Kinematyka
Zad.1
Prom kursuje pomiędzy punktami A i B leżącymi na przeciwległych brzegach rzeki. Odległość między punktami A
i B wynosi d, a linia AB tworzy kąt ą z brzegiem rzeki. Prędkość v wody w rzece jest stała na całej szerokości
1
rzeki. Jaka powinna być wartość i kierunek prędkości promu względem wody, aby przebył on drogę d w czasie t ?
k
Zad.2
Prędkość łódki względem wody wynosi w=const. Wykazać, że czas potrzebny na przebycie trasy o długości d  tam i
z powrotem jest najkrótszy wówczas, gdy woda jest stojąca.
Zad.3
Znalez
ć czas przelotu samolotu między dwoma punktami A i B odległymi od siebie o L, jeżeli prędkość samolotu
względem powietrza wynosi V , a prędkość przeciwnego wiatru skierowanego pod kątem ą względem kierunku
s
ruchu samolotu wynosi V .
w
Zad.4
Ciało spada z wieży. W chwili, gdy ciało przebyło drogę równą d, z punktu położonego o h niżej od wierzchołka
wieży zaczęło spadać drugie ciało. Oba ciała spadają na ziemię w tej samej chwili. Obliczyć wysokość wieży.
Zad.5
Ciało spadające swobodnie ma w punkcie A prędkość V =40cm/s, a w punkcie B prędkość V = 250cm/s. Obliczyć
A B
odległość AB. Przyjąć g = 10m/s2.
Zad.6
Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości H = 27m. Na jakiej wysokości prędkość tego ciała będzie n = 3 razy
mniejsza od jego prędkości końcowej?
Zad.7
Z powierzchni Ziemi wyrzucono pionowo do góry ciało A z prędkością początkową V , niezbędną do osiągnięcia
o
maksymalnej wysokości H. Jednocześnie, z punktu położonego na wysokości H nad powierzchnią Ziemi, zaczęło
spadać swobodnie ciało B. Na jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi ciała te spotkają się?
Zad.8
W wagonie pociągu jadącego ze stałą prędkością v, jeden z pasażerów upuścił z wysokości h względem podłogi
wagonu pudełko zapałek. Napisać równanie toru tego pudełka, w układzie odniesienia związanym z: (a) wagonem,
(b) szynami.
Zad.9
Z powierzchni ziemi został rzucony kamień A z prędkością 2V pionowo do góry. W tej samej chwili z pewnej
0
wysokości został wyrzucony kamień B z prędkością V pionowo w dół. Wyznacz: a) wysokość, z jakiej powinien
0
być rzucony kamień B, aby oba kamienie jednocześnie uderzyły o ziemię; jakie będą miały wtedy prędkości; b)
wysokość, z jakiej powinien być rzucony kamień B, aby uderzył o ziemię z taką samą prędkością jak kamień A, jaki
będzie wtedy czas lotu kamienia B?
Zad.10
Winda porusza się w górę ze stałą prędkością V . Gdy winda znajduje się na wysokości h, na dole, z miejsca startu
w
windy, zostaje wystrzelona kula z prędkością V i pod kątem ą do poziomu. Napisz równanie ruchu kuli oraz
o
wyznacz jej prędkość i przyśpieszenie względem obserwatora w windzie. Pominąć opór powietrza.
Zad.11
Na wysokości h pod kątem ą do poziomu leci samolot z prędkością V. W pewnej chwili z samolotu wyskakuje
człowiek i odbija się od maszyny z prędkością V w kierunku poziomym do tyłu samolotu. Wyznaczyć równania
1
ruchu samolotu względem spadającego człowieka oraz określić jego prędkość i przyśpieszenie. Ominąć opór
powietrza.
Zad.12
Na krawędzi wzniesienia o wysokości 2m stoi armata z której wystrzelono pocisk z prędkością 120m/s i pod kątem
60o do poziomu. W odległości 10m od podstawy wzniesienia stoi mur o wysokości 5m. Czy pocisk uderzy w mur.
Pominąć opory powietrza.
Zad.13
A
obuz znajdujący się w odległości 5m od domu sąsiada strzela z procy w okno. Kamień opuszcza procę z
prędkością 20m/s. Pod jakim kątem musi strzelać łobuz aby trafić w okno (wysokość na jakiej znajduje się dolna
krawędz
okna wynosi 2.5m, a wysokość okna 1.5m). Pominąć opory powietrza.
Zad.14
Na skarpie o wysokości h został wystrzelony z armaty pocisk z prędkością początkową V i pod kątem ą od
o
poziomu. Policzyć zasięg pocisku, wysokość maksymalną oraz prędkość końcową pocisku i kąt od poziomu pod
jakim uderzy w ziemiÄ™.
Zad.15
Na skarpie o wysokości h stoi łobuz A. A
obuz B w odległości S od podnóża skarpy strzela w łobuza A z procy pod
kątem ą od poziomu. Z jaką prędkością musi zostać wyrzucony kamień z procy by łobuz B trafił w łobuza A? Jaka
będzie prędkość kamienia, gdy dotrze on do łobuza A?
Zad.16
Dwa ciała wyrzucono jednocześnie z dwóch różnych punktów. Jedno ciało zostało rzucone poziomo z prędkością
V z wieży o wysokości H, drugie wyrzucono pionowo w górę z prędkością V z miejsca odległego o x od
o1 o2 o
podnóża wieży. Jaka powinna być prędkość V , aby ciała zderzyły się w powietrzu?
o2
Zad. 17
Zależność drogi przebytej przez punkt materialny od czasu można opisać równaniem: x(t)=At + Bt2 + Ct3, gdzie A,
B i C są wielkościami stałymi wyrażonymi w odpowiednich jednostkach układu SI. Znalez
ć zależność prędkości i
przyspieszenia tego punktu od czasu.
Zad. 18
W ruchu prostoliniowym zależność drogi przebytej przez ciało od czasu jest: s(t) = 3t2 + 2t (w układzie jednostek
SI). Określ ruch ciała. Oblicz prędkość ciała po przebyciu drogi L=5m.
Zad.19
Ruch punktu materialnego opisują równania:
x(t) = 0.5t [m],
y(t) = -0.25 t2 + 2t [m].
Znalez
ć: a) równanie toru; b) prędkość i przyspieszenie w dowolnej chwili czasu; c) prędkość początkową; d) kąt
między wektorem prędkości i przyspieszenia po czasie t = 3s.
1
Zad.20
Ruch punktu materialnego w płaszczyz
nie XOY opisują równania:
x(t) = 2t2 [m],
y(t) = -t3 + 3t + 8 [m].
Znalez
ć: a) wektor przemieszczenia ciała po czasie 2s, b) prędkość i przyspieszenie ciała w dowolnej chwili czasu.
Wykreśl tor ruch ciała i narysuj wektory V i a ciała w 1s i 2s jego ruchu.
Zad. 21
Zależność przebytej przez ciało drogi od czasu wyraża się wzorem: s(t) = at 4 bt 2, gdzie stałe a > 0 i b > 0. Znajdz

ekstremalną wartość prędkości ciała. Naszkicuj wykres zależności prędkości chwilowej od czasu.
Zad.22
Dla pewnego poruszającego się ciała o masie m = 2kg zależność V(t) dana jest wzorem: V(t) = [15t2-1, 6t2, -3] [m/s].
Wiedząc, że w chwili początkowej r = [0,0,2] znalez
ć: a) zależność przebytej przez ciało drogi r(t); b) zależność
o
siły F(t) działającej na ciało.
Zad.23
W ciągu czasu t wartość prędkości ciała zmienia się według wzoru: V = at2 + bt, 0 d" t d" t , gdzie a i b są stałymi
1 1
dodatnimi. Jaka jest średnia wartość prędkości ciała w ciągu czasu t ?
1
Zad.24
Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością V , prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie
1
wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości V zależy od odległości y od brzegu i dana jest wzorem:
2
V = V sin(pðy/L), gdzie L  szerokość rzeki. Znalez
ć: a) wartość wektora prędkości łódki względem nieruchomych
2 o
brzegów, b) kształt toru łódki, c) odległość x na jaką prąd zniesie łódkę od punktu startu do miejsca przybicia na
o
przeciwległy brzeg.
V [m/min]
Zad.25
60
Zależność prędkości od czasu w pierwszej i drugiej minucie ruchu pewnego
ciała przedstawia wykres. a) Podaj jaka jest średnia prędkość ciała w czasie
40
dwóch pierwszych minut ruchu; b) Narysuj zależność a(t); c) Napisz
20
równania ruchu ciała.
1 2
t [min]
Zad.26
a [m/s2]
2
Na podstawie przedstawionego wykresu przyspieszenia w funkcji czasu (V = 0)
o
wyznacz prędkość końcową ciała po czasie 3s.
1
Zad.27
t [s]
1 2 3
Położenie punktu materialnego zmienia się w czasie w następujący sposób:
r(t) = 5t i + exp(-t) j + sin(4t) k.
Znalez
ć zależność od czasu prędkości i przyspieszenia punktu materialnego.
Zad.28
Równania ruchu dwóch punktów, obserwowanych z danego układu współrzędnych, są następujące:
r (t) = (0,2,0) + (3,1,2) t + (1,1,0) t2 [m],
1
r (t) = (1,0,1) + (0,2,1) t [m].
2
Znalez
ć: a) prędkość punktu drugiego względem pierwszego; b) przyspieszenie punktu drugiego względem
pierwszego.
Zad.29
Dane są równania ruchu:
x(t) = 4 + 3 cos(2t) [m],
y(t) = 5 + 3 sin(2t) [m].
Napisz równanie toru, wyznacz prędkość styczną, oraz przyspieszenie styczne i normalne.
Zad.30
Równania ruchu punktu znajdującego się na obwodzie koła toczącego się bez poślizgu wzdłuż osi x mają postać:
x(t) = R sin(Ét) + ÉRt [m],
y(t) = R cos(Ét) + R [m].
Oblicz prędkość i przyspieszenie punktu na obwodzie w chwili, gdy współrzędna y ma wartość: (a) minimalną, (b)
maksymalnÄ…, (c) y = y /2.
max
Zad.31
Ćma porusza się po krzywej, której długość s dana jest wzorem s = s exp(ct), gdzie s i c są stałymi. Wiedząc, że
o o
wektor przyspieszenia całkowitego tworzy stały kąt Ć ze styczną do toru w każdym punkcie, znalez
ć wartość:
a) prędkości stycznej, b) przyspieszenia stycznego, c) przyspieszenia normalnego, d) przyspieszenia całkowitego,
e) promienia krzywizny toru.
Zad.32
PrÄ™dkość kÄ…towa czÄ…steczki poruszajÄ…cej siÄ™ po okrÄ™gu o promieniu R=20cm dana jest wzorem: É(t)=6t 2+8 [1/s].
a) Jakie jest przyspieszenie dośrodkowe cząstki w chwili początkowej i po czasie 5s. b) Jakie jest przyspieszenie
kątowe cząstki po czasie 10s? c) Jak zmienia się w czasie położenie kątowe cząstki, jeśli ą(t=0)= Ą/2?
Zad.33
Ciało rzucono z pewnej wysokości z prędkością V w kierunku poziomym. Obliczyć jego prędkość, przyspieszenie
o
styczne i normalne oraz promień krzywizny toru po czasie t. Opory powietrza pominąć.
Zad.34
Koło obraca się wokół swojej osi. Znalez
ć jego przyspieszenie kątowe jeżeli wiadomo, że po upływie czasu t od
1
rozpoczęcia ruchu jednostajnie przyspieszonego, wektor całkowitego przyspieszenia punktu położonego na
obwodzie tworzy kąt ą z kierunkiem prędkości liniowej tego punktu.
Zad.35
Punkt materialny zaczyna poruszać się po okręgu z przyspieszeniem stycznym a . Znalez
ć jego wypadkowe
s
(całkowite) przyspieszenie a po 0.1 obrotu.
w