3 . K i n e m a t y k a r u c h u j e d n o s t a j n e g o , z m i e n n e g o , j e d n o s t a j n i e z m i e n n e g o ,
r z u t y .
W y b r i o p r a c o w a n i e z a d a D 3 . 1 - 3 . 2 2 : B a r b a r a K o [c i e l s k a , z a d a D 3 . 2 3 - 3 . 2 5 : R y s z a r d J .
B a r c z y Ds k i i z a d a D 3 . 2 6 - 3 . 3 6 : K r y s t y n K o z Bo w s k i .
3 . 1 . Z a l e |n o [ d r o g i p r z e b y t e j p r z e z p u n k t m a t e r i a l n y o d c z a s u m o |n a o p i s a r w n a n i e m : x ( t )
= A t + B t 2 + C t 3 , g d z i e A , B i C s w i e l k o [c i a m i s t a By m i w y r a |o n y m i w o d p o w i e d n i c h
j e d n o s t k a c h . Z n a l e z z a l e |n o [ p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e n i a t e g o p u n k t u o d c z a s u .
3 . 2 . * R a k i e t a u s t a w i o n a j e s t n a w y s o k o [c i h n a d p o w i e r z c h n i z i e m i . P o s t a r c i e p o r u s z a s i
p i o n o w o w g r , a j e j p r z y s p i e s z e n i e z m i e n i a s i z g o d n i e z z a l e |n o [c i a = k t 2 , g d z i e k j e s t
s t a B w y r a |o n w o d p o w i e d n i c h j e d n o s t k a c h . Z n a l e z z a l e |n o [ p r d k o [c i o r a z d r o g i r a k i e t y
o d c z a s u .
3 . 3 . P r o m k u r s u j e p o m i d z y p u n k t a m i A i B l e |c y m i n a
p r z e c i w l e g By c h b r z e g a c h r z e k i . O d l e g Bo [ m i d z y p u n k t a m i
A i B w y n o s i d , a l i n i a A B t w o r z y k t z b r z e g i e m r z e k i .
P r d k o [ v 1 w o d y w r z e c e j e s t s t a Ba n a c a Be j s z e r o k o [c i
r z e k i . J a k i e p o w i n n y b y w a r t o [ i k i e r u n e k p r d k o [c i v 2
p r o m u w z g l d e m w o d y , a b y p r z e b y B o n d r o g d w c z a s i e t ?
3 . 4 . * P r d k o [ w o d y w r z e c e z m i e n i a s i w r a z z
s z e r o k o [c i r z e k i w e d Bu g r w n a n i a : v = 4 x 2 + 4 x + 0 , 5 [ m / s ] , g d z i e x = a / b ( a j e s t o d l e g Bo [c i
o d b r z e g u a b s z e r o k o [c i r z e k i ) . O j a k i o d c i n e k p r d w o d y w r z e c e z n i e s i e B d k p r z y
p r z e p r a w i e n a d r u g i b r z e g , j e |e l i p r d k o [ v l B d k i w z g l d e m w o d y j e s t s t a Ba i m a k i e r u n e k
p r o s t o p a d By d o b r z e g u r z e k i . s z e r o k o [ r z e k i w y n o s i d .
3 . 5 . Z n a l e z c z a s p r z e l o t u s a m o l o t u m i d z y d w o m a p u n k t a m i
o d l e g By m i o d s i e b i e o L , j e |e l i p r d k o [ s a m o l o t u w z g l d e m
p o w i e t r z a w y n o s i v 1 , a p r d k o [ p r z e c i w n e g o w i a t r u
s k i e r o w a n e g o p o d k t e m w z g l d e m k i e r u n k u r u c h u s a m o l o t u
w y n o s i v 2 .
3 . 6 . C i a Bo r z u c o n o p o d k t e m d o p o z i o m u n a d a j c m u p r d k o [ v 0 . ( a ) N a p i s a
k i n e m a t y c z n e r w n a n i a r u c h u c i a Ba . ( b ) N a p i s a r w n a n i a t o r u c i a Ba . ( c ) o b l i c z y c z a s l o t u
c i a Ba . ( d ) O b l i c z y z a s i g r z u t u . ( e ) Z n a l e z m a k s y m a l n w y s o k o [, n a j a k w z n i e s i e s i
c i a Bo .
3 . 7 . N a j a k i e j w y s o k o [c i w e k t o r p r d k o [c i c i a Ba w y r z u c o n e g o z p r d k o [c i p o c z t k o w v 0
p o d k t e m d o p o z i o m u , u t w o r z y k t ( > ) ? N i e u w z g l d n i a o p o r u p o w i e t r z a . N a p i s a
k i n e m a t y c z n e r w n a n i a r u c h u c i a Ba .
3 . 8 . Z j a k p r d k o [c i p o z i o m v 1 p o w i n i e n l e c i e l o t n i k n a w y s o k o [c i h n a d t o r a m i , w c h w i l i
g d y p r z e l a t u j e o n n a d p u n k t e m A , a b y p u s z c z o n y p r z e z n i e g o Ba d u n e k t r a f i B w u c i e k a j c y z
p r d k o [c i v 2 p o c i g , k t r y z n a j d u j e s i w o d l e g Bo [c i d o d A ( s a m o l o t i p o c i g p o r u s z a j s i w
t y m s a m y m k i e r u n k u ) ?
3 . 9 . D w a c i a Ba w y r z u c o n o j e d n o c z e [n i e z d w c h r |n y c h p u n k t w . J e d n o c i a Bo z o s t a Bo
r z u c o n e p o z i o m o z p r d k o [c i v 0 x z w i e |y o w y s o k o [c i h , d r u g i e w y r z u c o n o p i o n o w o z
p r d k o [c i v 0 y z m i e j s c a o d l e g Be g o o x 0 o d p o d n |a w i e |y . J a k a p o w i n n a b y p r d k o [ v 0 y ,
a b y c i a Ba z d e r z y By s i w p o w i e t r z u ?
3 . 1 0 . C i a Bo s p a d a s w o b o d n i e z w i e |y . W c h w i l i , g d y p r z e b y Bo o n o d r o g r w n L , z p u n k t u
p o Bo |o n e g o o h m e t r w n i |e j o d w i e r z c h o Bk a w i e |y z a c z y n a s p a d a d r u g i e c i a Bo . O b a c i a Ba
s p a d a j n a z i e m i w t e j s a m e j c h w i l i . Z n a l e z w y s o k o [ w i e |y .
3 . 1 1 . Z s a m o l o t u l e c c e g o n a w y s o k o [c i h z e s t a B p r d k o [c i p o z i o m v z o s t a j e z r z u c o n a
b o m b a . N a p i s a r w n a n i a r u c h u , p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e n i a b o m b y w z g l d e m o b s e r w a t o r a
s t o j c e g o n a z i e m i o r a z w z g l d e m p i l o t a s a m o l o t u .
3 . 1 2 . W w a g o n i e p o c i g u j a d c e g o z e s t a B p r d k o [c i v , j e d e n z p a s a |e r w u p u [c i B z
w y s o k o [c i h w z g l d e m p o d Bo g i w a g o n u p u d e Bk o z a p a Be k . N a p i s a r w n a n i e t o r u t e g o
p u d e Bk a , w u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a z w i z a n y m z : ( a ) w a g o n e m , ( b ) s z y n a m i .
3 . 1 3 . K o Bo z a m a c h o w e w y k o n u j c e n 0 = 2 4 0 o b r / m i n z a t r z y m u j e s i w c z a s i e t 1 = 0 , 5 m i n .
P r z y j m u j c , |e r u c h j e s t j e d n o s t a j n i e z m i e n n y o b l i c z y , i l e o b r o t w k o Bo w y k o n a Bo d o c h w i l i
z a t r z y m a n i a s i .
3 . 1 4 . R w n a n i a r u c h u p u n k t u z n a j d u j c e g o s i n a o b w o d z i e k o Ba t o c z c e g o s i b e z p o [l i z g u
w z d Bu | o s i x m a j p o s t a :
x = R s i n t + R t
y = R c o s t + R .
O b l i c z p r d k o [ i p r z y s p i e s z e n i e p u n k t u n a o b w o d z i e w c h w i l i , g d y w s p Br z d n a y m a
w a r t o [ ( a ) m i n i m a l n , ( b ) m a k s y m a l n , ( c ) y = y m a x / 2 .
3 . 1 5 . O b r c z o p r o m i e n i u R t o c z y s i b e z p o [l i z g u p o p r o s t e j .
P r d k o [ [r o d k a O o b r c z y j e s t s t a Ba i w y n o s i v 0 . O b l i c z w a r t o [c i
o r a z w s k a | k i e r u n k i i z w r o t y c h w i l o w y c h p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e D
t y c h p u n k t w t a r c z , k t r e w r o z w a |a n e j c h w i l i z n a j d u j s i w
p u n k t a c h o z n a c z o n y c h l i t e r a m i A , B i C .
3 . 1 6 . O b r c z o p r o m i e n i u R t o c z y s i b e z p o [l i z g u p o p r o s t e j .
P r z y s p i e s z e n i e [r o d k a O o b r c z y j e s t s t a Be i w y n o s i a 0 . O b l i c z
w a r t o [c i o r a z w s k a | k i e r u n k i i z w r o t y c h w i l o w y c h p r z y s p i e s z e D
t y c h p u n k t w t a r c z , k t r e w r o z w a |a n e j c h w i l i z n a j d u j s i w
p u n k t a c h o z n a c z o n y c h l i t e r a m i A , B i C .
3 . 1 7 . K o n i e c l i n y ( A ) p r z e s u w a s i z e s t a B p r d k o [c i v
s k i e r o w a n w p r a w o . L i n a n a w i n i t a j e s t n a u k Ba d
w s p B[r o d k o w y c h , k o Bo w y c h t a r c z p o k a z a n y c h n a r y s u n k u
( p r o m i e D m a Be g o k o Ba = r , d u |e g o = R ) . O b l i c z w a r t o [c i
o r a z w s k a | k i e r u n k i i z w r o t y c h w i l o w y c h p r d k o [c i i
p r z y s p i e s z e D t y c h p u n k t w t a r c z , k t r e w r o z w a |a n e j
c h w i l i z n a j d u j s i w p u n k t a c h o z n a c z o n y c h l i t e r a m i B , C ,
D , E i F .
3 . 1 8 . N a s z p u l o p r o m i e n i a c h R i r n a w i n i t o l i n , k t r e j
k o n i e c A m a s t a B p r d k o [ u . O b l i c z y , j a k d r o g S B
p r z e b d z i e k o n i e c A l i n y , g d y o d c i n e k A B l i n y n a w i n i e s i
n a s z p u l .
3 . 1 9 . K o Bo o b r a c a s i w o k B s w o j e j o s i . Z n a l e z j e g o p r z y s p i e s z e n i e k t o w e j e |e l i w i a d o m o ,
|e p o u p By w i e c z a s u t o d r o z p o c z c i a r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n e g o , w e k t o r
c a Bk o w i t e g o p r z y s p i e s z e n i a p u n k t u p o Bo |o n e g o n a o b w o d z i e t w o r z y k t z k i e r u n k i e m
p r d k o [c i l i n i o w e j t e g o p u n k t u .
3 . 2 0 . P u n k t m a t e r i a l n y z a c z y n a p o r u s z a s i p o o k r g u z p r z y s p i e s z e n i e m s t y c z n y m a s .
Z n a l e z j e g o w y p a d k o w e p r z y s p i e s z e n i e a w p o u = 0 , 1 o b r o t u .
3 . 2 1 . * T a [m a m a g n e t o f o n o w a j e s t p r z e w i j a n a z d r u g i e j s z p u l k i n a p i e r w s z , k t r a o b r a c a s i
z e s t a Ba p r d k o [c i k t o w 1 . W c h w i l i p o c z t k o w e j p r o m i e n i e k r |k w n a w i n i t e j t a [m y
b y By o d p o w i e d n i o r w n e R 0 1 i R 0 2 . g r u b o [ t a [m y w y n o s i a . Z n a l e z: ( a ) z a l e |n o [ d Bu g o [c i
n a w i n i t e j t a [m y o d c z a s u , ( b ) z a l e |n o [ p r d k o [c i p r z e s u w u t a [m y o d c z a s u .
3 . 2 2 . C i a Bo r z u c o n o z p e w n e j w y s o k o [c i z p r d k o [c i v 0 w k i e r u n k u p o z i o m y m . O b l i c z y
j e g o p r d k o [, p r z y s p i e s z e n i e s t y c z n e i n o r m a l n e o r a z p r o m i e D k r z y w i z n y t o r u p o c z a s i e t .
O p o r y p o w i e t r z a p o m i n .
3 . 2 3 . N a r c i a r z n a n a r t a c h w o d n y c h p o r u s z a s i c z s t o k r o z n a c z n i e s z y b c i e j n i | c i g n c a g o
m o t o r w k a . J a k t o j e s t m o |l i w e ?
3 . 2 4 . S y s t e m n a p d u s a m o c h o d u p o s i a d a w t o r z e p r z e n i e s i e n i a n a p d u t a k z w a n y m e c h a n i z m
r |n i c o w y , k t r y p o z w a l a o b r a c a s i k o Bo m s a m o c h o d u z r |n p r d k o [c i . D l a c z e g o j e s t t o
k o n i e c z n e ?
3 . 2 5 . C i a Bo p o r u s z a s i w z d Bu | o s i x w e d Bu g z a l e |n o [c i x = A s i n ( t ) , g d z i e A i s
w i e l k o [c i a m i s t a By m i . N a r y s u j w y k r e s y p o Bo |e n i a , p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e n i a w f u n k c j i c z a s u .
J a k i e s m a k s y m a l n e w a r t o [c i p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e n i a ?
3 . 2 6 . Z a Bo g a s t a t k u A p o l l o u m i e [c i Ba n a p o w i e r z c h n i K s i |y c a z w i e r c i a d Bo o d b i j a j c e [w i a t Bo
l a s e r o w e w y s y Ba n e z p o w i e r z c h n i Z i e m i . O b l i c z y o d l e g Bo [ K s i |y c a o d Z i e m i w i e d z c , |e
[w i a t Bo o d b i t e o d z w i e r c i a d Ba z a r e j e s t r o w a n o p o c z a s i e t = 2 , 6 s . o d c h w i l i w y s Ba n i a g o z
Z i e m i . P r z y j p r d k o [ [w i a t Ba w p r |n i c = 3 1 0 8 m / s .
3 . 2 7 . K o D w y k o n a B n = 4 o k r |e n i a w o k B k o l i s t e j a r e n y c y r k o w e j o p r o m i e n i u r = 1 2 m w
c z a s i e t = 1 2 0 s , w r a c a j c d o p u n k t u w y j [c i a . O b l i c z y
a ) [r e d n i w a r t o [ p r d k o [c i k o n i a ,
b ) [r e d n i w e k t o r p r d k o [c i k o n i a .
3 . 2 8 . S a m o c h d p r z e b y B p i e r w s z p o Bo w d r o g i z e s t a B p r d k o [c i v 1 = 2 0 m / s , a d r u g
p o Bo w z e s t a B p r d k o [c i v 2 = 3 0 m / s . O b l i c z y [r e d n i p r d k o [ s a m o c h o d u n a c a By m
o d c i n k u d r o g i .
3 . 2 9 . W p i e r w s z e j p o Bo w i e c z a s u s w o j e g o r u c h u s a m o c h d j e c h a B z e s t a B p r d k o [c i v 1 = 2 0
m / s , a w d r u g i e j p o Bo w i e c z a s u , z e s t a B p r d k o [c i v 2 = 3 0 m / s . O b l i c z y [r e d n i p r d k o [
s a m o c h o d u n a c a By m o d c i n k u d r o g i
3 . 3 0 . A d k a p By n i e r z e k z m i e j s c o w o [c i A d o B i z p o w r o t e m . P r d k o [ B d k i w z g l d e m
w o d y v 1 = 5 m / s , a p r d k o [ w o d y w z g l d e m b r z e g w r z e k i v 2 = 2 m / s . O b l i c z y [r e d n i
w a r t o [ p r d k o [c i B d k i w z g l d e m b r z e g w r z e k i n a c a By m o d c i n k u j e j d r o g i .
3 . 3 1 . P o c i g j a d c y z p r d k o [c i v 0 = 1 8 m / s z a c z y n a h a m o w a i z a t r z y m u j e s i w c i g u
c z a s u t = 1 5 s . O b l i c z y p r z y s p i e s z e n i e a i d r o g s p r z e b y t p r z e z p o c i g d o c h w i l i
z a t r z y m a n i a s i z a k Ba d a j c , |e w c z a s i e h a m o w a n i a p o r u s z a B s i o n r u c h e m j e d n o s t a j n i e
z m i e n n y m .
3 . 3 2 . S w o b o d n i e p u s z c z o n a k u l k a s t a l o w a o d b i j a s i ( b e z s t r a t e n e r g i i ) o d p o z i o m e j ,
d o s k o n a l e s p r |y s t e j p o w i e r z c h n i , u d e r z a j c w n i c o j e d n s e k u n d . J a k w y s o k o p o d s k a k u j e
k u l k a ? P r z y j g = 1 0 m / s 2 .
3 . 3 3 . Z p e w n e g o m i e j s c a n a d p o w i e r z c h n i Z i e m i z a c z Bo s p a d a s w o b o d n i e c i a Bo A . P o
o k r e [l o n y m o d s t p i e c z a s u "t = c o n s t . , z t e g o s a m e g o m i e j s c a , z a c z Bo s p a d a s w o b o d n i e
c i a Bo B . J a k i m r u c h e m p o r u s z a s i j e d n o z t y c h c i a B w z g l d e m d r u g i e g o ?
3 . 3 4 . Z p o w i e r z c h n i Z i e m i w y r z u c o n o p i o n o w o d o g r y c i a Bo A z p r d k o [c i p o c z t k o w v 0 ,
n i e z b d n d o o s i g n i c i a m a k s y m a l n e j w y s o k o [c i H . J e d n o c z e [n i e , z p u n k t u p o Bo |o n e g o n a
w y s o k o [c i H n a d p o w i e r z c h n i Z i e m i , z a c z Bo s p a d a s w o b o d n i e c i a Bo B . N a j a k i e j
w y s o k o [c i h n a d p o w i e r z c h n i Z i e m i c i a Ba t e s p o t k a j s i ?
3 . 3 5 . S t r u g a w o d y w y p By w a z r u r y z p r d k o [c i v 0 = 2 0 m / s p o d k t e m = 4 5 0 d o
p o z i o m u . N a j a k i e j w y s o k o [c i h t r a f i o n a w [c i a n z n a j d u j c s i w o d l e g Bo [c i d = 6 0 m o d
w y l o t u s t r u g i ? P r z y j g = 1 0 m / s 2 , w p By w o p o r u p o w i e t r z a p o m i n . P o d a k r t k
i n t e r p r e t a c j u z y s k a n e g o w y n i k u .
3 . 3 6 * . P o c i s k a r t y l e r y j s k i r o z e r w a B s i n a d w a f r a g m e n t y , k t r e z a c z By s i p o r u s z a w p o l u
g r a w i t a c y j n y m Z i e m i z p r d k o [c i a m i p o c z t k o w y m i ( n i e p i o n o w y m i ) o t a k i c h s a m y c h
r r r r
w a r t o [c i a c h , a l e o z w r o t a c h p r z e c i w n y c h : v 0 1 = v 0 , v 0 2 = - v 0 . P o j a k i m c z a s i e o d r o z e r w a n i a
s i p o c i s k u w e k t o r y p r d k o [c i o b u f r a g m e n t w b d w z a j e m n i e d o s i e b i e p r o s t o p a d Be ?
P r z y s p i e s z e n i e g r a w i t a c y j n e r w n e j e s t g .
R o z w i z a n i a :
3 . 1 . R . K o r z y s t a j c z d e f i n i c j i p r d k o [c i c h w i l o w e j o r a z p r z y s p i e s z e n i a c h w i l o w e g o
o t r z y m a m y n a s t p u j c e r w n a n i a o p i s u j c e z a l e |n o [ p r d k o [c i v i p r z y s p i e s z e n i a a o d
c z a s u :
d x
v = = A + 2 B t + 3 C t 2 ,
d t
o r a z
d v
a = = 2 B + 6 C t .
d t
3 . 2 . R . * P r z y s p i e s z e n i e r a k i e t y d a n e j e s t r w n a n i e m :
( 1 ) a = k t 2 .
P r z y s p i e s z e n i e c h w i l o w e :
d v
( 2 ) a = .
d t
Z ( 1 ) i ( 2 ) :
d v
= k t 2 ,
d t
d v = k t 2 d t ,
1
( 3 ) v = k t 2 d t = k t 3 + C 1 ,
+"
3
g d z i e C 1 j e s t s t a B. W i a d o m o , |e w c h w i l i c z a s u t = 0 , v = 0 . P o p o d s t a w i e n i u t y c h w a r t o [c i d o
r w n a n i a ( 3 ) o t r z y m a m y s t a B C 1 = 0 , c z y l i z a l e |n o [ p r d k o [c i r a k i e t y o d c z a s u :
1
( 4 ) v = k t 3 .
3
P r d k o [ c h w i l o w a :
d s
( 5 ) v = .
d t
Z ( 4 ) i ( 5 ) :
d s 1
= k t 3 ,
d t 3
1
d s = k t 3 d t ,
3
1 1
( 6 ) s = k t 3 d t = k t 4 + C 2 ,
+"
3 1 2
g d z i e C 2 j e s t s t a B. W i a d o m o , |e w c h w i l i c z a s u t = 0 r a k i e t a z n a j d o w a Ba s i n a w y s o k o [c i h
n a d p o w i e r z c h n i z i e m i , c z y l i s = h . P o d s t a w i a j c t e w a r t o [c i d o r w n a n i a ( 6 ) o t r z y m a m y
s t a B C 2 = h , c z y l i z a l e |n o [ d r o g i p r z e b y t e j p r z e z r a k i e t o d c z a s u :
1
s = h + k t 4 .
1 2
3 . 3 . R . P r d k o [ v p r o m u w z g l d e m b r z e g u j e s t w y p a d k o w
p r d k o [c i v 1 w o d y w r z e c e i p r d k o [c i v 2 p r o m u w z g l d e m
w o d y .
r r r
v = v + v .
1 2
W e k t o r p r d k o [c i v 2 m o |n a r o z Bo |y n a d w i e s k Ba d o w e :
r w n o l e g B ( v ' 2 ) i p r o s t o p a d B d o b r z e g u r z e k i ( v ' ' 2 ) .
W a r t o [c i t y c h s k Ba d o w y c h m o |n a z a p i s a :
v ' 2 = v c o s - v 1 ,
( 1 )
v ' ' 2 = v s i n .
W i a d o m o , i | p r o m m u s i p o k o n a d r o g d w c z a s i e t , c z y l i
j e g o p r d k o [ v :
d
v = .
t
R w n a n i a ( 1 ) p r z y b i o r w w c z a s p o s t a :
d
v ' 2 = c o s - v 1 ,
t
d
v ' ' 2 = s i n .
t
Z r y s u n k u w y n i k a , |e :
d d
2 2 2 2
v = v ' + v ' ' = ( c o s - v ) + ( s i n ) .
2 2 2 1
t t
K i e r u n e k w e k t o r a p r d k o [c i v 2 z n a j d u j e m y z n a j d u j c w a r t o [ k t a :
v ' ' d s i n
2
t a n = = .
v ' d c o s - v t
2 1
3 . 4 . R . * O d c i n e k s o j a k i p r d w o d y w r z e c e z n i e s i e B d k w c z a s i e t 1 j e j p r z e p r a w y n a d r u g
s t r o n r z e k i :
t 1
( 1 ) s = v d t ,
+"
0
g d z i e :
2
v = 4 x + 4 x + 0 , 5 ,
x = a / b .
C z a s p r z e p r a w y m o |n a z d e f i n i o w a j a k o :
b
t = .
1
v
l
C z a s t , w k t r y m B d k a z n a j d u j e s i w o d l e g Bo [c i a o d b r z e g u :
a b x
t = = ,
v v
l l
s k d :
b
d t = d x .
v
l
W w c z a s r w n a n i e ( 1 ) :
1
b b 4 b
2
s = ( - 4 x + 4 x + 0 , 5 ) d x = ( - + 2 + 0 , 5 ) E" 1 , 1 7 .
+"
v 0 v 3 v
l l l
3 . 5 . R . W s k a z w k a : P r d k o [ s a m o l o t u w z g l d e m
z i e m i j e s t w y p a d k o w p r d k o [c i s a m o l o t u
w z g l d e m p o w i e t r z a o r a z p r d k o [c i w i a t r u .
W w c z a s c z a s p r z e l o t u s a m o l o t u m i d z y d w o m a
p u n k t a m i o d l e g By m i o d s i e b i e o L w y n o s i :
L
t = .
2 2 2
v - v s i n - v c o s
1 2 2
3 . 6 . R .
( a ) R w n a n i a r u c h u m a j p o s t a :
( 1 ) x = v 0 x t = v 0 t c o s ,
g t 2 g t 2
( 2 ) y = v 0 y t - = v 0 t s i n - .
2 2
( b ) R w n a n i e t o r u c i a Ba :
W y z n a c z a j c c z a s z r w n a n i a ( 1 ) :
x
t =
v 0 c o s
i p o d s t a w i a j c d o r w n a n i a ( 2 ) o t r z y m a m y r w n a n i e t o r u c i a Ba :
g
y = t a n x - x 2 .
2
2 v 0 c o s 2
T o r e m c i a Ba j e s t p a r a b o l a s k i e r o w a n a r a m i o n a m i w d B.
( c ) C z a s l o t u c i a Ba , t z , m o |n a o b l i c z y p o d s t a w i a j c w r w n a n i u ( 2 ) y = 0 :
2
g t z
0 = v 0 t z s i n - .
2
C z y l i :
2 v 0 s i n
t = l u b t = 0 .
z 1 z 2
g
C z a s t z 2 = 0 o z n a c z a m o m e n t , w k t r y m d o p i e r o r o z p o c z y n a s i l o t k a m i e n i a , c z y l i c z a s l o t u
c i a Ba t z = t z 1 :
2 v 0 s i n
( 3 ) t = .
z
g
( d ) Z a s i g r z u t u , z , m o |n a o b l i c z y p o d s t a w i a j c w r w n a n i u ( 1 ) t = t z ( c z y l i c z a s c a Be g o
l o t u o p i s a n y r w n a n i e m ( 3 ) ) . W w c z a s w s p Br z d n a x b d z i e r w n a z a s i g o w i r z u t u , x = z :
z = v 0 t z c o s .
O t r z y m a m y w w c z a s :
2
v 0 s i n 2
z = .
g
( e ) C z a s w j a k i m c i a Bo w z n i e s i e s i n a m a k s y m a l n a w y s o k o [ j e s t r w n y p o Bo w i e c z a s u t z
( r w n a n i e ( 3 ) ) . P o d s t a w i a j c w r w n a n i u ( 2 ) t = t z o t r z y m a m y m a k s y m a l n w y s o k o [, n a
j a k w z n i e s i e s i c i a Bo :
2
1
g # t z #
# #
1
2
# #
h m a x = v 0 t z s i n - ,
2 2
2
v 0 s i n 2
h m a x = .
2 g
3 . 7 . R . O d p o w i e d z: R w n a n i a r u c h u s t a k i e s a m e j a k w z a d a n i u 3 . 6 , a s z u k a n a w y s o k o [
w y n o s i :
2
v 0
h = ( s i n 2 - c o s 2 t a n 2 )
2 g
3 . 8 . R . R w n a n i a r u c h u p o c i s k u ( 1 ) i p o c i g u ( 2 ) w
p r z e d s t a w i o n y m n a r y s u n k u u k Ba d z i e w s p Br z d n y c h
m a j p o s t a :
x 1 = v 1 t
( 1 )
g t 2
y 1 = h - ,
2
x 2 = d + v 2 t
( 2 )
y 2 = 0 .
W s p Br z d n e x 1 i y 1 p o c i s k u m u s z w m o m e n c i e t r a f i e n i a b y r w n e w s p Br z d n y m x 2 i y 2
p o c i g u . W r e z u l t a c i e o t r z y m u j e m y :
d
v 1 = + v 2 .
2 h
g
3 . 9 . R . O d p o w i e d z:
h
v 0 y = v 0 x .
x 0
3 . 1 0 . R . O d p o w i e d z:
2
( L + h )
H = .
4 L
3 . 1 1 . R . Z p u n k t u w i d z e n i a o b s e r w a t o r a s t o j c e g o
n a z i e m i p r d k o [ b o m b y w k i e r u n k u p o z i o m y m
j e s t r w n a p r d k o [c i s a m o l o t u v i p o z o s t a j e s t a Ba .
R w n a n i a r u c h u b o m b y w u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a
( x 1 , y 1 ) , z w i z a n y m z o b s e r w a t o r e m s t o j c y m n a
z i e m i m a j p o s t a :
x = v t ,
1
2
g t
y = h - .
1
2
R |n i c z k u j c p o w y |s z e r w n a n i a r u c h u
o t r z y m u j e m y r w n a n i a p r d k o [c i :
v = v ,
1 x
v = - g t .
1 y
R |n i c z k u j c r w n a n i a o p i s u j c e p r d k o [ o t r z y m a m y p r z y s p i e s z e n i a :
a = 0 ,
1 x
a = - g .
1 y
W u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a ( x 2 , y 2 ) z w i z a n y m z p i l o t e m r w n a n i a r u c h u b o m b y w
p r z y j t y m u k Ba d z i e w s p Br z d n y c h m a j p o s t a :
x = 0 ,
2
2
g t
y = - .
2
2
R |n i c z k u j c p o w y |s z e r w n a n i a r u c h u o t r z y m u j e m y r w n a n i a p r d k o [c i :
v = 0 ,
2 x
v = - g t .
2 y
R |n i c z k u j c r w n a n i a o p i s u j c e p r d k o [ o t r z y m a m y p r z y s p i e s z e n i a :
a = 0 ,
2 x
a = - g .
2 y
3 . 1 2 . R . ( a ) W u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a ( x 1 , y 1 )
z w i z a n y m z w a g o n e m r w n a n i a r u c h u m a j
p o s t a :
x = 0 ,
1
2
g t
y = ,
1
2
c z y l i r w n a n i e t o r u :
x = 0 .
1
( b ) W u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a ( x 2 , y 2 ) z w i z a n y m
z s z y n a m i :
x = v t ,
2
2
g t
y = h - .
2
2
R w n a n i e t o r u :
g
2
y = h - x .
2 2
2
2 v
3 . 1 3 . R . I l o [ o b r o t w m o |n a z d e f i n i o w a j a k o s t o s u n e k d r o g i k t o w e j , k t r p r z e b y B
d o w o l n y p u n k t z n a j d u j c y s i n a o b w o d z i e k o Ba w c z a s i e t 1 , d o k t a 2 :
1
( 1 ) N = .
2
R u c h k o Ba j e s t r u c h e m j e d n o s t a j n i e o p zn i o n y m , c z y l i d r o g a k t o w a p r z e b y t a p r z e z w y b r a n y
p u n k t z n a j d u j c y s i n a j e g o o b w o d z i e :
2
t
1
( 2 ) = t - .
1 0 1
2
P o n i e w a | p o c z a s i e t 1 k o Bo s i z a t r z y m u j e , w i c :
= - t = 0 ,
0 1
c z y l i :
( 3 ) = t = 2 n .
0 1 0
Z ( 2 ) i ( 3 ) o t r z y m a m y :
( 4 ) = n t .
1 0 1
P o d s t a w i a j c ( 4 ) d o ( 1 ) o t r z y m a m y :
n t
0 1
N = = 6 0 o b r o t w .
2
3 . 1 4 . R . R w n a n i a r u c h u p u n k t u m a j p o s t a :
x = R s i n t + R t ,
( 1 )
y = R c o s t + R .
R |n i c z k u j c r w n a n i a r u c h u o t r z y m a m y p r d k o [:
d x
v x = = R c o s t + R ,
d t
( 2 )
d y
v y = = - R s i n t ,
d t
R |n i c z k u j c r w n a n i a p r d k o [c i o t r z y m a m y p r z y s p i e s z e n i e :
d v x
2
a x = = - R s i n t ,
d t
( 3 )
d v y
2
a y = = - R c o s t .
d t
( a ) Z r w n a D r u c h u ( 1 ) w y n i k a , |e w s p Br z d n a y m a w a r t o [ m i n i m a l n ( c z y l i y = 0 ) , g d y
c o s ( t ) = - 1 . P r d k o [ ( 2 ) i p r z y s p i e s z e n i e ( 3 ) p u n k t u s w w c z a s o d p o w i e d n i o r w n e :
v x = 0 ,
v y = 0 .
a x = 0 ,
2
a y = R .
( b ) Z r w n a D r u c h u ( 1 ) w y n i k a , |e w s p Br z d n a y m a w a r t o [ m a k s y m a l n ( c z y l i y = 2 R ) , g d y
c o s ( t ) = 1 . P r d k o [ ( 2 ) i p r z y s p i e s z e n i e ( 3 ) p u n k t u s w w c z a s o d p o w i e d n i o r w n e :
v x = 2 R ,
v y = 0 .
a x = 0 ,
2
a y = - R .
( c ) Z r w n a D r u c h u ( 1 ) w y n i k a , |e w s p Br z d n a y m a w a r t o [ r w n p o Bo w i e w a r t o [c i
m a k s y m a l n e j ( c z y l i y = R ) , g d y c o s ( t ) = 0 . P r d k o [ ( 2 ) i p r z y s p i e s z e n i e ( 3 ) p u n k t u s
w w c z a s o d p o w i e d n i o r w n e :
v x = R ,
v y = - R .
2
a x = - R ,
a y = 0 .
3 . 1 5 . R .
P u n k t A :
P r d k o [ w p u n k c i e A j e s t s u m p r d k o [c i v 0 z j a k p o r u s z a s i [r o d e k o b r c z y o r a z
p r d k o [c i s t y c z n e j d o o b r c z y , w y n i k a j c e j z j e j r u c h u o b r o t o w e g o . W r o z w a |a n y m
p r z y p a d k u w a r t o [ p r d k o [c i s t y c z n e j j e s t r w n a v 0 .
v = v + v = 2 v .
A 0 0 0
P r d k o [ k t o w a p u n k t w z n a j d u j c y c h s i n a o b r c z y :
v
0
= .
R
P r z y s p i e s z e n i e p u n k t u A j e s t p r z y s p i e s z e n i e m d o [r o d k o w y m :
2
v
2
0
a = a = R = .
A d 0
R
P r z y s p i e s z e n i e w s z y s t k i c h p u n k t w z n a j d u j c y c h s i n a o b r c z y j e s t t a k i e s a m o .
P u n k t B :
v A = v - v = 0 ,
0 0
2
v
2
0
a B = a d = R = .
0
R
P u n k t C :
2 2
v = v + v = v 2 ,
C 0 0 0
2
v
2
0
a = a = R = .
B d 0
R
3 . 1 6 . R .
P r z y s p i e s z e n i e s t y c z n e w p u n k c i e A j e s t s u m p r z y s p i e s z e D a 0 z j a k i m p o r u s z a s i
[r o d e k o b r c z y o r a z p r z y s p i e s z e n i a s t y c z n e g o , w y n i k a j c e g o z j e j r u c h u o b r o t o w e g o .
W a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a s t y c z n e g o w y n o s i a 0 .
a = a + a = 2 a .
A 0 0 0
P r z y s p i e s z e n i e k t o w e p u n k t w z n a j d u j c y c h s i n a o b r c z y :
a
0
= .
R
P r z y s p i e s z e n i e k t o w e w s z y s t k i c h p u n k t w z n a j d u j c y c h s i n a o b r c z y j e s t t a k i e s a m o .
P r z y s p i e s z e n i e d o [r o d k o w e p u n k t u A w d a n e j c h w i l i c z a s u t :
2 2
v ( a t )
2
0 0
a = R = = .
d 0
R R
P r z y s p i e s z e n i e d o [r o d k o w e w s z y s t k i c h p u n k t w z n a j d u j c y c h s i n a o b r c z y j e s t t a k i e s a m o .
P u n k t B :
a = a - a = 0 ,
A 0 0
a
0
= ,
R
2 2
v ( a t )
2
0 0
a = R = = .
d 0
R R
P u n k t C :
2 2
a = a + a = a 2 ,
C 0 0 0
a
0
= ,
R
2 2
v ( a t )
2
0 0
a = R = = .
d 0
R R
3 . 1 7 . R .
P u n k t F :
W y p a d k o w a p r d k o [ p u n k t u F j e s t r w n a p r d k o [c i v , z k t r p r z e s u w a s i p u n k t A :
v = v ,
F
P r d k o [ v w p u n k c i e F m o |n a r o z Bo |y n a d w i e s k Ba d o w e : p r d k o [ v 0 , k t r a j e s t p r d k o [c i
r u c h u p o s t p o w e g o s z p u l i o r a z p r d k o [ v 1 w y n i k a j c z r u c h u o b r o t o w e g o s z p u l i w o k B
p u n k t u E :
v = v + v = R + r = ( R + r ) ,
0 1
s k d
v
= .
R + r
P r z y s p i e s z e n i e d o [r o d k o w e a F p u n k t u F w y n o s i :
2
v r
2
a = a = r = .
F d 1
2
( R + r )
P u n k t E :
v R
v E = v = R = ,
0
R + r
a E = 0 .
P u n k t D :
v D = v - v = 0
0 0
2
v R
2
a D = a d = R = .
0
2
( R + r )
P u n k t B :
2 v R
v B = v + v = 2 v = 2 R = ,
0 0 0
R + r
2
v R
2
a B = a d = R = .
0
2
( R + r )
P u n k t C :
v
2 2 2 2 2 2
v C = v + v = ( R ) + ( r ) = R + r ,
0 1
R + r
2
v r
2
a C = a d = r = .
1
2
( R + r )
3 . 1 8 . R .
W s k a z w k a : W j e d n a k o w y m c z a s i e t d r o g a ( S 0 ) [r o d k a O s z p u l i b d z i e w i k s z a o o d c i n e k
A B o d d r o g i ( S B ) p u n k t w , k t r e w r o z w a |a n e j c h w i l i z n a j d u j s i w p u n k t a c h o z n a c z o n y c h
l i t e r B :
S = S B + A B ,
0
g d z i e : S = v t ,
0 0
S B = u t .
O d p o w i e d z:
A B ( R - r )
S B = .
r
3 . 1 9 . R . W y p a d k o w y w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a a w j e s t s u m
w e k t o r w p r z y s p i e s z e D s t y c z n e g o i d o [r o d k o w e g o , a j e g o
w a r t o [ m o |n a z a p i s a j a k o :
2 2 2
( 1 ) a w = a d + a s .
P r z y s p i e s z e n i e s t y c z n e a s :
( 2 ) a s = a w c o s ,
o r a z
( 3 ) a s = R ,
g d z i e j e s t p r z y s p i e s z e n i e m k t o w y m . Z ( 2 ) i ( 3 ) :
R
( 4 ) a w = .
c o s
P r z y s p i e s z e n i e d o [r o d k o w e a d :
2 2 2
( 5 ) a d = R = t R .
P o d s t a w i a j c ( 3 ) , ( 4 ) i ( 5 ) d o ( 1 ) o t r z y m a m y :
2 2
R
4 4 2 2 2
= t R + R ,
2
c o s
s k d
1 1 t g
= - 1 = .
2 2 2
t c o s t
3 . 2 0 . R . O d p o w i e d z:
a w = a s 1 + 4 u .
3 . 2 1 * . R . ( a ) P r o m i e D s z p u l k i p r z y j e j o b r o c i e o k t m o |n a o p i s a r w n a n i e m :
R = R a ,
0
2
g d z i e z n a k + d o t y c z y n a w i j a n i a a - o d w i j a n i a s i t a [m y . Z a t e m d Bu g o [ t a [m y n a w i n i t e j p o
o b r o c i e s z p u l k i o p e w i e n k t 1 :
1
a a
2
s = ( R + ) d = R + .
+"
0 1 0 1 1 1
0 2 4
P o n i e w a | s z p u l k i o b r a c a j s i z e s t a B p r d k o [c i , t o :
= t ,
1 1
g d z i e t o z n a c z a c z a s , w c i g u k t r e g o s z p u l k a o b r c i Ba s i o k t 1 . W w c z a s d Bu g o [ t a [m y s
w y n o s i :
a
2 2
s = R t + t .
0 1 1 1
4
( b ) P r d k o [ p r z e s u w u t a [m y :
d s a
2
v = = R + t .
0 1 1 1
d t 2
3 . 2 2 . R .
P r d k o [ v k a m i e n i a w c h w i l i c z a s u t j e s t w y p a d k o w p r d k o [c i v 0 w k i e r u n k u
p o z i o m y m i p r d k o [c i v y w k i e r u n k u p i o n o w y m . J e j w a r t o [ w y n o s i :
2 2 2 2 2
v = v + v y = v + g t .
0 0
P r z y s p i e s z e n i e s t y c z n e :
2
v
g t g t
y
a = g c o s = g = g = .
s
2 2 2 2 2 2
v
v + g t v + g t
0 0
P r z y s p i e s z e n i e d o [r o d k o w e :
v g v
0 0
a d = g s i n = g = .
2 2 2
v
v + g t
0
3 . 2 3 . R . J e |e l i z a Bo |y m y , |e l i n a Bc z c a n a r c i a r z a i m o t o r w k j e s t c a By c z a s n a p i t a , t o w
k a |d y m m e m e n c i e j e d y n i e r z u t c h w i l o w e j p r d k o [c i n a r c i a r z a i Bo d z i n a k i e r u n e k l i n y m u s i
b y j e d n a k o w y . W a r t o [ k a |d e j z p r d k o [c i b d z i e z a l e |a Ba o d k t a p o m i d z y j e j k i e r u n k i e m ,
a k i e r u n k i e m l i n y .
3 . 2 4 . R . N a z a k r c i e k o Ba w e w n t r z n e p o k o n u j m n i e j s z d r o g n i | z e w n t r z n e . J e |e l i k o Ba
b y By b y z w i z a n e n a s z t y w n o , m u s i a Bb y w y s t p i p o [l i z g j e d n e g o z k B. M e c h a n i z m
r |n i c o w y , k t r y p o z w a l a o b r a c a s i k o Bo m s a m o c h o d u z r |n p r d k o [c i , z a p o b i e g a t e m u
p o [l i z g o w i . ( T r a m w a j e s t a r e g o t y p u n i e p o s i a d a By m e c h a n i z m u r |n i c o w e g o i n a z a k r t a c h
p o w o d o w a By s p o r y h a Ba s ) .
3 . 2 5 . R . O d p o w i e d z:
M a k s y m a l n a w a r t o [ p r d k o [c i : v m a x = A , m a k s y m a l n a w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a : a m a x = A 2 .
3 . 2 6 . R . P r d k o [ w r u c h u j e d n o s t a j n y m :
s
v = ,
t
g d z i e :
s = 2 l - d r o g a p r z e b y t a p r z e z [w i a t Bo w y s Ba n e z p o w i e r z c h n i Z i e m i i p o w r a c a j c e p o
o d b i c i u o d z w i e r c i a d Ba u m i e s z c z o n e g o w o d l e g Bo [c i l o d zr d Ba [w i a t Ba .
v = c - p r d k o [ [w i a t Ba ,
s k d :
v t
l = = 3 9 0 0 0 0 k m .
2
3 . 2 7 . R . a ) Zr e d n i a w a r t o [ p r d k o [c i :
"s
v [r = ,
"t
g d z i e :
"s = n " 2 r - c a Bk o w i t a d r o g a p r z e b y t a p r z e z k o n i a ,
"t = t - c z a s r u c h u k o n i a .
S t d :
2 t
v [r = n = 2 , 5 1 m / s .
t
b ) Zr e d n i w e k t o r p r d k o [c i :
r
r "r
v [r = ,
"t
g d z i e :
r
"r - w e k t o r p r z e m i e s z c z e n i a ( z m i a n y p o Bo |e n i a ) k o n i a ,
"t - c z a s r u c h u k o n i a .
r
P o n i e w a | k o D, p o o k r |e n i u a r e n y , w r c i B d o p u n k t u s t a r t u , w i c "r = 0 i o s t a t e c z n i e :
r
v [r = 0
3 . 2 8 . R . Zr e d n i a p r d k o [:
"s
v [r = ;
"t
g d z i e :
s s
"s = + = s - c a Bk o w i t a d r o g a p r z e b y t a p r z e z s a m o c h d ,
2 2
"t = t 1 + t 2 - c a Bk o w i t y c z a s r u c h u s a m o c h o d u , p r z y c z y m :
s
t 1 = - c z a s , w k t r y m s a m o c h d p r z e b y B p i e r w s z p o Bo w d r o g i z p r d k o [c i v 1 ,
2 v 1
s
t 2 = - c z a s , w k t r y m s a m o c h d p r z e b y B d r u g p o Bo w d r o g i z p r d k o [c i v 2 .
2 v 2
Zr e d n i a p r d k o [ s a m o c h o d u j e s t w i c r w n a :
2 v 1 v 2
v [r = = 2 4 m / s .
v 1 + v 2
W n i o s e k : Zr e d n i a p r d k o [ s a m o c h o d u n i e j e s t , w t y m p r z y p a d k u , [r e d n i a r y t m e t y c z n
p r d k o [c i v 1 i v 2 ( 2 5 m / s ) . W y n i k a t o z f a k t u , |e s a m o c h d j e c h a B d Bu |e j z m n i e j s z
p r d k o [c i v 1 , a w i c p r d k o [ t a s i l n i e j w p By n Ba n a j e g o p r d k o [ [r e d n i , n i | w i k s z a
p r d k o [ v 2 , z k t r s a m o c h d j e c h a B k r c e j .
3 . 2 9 . R . Zr e d n i a p r d k o [:
"s
v [r = ,
"t
g d z i e :
t t
"t = + = t - c a Bk o w i t y c z a s r u c h u s a m o c h o d u ,
2 2
"s = s 1 + s 2 - c a Bk o w i t a d r o g a p r z e b y t a p r z e z s a m o c h d , p r z y c z y m :
t
s 1 = v 1 - d r o g a p r z e b y t a p r z e z s a m o c h d w p i e r w s z e j p o Bo w i e c z a s u z p r d k o [c i v 1 ,
2
t
s 2 = v 2 - d r o g a p r z e b y t a p r z e z s a m o c h d w d r u g i e j p o Bo w i e c z a s u z p r d k o [c i v 2 .
2
Zr e d n i a p r d k o [ s a m o c h o d u j e s t w i c r w n a :
v 1 + v 2
v [r = = 2 5 m / s .
2
W n i o s e k : W t y m p r z y p a d k u [r e d n i a p r d k o [ s a m o c h o d u j e s t [r e d n i a r y t m e t y c z n p r d k o [c i
v 1 i v 2 , p o n i e w a | c z a s r u c h u s a m o c h o d u z k a |d z t y c h p r d k o [c i b y B t a k i s a m . .
3 . 3 0 . R . A d k a p r z e b y Ba d w a j e d n a k o w e o d c i n k i d r o g i A B i B A z w y p a d k o w y m i
p r d k o [c i a m i :
v A B = v 1 v 2 - r u c h B d k i w g r r z e k i ,
v B A = v 1 + v 2 - r u c h B d k i w d B r z e k i .
Zr e d n i a w a r t o [ p r d k o [c i B d k i n a c a By m o d c i n k u d r o g i ( p a t r z r o z w i z a n i e z a d a n i a 3 . 2 8 . R . ) :
2 v A B v B A v 1 2 - v 2 2 m
v [r = = = 4 , 2 .
v A B + v B A v 1 s
3 . 3 1 . R . K i n e m a t y c z n e r w n a n i a r u c h u j e d n o s t a j n i e z m i e n n e g o m a j p o s t a :
v = v 0 + a t
o r a z :
2
a t
s = v 0 t + .
2
P o c i g z a t r z y m a s i , g d y v = 0 , s k d :
v 0 m
a = - = - 1 , 2 ( r u c h j e d n o s t a j n i e o p zn i o n y )
t s 2
o r a z :
v 0 2 v 0 t
t
s = v 0 t - = = 1 3 5 m .
t 2 2
3 . 3 2 . R . K u l k a , o d b i j a j c a s i b e z s t r a t y e n e r g i i o d p o z i o m e j p o w i e r z c h n i , w z n o s i s i n a
w y s o k o [ h , r w n w y s o k o [c i , z j a k i e j z o s t a Ba s w o b o d n i e p u s z c z o n a :
g t h 2
h = ,
2
g d z i e :
t h c z a s s p a d k u k u l k i z w y s o k o [c i h , r w n y c z a s o w i w z n o s z e n i a s i k u l k i n a
w y s o k o [ h p o j e j o d b i c i u s i o d p o z i o m e j p o w i e r z c h n i , a w i c r w n y p o Bo w i e o d s t p u c z a s u
"t , w k t r y m k u l k a u d e r z a o s p r |y s t p o w i e r z c h n i :
"t
t h = ,
2
s k d o t r z y m a m y :
2
g ( "t ) = 1 , 2 5 m .
h =
8
3 . 3 3 . R . O b l i c z m y p r d k o [ w z g l d n c i a Ba A w z g l d e m c i a Ba B .
S p a d a j c e s w o b o d n i e c i a Bo A p o r u s z a s i z p r d k o [c i v A o p i s a n r w n a n i e m :
v A = g t .
C i a Bo B z a c z Bo s p a d a o "t p zn i e j , w i c j e g o p r d k o [ o p i s a n a j e s t r w n a n i e m :
v B = g ( t - "t ) .
P r d k o [ w z g l d n a d w c h c i a B, k t r y c h z w r o t y p r d k o [c i s z g o d n e , r w n a j e s t r |n i c y i c h p r d k o [c i , w i c :
v w = v A v B = g "t .
p o n i e w a |:
g = c o n s t . o r a z "t = c o n s t . ,
w i c : v w = c o n s t . ,
P r d k o [ w z g l d n a c i a Ba A w z g l d e m c i a Ba B j e s t w a r t o [c i s t a B, a w i c c i a Ba t e p o r u s z a j s i
w z g l d e m s i e b i e r u c h e m j e d n o s t a j n y m .
3 . 3 4 . R . D r o g a p r z e b y t a p r z e z c i a Bo A ( r z u t p i o n o w y d o g r y ) :
2
g t
s A = v 0 t - ,
2
d r o g a p r z e b y t a p r z e z c i a Bo B ( s w o b o d n y s p a d e k ) :
2
g t
s B = .
2
C i a Ba s p o t k a j s i , g d y :
s A + s B = H ,
g d z i e :
v 0 2
H = - m a k s y m a l n a w y s o k o [ w r z u c i e p i o n o w y m ,
2 g
a w i c :
2 2
g t g t v 0 2
v 0 t - + = .
2 2 2 g
l u b :
v o 2
v 0 t = .
2 g
M o |e m y s t d o b l i c z y c z a s , p o k t r y m s p o t k a j s i c i a Ba :
v 0
t =
2 g
o r a z w y s o k o [, n a j a k i e j t o n a s t p i .
B d z i e o n a r w n a d r o d z e s A p r z e b y t e j p r z e z c i a Bo A w o b l i c z o n y m p o p r z e d n i o c z a s i e :
v 0 2 v o 2 3 v 0 2 v 0 2 3
3
h = - = = = H .
2 g 8 g 8 g 4 2 g 4
3 . 3 5 . R . R z u t u k o [n y j e s t r u c h e m z Bo |o n y m z r u c h w p r o s t y c h o r w n a n i a c h :
x = v 0 t c o s
o r a z
2
g t
y = v 0 t s i n -
2
E l i m i n u j c z t y c h r w n a D c z a s t m o |e m y z n a l e z r w n a n i e t o r u c i a Ba :
g
y = x " t g - x 2
2 v 0 2 c o s 2
P o d s t a w i a j c x = d , o t r z y m a m y z t e g o r w n a n i a w y s o k o [ y = h , n a j a k i e j z n a j d z i e s i w t e d y
s t r u g a w o d y :
g
2
h = d " t g - d .
2 v 0 2 c o s 2
P o w s t a w i e n i u w a r t o [c i l i c z b o w y c h , o t r z y m a m y : h = - 3 0 m .
Z n a k m i n u s o z n a c z a , |e w o d a t r a f i a w [c i a n p o n i |e j p o z i o m u w y l o t u s t r u g i .
3 . 3 6 . R * . R u c h y o b u f r a g m e n t w p o c i s k u , p o j e g o r o z e r w a n i u s i , s r z u t a m i u k o [n y m i ,
k t r y c h w e k t o r y p r d k o [c i p o c z t k o w e j m a j t a k i e s a m e w a r t o [c i i k i e r u n k i , a l e p r z e c i w n e
r r r r
z w r o t y : v 0 1 = v 0 , v 0 2 = - v 0 .
P o r o z Bo |e n i u w e k t o r w p r d k o [c i p o c z t k o w e j n a s k Ba d o w e , o t r z y m a m y :
v 0 1 x = v 0 c o s , v 0 2 x = - v 0 c o s ,
v 0 1 y = v 0 s i n , v 0 2 y = - v 0 c o s .
Z m i a n y w e k t o r w p r d k o [c i f r a g m e n t w p o c i s k u w c z a s i e i c h r u c h u o p i s a n e s r w n a n i a m i :
r r r r r r
v 1 = v 0 + g t , v 2 = - v 0 + g t ,
r
c o , p o r o z Bo |e n i u n a s k Ba d o w e ( u w z g l d n i a j c z w r o t w e k t o r a g ) , p r o w a d z i d o z w i z k w :
v 1 x = v 0 c o s , v 2 x = - v 0 c o s ,
v 1 y = v 0 s i n - g t , v 2 y = - v 0 s i n - g t .
I l o c z y n s k a l a r n y w e k t o r w w z a j e m n i e p r o s t o p a d By c h j e s t r w n y z e r u , a w i c w e k t o r y
p r d k o [c i o b u f r a g m e n t w p o c i s k u b d d o s i e b i e p r o s t o p a d Be p o s p e Bn i e n i u w a r u n k u :
r r
v 1 " v 2 = v 1 x v 2 x + v 1 y v 2 y = 0 ,
c z y l i :
2
- v 0 c o s 2 - ( v 0 s i n - g t ) ( v 0 s i n + g t ) = 0 ,
c o , p o p r o s t y c h p r z e k s z t a Bc e n i a c h , p r o w a d z i d o z w i z k u :
2 2 2
g t - v 0 = 0 ,
a w i c w e k t o r y p r d k o [c i o b u f r a g m e n t w p o c i s k u b d w z a j e m n i e d o s i e b i e p r o s t o p a d Be p o
c z a s i e :
v 0
t =
g
o d r o z e r w a n i a s i p o c i s k u .
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