dla pola prędkości:
= - + - + -
� ( ) ( ) ( ) �
� �
Rozwiązanie:
�
Wektor wirowości = ( ) ma składowe:
�


� �

= � = = 2 + 2 + 2
� � �

- - -
Linie wirowe, czyli linie styczne w każdym punkcie do kierunku pola wirowego, wyznaczamy z układu
równań różniczkowych:

= =
2 2 2
czyli
=
=
=
stąd

= +


= +


= +

gdzie K1, K2, K3 są stałymi całkowania.
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 7
Wykazać, że pole prędkości z zad. 6 odpowiada ruchowi ciała szczytowego (tensor deformacji D=0).
Rozwiązanie:
Zapszmy gradient prędkości w postaci macierzowej:
0 -
( ) =
� 0 -
- 0
Jak widać macierz ( ) jest asymetryczna. Część symetryczna macierzy ( ) , zwana
� �
tensorem deformacji D, jest tożsamościowo równa zeru (D=0).
Zadanie 8
Dane jest następujące pole prędkości dla cieczy nieściśliwej:
= ( - 2)
= -
=
Określić stałą k tak aby spełnione było równanie ciągłości.
Rozwiązanie:
( )
Dla cieczy nieściśliwej = 0, a więc:
�

+ + = - + = 0

stąd
= 1
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 9
Wykazać, że jeśli F jest polem przekroju poprzecznego strugi, to równanie ciągłości ma postać:

( )
+ = 0

gdzie oznacza pochodną wzdłuż osi strugi.
Rozwiązanie:
Rozpatrzmy dwa przekroje strugi oddalone od siebie o ds które wycinają ze strugi objętość kontrolną
V = A ds. Korzystając z zasady zachowania masy można dla objętości V ułożyć następujący bilans
masy:
(masa wypływająca z V) - (masa dopływająca do V) + (zmiana masy w V) = 0
Masa cieczy dopływającej do objętości V równa się:
"
a odpływająca:

+ + +

Zmiana masy wewnątrz objętości kontrolnej jest równa:



Pomijając w wyrażeniu na masę wypływającą z objętości kontrolnej człony zawierające nieskończenie
małe wyższego rzędu (ds2 dt), otrzymujemy:

+ + + = 0

Równanie to można przekształcić do postaci:
( )
+ = 0

Dla przepływu ustalonego ( = 0) równanie ciągłości przybiera formę:

= =
Qm  strumień masy
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 10
Ciecz wiruje w ten sposób, że cząstki poruszają się stale po tych samych okręgach z jednakową
prędkością kątową �. Jakie równanie musi spełniać gęstość płynu �?
Rozwiązanie:
Podczas ruchu płynu, gęstość płynu musi spełniać równanie ciągłości:

( )
+ " = 0
�

Z warunków zadania wynika, że składowe prędkości tego ruchu wynoszą:
= - " = - " " = - "
= " = " " = "
gdzie: v = �r  moduł wektora prędkości
Dywergencja prędkości:

( )
= + + = - + = 0
�

Płyn jest więc nieściśliwy, ( = 0), czyli:


- " " + " " = 0

Z warunków zadania wynika, że prędkość jest funkcją tylko promienia r i istnieje tylko składowa
obwodowa vĆ = �r. Korzystnie jest więc przedstawić równanie ciągłości we współrzędnych
cylindrycznych, które to równanie we współrzędnych (r, Ć, z) ma postać:
1 ( ) 1 ( ) ( )
+ " + " + = 0

ponieważ:
= 0
= 0
= "
więc:
( " )
+ = 0

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów  materiały do ćwiczeń